甘肃省兰州市东方中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学理试题 Word版含答案.docx

1、 第 1 页（共 20 页） 甘肃省兰州市甘肃省兰州市 20202020- -20212021- -1 1 学期东方中学高二年级期中考试试题学期东方中学高二年级期中考试试题 数数 学学（理科）（理科） 说明：本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.满分 150 分，考试时间 120 分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡. 第卷（选择题，共 60 分） 一选择题（一选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 ） 1在ABC中，已知2ca cosB，那么ABC一定是（ ） A等腰直角三角形 B等腰三角形 C直角三角形

2、 D等边三角形 2空间两个角，的两边分别对应平行，且60，则为（ ） A60 B120 C.30 D60或120 3ABC中，60 ,64Aab, ，那么满足条件的ABC（ ） A有 一个解 B有两个解 C无解 D不能确定 4下列说法正确的是（ ） A直线l平行于平面内的无数条直线，则/ /l B若直线a在平面外，则/ /a C若直线ab，直线b，则/ /a D若直线/ /abb，那么直线a就平行于平面内的无数条直线 5ABC的三边长分别为756ABBCCA ， ，则AB BC的值为（ ） A19 B14 C18 D19 6正方体 1111 ABCD ABC D中，EF，分别是 11 DDBD

3、，中点，则直线 1 AD与EF所成角的余 第 2 页（共 20 页） 弦值是（ ） A 1 2 B 6 3 C 3 2 D 6 2 7 已知ABC的内角ABC， ，的对边分别为abc， ， 且 sin sinsin cbA caCB ， 则B（ ） A 6 B 4 C 3 D 3 4 8在四面体ABCD中，已知棱AC的长为2，其余各棱的长都为1，则二面角A CD B的 余弦值是（ ） A 1 2 B 1 3 C 3 3 D 2 3 9ABC中，角ABC， ，的对边分别为abc， ，2BA，1a， 4 3 b ，则ABC一定是 （ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不能确定 10下

4、列四个正方体图形中，AB、为正方体的两个顶点，MNP、 、分别为其所在棱的中 点，能得出/ /AB平面MNP的图形的序号是（ ） 第 3 页（共 20 页） A B C D 11已知锐角三角形的边长分别为13a， ，则a的取值范围是（ ） A810（，） B(2 210) C(2 2,10) D( 10,8) 12某班设计了一个八边形的班徽（如图） ，它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形， 及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（ ） A222sincos B33sincos C331sincos D21sincos 二填空题（共二填空题（共 5 小题）小题） 13已知某三棱锥的三视图如

5、图所示，则该三棱锥的体积为 第 4 页（共 20 页） 14ABC为钝角三角形；且C为钝角，则 22 ab与 2 c的大小关系为 15ABC三内角ABC， ，所对边的长分别为abc， ， 设向量,pac b,qba ca， 若/ /pq，则角C的大小为 16正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的体积 为 三解答题（共三解答题（共 9 小题）小题） 17据说伟大的阿基米德死了以后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑在墓碑上刻了一 个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点在 圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面试计算出图形中圆锥

6、、球、圆柱的体 积比 第 5 页（共 20 页） 18在ABC中，角ABC， ，所对的边分别为abc， ，已知 3 25. 5 accosB ， ， （1）求b的值； （2）求sinC的值 19ABC的内角.的对边分别为abcasinAcsinC asinCbsinB、 、 ， （1）求B； （2）若752Ab， ，求ac、 20如图，在三棱柱 111 ABC ABC中，EFGH， ， ，分别是 1111 ,AB AC AB AC的中点，求证： （1）BCHG， ， ，四点共面； （2）平面 1/ / EFA平面BCHG 21 如图， 在棱长为a的正方体 1111 ABCD ABC D中，EF

7、PQ， ， ，分别是 111 BCC DADBD， 的中点 （1）求证：/ /PQ平面 11 DCC D； （2）求PQ的长； （3）求证：/ /EF平面 11 BB DD 22已知函数 22 31 2(cossin)1 22 f xsin xxx （1）求函数f x（ ）的最小值和最小正周期； 第 6 页（共 20 页） （2）设ABC的内角ABC、 、的对边分别为abc， ，且70cf C，（ ），若向量 1,msinA与向量3,nsinB共线，求a b，的值 第 7 页（共 20 页） 甘肃省兰州市甘肃省兰州市 20202020- -20212021- -1 1 学期学期东方中学东方中学

8、高二年级期中考试试题高二年级期中考试试题 数数 学学（理科）（理科） 说明：本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.满分 150 分，考试时间 120 分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡. 第卷（选择题，共 60 分） 一选择题（一选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 ） 1在ABC中，已知2ca cosB，那么ABC一定是（ ） A等腰直角三角形 B等腰三角形 C直角三角形 D等边三角形 【答案】B 【解析】解：已知2ca cosB， 则：2sinCsinAcosB， 整理得：2sin ABsinAco

9、sB， 则：0sin A B-， 所以：AB 故选：B 2空间两个角，的两边分别对应平行，且60，则为（ ） A60 B120 C.30 D60或120 【答案】B 【解析】解：如图，空间两个角，的两边对应平行，这两个角相等或互60 。， 60 或120 第 8 页（共 20 页） 故选：D 3ABC中，60 ,64Aab, ，那么满足条件的ABC（ ） A有 一个解 B有两个解 C无解 D不能确定 【答案】C 【解析】解：已知ABC中，60 ,64Aab, ，那么由正弦定理可得 64 sin60sinB ， 解得2 1sinB，故 B 不存在，故选：C 4下列说法正确的是（ ） A直线l平行

10、于平面内的无数条直线，则/ /l B若直线a在平面外，则/ /a C若直线ab，直线b，则/ /a D若直线/ /abb，那么直线a就平行于平面内的无数条直线 【答案】D 【解析】解：直线l虽与平面内的无数条直线平行，但l有可能在平面内， l不一定平行于，从而排除 A 直线a在平面外，包括两种情况：a，或a与相交， a和不一定平行，从而排除 B 直线abb，则只能说a和b无公共点，但a可能在平面内， a不一定平行于，从而排除 C / /abb，那么a，或/ /a，a与平面内的无数条直线平行 第 9 页（共 20 页） 故选：D 5ABC的三边长分别为756ABBCCA ， ，则AB BC的值为

11、（ ） A19 B14 C18 D19 【答案】D 【解析】解：由题意， 49253619 cos 27535 B ，19AB BC ，故选：D 6正方体 1111 ABCD ABC D中，EF，分别是 11 DDBD，中点，则直线 1 AD与EF所成角的余 弦值是（ ） A 1 2 B 6 3 C 3 2 D 6 2 【答案】B 【解析】解：正方体 1111 ABCD ABC D中，EF，分别是 11 DDBD，中点设正方体 1111 ABCD ABC D中棱长为2，以D为原点，建立空间直角坐标系D xyz， 则 1 0 011,1,02,0,00,0,2EFAD（ ， ， ）,（）,（）,

12、 （）， 1 AD20 2（， ， ），EF11, 1（，- ），设直线 1 AD与EF所成角为， 则 1 1 46 cos 383 | ADEF ADEF 直线 1 AD与EF所成角的余弦值是 6 3 故选：B 第 10 页（共 20 页） 7 已知ABC的内角ABC， ，的对边分别为abc， ， 且 sin sinsin cbA caCB ， 则B（ ） A 6 B 4 C 3 D 3 4 【答案】C 【解析】解：已知等式利用正弦定理化简得： cba cacb ，即 222 cbaca， 222 acbac， 222 1 cos 22 acb B ac ， B为三角形的内角， 3 B 故选

13、：C 8在四面体ABCD中，已知棱AC的长为2，其余各棱的长都为1，则二面角A CD B的 余弦值是（ ） A 1 2 B 1 3 C 3 3 D 2 3 【答案】C 【解析】解：由已知可得ADDC 第 11 页（共 20 页） 又由其余各棱长都为1得正三角形BCD，取CD得中点E，连BE，则BECD 在平面ADC中，过E作AD的平行线交AC于点F，则BEF为二面角A CD B的平面角 1 2 EF （三角形ACD的中位线） ， 3 2 BE （正三角形BCD的高） 2 2 BF （等腰Rt ABC， F是斜边中点） 222 131 3 442 cos 2331 2 22 EFBEBF BEF

14、 BEEF 故选：C 9ABC中，角ABC， ，的对边分别为abc， ，2BA，1a， 4 3 b ，则ABC一定是 （ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不能确定 【答案】C 【解析】解： 4 2 ,1, 3 BAab， 由正弦定理，得到 sinsin ab hB ， 2 4 1 3 sinsinAA ， 4sin3sin23 2sincosAAAA ， 22 coscos 324 A ， 4 A 2 B ， B为钝角， 则ABC一定是钝角三角形，故选：C 第 12 页（共 20 页） 10下列四个正方体图形中，AB、为正方体的两个顶点，MNP、 、分别为其所在棱的中 点，能得

15、出/ /AB平面MNP的图形的序号是（ ） A B C D 【答案】B 【解析】解：在中，由正方体性质得到平面MNP与AB所在平面平行， AB平面MNP，故成立； 若下底面中心为O，则/ /NOAB，NO 面MNPN， AB与面MNP不平行，故不成立； 过P作与AB平行的直线PO，则PO与平面MNP相交， AB与面MNP不平行，故不成立； 在中，AB与PN平行，/ /AB平面MNP，故成立 故选：B 11已知锐角三角形的边长分别为13a， ，则a的取值范围是（ ） A810（，） B(2 210) C(2 2,10) D( 10,8) 【答案】B 【解析】解：ABC三边长分别为1 3a、 、，

16、 又ABC为锐角三角形， 当3为最大边时3a，设3所对的角为， 第 13 页（共 20 页） 则根据余弦定理得： 22 1 3 cos 0 2 a a ， 2 0,80aa ， 解得2 23a ； 当a为最大边时3a，设a所对的角为， 则根据余弦定理得： 2 19a cos0 6 ， ， 解得：310a， 综上，实数a的取值范围为2 210（， ） 故选：B 12某班设计了一个八边形的班徽（如图） ，它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形， 及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（ ） A222sincos B33sincos C331sincos D21sincos 【答案】A 【解析】

17、解：由正弦定理可得4个等腰三角形的面积和为：41 12sinsin 由余弦定理可得正方形边长为：2cos 故正方形面积为：2 2cos 所以所求八边形的面积为：222sincos 第 14 页（共 20 页） 故选：A 二填空题（共二填空题（共 5 小题）小题） 13已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 【答案】8 【解析】解：根据几何体的三视图，得； 该几何体是侧面PAB 底面ABC的三棱锥，如图所示； 过点P作POAB，垂足为O， 则4PO， 三棱锥P ABC的体积为 11 624 8 32 ； 14ABC为钝角三角形；且C为钝角，则 22 ab与 2 c的大小关系为 【答案】

18、 222 abc 【解析】解：ABC为钝角三角形，且C为钝角 0cosC 222 2 abc cosC ab 第 15 页（共 20 页） 222 abc， 故答案为： 222 abc 15ABC三内角ABC， ，所对边的长分别为abc， ， 设向量,pac b,qba ca， 若/ /pq，则角C的大小为 【答案】 3 【解析】解：因为/ /pq，得 acb baca 得： 222 babca 即 222 abcab 由余弦定理 222 1 22 abc cosC ab 所以 3 C 故答案为： 3 16正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的体积 为 【答案】

19、 243 16 【解析】解：正四棱锥P ABCD的外接球的球心在它的高 1 PO上， 记为 11 44OPOAORPOOOR， ， ， 在 1 Rt AOO中， 1 2AO，由勾股定理 22 24RR得 9 4 R ， 球的体积为 243 16 故答案为： 243 16 第 16 页（共 20 页） 三解答题（共三解答题（共 9 小题）小题） 17据说伟大的阿基米德死了以后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑在墓碑上刻了一 个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点在 圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面试计算出图形中圆锥、球、圆柱的体 积比 【答案】略 【

20、解析】解：设圆柱底面半径为r，则球的半径为r，圆柱和圆锥的高均为2r， 3 2 12 2, 33 r Vrr 圆锥 3 4 3 r V 球 23 22Vrrr 圆柱 ， 2 4 :21:2:3 3 3 VVV 圆锥球圆柱 ： 18在ABC中，角ABC， ，所对的边分别为abc， ，已知 3 25. 5 accosB ， ， （1）求b的值； （2）求sinC的值 【答案】略 【解析】解： （1）由余弦定理 222 2bacaccosB， 代入数据可得 2 3 425 22517 5 b ， 17b ； （2） 2 34 1cos 55 cosBsinBB ， 第 17 页（共 20 页） 由正

21、弦定理 bc sinBsinC ，解得 4 17 17 sinC 19ABC的内角.的对边分别为abcasinAcsinC asinCbsinB、 、 ， （1）求B； （2）若752Ab， ，求ac、 【答案】略 【解析】解： （1）asinAcsinC asinCbsinB 由正弦定理知， 222 acacb ， 222 acbac ， 由余弦定理得， 222 1 222 abcac cosB acac ， 0 180B （ ，）， 故60B， （2）75260AbB， ， ， 由正弦定理可得： 3 26 3 b sinA a sinB , 2 6 3 b sinC c sinB 20如图

22、，在三棱柱 111 ABC ABC中，EFGH， ， ，分别是 1111 ,AB AC AB AC的中点，求证： （1）BCHG， ， ，四点共面； （2）平面 1/ / EFA平面BCHG 【答案】略 【解析】证明： （1）GH、分别为 1111 ABAC，中点， 11 / /GHBC， 三棱柱 111 ABC ABC中， 11 / /BCBC， 第 18 页（共 20 页） / /GHBC BCHG 、 、 、四点共面； （2）EF、分别为ABAC、中点， / /EFBC 11 / / / /EFBCBCGH 又EG、分别为三棱柱侧面平行四边形 11 AA B B对边 11 ABA B、中

23、点， 四边形 1 AEBG为平行四边形， 1 /?/AEBG 平面 1 EFA中有两条直线 1 AEEF、分别与平面BCHG中的两条直线BGBC、平行 平面 1/ / EFA平面BCHG 21 如图， 在棱长为a的正方体 1111 ABCD ABC D中，EFPQ， ， ，分别是 111 BCC DADBD， 的中点 （1）求证：/ /PQ平面 11 DCC D； （2）求PQ的长； （3）求证：/ /EF平面 11 BB DD 【答案】略 【解析】证明： （1）如图所示，连接 1 ACCD， PQ，分别为 1 ADAC、的中点， 1 / /PQCD， 1 CD 平面 11 DCC D，PQ平

24、面 11 DCC D， 第 19 页（共 20 页） PQ平面 11 DCC D （2）由题意，可得： 1 12 22 PQDCa 证明： （3）取CD中点G，连结EGFG、， EF，分别是 11 BCC D，的中点， 1 / / /FGD DEGBD， 又FGEGG， 平面/ /FGE平面 11 BB D D， EF 平面FGE， / /EF平面 11 BB D D 22已知函数 22 31 2(cossin)1 22 f xsin xxx （1）求函数f x（ ）的最小值和最小正周期； （2）设ABC的内角ABC、 、的对边分别为abc， ，且70cf C，（ ），若向量 1,msinA与向量3,nsinB共线，求a b，的值 【答案】略 【解析】解： （1）函数 22 31 2(cossin)1sin 2 226 f xsin xxxx 当22, 62 xkk Z时，函数取得最小值：2， 最小正周期 T 第 20 页（共 20 页） （2）因为向量1,msinA与向量3,nsinB共线，所以3sinBsinA，3ba ， 02) 1 6 f CsinC （ ） （ ， 0C ， 11 2 666 C ， 2 62 C 即 3 C . 由余弦定理得： 222 2cababcosC， 解得13ab，