专题检测卷(五)　解析几何.doc

1、专题检测卷专题检测卷(五五) 解析几何解析几何 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1.(2020 济南质检)若双曲线 C： x2 my 21(m0)的一条渐近线的方程为 3x2y0， 则 m( ) A.4 9 B.9 4 C.2 3 D.3 2 解析 由题意知，双曲线的渐近线方程为 y 1 mx(m0).3x2y0 可化为 y3 2x，所以 1 m 3 2，解得 m 4 9.故选 A. 答案 A 2.(2020 北京西城区二模)若圆 x2y24x2ya0 与 x 轴、

2、y 轴均有公共点，则 实数 a 的取值范围是( ) A.(，1 B.(，0 C.0，) D.5，) 解析 将圆的一般方程化作标准方程为(x2)2(y1)25a，则该圆的圆心坐 标为(2， 1)， 半径 r 5a.因为该圆与 x 轴、 y 轴均有公共点， 所以 2 5a， 1 5a， 5a0， 解得 a1，则实数 a 的取值范围是(，1.故选 A. 答案 A 3.(2020 河南六市模拟)已知 P 为圆 C：(x5)2y236 上任意一点，A(5，0). 若线段 PA 的垂直平分线交直线 PC 于点 Q，则点 Q 的轨迹方程为( ) A.x 2 9 y2 161 B.x 2 9 y2 161 C

3、.x 2 9 y2 161(x0) 解析 如图，由题意知|QA|QP|，|QA|QC|QP|QC|PC|63 5.设点 Q3(x3，y3).为点 Q1 关于点 Q2的对称点，则 x311 5 .当 a11 5 时，|PQ|无 法取到最大值，当3 5a 11 5 时，|PQ|的最大值为|P1Q1|，3 5a 11 5 .故选 A. 答案 A 6.(2020 青岛检测)已知直线 yk(x1)与抛物线 C：y24x 交于 A，B 两点，直线 y2k(x2)与抛物线 D：y28x 交于 M，N 两点，设 |AB|2|MN|，则( ) A.16 B.16 C.120，b0)的一条渐近线的距离为 1，则该

4、双曲线离心率的取值范围是( ) A.( 2， 5) B. 5 3， 5 2 C. 5 4， 5 2 D.( 5， 21) 解析 双曲线x 2 a2 y2 b21 的一条渐近线方程为 bxay0，圆 C：x 2y210y16 0 的圆心坐标为(0，5)，半径为 3.因为圆 C 上有且仅有两点到直线 bxay0 的距离为 1，所以圆心(0，5)到直线 bxay0 的距离 d 的范围为 2d4，即 2 5a a2b24.又 a 2b2c2，所以 25a c 4，即5 4e0)的焦点为 F，点 P(x0， 2 3) x0p 2 是抛物线 C 上一点.以 P 为圆心的圆与线段 PF 交于点 Q，与过焦点

5、 F 且垂直于 x 轴的直线交于点 A，B，|AB|PQ|，直线 PF 与抛物线 C 的另一交点 为 M.若|PF| 3|PQ|，则|PQ| |FM|( ) A.1 B. 3 C.2 D. 5 解析 如图，连接 PA，PB.因为|AB|PQ|，所以PAB 是正三角形.又 x0p 2，所以 x0p 2 3 2 |PQ|. 又因为|PF|x0p 2 3|PQ|， 所以 x0 3p 2 .所以点 P 3p 2 ，2 3 ， 所以(2 3)22p 3p 2 . 因为 p0，所以 p2. 所以 F(1，0)，P(3，2 3)，所以|PQ| 3 3 |PF| 3 3 （2 30）2（31）2 4 3 3

6、，抛物线 C 的方程为 y24x，直线 PF 的方程为 y3(x1).由 y 3（x1）， y24x， 得 M 1 3， 2 3 3 ，所以|FM|1 31 4 3，所以 |PQ| |FM| 3.故选 B. 答案 B 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选 项中有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9.过点 P(2，2)作圆 C：(x2)2(y2)2r2(r0)的两条切线，切点分别为 A，B， 下列说法正确的是( ) A.0r0)的切线有两条，则点 P 在圆 C 外，则 r|PC|4 2，故 A 错误

7、；若PAB 为直角三角形，则四边形 PACB 为正方形，则 2r|PC|4 2，解得 r4，故 B 正确；由 PACA，PBCB，可 得点 P，A，C，B 共圆，所以PAB 的外接圆就是以 PC 为直径的圆，即 x2y2 8，故 C 错误；将(x2)2(y2)2r2与 x2y28 相减即得直线 AB 的方程， 所以直线 AB 的方程为 4x4y16r20，所以 D 正确.故选 BD. 答案 BD 10.(2020 潍坊模拟)已知双曲线x 2 4 y2 2sin 2(k，kZ)，则不因 改变而变化 的是( ) A.焦距 B.离心率 C.顶点坐标 D.渐近线方程 解析 由题意，得双曲线的标准方程为

8、 x2 4sin2 y2 2sin21，则 a2|sin |， b 2|sin |，则 ca2b2 6|sin |，则双曲线的焦距为 2c2 6|sin |，顶点 坐标为 ( 2|sin |，0)，离心率为 ec a 6 2 ，渐近线方程为 y 2 2 x.所以不因 改变而变 化的是离心率、渐近线方程.故选 BD. 答案 BD 11.设 P 是椭圆 C： x2 2y 21 上任意一点， F1， F2 是椭圆 C 的左、 右焦点， 则( ) A.|PF1|PF2|2 2 B.2|PF1|PF2|0)的焦点为 F，准线 为 l.设 l 与 x 轴的交点为 K，P 为 C 上异于 O 的任意一点，P

9、 在 l 上的射影为 E， EPF 的外角平分线交 x 轴于点 Q，过点 Q 作 QNPE 交 EP 的延长线于点 N， 作 QMPF 交线段 PF 于点 M，则( ) A.|PE|PF| B.|PF|QF| C.|PN|MF| D.|PN|KF| 解析 由抛物线的定义，得|PE|PF|，A 正确；PNQF，PQ 是FPN 的平 分线，FQPNPQFPQ，|PF|QF|，B 正确；若|PN|MF|，则由 PQ 是FPN 的平分线，QNPE，QMPF，得|QM|QN|，从而有|PM|PN|， 于是有|PM|FM|，则有|QP|QF|，PFQ 为等边三角形，FPQ60 ，也 即有FPE60 ，这只

10、是在特殊位置才有可能， 因此 C 错误；连接 EF，如图， 由选项 A、B 知|PE|QF|，又 PEQF，EPQF 是平行四边形，|EF|PQ|， EKFQNP，|KF|PN|，D 正确.故选 ABD. 答案 ABD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.(2020 武汉质检)已知以 x 2y0 为渐近线的双曲线经过点(4，1)，则该双曲线 的标准方程为_. 解析 由题知，双曲线的渐近线方程为 x 2y0，设双曲线的方程为 x24y2 (0).因为点(4， 1)在双曲线上， 所以 42412， 所以双曲线的标准方程为x 2 12 y 2 31. 答案 x2 12

11、 y2 31 14.已知点 A(5，0)，B(1，3)，若圆 x2y2r2(r0)上恰有两点 M，N，使得 MAB 和NAB 的面积均为 5，则 r 的取值范围是_. 解析 由题意可得|AB| （15）2（30）25，根据MAB 和NAB 的面积均为 5 可得 M，N 到直线 AB 的距离均为 2，由于直线 AB 的方程为 y0 30 x5 15，即 3x4y150，若圆上只有一个点到直线 AB 的距离为 2，则圆心 到直线 AB 的距离为|0015| 916 r2，解得 r1，若圆上只有 3 个点到直线 AB 的距离为 2，则圆心到直线 AB 的距离为|0015| 916 r2，解得 r5.

12、故 r 的取值 范围是(1，5). 答案 (1，5) 15.如图，点 A，B 分别是椭圆 x2 25 y2 b21(0b0)的焦点，点 A(1，p)，M 为抛物 线上任意一点，且|MA|MF|的最小值为 3，则该抛物线的方程为_.若线 段 AF 的垂直平分线交抛物线于 P， Q 两点， 则四边形 APFQ 的面积为_.(本 小题第一空 2 分，第二空 3 分) 解析 由题意，得抛物线 x22py(p0)的焦点为 F 0，p 2 ，准线的方程为 yp 2. 因为|MF|等于点 M 到准线的距离，所以当 p 1 2p时，|MA|MF|的最小值为点 A 到 准线 yp 2的距离，而|MA|MF|的最

13、小值为 3，所以 3p 2 3，解得 p2，满足 p 1 2p；当 p 1 2p时，|MA|MF|的最小值为|AF|，而|MA|MF|的最小值为 3，所 以（10）2 pp 2 2 3，解得 p4 2，不满足 p 1 2p.综上所述，p2.因此 抛物线的方程为 x24y.由 p2 得，点 A(1，2)，焦点 F(0，1)，则线段 AF 的垂直 平分线的方程为 xy20， 且|AF| （10）2（21）2 2.设线段 AF 的 垂直平分线与抛物线的交点分别为 P(x1，y1)，Q(x2，y2).由 xy20， x24y. 解得 x 122 3， y142 3 或 x 222 3， y242 3，

14、 则|PQ|（42 342 3）2（22 322 3）246.所以四边形 APFQ 的面积 S1 2|AF|PQ| 1 2 24 64 3. 答案 x24y 4 3 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 17.(本小题满分 10 分)(2020 北京适应性考试)已知椭圆 C 的短轴的两个端点分别 为 A(0，1)，B(0，1)，焦距为 2 3. (1)求椭圆 C 的方程； (2)已知直线 ym 与椭圆 C 有两个不同的交点 M，N，设 D 为直线 AN 上一点， 且直线 BD，BM 的斜率的积为1 4.证明：点 D 在 x 轴上. (1)解 由

15、题意知 c 3，b1，a2b2c24. 焦点在 x 轴上， 椭圆 C 的方程为x 2 4y 21. (2)证明 由题意可设 M(x0，m)，N(x0，m)，1mb0)的右焦点为(1， 0)，且经过点 A(0，1). (1)求椭圆 C 的方程； (2)设 O 为原点，直线 l：ykxt(t 1)与椭圆 C 交于两个不同点 P，Q，直线 AP 与 x 轴交于点 M，直线 AQ 与 x 轴交于点 N.若|OM| |ON|2，求证：直线 l 经 过定点. (1)解 由题意，得 b21，c1， 所以 a2b2c22. 所以椭圆 C 的方程为x 2 2y 21. (2)证明 设 P(x1，y1)，Q(x2

16、，y2)， 则直线 AP 的方程为 yy 11 x1 x1. 令 y0，得点 M 的横坐标 xM x1 y11. 又 y1kx1t，从而|OM|xM| x1 kx1t1 . 同理，|ON| x2 kx2t1 . 由 ykxt， x2 2y 21，得(12k 2)x24ktx2t220， 则 x1x2 4kt 12k2，x1x2 2t22 12k2. 所以|OM| |ON| x1 kx1t1 x2 kx2t1 x1x2 k2x1x2k（t1）（x1x2）（t1）2 2t22 12k2 k2 2t22 12k2k（t1） 4kt 12k2 （t1）2 2 1t 1t . 又|OM| |ON|2，所

17、以 2 1t 1t 2. 解得 t0，所以直线 l 经过定点(0，0). 20.(本小题满分 12 分)(2020 沈阳一监)已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F， 点 A(2，2)，点 B 在抛物线 C 上，且满足OF FB 2FA(O 为坐标原点). (1)求抛物线 C 的方程； (2)过焦点 F 任作两条相互垂直的直线 l 与 l，直线 l 与抛物线 C 交于 P，Q 两点， 直线 l与抛物线 C 交于 M，N 两点，OPQ 的面积记为 S1，OMN 的面积记为 S2，求证： 1 S21 1 S22为定值. (1)解 设 B(x0，y0)，F p 2，0 ， OF FB 2FA

18、 x0p 2，y0 2 2p 2，2 x0p 24，y04 p 2，0 ， x 0p 24 p 2， y040， x 04， y04. 点 B 在抛物线 C 上，422p4，p2，y24x. (2)证明 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由题意得，直线 l 的斜率存在且不为零. 设 l：xmy1，代入 y24x 得，y24my40. y1y24m，y1y24. |y1y2| （y1y2）24y1y2 16m216 4 m21. 因此 S11 2|y1y2|12 m21. 同理可得，S22 1 m21. 1 S21 1 S22 1 4（m21） 1 4 1 m21 1 4（m21） m2

19、 4（m21） 1 4. 1 S21 1 S22为定值，定值为 1 4. 21.(本小题满分 12 分)设圆 x2y22x150 的圆心为 A，直线 l 过点 B(1，0)且 与 x 轴不重合，l 交圆 A 于 C，D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E. (1)证明|EA|EB|为定值，并写出点 E 的轨迹方程； (2)设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1于 M，N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线 与圆 A 交于 P，Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围. (1)证明 因为|AD|AC|，EBAC， 故EBDACDADC，所以|EB|ED|， 故|EA

20、|EB|EA|ED|AD|. 由题设得 A(1，0)，B(1，0)，|AB|2， 又圆 A 的标准方程为(x1)2y216，从而|AD|4， 所以|EA|EB|4|AB|. 由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为：x 2 4 y2 31(y0). (2)解 当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2， y2). 由 yk（x1）， x2 4 y2 31 得(4k23)x28k2x4k2120. 则 x1x2 8k2 4k23，x1x2 4k212 4k23 ， 所以|MN| 1k2|x1x2|12（k 21） 4k23 . 过点 B(1，0)且与

21、 l 垂直的直线 m：y1 k(x1)，A 到 m 的距离为 2 k21， 所以|PQ|242 2 k21 2 4 4k23 k21 . 故四边形 MPNQ 的面积 S1 2|MN|PQ|12 1 1 4k23. 可得当 l 与 x 轴不垂直时，四边形 MPNQ 面积的取值范围为(12，8 3). 当 l 与 x 轴垂直时，其方程为 x1，|MN|3，|PQ|8，故四边形 MPNQ 的面积 为 12. 综上，四边形 MPNQ 面积的取值范围为12，8 3). 22.(本小题满分 12 分)(2020 东北三校一联)已知以动点 P 为圆心的P 与直线 l： x 1 2相切，与定圆 F：(x1)

22、2y21 4外切. (1)求动圆圆心 P 的轨迹 C 的方程； (2)过曲线 C 上位于 x 轴两侧的点 M，N(MN 不与 x 轴垂直)分别作直线 l 的垂线， 垂足分别为 M1，N1，直线 l 交 x 轴于点 A，记AMM1，AMN，ANN1的面积 分别为 S1，S2，S3，且 S224S1S3，求证：直线 MN 过定点. (1)解 设 P(x，y)，P 的半径为 R，则 Rx1 2，|PF|R 1 2， 点 P 到直线 x1 的距离与到定点 F(1，0)的距离相等， 故点 P 的轨迹 C 的方程为 y24x. (2)证明 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则 M1 1 2，y1

23、，N 1 2，y2 ， 设直线 MN：xtyn(t0，n0).将直线 MN 的方程代入 y24x 消去 x 并整理， 得 y24ty4n0，则 y1y24t，y1y24n0. S11 2 x11 2 |y1|，S31 2 x21 2 |y2|， 4S1S3 x11 2 x21 2 |y1y2| ty1n1 2 ty2n1 2 |y1y2| t2y1y2 n1 2 t（y1y2） n1 2 2 |4n| 4nt24t2 n1 2 n1 2 2 4n 2t2 n1 2 2 4n. S21 2 n1 2 |y1y2| 1 2 n1 2 （y1y2）24y1y2， S221 4 n1 2 2 (16t216n)4 n1 2 2 (t2n). S224S1S3，n 2t2 n1 2 2 n1 2 2 (t2n)， 即 2n n1 2 2 ，解得 n1 2. 直线 MN 恒过定点 1 2，0 .