临界与极值问题.docx

1、热点综合专题四热点综合专题四 牛顿运动定律的综合应用牛顿运动定律的综合应用 热点一热点一 超重和失重问题超重和失重问题 超重、失重和完全失重的比较超重、失重和完全失重的比较 【典例】【典例】 (2018 福建福州期末福建福州期末)广州塔，昵称小蛮腰，总高度达广州塔，昵称小蛮腰，总高度达 600 米，游客乘坐观光电梯大约一分钟就可以到达观光平台若电梯米，游客乘坐观光电梯大约一分钟就可以到达观光平台若电梯 简化成只受重力与绳索拉力，已知电梯在简化成只受重力与绳索拉力，已知电梯在 t0 时由静止开始上升，时由静止开始上升，a t 图象如下图所示则下列相关说法正确的是图象如下图所示则下列相关说法正确的

2、是( ) At4.5 s 时，电梯处于失重状态时，电梯处于失重状态 B555 s 时间内，绳索拉力最小时间内，绳索拉力最小 Ct59.5 s 时，电梯处于超重状态时，电梯处于超重状态 Dt60 s 时，电梯速度恰好为零时，电梯速度恰好为零 审题指导审题指导 (1)判断超重与失重，仅看加速度方向即可，与加速判断超重与失重，仅看加速度方向即可，与加速 度大小如何变化无关度大小如何变化无关 (2)at 图线与图线与 t 轴所围的轴所围的“面积面积”代表速度的变化量代表速度的变化量 解析解析 利用利用 at 图象可判断：图象可判断：t4.5 s 时，电梯有向上的加速时，电梯有向上的加速 度，电梯处于超

3、重状态，则度，电梯处于超重状态，则 A 错误；错误；05 s 时间内，电梯处于超重时间内，电梯处于超重 状态，拉力状态，拉力重力，重力，555 s 时间内，电梯处于匀速上升过程，拉力时间内，电梯处于匀速上升过程，拉力 重力，重力， 5560 s 时间内， 电梯处于失重状态， 拉力时间内， 电梯处于失重状态， 拉力重力， 综上所述，重力， 综上所述， B、C 错误；因错误；因 at 图线与图线与 t 轴所围的轴所围的“面积面积”代表速度改变量，而代表速度改变量，而 图中横轴上方的图中横轴上方的“面积面积”与横轴下方的与横轴下方的“面积面积”相等， 则电梯的速度相等， 则电梯的速度 在在 t60

4、s 时为零，时为零，D 正确正确 答案答案 D 判断超重和失重的方法判断超重和失重的方法 针对训练针对训练 1(2018 吉林省白城市通榆一中考试吉林省白城市通榆一中考试)某运动员某运动员(可看成质点可看成质点)参参 加跳台跳水比赛，加跳台跳水比赛，t0 时，为其向上起跳离开跳台的瞬间，其速度与时，为其向上起跳离开跳台的瞬间，其速度与 时间关系图象如图所示，不计空气阻力，则下列说法错误的是时间关系图象如图所示，不计空气阻力，则下列说法错误的是( ) A可以求出水池的深度可以求出水池的深度 B可以求出跳台距离水面的高度可以求出跳台距离水面的高度 C0t2时间内，运动员处于失重状态时间内，运动员处

5、于失重状态 Dt2t3时间内，运动员处于超重状态时间内，运动员处于超重状态 解析解析 跳水运动员在跳水过程中的跳水运动员在跳水过程中的 vt 图象不能反映是否到图象不能反映是否到 达水底，所以不能求出水池的深度，故达水底，所以不能求出水池的深度，故 A 错误；应用错误；应用 vt 图象中，图象中， 图线与横轴围成的面积表示位移大小， 可以求出跳台距离水面的高度，图线与横轴围成的面积表示位移大小， 可以求出跳台距离水面的高度， 故故 B 正确；正确；t0 时刻是运动员向上起跳离开跳台的瞬间，速度是负时刻是运动员向上起跳离开跳台的瞬间，速度是负 值时表示速度方向向上， 则知值时表示速度方向向上，

6、则知 0t1时间内运动员做匀减速运动，时间内运动员做匀减速运动， t1 t2时间内向下做匀加速直线运动，时间内向下做匀加速直线运动， 0t2时间内， 运动员一直在空中具时间内， 运动员一直在空中具 有向下的加速度，处于失重状态，故有向下的加速度，处于失重状态，故 C 正确；由题图可知，正确；由题图可知，t2t3时时 间内， 运动员向下做减速运动， 则加速度的方向向上， 处于超重状态，间内， 运动员向下做减速运动， 则加速度的方向向上， 处于超重状态， 故故 D 正确正确 答案答案 A 2(多选多选)飞船绕地球做匀速圆周运动，宇航员处于完全失重状飞船绕地球做匀速圆周运动，宇航员处于完全失重状 态

7、时，下列说法正确的是态时，下列说法正确的是( ) A宇航员不受任何力作用宇航员不受任何力作用 B宇航员处于平衡状态宇航员处于平衡状态 C地球对宇航员的引力全部用来提供向心力地球对宇航员的引力全部用来提供向心力 D正立和倒立时宇航员一样舒服正立和倒立时宇航员一样舒服 解析解析 飞船绕地球做匀速圆周运动时，飞船以及里面的宇航员飞船绕地球做匀速圆周运动时，飞船以及里面的宇航员 都受到地球的万有引力，选项都受到地球的万有引力，选项 A 错误；宇航员随飞船绕地球做匀速错误；宇航员随飞船绕地球做匀速 圆周运动，宇航员受到地球的万有引力提供其做圆周运动的向心力，圆周运动，宇航员受到地球的万有引力提供其做圆周

8、运动的向心力， 不是处于平衡状态，选项不是处于平衡状态，选项 B 错误，选项错误，选项 C 正确；完全失重状态下，正确；完全失重状态下， 重力的作用效果完全消失， 正立和倒立情况下， 身体中的器官都是处重力的作用效果完全消失， 正立和倒立情况下， 身体中的器官都是处 于悬浮状态，没有差别，所以一样舒服，选项于悬浮状态，没有差别，所以一样舒服，选项 D 正确正确 答案答案 CD 热点四热点四 动力学中的临界和极值问题的分析方法动力学中的临界和极值问题的分析方法(微专题微专题) 1临界或极值条件的标志临界或极值条件的标志 (1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程 存在着

9、临界点 (2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述 的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就对应临界状态 (3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过 程存在着极值，这个极值点往往是临界点 (4)若题目要求“最终加速度”“稳定速度”等，即是求收尾加速度或收尾 速度 2解临界或极值问题的基本思路解临界或极值问题的基本思路 (1)认真审题，分析问题中变化的过程(包括分析整体过程中有几个阶段) (2)寻找过程中变化的物理量 (3)探索物理量的变化规律 (4)确定临界状态，分析临界条件，找出临界关系 3.常见临界（极值）问题的条件常见临界（极值）问题

10、的条件 （1）接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是相互作用 的弹力为零，加速度相等。 （2）是否相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大值。 （3）绳子是否断裂与张弛的临界条件：绳子断与不断的临界条件是绳中张 力等于它所能承受的最大张力；绳子张弛的临界条件是 FT=0。 （4）滑块在滑板上滑下与不滑下的临界条件：滑块滑到滑板一端时，两者 速度相同。 （5）加速度的极值条件：当所受合力最大时，具有最大加速度；合力最小 时，具有最小加速度。 （6）速度最大的极值条件：应通过运动过程分析，很多情况下当加速度为 零时速度最大。 4.求解临界极值问题的思维方法求解临界极值问题的思维方法 题型

11、一题型一 “脱离脱离”临界问题临界问题 【典例 1】 (2017 海南卷)一轻弹簧的一端固定在倾角为 的固定光滑斜面 的底部，另一端和质量为 m 的小物块 a 相连，如图所示质量为3 5m 的小物块 b 紧靠 a 静止在斜面上，此时弹簧的压缩量为 x0，从 t0 时开始，对 b 施加沿斜 面向上的外力， 使 b 始终做匀加速直线运动 经过一段时间后， 物块 a、 b 分离； 再经过同样长的时间， b 距其出发点的距离恰好也为 x0.弹簧的形变始终在弹性限 度内，重力加速度大小为 g.求： (1)弹簧的劲度系数； (2)物块 b 加速度的大小； (3)在物块 a、b 分离前，外力大小随时间变化的

12、关系式 审题指导审题指导 第一步第一步 读题画图读题画图(形象过程形象过程) 过程过程 1：a、b 紧贴在一起做匀加速直线运动，紧贴在一起做匀加速直线运动，b 受外力受外力 过程过程 2：a、b 恰好分离后，恰好分离后，b 继续做匀加速直线运动继续做匀加速直线运动 第二步第二步 审题分析审题分析(找突破口找突破口) (1)初始时初始时“b 紧靠紧靠 a 静止在斜面上， 弹簧的压缩量为静止在斜面上， 弹簧的压缩量为 x0”， 可直， 可直 接求得弹簧的劲度系数接求得弹簧的劲度系数 (2)“物块物块 b 始终做匀加速直线运动始终做匀加速直线运动”；物块；物块 b 的加速度在整个的加速度在整个 过程

13、中是没有改变的过程中是没有改变的 (3)过程过程 1 和过程和过程 2 的时间是相等的的时间是相等的 解析解析 (1)物块物块 a、b 静止在斜面上，由平衡条件有静止在斜面上，由平衡条件有 m3 5m gsin kx0，解得，解得 k8mgsin 5x0 . (2)设物块设物块 b 加速度的大小为加速度的大小为 a， a、 b 分离时分离时 b 运动的位移为运动的位移为 x1， 由运动学公式有由运动学公式有 x11 2at 2 1， ，x01 2a(2t1) 2， ， 分离瞬间，对物块分离瞬间，对物块 a 进行受力分析，由牛顿第二定律有进行受力分析，由牛顿第二定律有 k(x0 x1)mgsin

14、ma， 联立以上各式解得联立以上各式解得 a1 5gsin. (3)设外力为设外力为 F，经过时间，经过时间 t 弹簧的压缩量为弹簧的压缩量为 x，在物块，在物块 a、b 分分 离前，对物块离前，对物块 a、b 整体，由牛顿第二定律有整体，由牛顿第二定律有 Fkx m3 5m gsin m3 5m a， ， 由运动学公式有由运动学公式有 x0 x1 2at 2， ， 联立以上各式解得联立以上各式解得 F4mg 2sin2 25x0 t28mgsin 25 . 答案答案 (1)8mgsin 5x0 (2)1 5gsin (3)4mg 2sin2 25x0 t28mgsin 25 动力学中极值问题

15、的处理方法动力学中极值问题的处理方法 “四种四种”典型的数学处理方法典型的数学处理方法 三角函数法；三角函数法； 根据临界条件列不等式法；根据临界条件列不等式法； 利用二次函数的判别式法；利用二次函数的判别式法； 极限法极限法 针对训练针对训练 1(2018 安徽六校二联)一弹簧一端固定在倾角为 37 的光滑斜面的底端， 另一端拴住质量 m14 kg 的物块 P，Q 为一重物，紧靠 P 放置，已知 Q 的质量 m28 kg，弹簧的质量不计，劲度系数 k600 N/m，系统处于静止状态，如图所 示 现给 Q 施加一个沿斜面向上的力 F， 使它从静止开始沿斜面向上做匀加速运 动，已知在前 0.2

16、s 时间内，F 为变力，0.2 s 以后，F 为恒力求此过程中力 F 的最大值与最小值(sin37 0.6，g10 m/s2) 解析解析 从受力角度看，两物块分离的条件是两物块间的正压力从受力角度看，两物块分离的条件是两物块间的正压力 为为 0.从运动学角度看， 一起运动的两物块恰好分离时， 两物块在沿斜从运动学角度看， 一起运动的两物块恰好分离时， 两物块在沿斜 面方向上的加速度和速度仍相等面方向上的加速度和速度仍相等 设刚开始时弹簧压缩量为设刚开始时弹簧压缩量为 x0，则，则 (m1m2)gsinkx0 因为在前因为在前 0.2 s 时间内，时间内，F 为变力，为变力，0.2 s 以后，以

17、后，F 为恒力，所以为恒力，所以 在在 0.2 s 时，时，P 对对 Q 的作用力为的作用力为 0，设此时弹簧压缩量为，设此时弹簧压缩量为 x1，由牛顿，由牛顿 第二定律知第二定律知 kx1m1gsinm1a 前前 0.2 s 时间内时间内 P、Q 向上运动的距离为向上运动的距离为 x0 x11 2at 2 联立联立式解得式解得 a3 m/s2 P、Q 刚开始运动时拉力刚开始运动时拉力 F 最小，此时有最小，此时有 Fmin(m1m2)a36 N 当当 P、Q 分离时拉力最大，此时有分离时拉力最大，此时有 Fmaxm2(agsin)72 N. 答案答案 72 N 36 N 2小车内固定一个倾角

18、为37的光滑斜面，用一根平行于斜面的细线系住一个质量为 2mkg的小球，如图所示。 （1）当小车以加速度 2 1 5/am s向右匀加速运动时，细线上的拉力为多大？ （2）当小车的加速度 2 2 15/am s向右匀加速运动时，细线上的拉力为多大？(g取 2 10 /)s s 【解答】解： （1）当支持力为零时，小球受拉力和重力两个力作用， 根据cot37mgma得， 解得 2 40 cot37/ 3 agm s ， 因为 1 aa，知小球未离开斜面，受重力、支持力和拉力作用，受力如图所示， 竖直方向上有：cos37sin37NTmg， 水平方向上有： 1 cos37sin37TNma ， 代

19、入数据解得20TN。 （2） 2 aa，可知小球离开斜面， 根据平行四边形定则知，拉力 2222 2 ()()203010 13TmgmaN。 题型二题型二 “相对滑动相对滑动”临界问题临界问题 【典例 2】(多选)(2018 河北五校联盟)如图所示，A、B 两物块的质量分别为 2m 和 m，静止叠放在水平地面上A、B 间的动摩擦因数为 ，B 与地面间的动 摩擦因数为1 2.最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为 g.现对 A 施加一水 平拉力，则( ) A当 F3mg 时，A 相对 B 滑动 D无论 F 为何值，B 的加速度不会超过1 2g 审题指导审题指导 (1)注意注意 B 与地面有摩

20、擦力与地面有摩擦力 (2)逐渐增大拉力时，逐渐增大拉力时，B 先与地面发生相对滑动，然后才是先与地面发生相对滑动，然后才是 AB 发发 生相对滑动生相对滑动 解析 A、 B 间的最大静摩擦力 fAm2mg， B 与地面间的最大静摩擦力 fBm 3 2mg.逐渐增大拉力 F，当 F 3 2mg 时，A、B 间相对静止，B 与地面开始相对 滑动，A 错误当 A、B 间相对滑动时，由牛顿第二定律，对物块 A 有 F2mg 2ma， 对物块 B 有 2mg3 2mgma， 联立两式得 F3mg， 也就是当 F3mg 时，物块 A、B 开始相对滑动，因此 F5 2mg 时，A、B 相对静止，整体应用牛

21、顿第二定律可得此时的加速度为 aA F3 2mg 3m 1 3g，B、C 正确物块 A、B 间 和物块 B 与地面间都相对滑动时， B 的加速度为 aB 2mg3 2mg m 1 2g， 此后无 论 F 为何值，只要 A、B 间相对滑动，B 的加速度就是1 2g，所以 B 的加速度不 会超过此值，D 正确 答案答案 BCD 叠加体系统临界问题的求解思路叠加体系统临界问题的求解思路 针对训练针对训练 1. (2018 河南六市一联)如图所示，光滑水平面上放置着质量分别为 m、2m 的 A、 B 两个物体， A、 B 间的最大静摩擦力为 mg， 现用水平拉力 F 拉 B， 使 A、 B 以同一加速

22、度运动，则拉力 F 的最大值为( ) Amg B2mg C3mg D4mg 解析 当 A、B 之间恰好不发生相对滑动时力 F 最大，此时 A 物体所受的 合外力为 mg，由牛顿第二定律知 aAmg m g；对于 A、B 整体，加速度 a aAg，由牛顿第二定律得 F3ma3mg.选项 C 正确 答案 C 2.如图所示，质量为 1 kg 的木块 A 与质量为 2 kg 的木块 B 叠放在水平地面 上，A、B 间的最大静摩擦力为 2 N，B 与地面间的动摩擦因数为 0.2.用水平力 F 作用于 B，则 A、B 保持相对静止的条件是(g 取 10 m/s2)( ) AF12 N BF10 N CF9

23、 N DF6 N 解析 当 A、B 间有最大静摩擦力(2 N)时，对 A 由牛顿第二定律知，加速 度为 2 m/s2，对 A、B 整体应用牛顿第二定律有：F(mAmB)g(mAmB)a， 解得 F12 N，A、B 保持相对静止的条件是 F12 N，A 正确，B、C、D 错误 答案 A 题型题型三三 极值极值问题问题 2如图所示，一质量0.4mkg的小物块，以 0 2/vm s的初速度，在与斜面成某一夹角的 拉力F作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经2ts的时间物块由A点运动到B点，A、B 之间的距离10Lm。已知斜面倾角30，物块与斜面之间的动摩擦因数 3 3 重力 加速度g取 2 10/m s

24、。 （1）求物块加速度的大小及到达B点时速度的大小。 （2）拉力F与斜面的夹角多大时，拉力F最小？拉力F的最小值是多少？ 【解答】解： （1）物体做匀加速直线运动，根据运动学公式，有： 2 0 1 2 Lv tat 0 vvat 联立解得； 2 3/am s 8/vm s （2）对物体受力分析，受重力、拉力、支持力和滑动摩擦力，如图 根据牛顿第二定律，有： 平行斜面方向：cossin30 f FmgFma 垂直斜面方向：sincos300 N FFmg 其中： fN FF 联立解得： (sin30cos30 )(sin30cos30 ) 2 cossin 3sin(60) 3 mgmamgma

25、 F 故当30时，拉力F有最小值，为 13 3 5 min FN； 3如图所示，木板与水平地面间的夹角可以随意改变，当30时，可视为质点的一小 木块恰好能沿着木板匀速下滑。 若让该小木块从木板的底端以大小恒定的初速率 0 10/vm s 的速度沿木板向上运动，随着的改变，小物块沿木板滑行的距离s将发生变化，重力加速 度 2 10/gm s。 （1）求小物块与木板间的动摩擦因数； （2）当角满足什么条件时，小物块沿木板滑行的距离最小，并求出此最小值。 【解答】解： （1）当30，对木块受力分析：sin N mgF cos0 N Fmg 则动摩擦因数： 3 tan30 3 tg （2）当变化时，木块的加速度a为： sincosmgmgma 木块位移S为： 2 0 2VaS 则 2 0 2 (sincos ) v s g 令tga，则当90a时S最小 即60 S最小值为 222 00 33 105 3 2 (sin60cos60 )44 102 min vv Sm gg