专练　平面向量.doc

1、专练专练 平面向量平面向量 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1.(2020 泰安检测)已知向量OA (3，4)，OB (6，3)，OC (2m，m1).若 AB OC ，则实数 m 的值为( ) A.1 5 B.3 5 C.3 D.1 7 解析 易知AB (3，1)，且OC (2m，m1)，由AB OC ，得 2m3(m1)， m3. 答案 C 2.(2020 全国卷)已知向量 a，b 满足|a|5，|b|6，a b6，则 cos a，a b( ) A.31 35 B.19 35 C.17 35 D.19

2、35 解析 |ab|2(ab)2a22a bb225123649，|ab|7， cosa，aba （ab） |a|ab| a 2a b |a|ab| 256 57 19 35.故选 D. 答案 D 3.(2020 全国卷)已知单位向量 a，b 的夹角为 60 ，则在下列向量中，与 b 垂直 的是( ) A.a2b B.2ab C.a2b D.2ab 解析 由题意得|a|b|1，a，b 的夹角 60 ，故 a b|a|b|cos 1 2. 对于 A，(a2b) ba b2b21 22 5 20； 对于 B，(2ab) b2a bb221 2120； 对于 C，(a2b)ba b2b21 22 3

3、 20； 对于 D，(2ab) b2a bb221 210.故选 D. 答案 D 4.(2020 石家庄调研)已知向量 a 与 b 的夹角为 60 ，|a|2，|b|5，则 2ab 在 a 方向上的投影为( ) A. 3 2 B.3 2 C.2 D.5 2 解析 因为(2ab) a2a2a b2|a|2|a| |b|cos 60 3，所以 2ab 在 a 方向上 的投影为（2ab） a |a| 3 2. 答案 B 5.(2020 海南新高考诊断)在ABC 中，AB3，AC2，BAC120 ，点 D 为 BC 边上一点，且BD 2DC ，则AB AD ( ) A.1 3 B.2 3 C.1 D.

4、2 解析 法一 BD 2DC ，AD AB 2(ACAD )， AD 2 3AC 1 3AB ， 则AB AD AB 2 3AC 1 3AB 2 3AB AC1 3AB 22 332 1 2 1 33 2 1， 故选 C. 法二 以 A 为坐标原点，AB 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，如图所示. 则 A(0，0)，B(3，0)，C(1， 3)， BD 2DC ， BD 2 3BC 2 3(4， 3) 8 3， 2 3 3 ， 则 D 1 3， 2 3 3 ， AB (3，0)，AD 1 3， 2 3 3 ，则AB AD 31 301，故选 C. 答案 C 6.(2020 济南检测)已

5、知ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D，E 分别是边 AB， BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F，使得 DE2EF，则AF BC的值为( ) A.5 8 B.11 8 C.1 4 D.1 8 解析 因为点 D，E 分别是边 AB，BC 的中点，且 DE2EF，所以 AD1 2，DF 3 4，所以AF BC(AD DF ) BC AD BC DF BC |AD | |BC |cos 120 |DF | |BC |cos 60 1 8. 答案 D 7.已知ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则PA (PBPC) 的最小值是( ) A.2 B.3 2 C. 4

6、 3 D.1 解析 如图，以等边三角形 ABC 的底边 BC 所在直线为 x 轴，以 BC 的垂直平分 线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0， 3)，B(1，0)，C(1，0).设P(x，y)，则 PA (x， 3y)，PB(1x，y)，PC(1x，y). 所以PA (PBPC)(x， 3y) (2x，2y)2x22 y 3 2 2 3 2. 当 x0，y 3 2 时，PA (PBPC)取得最小值3 2. 答案 B 8.(2020 青岛调研)已知 a，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c 满足(a c) (bc)0，则|c|的最大值是( ) A.1 B.2 C. 2 D. 2 2 解

7、析 因为(ac) (bc)0，所以(ac)(bc).如图所示， 设OC c，OA a，OB b， 则CA ac，CBbc， 所以AC BC. 又因为OA OB ，所以 O，A，C，B 四点共圆， 当且仅当 OC 为圆的直径时，|c|最大，且最大值为 2. 答案 C 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选 项中有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9.(2020 青岛质检)已知向量 ab(1，1)，ab(3，1)，c(1，1)，设 a，b 的夹角为 ，则( ) A.|a|b| B.ac C.bc D.1

8、35 解析 根据题意，得ab(1，1)，ab(3，1)，则a(1，1)，b(2，0). 对于 A，|a| 2，|b|2，则|a|b|，错误；对于 B，a(1，1)，c(1，1)， 则 a c0，即 ac，正确；对于 C，b(2，0)，c(1，1)，bc 不成立，错 误；对于D，a(1，1)，b(2，0)，则a b2，|a| 2，|b|2，则cos 2 2 2 2 2 ，则 135 ，正确.故选 BD. 答案 BD 10.(2020 沈阳一监)已知向量OA (1，3)，OB (2，1)，OC (t3，t8). 若点 A，B，C 是一个三角形的顶点，则实数 t 可以为( ) A.2 B.1 2 C

9、.1 D.1 解析 若点 A，B，C 是一个三角形的顶点，则 A，B，C 三点不共线，则向量 AB ，BC 不共线.由于向量OA (1，3)，OB (2，1)，OC (t3，t8)，因 此AB OB OA (3，4)，BC OC OB (t5，t9).若 A，B，C 三点不共 线， 则3(t9)4(t5)0，t1，故选 ABD. 答案 ABD 11.(2020 深圳统测)点 P 是ABC 所在平面内一点，满足|PB PC |PB PC 2PA |0，则ABC 不可能是( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 解析 因为点P是ABC所在平面内一点，且|PB PC|P

10、BPC2PA|0，所 以|CB |(PB PA)(PC PA )|0，即|CB |AB AC |，所以|AB AC |AC AB |，等式两边平方并化简得AC AB 0，所以AC AB ，BAC90 ，则ABC 一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，不可能是钝角三角形和等边三 角形式.故选 AD. 答案 AD 12.(2020 聊城质检)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A(1，0)，B(0， 3)，C(3，0)，动点 D 满足|CD |1，则|OA OB OD |的取值可能是( ) A. 72 B. 71 C. 71 D. 72 解析 设 D(x，y)，由|CD |1，得(x3)2y

11、21，向量OA OB OD (x1，y 3)，故|OA OB OD |（x1）2（y 3）2的最大值为圆(x3)2y2 1 上的动点到点(1， 3)距离的最大值，其最大值为圆(x3)2y21 的圆心 (3，0)到点(1， 3)的距离加上圆的半径，即（31）2（0 3）211 7.最小值为（31）2（0 3）21 71，故取值范围为 71， 71.故选 BC. 答案 BC 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.(2020 全国卷)设 a，b 为单位向量，且|ab|1，则|ab|_. 解析 将|ab|1 两边平方得 a22a bb21. a2b21，12a b11，即

12、 2a b1. |ab| （ab）2 a22a bb2 1（1）1 3. 答案 3 14.给定两个长度为 1 的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为 90 ，如图所示，点 C 在以 O 为圆心的圆弧AB 上运动，若OC xOA yOB ，其中 x，yR，则 xy 的 最大值是_. 解析 因为点 C 在以 O 为圆心的圆弧AB 上，所以|OC |2|xOA yOB |2x2y2 2xyOA OB x2y2， x2y21，则 2xyx2y21. 又(xy)2x2y22xy2， 故 xy 的最大值为 2. 答案 2 15.(2020 天津适应性测试)如图，在ABC 中，AB3，AC2，BAC60 ，

13、 D，E 分别是边 AB，AC 上的点，AE1，且AD AE 1 2，则|AD |_.若 P 是线段DE上的一个动点，则BP CP的最小值为_.(本小题第一空2分，第 二空 3 分) 解析 AE1，BAC60 ， AD AE |AD |1cos 60 1 2，解得|AD |1. 设DP DE (01)，则EP (1)ED . BP BD DP 2AD (AE AD ) (2)AD AE， CP CEEPAE(1)(AD AE ) (2)AE (1)AD . BP CP(2)(1)AD2(2)AE2(1)(24)AD AE 21 2. 当 1 4时，BP CP有最小值，为1 16. 答案 1 1

14、 16 16.(2020 浙江卷)已知平面单位向量e1，e2满足|2e1e2| 2.设ae1e2，b3e1 e2，向量 a，b 的夹角为 ，则 cos2 的最小值是_. 解析 设 e1(1，0)，e2(x，y)， 则 a(x1，y)，b(x3，y). 由 2e1e2(2x，y)， 故|2e1e2| （2x）2y2 2，得(x2)2y22. 又有 x2y21，得(x2)21x22， 化简，得 4x3，即 x3 4，因此 3 4x1. cos2 a b |a| |b| 2 （x1）（x3）y2 （x1）2y2（x3）2y2 2 4x4 2x26x10 2 4（x1）2 （x1）（3x5） 4（x1） 3x5 4 3（3x5） 8 3 3x5 4 3 8 3 3x5， 当 x3 4时，cos 2 有最小值，为 4 3 41 33 45 28 29. 答案 28 29