1.2.1-1.2.2 第2课时　导数的运算法则 （2021人教A版） 高中数学选修2-2资料）.docx

1、第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 1.2 导数的计算导数的计算 1.2.1 几个常用函数的导数几个常用函数的导数 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 第 2 课时 导数的运算法则 基础过关练基础过关练 题组一题组一 导数的运算法则导数的运算法则 1.函数 y= x 3-e2+ln x 的导函数是 y=( ) A.x 2-e2+ B. x 2-e2+ C.x 2+ D.x 2+ 2.(2019 山西原平范亭中学高二月考)f(x)=x 2-1 在 x=1 处的导数为( ) A.0 B.1 C.2 D.以上都不对 3.(2019 浙江学军中

2、学高二期中)函数 f(x)=cos x(sin x+1)的导数是 f(x)=( ) A.cos 2x+sin x B.cos 2x-sin x C.cos 2x+cos x D.cos 2x-cos x 4.(2019 天津高二下期末)已知函数 f(x)=(ax+1)ln x,f(x) 为 f(x)的导函数,若 f(1)=3,则实数 a 的值为 . 5.求下列函数的导数. (1)y=x -2+x2; (2)y=3 xex-2x+e; (3)y= ; (4)y=x 2-4sin cos . 题组二题组二 复合函数的求导法则复合函数的求导法则 6.函数 y=(2 020-8x) 3的导数 y=(

3、) A.3(2 020-8x) 2 B.-24x C.-24(2 020-8x) 2 D.24(2 020-8x) 2 7.函数 y=cos(2x+1)的导数为( ) A.y=2sin(2x+1) B.y=-2sin(2x+1) C.y=-sin(2x+1) D.y=2cos(2x+1) 8.函数 y=(3x+2) 2的导函数为 . 9.已知 f(x)=ln(3x-1),则 f(1)= . 10.(2019 江苏启东中学高二期中)求下列函数的导函数. (1)y= ; (2)y=sin 2x; (3)y= ; (4)y=(x-2) 3(3x+1)2. 题组三题组三 求导法则的综合应用求导法则的综

4、合应用 11.(2020 山东日照实验高级中学高二月考)已知 f(x)=x 2+2xf(1),则 f(0)等于 ( ) A.0 B.-2 C.-4 D.2 12.(2020 河南南阳中学高三开学考试)若函数 f(x)=ax-ln x 的图象上存在与直线 x+3y-4=0 垂直的切线,则实数 a 的取值范围是( ) A.3,+) B.(3,+) C.* ) D.( ) 13.设函数 f(x)=xsin x+cos x 的图象在点(t, f(t)处切线的斜率为 g(t),则函 数 y=g(t)的图象的一部分可以是 ( ) 14.(2019 黑龙江哈尔滨高二期末)已知函数 f(x)=ln(2x+1)

5、,则函数 f(x)的图象在 x=0 处的切线方程为 . 15.(2019 安徽合肥一中高二期中)设 P 为曲线 C:y=x 2+ x+3 上的点,且曲线 C 在 点 P 处切线倾斜角的取值范围为* +,则点 P 横坐标的取值范围为 . 16.(2019 安徽六安二中高二期末)已知函数 f(x)=x 3-x. (1)求曲线 y=f(x)在点(1,0)处的切线方程; (2)求过点(1,0)且与曲线 y=f(x)相切的直线方程. 17.(2019 安徽合肥一中高二期中)已知函数 f(x)=x 3+x-16. (1)求曲线 y=f(x)在点(1,-14)处的切线方程; (2)直线 l 为曲线 y=f(

6、x)的切线,且经过原点,求直线 l 的方程及切点坐标. 18.已知函数 f(x)=x+aln x(aR),若曲线 y=f(x)在 x=2 处的切线方程为 y=2x+b, 求 a,b 的值. 19.已知函数 f(x)=3x+cos 2x+sin 2x, f(x)是 f(x)的导函数,a=f( ),求过曲线 y=x 3上一点 P(a,b)的切线方程. 能力提升练能力提升练 一、选择题 1.(2019 北京四中高二期中,)下列求导正确的是( ) A.( - ) =1+ B.( ) = - C.(x 2cos x)=-2xsin x D.(xln x)=ln x+ 2.(2019 贵州贵阳一中高二期中

7、,)函数 y=sin x+e xcos x 的导数为( ) A.y=(1+e x)cos x+exsin x B.y=cos x+e xsin x C.y=(1+e x)cos x-exsin x D.y=cos x-e xsin x 3.(2019 山西师大附中高二月考,)已知函数 f(x)的导函数为 f(x),且满足 关系式 f(x)=3xf(2)+ln x,则 f(1)的值等于( ) A. B.- C.- D. 4.(2020 广西玉林高二期末,)函数 f(x)=-2x+ln x 的图象在 x=1 处的切线方 程为( ) A.x+y+1=0 B.x-y+1=0 C.2x-y+1=0 D.

8、2x+y-1=0 5.(2019 黑龙江鹤岗一中高二期末,)已知过点 A(a,0)作曲线 C:y=xe x的切线 有且仅有 1 条,则实数 a 的取值是( ) A.0 B.4 C.0 或-4 D.0 或 4 6.()设函数 f(x)= x 3+ x 2+tan ,其中 * +,则导数 f(1)的取值 范围是( ) A.-2,2 B. , C. ,2 D. ,2 7.()已知 f(x)是定义在(0,+)上的单调函数,且对任意的 x(0,+)都有 ff(x)-x 3=2,则方程 f(x)-f(x)=2 的一个根所在的区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 二、

9、填空题 8.(2019 新疆兵团建工师四中高二期中,)若函数 f(x)= ,则 f(x)= . 9.(2019 云南保山一中高二期末,)已知曲线 y= -3ln x 在点(x0, f(x0)处 的切线与直线 2x+y-1=0 垂直,则 x0的值为 . 10.(2019 甘肃天水一中高二月考,)设函数 f(x)=2x 3+ax2+bx+1 的导函数为 f(x),若函数 y=f(x)图象的顶点的横坐标为- ,且 f(1)=0,则 a+b 的值 为 . 11.(2019 江西奉新一中高三月考,)已知点 P 在曲线 y= 上,为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 的取值范围是 . 12.(2019 福

10、建莆田一中高二期中,)若 f(x)=ln x 与 g(x)=x 2+ax 两个函数的 图象有一条与直线 y=x 平行的公共切线,则 a= . 三、解答题 13.(2018 重庆巴蜀中学高三月考,)已知函数 f(x),x(0,+)的导函数为 f(x),且满足 xf(x)-2f(x)=x 3ex, f(1)=e-1,求函数 f(x)的图象在点(2, f(2) 处的切线方程. 14.()已知函数 f(x)=ax 2+2ln(2-x)(aR),设曲线 y=f(x)在点(1, f(1)处的 切线为 l. (1)求切线 l 的方程; (2)若直线 l 与圆 C:x 2+y2= 相切,求实数 a 的值; (

11、3)若直线 l 与圆 C:x 2+y2= 相交,求实数 a 的取值范围. 答案全解全析答案全解全析 基础过关练基础过关练 1.D y= x 3-e2+ln x, y= 3x 2+(ln x)=x2+ .故选 D. 2.C 由题得 f(x)=2x,所以 f(1)=2. 3.B f(x)=cos x(sin x+1), f(x)=-sin x(sin x+1)+cos xcos x =cos 2x-sin2x-sin x=cos 2x-sin x. 4.答案答案 2 解析解析 根据题意,得 f(x)= +aln x, 所以 f(1)=a+1=3,故 a=2. 5.解析解析 (1)y=2x-2x -

12、3. (2)y=(ln 3+1)(3e) x-2xln 2. (3)y= - . (4)y=x 2-4sin cos =x 2-2sin x, y=2x-2cos x. 6.C y=3(2 020-8x) 2 (2 020-8x)=3 (2 020-8x)2 (-8)=-24(2 020-8x)2.故选 C. 7.B y=cos(2x+1)=-sin(2x+1)(2x+1)=-2sin(2x+1).故选 B. 8.答案答案 y=18x+12 解析解析 函数 y=(3x+2) 2可看成函数 y=u2和 u=3x+2 的复合函数, yx=yuux=(u 2)(3x+2)=6u=18x+12. 9.

13、答案答案 解析解析 f(x)= - (3x-1)= - , f(1)= . 10.解析解析 (1)y=( )= = . (2)y=2sin x(sin x)=2sin xcos x=sin 2x. (3)y= - = - . (4)y=3(x-2) 2(3x+1)2+6(x-2)3(3x+1)=3(x-2)2(3x+1)(5x-3). 11.C 由题可得 f(x)=2x+2f(1),取 x=1 可得 f(1)=2 1+2f(1),解得 f(1)=-2, 则 f(0)=2 0+2f(1)=2 0+2 (-2)=-4. 12.B 设切点为(x0,ax0-ln x0). 由题得切线的斜率为 k=-

14、- =3, 又 f(x)=a- (x0), 所以 a- =3,所以 a= +3, 而 x0(0,+),所以 a(3,+). 13.A 由 f(x)=xsin x+cos x 可得 f(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x, 所以 g(t)=tcos t, 而函数 g(t)是奇函数,排除选项 B,D; 当 t( )时,y0,排除选项 C. 故选 A. 14.答案答案 y=2x 解析解析 因为 f(x)= ,所以 f(0)=2, 又因为 f(0)=0,所以函数 f(x)的图象在 x=0 处的切线方程为 y-0=2(x-0),即 y=2x. 15.答案答案 *- + 解析解析 设

15、 P(m,n)为曲线 C:y=x 2+ x+3 上的点,导数 y=2x+ , 所以在点 P 处切线的斜率 k=2m+ , 因为曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为* +,所以 02m+ ,解得- m0. 16.解析解析 (1)f(x)=3x 2-1,则 f(1)=2, 所以曲线 y=f(x)在点(1,0)处的切线方程为 y=2x-2. (2)设切点的坐标为(x0, -x 0), f(x0)=3 -1, 则所求切线方程为 y-( -x 0)=(3 -1)(x-x0), 代入点(1,0),得- +x 0=(3 -1)(1-x0),解得 x0=1(二重根)或 x0=- . 当 x0=- 时,

16、所求直线方程为 y=- x+ ; 当 x0=1 时,由(1)知过点(1,0)且与曲线 y=f(x)相切的直线方程为 y=2x-2. 故所求直线方程为 y=- x+ 或 y=2x-2. 17.解析解析 (1)易知点(1,-14)在曲线 y=f(x)上, 因为 f(x)=3x 2+1, 所以曲线 y=f(x)在点(1,-14)处的切线的斜率为 k=f(1)=4, 所以所求切线方程为 y+14=4(x-1),即 y=4x-18. (2)设切点坐标为(x0,y0), 则 y0= +x 0-16,直线 l 的斜率为 f(x0)=3 +1, 所以直线 l 的方程为 y=(3 +1)(x-x0)+ +x0-

17、16. 又因为直线 l 过坐标原点(0,0), 所以 0=(3 +1)(-x0)+ +x0-16, 整理得 =-8,解得 x 0=-2, 所以 y0=(-2) 3+(-2)-16=-26, 所以切点坐标为(-2,-26), 又 f(-2)=3 (-2) 2+1=13, 所以直线 l 的方程为 y=13x. 18.解析解析 f(x)=1+ (x0), 若曲线 y=f(x)在 x=2 处的切线方程为 y=2x+b, 则有 解得 - 19.解析解析 由 f(x)=3x+cos 2x+sin 2x, 得 f(x)=3-2sin 2x+2cos 2x, 则 a=f( )=3-2sin +2cos =1.

18、 由 y=x 3得 y=3x2. 当 P 点为切点时,切线的斜率 k=3a 2=3 12=3,又 b=a3,b=1,切点 P 的坐标为 (1,1), 故过曲线 y=x 3上的点 P 的切线方程为 y-1=3(x-1),即 3x-y-2=0. 当 P 点不是切点时,设切点为(x0, ),此时切线的斜率 k=3 , 切线方程为 y- =3 (x-x 0), P(a,b)在曲线 y=x 3 上,且 a=1, b=1,将 P(1,1)代入切线方程得 1- =3 (1-x 0), 2 -3 +1=0,2 -2 - +1=0, (x0-1) 2(2x 0+1)=0,解得 x0=- (x0=1 舍去), 切

19、点坐标为(- - ), 又切线的斜率为 3 (- ) = , 此时的切线方程为 y+ = ( ),即 3x-4y+1=0. 综上,满足题意的切线方程为 3x-y-2=0 或 3x-4y+1=0. 能力提升练能力提升练 一、选择题 1.A 对于 A,( - ) =1+ ,故 A 选项正确. 对于 B,( ) = = ,故 B 选项错误. 对于 C,(x 2cos x)=2xcos x-x2sin x,故 C 选项错误. 对于 D,(xln x)=ln x+1,故 D 选项错误. 2.C y=(sin x)+(e x)cos x+ex(cos x) =cos x+e xcos x-exsin x

20、=(1+e x)cos x-exsin x. 3.A 由 f(x)=3xf(2)+ln x, 可得 f(x)=3f(2)+ . 当 x=2 时, f(2)=3f(2)+ ,解得 f(2)=- ,则 f(x)=- + , 故 f(1)=- +1= . 4.A 当 x=1 时, f(1)=-2+0=-2,所以切点为(1,-2), 由题得 f(x)=-2+ ,所以切线的斜率 k=f(1)=-2+ =-1, 所以切线方程为 y+2=-1 (x-1),即 x+y+1=0. 5.C 设切点为(x0,x0 ),且函数 y=xe x的导数 y=(x+1)ex, 所以 y =(x 0+1) , 所以则切线方程为

21、 y-x0 =(x0+1) (x-x0), 又切线过点 A(a,0),代入得-x0 =(x0+1) (a-x0),所以 a= ,所以结合题意知 方程 -ax0-a=0 有两个相等的根,则有 =a2+4a=0,解得 a=0 或 a=-4. 6.D f(x)=sin x 2+ cos x, f(1)=sin + cos =2sin( ), * +,+ * +, sin( )* +, 2sin( ) ,2.故选 D. 7.D 由题意可知 f(x)-x 3是定值,令 t=f(x)-x3,则 f(x)=x3+t,又 f(t)=t3+t=2,所 以(t-1)(t 2+t+2)=0,解得 t=1,所以 f(

22、x)=x3+1,所以 f(x)-f(x)=x3+1-3x2=2, 令 F(x)=x 3-3x2-1,可得 F(3)=-10,易知 F(x)的图象为其定义域内的一 条连续不断的曲线,由函数零点存在性定理可知 F(x)=x 3-3x2-1 的零点在区间(3,4) 内,所以 f(x)-f(x)=2 的一个根所在的区间是(3,4),故选 D. 二、填空题 8.答案答案 解析解析 f(x)= - = = . 9.答案答案 3 解析解析 因为曲线在点(x0, f(x0)处的切线与直线 2x+y-1=0 垂直, 所以切线的斜率为 , 所以 y = - = ,解得 x0=3(负值舍去). 10.答案答案 -9

23、 解析解析 由 f(x)=2x 3+ax2+bx+1,得 f(x)=6x2+2ax+b, 所以函数 y=f(x)图象的对称轴方程为 x=- , 由题意得- =- ,解得 a=3, 所以 f(x)=6x 2+6x+b, 又由 f(1)=0 可得 6+6+b=0, 解得 b=-12, 所以 a+b=-9. 11.答案答案 * ) 解析解析 函数 y= 的导数为 y=- =- , 因为 e x+ 2 =2,当且仅当 x=0 时,等号成立, 所以 e x+ +24, 所以 y-1,0),即 tan -1,0), 又因为 0,所以 . 12.答案答案 3 或-1 解析解析 在曲线 y=f(x)上取切点(

24、t,ln t),因为 f(x)=ln x,所以 f(x)= , 所以 f(t)= =1,得 t=1,所以切点坐标为(1,0),则所求切线方程为 y=x-1. 联立 - 消去 y 并整理,得 x 2+(a-1)x+1=0, 由于直线 y=x-1 与函数 g(x)=x 2+ax 的图象相切,所以 =(a-1)2-4=a2-2a-3=0, 解得 a=-1 或 a=3. 三、解答题 13.解析解析 xf(x)-2f(x)=x 3ex,x(0,+), - =e x. 令 g(x)= ,则 g(x)= - =e x, g(x)= =e x+c(c 为任意常数), f(x)=x 2(ex+c), 又 f(1

25、)=e+c=e-1, c=-1. f(x)=x 2(ex-1), f(x)=2x(e x-1)+x2ex=(x2+2x)ex-2x, f(2)=8e 2-4. 又 f(2)=4(e 2-1), 所求切线方程为 y-4(e 2-1)=(8e2-4)(x-2),即 y=(8e2-4)x-12e2+4. 14.解析解析 (1)由题可得 f(1)=a, f(x)=2ax+ - (x2), 所以 f(1)=2a-2, 所以切线 l 的方程为 y-a=(2a-2)(x-1),即 2(a-1)x-y+2-a=0. (2)因为直线 l 与圆相切,所以圆心到直线 l 的距离等于半径,即 d= - - = ,解 得 a= . (3)因为直线 l 与圆 C:x 2+y2= 相交, 所以圆心到直线 l 的距离小于半径, 即 d= - - ,即实数 a 的取值范围为( ).