规范答题示范课-概率与统计解答题.doc

1、规范答题示范课规范答题示范课概率与统计解答题概率与统计解答题 破题之道 概率与统计问题需要从数据中获取有用的信息，通过数据的筛选、 分析构建相关模型特别是从图表、直方图、茎叶图中获取信息，利用图表信息进 行数据分析. 解题的关键是“辨”辨析、辨型，求解要抓住几点： (1)准确弄清问题所涉及的事件有什么特点， 事件之间有什么关系， 如互斥、 对立、 独立等； (2)理清事件以什么形式发生，如同时发生、至少有几个发生、至多有几个发生、 恰有几个发生等； (3)明确抽取方式，是放回还是不放回、抽取有无顺序等； (4)准确选择排列组合的方法来计算基本事件发生数和事件总数，或根据概率计算 公式和性质来计

2、算事件的概率； (5)确定随机变量取值并求其对应的概率，写出分布列后再求均值、方差； (6)会套用求b ，K2的公式，再作进一步求值与分析. 【典例示范】 (12 分)(2019 全国卷)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药， 希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白 鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药. 一轮的治疗结果得出后， 再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药 治愈的白鼠多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述 问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则

3、 甲药得 1 分，乙药得1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则 乙药得 1 分，甲药得1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分.甲、乙两种 药的治愈率分别记为 和 ，一轮试验中甲药的得分记为 X. (1)求 X 的分布列. (2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分，pi(i0，1，8)表示“甲药的累计 得分为 i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 p00，p81，piapi1 bpicpi1(i1，2，7)，其中 aP(X1)，bP(X0)，cP(X1).假 设 0.5，0.8. 证明：pi1pi(i0，1，2，7)为等比数列； 求 p4，并根据 p4的值解释这

4、种试验方案的合理性. 规范解答 (1)X 的所有可能取值为1，0，1.1 分 P(X1)(1)， P(X0)(1)(1)， P(X1)(1)，3 分 所以 X 的分布列为 X 1 0 1 P (1) (1)(1) (1) 4 分 (2)证明 由(1)得 a0.4，b0.5，c0.1， 因此 pi0.4pi10.5pi0.1pi1， 故 0.1(pi1pi)0.4(pipi1)， 则 pi1pi4(pipi1).6 分 又因为 p1p0p10， 所以pi1pi(i0，1，2，7)是公比为 4，首项为 p1的等比数列.8 分 由得 p8p8p7p7p6p1p0p0 (p8p7)(p7p6)(p1p

5、0)p04 81 3 p1.9 分 由于 p81，故 p1 3 481，10 分 所以 p4(p4p3)(p3p2)(p2p1)(p1p0)p0 4 41 3 p1 1 257.11 分 p4表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为 0.5， 乙药治愈率为 0.8 时，认为甲药更有效的概率为 p4 1 2570.003 9，此时得出错误 结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.12 分 高考状元满分心得 写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以 对于得分点步骤一定要写全.如第(1)问中，写出随机变量 X 的可能取值，第(2)问 中说明pi1p

6、i的公比，首项，利用 p4的值说明最后的结论合理性等. 写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题 时一定要写清得分关键点，如第(1)问分布列必须用表格表示，第(2)问中 pi1pi 4(pipi1)的关系式及条件 p1p0p10，否则都会导致扣分. 正确计算是得满分的关键：如第(2)问中累加求 p8与 p1的关系，由 p8求 p1，p4 的值，若出错，会每次扣去 1 分. 满分体验 1.(2020 西安模拟)某生物研究小组准备探究某地区蜻蜓的翼长分布规律，据统计 该地区蜻蜓有 A，B 两种，且这两种的个体数量大致相等.记 A 种蜻蜓和 B 种蜻蜓 的翼长(单位：mm

7、)分别为随机变量 X，Y，其中 X 服从正态分布 N(45，25)，Y 服 从正态分布 N(55，25). (1)从该地区的蜻蜓中随机捕捉一只，求这只蜻蜓的翼长在区间45，55的概率； (2)记该地区蜻蜓的翼长为随机变量 Z，若用正态分布 N(0，20)来近似描述 Z 的分 布，请你根据(1)中的结果，求参数 0和 0的值(精确到 0.1)； (3)在(2)的条件下， 从该地区的蜻蜓中随机捕捉 3 只， 记这 3 只中翼长在区间42.2， 57.8的个数为 W，求 W 的分布列及数学期望(分布列写出计算表达式即可). 注：若 XN(，2)，则 P(0.64X0.64)0.477 3，P(X )

8、0.682 7，P(2X2)0.954 6. 解 (1)记这只蜻蜓的翼长为 t. 因为 A 种蜻蜓和 B 种蜻蜓的个体数量大致相等， 所以这只蜻蜓是 A 种还是 B 种的 可能性是相等的. 所以 P(45t55)1 2P(45X55) 1 2P(45Y55) 1 2P(45X4525) 1 2P(5525Y55) 1 2 0.954 6 2 1 2 0.954 6 2 0.477 3. (2)由于两种蜻蜓的个体数量相等，X，Y 的方差也相等， 根据正态曲线的对称性，可知 04555 2 50.0. 由(1)可知 4500.640，5500.640，得 0 5 0.647.8. (3)设蜻蜓的翼

9、长为 T，则 P(42.2T57.8)P(T)0.682 7. 由题有 WB(3，0.682 7)，所以 P(Wk)Ck30.682 7k0.317 33 k. 因此 W 的分布列为 W 0 1 2 3 P C030.317 33 C130.682 71 0.317 32 C230.682 72 0.317 31 C330.682 73 E(W)30.682 72.048 1. 2.(2019 北京卷)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支 付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月 A，B 两种移动支付方式的使 用情况，从全校学生中随机抽取了 100 人，发现样本中

10、A，B 两种支付方式都不 使用的有 5 人，样本中仅使用 A 和仅使用 B 的学生的支付金额分布情况如下： 支付金额(元) 支付方式 (0，1 000 (1 000，2 000 大于 2 000 仅使用 A 18 人 9 人 3 人 仅使用 B 10 人 14 人 1 人 (1)从全校学生中随机抽取 1 人，估计该学生上个月 A，B 两种支付方式都使用的 概率； (2)从样本仅使用 A 和仅使用 B 的学生中各随机抽取 1 人，以 X 表示这 2 人中上 个月支付金额大于 1 000 元的人数，求 X 的分布列和数学期望； (3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学

11、生中， 随机抽查 3 人，发现他们本月的支付金额都大于 2 000 元.根据抽查结果，能否认 为样本仅使用 A 的学生中本月支付金额大于 2 000 元的人数有变化？说明理由. 解 (1)由题意知， 样本中仅使用 A 的学生有 189330(人)， 仅使用 B 的学生 有 1014125(人)，A，B 两种支付方式都不使用的学生有 5 人， 故样本中 A，B 两种支付方式都使用的学生有 1003025540(人). 所以从全校学生中随机抽取 1 人，该学生上个月 A，B 两种支付方式都使用的概 率估计为 40 1000.4. (2)X 的所有可能值为 0，1，2. 记事件 C 为“从样本仅使用

12、 A 的学生中随机抽取 1 人， 该学生上个月的支付金额 大于 1 000 元”，事件 D 为“从样本仅使用 B 的学生中随机抽取 1 人，该学生上 个月的支付金额大于 1 000 元”. 由题设知，事件 C，D 相互独立，且 P(C)93 30 0.4，P(D)141 25 0.6， 所以 P(X2)P(CD)P(C)P(D)0.24， P(X1)P(CD C D)P(C)P(D )P(C )P(D) 0.4(10.6)(10.4)0.60.52， P(X0)P(C D )P(C )P(D )0.24. 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 P 0.24 0.52 0.24 故 X 的数学期

13、望 E(X)00.2410.5220.241. (3)记事件 E 为“从样本仅使用 A 的学生中随机抽查 3 人， 他们本月的支付金额都 大于 2 000 元”. 假设样本仅使用 A 的学生中，本月支付金额大于 2 000 元的人数没有变化. 则由上个月的样本数据得 P(E) 1 C330 1 4 060. 答案示例 1：可以认为有变化.理由如下： P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生，就有理由认为本月的 支付金额大于 2 000 元的人数发生了变化，所以可以认为有变化. 答案示例 2：无法确定有没有变化.理由如下： 事件 E 是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以 无法确定有没有变化.