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1、概率、随机变量及其分布列概率、随机变量及其分布列 1.(2020 全国卷)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点， 则取到的 3 点共线的概率为( ) A.1 5 B.2 5 C.1 2 D.4 5 解析 从 O，A，B，C，D 这 5 个点中任取 3 点，取法有O，A，B，O，A， C，O，A，D，O，B，C，O，B，D，O，C，D，A，B，C，A， B，D，A，C，D，B，C，D，共 10 种，其中取到的 3 点共线的只有O， A，C，O，B，D这 2 种取法，所以所求概率为 2 10 1 5或 2 C35 1 5.故选 A. 答案 A 2.(多选题)(2020 新高考

2、山东卷)信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量 X 所有可能的取值为 1，2，n，且 P(Xi)pi0(i1，2，n)， n i1pi1， 定义 X 的信息熵 H(X) n i1pilog2pi.( ) A.若 n1，则 H(X)0 B.若 n2，则 H(X)随着 p1的增大而增大 C.若 pi1 n(i1，2，n)，则 H(X)随着 n 的增大而增大 D.若 n2m，随机变量 Y 所有可能的取值为 1，2，m，且 P( Yj)pj p2m1j(j1，2，m)，则 H(X)H(Y) 解析 对于 A，当 n1 时，p11，H(X)1log210，故 A 正确；对于 B， 当n2 时，有 p1

3、p21，此时，若p11 4或 3 4都有H(X) 1 4log2 1 4 3 4log2 3 4 ，故 B 错误；对于 C，当 pi1 n(i1，2，n)时，H(X) n i1 1 nlog2 1 nn 1 nlog2 1 n log2n，显然H(X)随n的增大而增大，故C正确；对于D，法一 当n2m时， H(X)(p1log2p1p2log2p2p2m1log2p2m1p2mlog2p2m) （p1log2p1p2mlog2p2m）（p2log2p2 p2m1log2p2m1）（pmlog2pmpm1log2pm1 ） ， H(Y)（p1p2m）log2（p1p2m）（p2p2m1）log2

4、（p2p2m1 ） （pmpm1）log2（pmpm1 ） ， 由于 p1log2p1p2mlog2p2mlog2(pp1 1 pp2m2m)log2 （p1p2m）p1 （p1p2m）p2m log2(p1p2m)p1 p2m(p 1p2m)log2(p1p2m)，同理可证 p2log2p2p2m1log2p2m1 (p2p2m1)log2(p2p2m1)，pmlog2pmpm1log2pm1(pmpm1)log2(pmpm 1)，所以 H(X)H(Y)，故 D 错误. 法二(特值法) 令 m1，则 n2，p11 4，p2 3 4. P(Y1)1，H(Y)log210， H(X) 1 4lo

5、g2 1 4 3 4log2 3 4 0， H(X)H(Y)，故 D 错误. 答案 AC 3.(2020 浙江卷)一个盒子里有 1 个红 1 个绿 2 个黄四个相同的球，每次拿一个， 不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为 ，则 P(0)_；E() _. 解析 0 表示停止取球时没有取到黄球， 所以 P(0)1 4 1 4 1 3 1 3. 随机变量 的所有可能取值为 0，1，2， 则 P(1)2 4 1 3 2 4 1 3 1 2 1 4 2 3 1 2 1 3， P(2)2 4 1 3 1 2 1 4 2 3 1 2 2 4 1 3 1 2 2 4 1 3 1 2 1 3， 所以 E()

6、01 31 1 32 1 31. 答案 1 3 1 4.(2020 全国卷)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下： 累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛 的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人 被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛 结束. 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为1 2. (1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率. 解 (1)甲连胜四场的概率为 1 16. (2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要

7、进行五场比赛. 比赛四场结束，共有三种情况： 甲连胜四场的概率为 1 16；乙连胜四场的概率为 1 16； 丙上场后连胜三场的概率为1 8. 所以需要进行第五场比赛的概率为 1 1 16 1 16 1 8 3 4. (3)丙最终获胜，有两种情况： 比赛四场结束且丙最终获胜的概率为1 8； 比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空 结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为 1 16， 1 8， 1 8. 因此丙最终获胜的概率为1 8 1 16 1 8 1 8 7 16. 考 点 整 合 1.概率模型公式及相关结论 (1)古典概型的概率公式. P(A)

8、m n 事件A中所含的基本事件数 试验的基本事件总数 . (2)条件概率. 在 A 发生的条件下 B 发生的概率：P(B|A)P（AB） P（A） n（AB） n（A） . (3)相互独立事件同时发生的概率：若 A，B 相互独立，则 P(AB)P(A) P(B). (4)若事件 A，B 互斥，则 P(AB)P(A)P(B)， P(A )1P(A). 2.独立重复试验与二项分布 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，那么它在 n 次独立重复试验中恰好发 生 k 次的概率为 Pn(k)Cknpk(1p)n k，k0，1，2，n.用 X 表示事件 A 在 n 次独立重复试验中发生的次数，则 X

9、 服从二项分布，即 XB(n，p)且 P(Xk) Cknpk(1p)n k(k0，1，2，n). 3.超几何分布 在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则 P(Xk) CkMCn k NM CnN ，k0，1，2，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M， NN*，此时称随机变量 X 服从超几何分布.超几何分布的模型是不放回抽样，超 几何分布中的参数是 M，N，n. 4.离散型随机变量的均值、方差 (1)离散型随机变量 的分布列为 x1 x2 x3 xi xn P p1 p2 p3 pi pn 离散型随机变量 的分布列具有两个性质：pi0； p1p2pip

10、n1(i1，2，3，n). (2)E()x1p1x2p2xipixnpn为随机变量 的数学期望或均值. D()(x1E()2 p1(x2E()2 p2(xiE()2 pi(xnE()2 pn叫做 随机变量的方差. (3)数学期望、方差的性质. E(ab)aE()b，D(ab)a2D(). XB(n，p)，则 E(X)np，D(X)np(1p). X 服从两点分布，则 E(X)p，D(X)p(1p). 热点一 古典概型 【例 1】 (1)(2019 全国卷)我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化.每 一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“ ”，如图就是一重卦.在所有重卦

11、中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概 率是( ) A. 5 16 B.11 32 C.21 32 D.11 16 (2)(2020 湖北四地七校联考)根据党中央关于“精准脱贫”的要求，某农业经济 部门派 4 位专家各自在周一、周二两天中任选一天对某县进行调研活动，则周 一、周二都有专家参加调研活动的概率为_. 解析 (1)在所有重卦中随机取一重卦，其基本事件总数 n2664，恰有 3 个阳 爻的基本事件数为 C3620. 故在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有 3 个阳爻的概率 p20 64 5 16. (2)4 位专家各自在周一、周二两天中任选一天对某县进行调研活动，共有 2416 种情

12、况.只有周一或周二有专家参加调研活动的情况有2种，所以周一、周二都有 专家参加调研活动的情况有 16214 种，所以周一、周二都有专家参加调研活 动的概率 p14 16 7 8. 答案 (1)A (2)7 8 探究提高 求古典概型的概率，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的 基本事件总数.常常用到排列、组合的有关知识，计数时要正确分类，做到不重 不漏. 【训练 1】 (1)(2020 重庆质检)2020 年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人 的心，八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北共抗新型冠状病毒 肺炎，重庆某医院派出 3 名医生，2 名护士支援湖北，现从这 5 人中任选

13、 2 人定 点支援湖北某医院，则恰有 1 名医生和 1 名护士被选中的概率为( ) A.0.7 B.0.4 C.0.6 D.0.3 (2)(2020 济南一模)洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，被世界公认为组合 数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟大贡献之一.在古代传说中有神龟出于洛 水，其甲壳上有图(1)：“以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数”，这 就是最早的三阶幻方.按照上述说法，将1到9这九个数字，填在如图(2)的九宫格 里，九宫格的中间填 5，四个角填偶数，其余位置填奇数.则每一横行、每一竖列 以及两条对角线上三个数字的和都等于 15 的概率是( ) A.1 3 B.1 6 C.

14、 1 72 D. 1 144 解析 (1)从 5 人中任选 2 人定点支援湖北某医院的基本事件总数 nC2510，恰 有 1 名医生和 1 名护士被选中包含的基本事件个数 mC13 C126，则恰有 1 名医 生和 1 名护士被选中的概率为 Pm n 6 100.6. (2)记“将 1 到 9 这九个数字，填在题图(2)的九宫格里，九宫格的中间填 5，四个 角填偶数，其余位置填奇数，则每一横行、每一竖列以及两条对角线上三个数字 的和都等于 15”为事件 A，则题图(2)的九宫格里，九宫格的中间填 5，四个角填 偶数，其余位置填奇数的不同方法共有A44 A44576(种).而事件A所包含的基本事

15、 件如图，共有 8 种. 2 7 6 9 5 1 4 3 8 2 9 4 7 5 3 6 1 8 4 9 2 3 5 7 8 1 6 4 3 8 9 5 1 2 7 6 6 1 8 7 5 3 2 9 4 6 7 2 1 5 9 8 3 4 8 3 4 1 5 9 6 7 2 8 1 6 3 5 7 4 9 2 所以 P(A) 8 576 1 72. 答案 (1)C (2)C 热点二 条件概率及相互独立事件的概率 【例 2】 (1)(2020 广州调研)某大学选拔新生补充进“篮球”“电子竞技”“国 学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独 立.2019 年某新生入

16、学，假设他通过选拔进入该校的“篮球”“电子竞技”“国 学”三个社团的概率依次为 m，1 3，n.已知这三个社团他都能进入的概率为 1 24， 至少进入一个社团的概率为3 4，则 mn( ) A.1 2 B.2 3 C.3 4 D. 5 12 (2)(2020 辽宁六校协作体期中)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量 为优良的概率是3 4，连续两天为优良的概率是 1 2，已知某天的空气质量为优良，则 随后一天的空气质量为优良的概率是_. 解析 (1)设该生进入该校的“篮球”“电子竞技”“国学”社团分别为事件 A， B，C， 则 P(A)m，P(B)1 3，P(C)n. 依题意知 P(ABC

17、)P(A)P(B)P(C)m1 3n 1 24，所以 mn 1 8. 1P(A B C )1P(A )P(B )P(C )1(1m)2 3(1n) 3 4， 所以(1m)(1n)3 8. 于是(1m)(1n)1(mn)mn1(mn)1 8 3 8，所以 mn 3 4. (2)记事件A为“一天的空气质量为优良”，事件B为“随后一天的空气质量也为 优良”，则 P(AB)1 2，P(A) 3 4，根据条件概率公式可得 P(B|A) P（AB） P（A） 1 2 3 4 2 3. 答案 (1)C (2)2 3 探究提高 1.求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件是能 转化为几个彼此互斥

18、的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的 积事件，然后用概率公式求解. 2.(1)条件概率的计算，要分清是在谁的条件下的概率，古典概型的条件概率可缩 减样本空间优化计算；(2)对于独立重复试验，要牢记公式Pn(k)Cknpk(1p)n k， k0，1，2，n，并深刻理解其含义. 【训练 2】 (1)某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合 后出现红灯的概率为1 2，两次闭合后都出现红灯的概率为 1 5，则在第一次闭合后出 现红灯的条件下第二次闭合后也出现红灯的概率为( ) A. 1 10 B.1 5 C.2 5 D.1 2 (2)(2020 天津卷)已知甲、乙两球

19、落入盒子的概率分别为1 2和 1 3.假定两球是否落入 盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_；甲、乙两球至少 有一个落入盒子的概率为_. 解析 (1)设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件 A，“第二次闭合后出现红 灯”为事件B，由题意得P(A)1 2，P(AB) 1 5.由条件概率的定义可得P(B|A) 1 5 1 2 2 5.故选 C. (2)甲、乙两球都落入盒子的概率 P1 2 1 3 1 6； 事件 A：“甲、乙两球至少有一个落入盒子”的对立事件是A ：“甲、乙两球都 不落入盒子”，P(A ) 11 2 11 3 1 3，所以 P(A)1 1 3 2 3. 答案 (1)C (2

20、)1 6 2 3 热点三 随机变量的分布列、均值与方差 角度 1 超几何分布 【例 3】 4 月 23 日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教 育活动.为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、 乙、丙、丁四个小组中随机抽取 10 名学生参加问卷调查.各组人数统计如下： 小组 甲 乙 丙 丁 人数 9 12 6 3 (1)从参加问卷调查的 10 名学生中随机抽取两名，求这两名学生来自同一个小组 的概率； (2)在参加问卷调查的 10 名学生中，从来自甲、丙两个小组的学生中随机抽取两 名，用 X 表示抽得甲组学生的人数，求 X 的分布列和数学期望. 解 (1)由

21、已知得，问卷调查中，从四个小组中抽取的人数分别为 3，4，2，1， 从参加问卷调查的 10 名学生中随机抽取两名的取法共有 C21045 种， 这两名学生来自同一小组的取法共有 C23C24C2210(种)， 所以 p10 45 2 9. (2)由(1)知，在参加问卷调查的 10 名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别 为 3，2. X 的可能取值为 0，1，2. 则 P(Xk)C k 3 C2 k 2 C25 (k0，1，2). P(X0)C 2 2 C25 1 10，P(X1) C13C12 C25 3 5， P(X2)C 2 3 C25 3 10. 则随机变量 X 的分布列为 X 0

22、1 2 P 1 10 3 5 3 10 故 E(X)0 1 101 3 52 3 10 6 5. 探究提高 1.求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值 所表示的具体事件，然后综合应用各类求概率的公式，求出概率. 2.对于实际问题中的随机变量X，如果能够判定它服从超几何分布H(N，M，n)， 则其概率可直接利用公式 P(Xk)C k MCn k NM CnN (k0，1，m，其中 m minM，n，且 nN，MN，n，M，NN*). 【训练 3】 (2020 长沙调研)某市“好运来”超市为了回馈新老顾客，决定在 2021 年元旦来临之际举行“庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动

23、.为设计一套趣味 性抽奖送礼品的活动方案，该超市面向该市某高中学生征集活动方案，该中学某 班数学兴趣小组提供的方案获得了征用.方案如下：将一个444的正方体各面 均涂上红色，再把它分割成 64 个相同的小正方体.经过搅拌后，从中任取两个小 正方体，记它们的着色面数之和为 ，记抽奖一次中奖的礼品价值为 . (1)求 P(3)； (2)凡是元旦当天在该超市购买物品的顾客，均可参加抽奖.记抽取的两个小正方 体着色面数之和为6，设为一等奖，获得价值50元的礼品；记抽取的两个小正方 体着色面数之和为5，设为二等奖，获得价值30元的礼品；记抽取的两个小正方 体着色面数之和为 4，设为三等奖，获得价值 10

24、 元的礼品，其他情况不获奖.求 某顾客抽奖一次获得的礼品价值的分布列与数学期望. 解 (1)64 个小正方体中，三面着色的有 8 个，两面着色的有 24 个，一面着色的 有 24 个，另外 8 个没有着色， 所以 P(3)C 1 8 C18C124 C124 C264 640 2 016 20 63. (2) 的所有可能取值为 0，1，2，3，4，5，6； 的所有可能取值为 50，30， 10，0. P(50)P(6) C28 C264 28 2 016 1 72， P(30)P(5)C 1 8 C124 C264 192 2 016 2 21， P(10)P(4)C 2 24C18 C124

25、 C264 468 2 016 13 56， P(0)1 1 72 2 21 13 56 83 126. 所以 的分布列为 50 30 10 0 P 1 72 2 21 13 56 83 126 所以 E()50 28 2 01630 192 2 01610 468 2 0160 1 328 2 016 370 63 . 角度 2 二项分布及其均值与方差 【例 4】 (2019 天津卷)设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30 之前到校的概率 均为2 3.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独 立. (1)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变

26、量X的分 布列和数学期望； (2)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在 7：30 之前到校的天数恰好多 2”，求事件 M 发生的概率. 解 (1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校 的概率为2 3， 故 XB 3，2 3 ，从而 P(Xk)Ck3 2 3 k 1 3 3k ， k0，1，2，3. 所以，随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 27 2 9 4 9 8 27 随机变量 X 的数学期望 E(X)32 32. (2)设乙同学上学期间的三天中 7：30之前到校的天数为 Y，则YB 3，2 3 ，且M X3，

27、Y1X2，Y0. 由题意知事件X3，Y1与X2，Y0互斥，且事件X3与Y1，事 件X2与Y0均相互独立， 从而由(1)知 P(M)P(X3，Y1X2，Y0) P(X3，Y1)P(X2，Y0) P(X3)P(Y1)P(X2)P(Y0) 8 27 2 9 4 9 1 27 20 243. 探究提高 1.求随机变量的均值和方差的关键是正确求出随机变量的分布列. 2.对于实际问题中的随机变量X，如果能够断定它服从二项分布B(n，p)，则其概 率、期望与方差可直接利用公式 P(Xk)Cknpk(1p)n k(k0，1，2，n)， E(X)np，D(X)np(1p)求得. 【训练 4】 (2020 百校大

28、联考)某省新课改后，某校为预测 2020 届高三毕业班的 本科上线情况，从该校上一届高三(1)班到高三(5)班随机抽取 50 人，得到各班抽 取的人数和其中本科上线人数，并将抽取数据制成下面的条形统计图. (1)根据条形统计图，估计本届高三学生本科上线率. (2)已知该省甲市 2020 届高考考生人数为 4 万，假设以(1)中的本科上线率作为甲 市每个考生本科上线的概率. 若从甲市随机抽取 10 名高三学生，求恰有 8 名学生达到本科线的概率(结果精 确到 0.01)； 已知该省乙市2020届高考考生人数为3.6万，假设该市每个考生本科上线率均 为p(0p1)，若2020届乙市高考本科上线人数

29、的均值不低于甲市，求p的取值 范围. 可能用到的参考数据：取 0.3640.0168，0.1640.000 7. 解 (1)由条形统计图，估计本届学生本科上线率 P46785 50 60%. (2)记“恰有 8 名学生达到本科线”为事件 A，由题可知，甲市每个考生本科上 线 的 概 率 为 0.6 ， 则 P(A) C 8 100.68(1 0.6)2 C 2 100.3640.16 450.01680.160.12. 甲、乙两市 2020 届高考本科上线人数分别记为 X，Y， 依题意，可得 XB(40 000，0.6)，YB(36 000，p). 因为 2020 届乙市高考本科上线人数的均值

30、不低于甲市， 所以 E(Y)E(X)，即 36 000p40 0000.6，解得 p2 3， 又 0p1，故 p 的取值范围为 2 3，1 . 热点四 概率与统计的综合问题 【例 5】 (2020 九师联盟联考)为调研高中生的作文水平，在某市普通高中的某次 联考中，参考的文科生与理科生人数之比为 14，且成绩分布在0，60的范围 内，规定分数在 50 以上(含 50)的作文被评为“优秀作文”，按文理科用分层抽 样的方法抽取 400 人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图所示. 其中，a，b，c 构成以 2 为公比的等比数列. 文科生 理科生 合计 获奖 6 不获奖 合计 400 (1

31、)求 a，b，c 的值； (2)填写上面 22 列联表，能否在犯错误的概率不超过 0.01 的情况下认为“获得 优秀作文”与“学生的文理科”有关？ (3)将上述调查所得的频率视为概率，现从全市参考学生中，任意抽取2名学生， 记“获得优秀作文”的学生人数为 X，求 X 的分布列及数学期望. 附：K2 n（adbc）2 （ab）（cd）（ac）（bd），其中 nabcd. P(K2k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解 (1)由题意，得(abc0.0180.

32、0220.025)101， 而 a，b，c 构成以 2 为公比的等比数列， 所以(a2a4a0.0180.0220.025)101，解得 a0.005. 则 b0.010，c0.020. (2)获得“优秀作文”的人数为 4000.0051020. 因为文科生与理科生人数之比为14，所以文科生与理科生人数分别为80，320. 故完成 22 列联表如下： 文科生 理科生 合计 获奖 6 14 20 不获奖 74 306 380 合计 80 320 400 由表中数据可得 K2的观测值 k400（63061474） 2 2038080320 1.3166.635， 所以不能在犯错误的概率不超过0.0

33、1的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的 文理科”有关. (3)由表中数据可知，抽到获得“优秀作文”学生的概率为 0.005100.05， 将频率视为概率，所以 X 可取 0，1，2，且 XB(2，0.05). 则 P(Xk)Ck2 1 20 k 1 1 20 2k (k0，1，2). 故 X 的分布列为 X 0 1 2 P 361 400 38 400 1 400 故 X 的期望为 E(X)0361 4001 38 4002 1 400 1 10.(或 E(X)20.050.1). 探究提高 1.本题考查统计与概率的综合应用，意在考查考生的识图能力和数据 处理能力.此类问题多涉及相互独立事件

34、、互斥事件的概率，在求解时，要明确 基本事件的构成. 2.以统计图表为背景的随机变量分布列求解的关键： (1)根据频率(数)分布表、频率分布直方图、茎叶图等图表准确求出随机事件的频 率，并用之估计相应概率； (2)出现多个随机变量时，应注意分析随机变量之间的关系，进而由一个随机变 量的分布列推出另一个随机变量的分布列. 【训练 5】 (2020 石家庄模拟)新高考，取消文理科，实行“33”，成绩由语 文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的 3 门普通高中学业水平考试等级性考 试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查 50 人(把年龄在 15，45)称为中青年，年龄在45，75

35、)称为中老年)，并把调查结果制成下表： 年龄(岁) 15，25) 25，35) 35，45) 45，55) 55，65) 65，75) 频数 5 15 10 10 5 5 了解 4 12 6 5 2 1 (1)分别估计中青年和中老年对新高考了解的概率； (2)请根据上表完成下面 22 列联表，是否有 95%的把握判断了解新高考与年龄 (中青年、中老年)有关联？ 了解新高考 不了解新高考 总计 中青年 中老年 总计 附：K2 n（adbc）2 （ab）（cd）（ac）（bd）. P(K2k0) 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 (3)若从年龄在55，

36、65)的被调查者中随机选取 3 人进行调查，记选中的 3 人中了 解新高考的人数为 X，求 X 的分布列以及 E(X). 解 (1)由题中数据可知，中青年对新高考了解的概率 p22 30 11 15， 中老年对新高考了解的概率 p 8 20 2 5. (2)22 列联表如下所示 了解新高考 不了解新高考 总计 中青年 22 8 30 中老年 8 12 20 总计 30 20 50 则 K2的观测值 k50（221288） 2 30202030 5.5563.841， 所以有 95%的把握判断了解新高考与年龄(中青年、中老年)有关联. (3)年龄在55，65)的被调查者共 5 人，其中了解新高考

37、的有 2 人，则抽取的 3 人 中了解新高考的人数 X 可能取值为 0，1，2， 则 P(X0)C 0 2C33 C35 1 10；P(X1) C12C23 C35 6 10 3 5； P(X2)C 2 2C13 C35 3 10. 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 P 1 10 3 5 3 10 E(X)0 1 101 3 52 3 10 6 5. A 级 巩固提升 一、选择题 1.(2020 全国卷)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能 完成 1 200 份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许 多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压5

38、00份订单未配货，预计第 二天的新订单超过 1 600 份的概率为 0.05.志愿者每人每天能完成 50 份订单的配 货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.95，则至少需要 志愿者( ) A.10 名 B.18 名 C.24 名 D.32 名 解析 由题意，第二天新增订单数为 5001 6001 200900，设需要志愿者 x 名，则50 x 9000.95，x17.1，故需要志愿者 18 名. 答案 B 2.(2020 新高考山东、海南卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有 96%的学 生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜 欢足球

39、又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( ) A.62% B.56% C.46% D.42% 解析 记“该中学学生喜欢足球”为事件 A，“该中学学生喜欢游泳”为事件 B， 则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件 AB，“该中学学生既喜欢足球又喜 欢游泳”为事件 A B， 则 P(A)0.6，P(B)0.82，P(AB)0.96， 所以 P(A B)P(A)P(B)P(AB)0.60.820.960.46， 所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为 46%. 答案 C 3.(2019 浙江卷)设 0a1，随机变量 X 的分布列是 X 0 a 1 P 1 3 1 3 1 3 则

40、当 a 在(0，1)内增大时( ) A.D(X)增大 B.D(X)减小 C.D(X)先增大后减小 D.D(X)先减小后增大 解析 由题意知 E(X)01 3a 1 31 1 3 a1 3 ， 因此，D(X) 0a1 3 2 1 3 aa1 3 2 1 3 1a1 3 2 1 3 1 27(a1) 2(2a1)2(2a)21 27(6a 26a6) 2 9 a1 2 2 3 4 . 当 0a1 2时，D(X)单调递减； 当1 2a1 时，D(X)单调递增. 故当 a 在(0，1)内增大时，D(X)先减小后增大. 答案 D 4.(多选题)(2020 临沂质检)某人参加一次测试，在备选的 10 道题

41、中，他能答对其 中的 5 道.现从备选的 10 题中随机抽出 3 题进行测试，规定至少答对 2 题才算合 格，则下列选项正确的是( ) A.答对 0 题和答对 3 题的概率相同，都为1 8 B.答对 1 题的概率为3 8 C.答对 2 题的概率为 5 12 D.合格的概率为1 2 解析 答对 0 题和答对 3 题的概率都为 C35 C310 10 120 1 12，所以 A 错误；答对 1 题的 概率为C 1 5C25 C310 510 120 5 12，所以 B 错误；答对 2 题的概率为 C15C25 C310 510 120 5 12，所 以 C 正确；至少答对 2 题的概率为 5 12

42、 1 12 1 2，所以 D 正确.故选 CD. 答案 CD 5.(多选题)(2020 海南模拟)甲、乙、丙 3 人分别在政治、历史、地理、物理、化 学、生物、技术 7 门学科中任选 3 门.若甲必选物理，则下列说法正确的是( ) A.甲、乙、丙 3 人至少有 1 人选化学与全选化学是对立事件 B.甲的不同选法种数为 15 C.已知乙选了物理，则乙选技术的概率是1 6 D.乙、丙 2 人都选物理的概率是 9 49 解析 甲、乙、丙 3 人至少有 1 人选化学与全不选化学是对立事件，A 错误；由 于甲必选物理，因此甲只需从剩下的 6 门课中选 2 门即可，有 C2615 种选法，B 正确；由于乙

43、选了物理，因此乙选技术的概率是C 1 5 C26 1 3，C 错误；乙、丙 2 人各 自选物理的概率均为C 2 6 C37 3 7，所以乙、丙 2 人都选物理的概率是 3 7 3 7 9 49，D 正 确.故选 BD. 答案 BD 二、填空题 6.(2020 江苏卷)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数， 则点数和为 5 的概率是_. 解析 根据题意可得基本事件总数为 6636(个). 点数和为 5 的基本事件有(1，4)，(4，1)，(2，3)，(3，2)共 4 个.出现向上的点 数和为 5 的概率为 p 4 36 1 9. 答案 1 9 7.(2020 东北三校一联)

44、近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新能源汽车不断 涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技 术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市场上销售的 某款新能源汽车，其车载动力蓄电池充放电循环达到 2 000 次的概率为 85%，充 放电循环达到 2 500 次的概率为 35%.若某用户的该款新能源汽车已经经过了 2 000 次充电，那么他的汽车能够充电 2 500 次的概率为_. 解析 设事件 A：充放电循环达到 2 000 次，事件 B：充放电循环达到 2 500 次， 由题意可知 P(A)85%，P(AB)35%，则 P(B|A)P（AB）

45、P（A） 35% 85% 7 17. 答案 7 17 8.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获 胜，决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客 主”.设甲队主场取胜的概率为 0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相 互独立，则甲队以 41 获胜的概率是_. 解析 记事件 M 为甲队以 41 获胜， 则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场， 所以 P(M)0.6(0.620.5220.60.40.522)0.18. 答案 0.18 三、解答题 9.(2020 北京卷)某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应

46、的活动方案： 方案一、方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽 样，获得数据如下表： 男生 女生 支持 不支持 支持 不支持 方案一 200 人 400 人 300 人 100 人 方案二 350 人 250 人 150 人 250 人 假设所有学生对活动方案是否支持相互独立. (1)分别估计该校男生支持方案一的概率，该校女生支持方案一的概率； (2)从该校全体男生中随机抽取 2 人，全体女生中随机抽取 1 人，估计这 3 人中恰 有 2 人支持方案一的概率； (3)将该校学生支持方案二的概率估计值记为p0，假设该校一年级有500名男生和 300 名女生，除一年级外其他年

47、级学生支持方案二的概率估计值记为 p1，试比较 p0与 p1的大小.(结论不要求证明) 解 (1)设该校男生支持方案一为事件 A，该校女生支持方案一为事件 B， 则 P(A) 200 200400 1 3，P(B) 300 300100 3 4. (2)设这 3 人中恰有 2 人支持方案一为事件 C，则事件 C 包含 2 名男生支持方案一 和 1 名男生 1 名女生支持方案一两种情况， 所以 P(C)C22 1 3 2 13 4 C121 3 11 3 3 4 13 36. (3)p0 350150 350250150250 1 2，设该校总人数为 n，由题表知：男、女生支持 方案二的概率分别为 350 350250 7 12， 150 150250 3 8，一年级支持方案二的约为 500 7 12300 3 8404，除一年级外支持方案二的概率为 p1 p0n404 n500300 n808 2（n800） 1 2，p0p1. 10.(2020 江南十校联考)某省食品药品监管局对 16 个大学食堂的“进货渠道合格 性”和“食品安全”进行量化评估，满分为10分，大部分大学食堂的评分在7 10 分之间，以下表格记录了它们的评分情