1.4 生活中的优化问题举例 (01)（2021人教A版） 高中数学选修2-2资料）.docx

1、第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 1.4 生活中的优化问题举例生活中的优化问题举例 基础过关练基础过关练 题组一题组一 利润最大问题利润最大问题 1.(2019 甘肃兰州一中高二上期末)已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年 产量 x(单位:万件)的函数关系式为 y=- x 3+81x-286,则该生产厂家获取的最大年 利润为( ) A.300 万元 B.252 万元 C.200 万元 D.128 万元 2.(2019 河南名校高二联考)某莲藕种植塘每年的固定成本是 1 万元,每年最大规 模的种植量是 8 万斤,每种植一万斤莲藕,成本增加 0.5 万元.已知销售额函数是 f(x)=

2、- x 3+ ax 2+ x(x 是莲藕种植量,单位:万斤,销售额单位:万元,a 是常数),若 种植 2 万斤,利润是 2.5 万元,则要使利润最大,每年的莲藕种植量应为( ) A.8 万斤 B.6 万斤 C.3 万斤 D.5 万斤 3.(2019 山东师范大学附属中学高二下期中)某小型玩具厂研发生产一种新型玩具, 年固定成本为 10 万元,每生产千件该玩具需另投入 3 万元,设该厂年内共生产该 新型玩具 x 千件并全部销售完,每千件的销售收入为 F(x)万元,且满足函数关 系:F(x)=11.1- . (1)写出年利润 G(万元)关于该新型玩具年产量 x(千件)的函数解析式; (2)年产量为

3、多少千件时,该厂在该新型玩具的生产中所获年利润最大?最大年利 润为多少? 4.(2019 福建福州八县(市)协作校高二上期末联考)某校高一年级的一个学习兴趣 小组进行社会实践活动,决定对某商场销售的商品 A 进行市场销售量调研,通过对 该商品一个阶段的调研得知,该商品每日的销售量 g(x)(单位:百件)与销售价格 x(元/件)近似满足关系式 g(x)= - +2(x-5) 2,其中 2x0).如果机车匀速 从甲站开往乙站,则当机车以 千米/时的速度运行时,成本最省. 10.(2019 江苏海安高级中学高三下月考)某企业拟生产一种如图所示的圆柱形易 拉罐(上、下底面及侧面的厚度不计),易拉罐的体

4、积为 108 mL,设圆柱的高度为 h cm,底面半径为 r cm,且 h4r,假设该易拉罐的制造费用仅与其表面积有关.已 知易拉罐侧面制造费用为 m 元/cm 2,易拉罐上、下底面的制造费用均为 n 元 /cm 2(m,n 为常数). (1)写出易拉罐的制造费用 y(元)关于半径 r(cm)的函数表达式,并求其定义域; (2)求易拉罐制造费用最低时 r(cm)的值. 11.(2019 福建宁德高二下期中)某地修建一条大型输油管道需要通过 120 千米长 的沙漠地带,该段输油管道两端的输油站已建好,余下工程只需要在该段两端已建 好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站).经预算,

5、修建一个 增压站的工程费用为 400 万元,铺设距离为 x 千米的相邻两增压站之间的输油管 道费用为(x 2+x)万元.设余下工程的总费用为 y 万元. (1)试将 y 表示成关于 x 的函数; (2)需要修建多少个增压站才能使总费用 y 最小? 能力提升练能力提升练 一、选择题 1.()一个正三棱柱内接于表面积为 16的球,则此三棱柱体积的最大值为 ( ) A.4 B.3 C.8 D. 2.()某品牌小汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y(升)关于行驶速度 x(千 米/时)的函数解析式为 y= x 3- x+18(0x120).若要使该汽车行驶 200 千米 时的油耗最低,则汽车匀速行驶的速度

6、应为( ) A.60 千米/时 B.80 千米/时 C.90 千米/时 D.100 千米/时 二、填空题 3.(2019 广东佛山一中高二下期中,)母线长为 1 的圆锥体积最大时,其侧面 展开图的圆心角 等于 . 4.()当前,网校教学越来越受到广大学生的喜爱,它已经成为学生课外学习 的一种趋势.假设某网校的套题每日的销售量 y(单位:千套)与销售价格 x(单位: 元/套)满足的函数关系式为 y= - +4(x-6) 2,其中 2x6,m 为常数.已知销售价格为 4 元/套时,每日可售出套题 21 千套. (1)实数 m= ; (2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题 2 元(只考

7、虑销售出的套 数),当销售价格为 元/套时,网校每日销售套题所获得的利润最大(精确 到 0.1). 5.(2019 湖北宜昌高二期中联考,)现有一个边长为 2 的正方形纸板,若在纸 板的四角截去四个边长均为 x 的小正方形,然后做成一个无盖的方盒,则方盒的容 积的最大值为 . 6.(2019 江西赣州高三摸底考试,)在一节手工课上,小明将一个底面半径为 4、母线长为 5 的圆锥形橡皮泥捏成一个圆柱(橡皮泥的用量保持不变),则当这个 圆柱的表面积最小时,该圆柱的底面半径为 . 三、解答题 7.(2019 山东烟台高三上期中,)某工厂加工一批零件,加工过程中会产生次 品,根据经验可知,其次品率 p

8、 与日产量 x(万件)之间满足函数关系式 p= - 已知每生产 1 万件合格品可获利 2 万元,但生产 1 万件次品将 亏损 1 万元.(次品率=次品数/生产量) (1)试写出加工这批零件的日盈利额 y(万元)与日产量 x(万件)的函数关系式; (2)当日产量为多少时,可获得最大利润?最大利润为多少? 8.(2020 福建师大附中高二期末,)如图,有一块半径为 20 米,圆心角AOB= 的扇形展示台,展示台分成了四个区域:三角形 OCD,弓形 CMD,扇形 AOC 和扇形 BOD(其中AOC=BOD).某次菊花展在这四个区域依次摆放:泥金香、紫龙卧雪、朱 砂红霜、朱砂红霜.预计这三种菊花展示带

9、来的日效益分别是泥金香 50 元/米 2, 紫龙卧雪 30 元/米 2,朱砂红霜 40 元/米2. (1)设COD=,试建立日效益总量 y 关于 的函数关系式; (2)试探求 为何值时,日效益总量达到最大值. 答案全解全析答案全解全析 基础过关练基础过关练 1.C 令函数 y=f(x)=- x 3+81x-286,求导数,得 f(x)=-x2+81,令 f(x)=0,解得 x=9(负值舍去). 当 0x0,函数 f(x)单调递增; 当 x9 时,f(x)0,当 x(6,8)时,g(x)0). (2)由(1)得 G(x)=8.1- = - , 令 G(x)=0,解得 x=9(负值舍去). 当 x

10、(0,9)时,G(x)0,G(x)单调递增;当 x(9,+)时,G(x)0,G(x)单调递减. 当 x=9 时,G(x)max=8.1 9- -10=38.6. 故当年产量为 9 千件时,该厂在该新型玩具的生产中所获年利润最大,最大年利润 为 38.6 万元. 4.解析解析 (1)由题意得 10= - +2(3-5) 2,解得 a=2,故 g(x)= - +2(x-5) 2(2x5). (2)设商场每日销售该商品所获得的利润为 h(x)百元,则 h(x)=(x-2)g(x)=2+2(x- 5) 2(x-2)(2x5), 从而 h(x)=4(x-5)(x-2)+2(x-5) 2=6(x-3)(x

11、-5). x 变化时,h(x),h(x)的变化情况如下表: x (2,3) 3 (3,5) h(x) + 0 - h(x) 极大值 由上表可得,x=3 是函数 h(x)在区间(2,5)内的极大值点,也是最大值点,此时 h(x)=10,即该商品销售价格为 3 元/件时,该商场每日销售该商品所获得的利润最 大,最大利润为 10 百元. 5.C 如图,连结 ON. 设NOQ=( ),则 NQ=5sin ,OQ=5cos , 矩形的面积 S=5sin 2 5cos =25sin 2, S=50cos 2, 令 S=0,解得 = , 当 00;当 时,S0. 当 = 时,S 取得最大值,最大值为 25.

12、 6.A 如图,取 AB 的中点 E,连结 CE,DE,设 AB=2x(0x0,V(x)单调递增;当 x( )时,V(x)0,V(x)单调递减. 因此,当 x= 时,V(x)有最大值,V(x)max= - ( ) = . 故选 A. 7.D 由题知折起的四棱锥如图所示,取 CD 的中点 M,连结 OM,EM,设正方形 ABCD 的边长为 a cm(0a5 ),则|OM|= cm,|EM|=( - )cm, 则|EO|= - = - cm, 故四棱锥的体积 V= a 2 - = - cm3. 构造函数 h(a)=25a 4-5a5(0a0 得 0a4,由 h(a)4,故 h(a)在(0,4)上单

13、调递增,在(4,5 ) 上单调递减. 故当 a=4 时,h(a)取得最大值,也就是 V 取得最大值,即所得四棱锥体积的最大值 为 - = cm 3.故选 D. 8.解析解析 (1)在SAO 中,SO= - = - =4, 由SNO1SAO 可知, = ,所以 SO1= r, 所以 OO1=4- r,所以 V(r)= r 2( - )= (3r 2-r3),0r3. (2)由(1)得 V(r)= (3r 2-r3),0r0,所以 V(r)在(0,2)上单调递增; 当 r(2,3)时,V(r)0,所以 V(r)在(2,3)上单调递减. 所以当 r=2 时,V(r)取得最大值 V(2)= . 9.答

14、案答案 解析解析 设甲、乙两站相距 s 千米,以速度 v 匀速运行时成本最省,总成本为 y 元, 则机车匀速从甲站到乙站所需时间 t= , y=(m+kv 2) =s( ), 求导,得 y=s( - ), 令 y=0,得 v= (负值舍去), 函数在( )上单调递减,在( )上单调递增, 则 v= 为极小值点. 当 v= 时,y 有最小值,故答案为 . 10.解析解析 (1)因为易拉罐的体积为 108 mL, 所以 r 2h=108,即 h= , 易拉罐的侧面积为 S=2rh=2r = , 易拉罐的上、下两底面的面积和为 S=2r 2, 所以 y=m +2nr 2=2( ), 因为 h4r,

15、所以有 4r,解得 r3,故 0r3. 综上,易拉罐的制造费用为 y=2( ),r(0,3. (2)由(1)知 y=2(- ), 令 y=0,解得 r=3 , 若 3 3,即 2mn,此时 3 (0,3), 当 r( )时,函数 y=2( )单调递减; 当 r( )时,函数 y=2( )单调递增. 故当 r=3 时,函数 y=2( )取得最小值,即易拉罐的制造费用最低. 若 3 3,即 2mn,此时 3 3, 当 r(0,3时,函数 y=2( )单调递减, 故当 r=3 时,函数 y=2( )取得最小值,即易拉罐的制造费用最低. 综上,若 2mn,则当 r=3 时,易拉罐的制造费用最低; 若

16、2mn,则当 r=3 时,易拉罐的制造费用最低. 11.解析解析 (1)依题意可知余下工程有 段输油管道,有( - )个增压站, 故余下工程的总费用 y=(x 2+x) +400( - )=120 x+ -280, 所以将 y 表示成关于 x 的函数为 y=120 x+ -280(0x120). (2)由(1)知 y=120 x+ -280(0x120),则 y=120- , 令 y=0,得 x=20(负值舍去), x 变化时,y,y的变化情况如下表: x (0,20) 20 (20,120) y - 0 + y 极小值 由上表易知,函数在 x=20 时取得最小值,此时 -1=5, 故需要修建

17、 5 个增压站才能使总费用 y 最小. 能力提升练能力提升练 一、选择题 1.C 设球的半径为 R,根据球的表面积公式得 4R 2=16,所以 R=2. 设该正三棱柱底面边长为 x,则底面等边三角形外接圆的半径为 x,故该正三棱柱 的高为 2 -( ) =2 - , 所以该正三棱柱的体积为 V(x)= x 2 2 - = - = - (0x2 ). 令 f(x)=-x 6+12x4,由 f(x)=-6x3(x-2 )(x+2 )=0,解得 x=2 (负值舍去),易知 函数在 x=2 时取得最大值,此时 V(2 )= 8 2 - =8. 2.C 设汽车行驶途中总的耗油量为 f(x)升.若速度为

18、x 千米/时,则时间为 小 时, 所以 f(x)=( - ) = x 2+ -20(0x120), 所以 f(x)= x- = - (0x120). 令 f(x)=0,得 x=90. 易知当 x(0,90)时,函数 f(x)单调递减,当 x(90,120)时,函数 f(x)单调递增. 所以 x=90 时,函数 f(x)取得最小值. 二、填空题 3.答案答案 解析解析 设圆锥的底面半径为 r,高为 h, 因为圆锥的母线长为 1,所以 r 2+h2=1, 所以圆锥的体积为 V(h)= r 2h= (1-h 2)h= (-h 3+h),0h0,V(h)单调递增; 当 h( )时,V(h)0,V(h)

19、单调递减. 故当 h= 时,体积取得最大值,此时 r= - = , 此时 = =2 = . 4.答案答案 (1)10 (2)3.3 解析解析 (1)当 x=4 时,y=21,代入函数关系式 y= - +4(x-6) 2,得 +16=21,解得 m=10. (2)设每日销售套题所获得的利润为 f(x)元,由(1)可知,套题每日的销售量为 y= - +4(x-6) 2,所以 f(x)=(x-2) - - =10+4(x-6) 2(x-2)=4x3-56x2+240 x- 278(2x0,函数 f(x)单调递增; 当 x( )时, f(x)0,函数 f(x)单调递减. 所以 x= 是函数 f(x)在

20、区间(2,6)内的极大值点,也是最大值点, 所以当 x= 3.3 时,函数 f(x)取得最大值. 故当销售价格约为 3.3 元/套时,网校每日销售套题所获得的利润最大. 5.答案答案 解析解析 由于在边长为 2 的正方形纸板的四个角截去四个边长均为 x 的小正方形, 做成一个无盖的方盒, 所以无盖的方盒的底面是正方形,且边长为 2-2x,高为 x, 则无盖的方盒的容积为 V(x)=(2-2x) 2 x(0x1), 整理得 V(x)=4x 3-8x2+4x(0x0,V(x)单调递增; 当 x( )时,V(x)0),则 f(r)=2r- = - . 令 f(r)=0,得 r=2. 当 0r2 时,

21、 f(r)2 时, f(r)0, f(r)单调递增. 所以当 r=2 时, f(r)最小,从而圆柱的表面积 S 最小,故答案为 2. 三、解答题 7.解析解析 (1)当 1x4 时,y=2x( - )-x =2x- , 当 x4 时,y=* -( - ) + 2-( - )x=9-x- , 所以所求函数关系式为 y= - - - (2)当 1x4 时,y=2x- =- (x-2) 2+2, 所以当 x=2 时,y 取得最大值 2; 当 x4 时,y=9-x- ,y=-1+ = - 2,所以当日产量为 4 万件时可获得最大利润,最大利润为 万元. 8.解析解析 (1)依题意得,AOC= - = - ,则 y= ( - ) 20 2 40 2+ 20 2 sin 50+ 20 2- 20 2 sin 30 =16 000( - )+10 000sin +6 000-6 000sin = +4 000sin -2 000,其中 0 . (2)易得 y=4 000cos -2 000, 令 y=0,得 = , 当 00,当 时,y0, 所以,= 是函数在区间 0, 上的极大值点,且是唯一的极大值点, 从而当 = 时,日效益总量达到最大值.