类型二　用数学的思维分析世界-逻辑推理、数学运算.doc

1、类型二类型二 用数学的思维分析世界用数学的思维分析世界逻辑推理、数学运算逻辑推理、数学运算 素养 3 逻辑推理 逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程. 具体表现：(1)发现和提出命题；(2)掌握推理的基本形式和规则；(3)探索和表述论 证的过程；(4)构建命题体系；(5)表达与交流. 【例 3】 (多选题)(2020 新高考山东、 海南卷)已知 a0， b0， 且 ab1， 则( ) A.a2b21 2 B.2a b1 2 C.log2alog2b2 D. a b 2 解析 因为 a0，b0，ab1，所以 ab2 ab，当且仅当 ab1 2时，等号 成立，即有

2、ab1 4. 对于 A，a2b2(ab)22ab12ab121 4 1 2，故 A 正确； 对于 B，2a b22a11 22 2a， 因为 a0，所以 22a1，即 2a b1 2，故 B 正确； 对于 C，log2alog2blog2ablog21 42，故 C 错误； 对于 D，由( a b)2ab2 ab12 ab2，得 a b 2，故 D 正确. 综上可知，正确的选项为 ABD. 答案 ABD 【训练 3】 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说： 你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成 绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：

3、我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则 ( ) A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩 解析 由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“一人 优秀， 一人良好”.乙看丙的成绩， 结合甲的说法， 丙为“优秀”时， 乙为“良好” ； 丙为“良好”时，乙为“优秀” ，可得乙可以知道自己的成绩；丁看甲的成绩，由 于乙与丙一人优秀，一人良好，则甲与丁也是一人优秀，一人良好，丁由甲的成 绩可判断自身成绩. 答案 D 素养 4 数学运算 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题.具体表现： (1)理

4、解运算对象；(2)掌握运算法则；(3)探究运算思想；(4)设计运算程序. 【例 4】 (2020 浙江卷)已知 tan 2，则 cos 2_，tan 4 _. 解析 由题意，cos 2cos2sin2 cos 2sin2 cos2sin2 1tan2 1tan2 14 14 3 5. tan 4 tan tan 4 1tan tan 4 tan 1 1tan 21 12 1 3. 答案 3 5 1 3 【训练 4】 (2020 武汉模拟)如图，已知抛物线 C：x24y，过点 M(0，2)任作一 直线与 C 相交于 A，B 两点，过点 B 作 y 轴的平行线与直线 AO 相交于点 D(O 为 坐

5、标原点). (1)证明：动点 D 在定直线上； (2)作 C 的任意一条切线 l(不含 x 轴)，与直线 y2 相交于点 N1，与(1)中的定直线 相交于点 N2，证明：|MN2|2|MN1|2为定值，并求此定值. 证明 (1)依题意可设 AB 方程为 ykx2，代入 x24y，得 x24(kx2)，即 x2 4kx80. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 x1x28， 直线 AO 的方程为 yy1 x1x；BD 的方程为 xx2. 解得交点 D 的坐标为 x2，y1x2 x1 注意到 x1x28 及 x214y1， 则有 yy1x1x2 x21 8y 1 4y1 2， 因此 D 点在定直线 y2(x0)上. (2)依题设，切线 l 的斜率存在且不等于 0，设切线 l 的方程为 yaxb(a0)，代 入 x24y 得 x24(axb)， 即 x24ax4b0， 由 0 得(4a)216b0， 化简整理得 ba2. 故切线 l 的方程可写为 yaxa2. 分别令 y2、y2 得 N1、N2的坐标为 N1(2 aa，2)，N2( 2 aa，2)， 则|MN2|2|MN1|2(2 aa) 242(2 aa) 28， 即|MN2|2|MN1|2为定值 8.