浅谈中学几种常用证明不等式的方法.doc

1、 XXXXXX 大 学 毕业论文毕业论文 题题 目：目：浅谈中学几种常用证明不等式的方法浅谈中学几种常用证明不等式的方法 （外文（外文）：On the method commonly used in On the method commonly used in Middle School to prove inequalityMiddle School to prove inequality 院（系院（系）： 数学与计算机科学学院数学与计算机科学学院 专专 业：业： 数学与应用数学数学与应用数学 学生姓名：学生姓名： 学学 号：号： 指导教师：指导教师： 20132013 年年 3 3 月月

2、2020 日日 成 绩： 目录目录 1 引言 . 1 2 放缩法证明不等式. 1 2.1 放缩法 . 1 2.2（改变分子分母）放缩法 . 1 2.3 拆补放缩法. 2 2.4 编组放缩法. 3 2.5 寻找“中介量”放缩法 . 4 3 反正法证明不等式. 4 3.1 反证法定义. 4 3.2 反证法步骤. 5 4换元法证明不等式 . 6 4.1 利用对称性换元，化繁为简 . 6 4.2 三角换元法. 7 4.3 和差换元法. 8 4.4 分式换元法. 8 5 综合法证明不等式 . 9 5.1 综合法证明不等式的依据 . 9 5.2 用综合法证明不等式的应用 . 9 5.3 综合法与比较法的内

3、在联系 . 10 6.分析法 . 11 6.1 分析法的定义 . 11 6.2 分析法证明不等式的方法与步骤 . 11 6.3 分析法证明不等式的应用 . 11 7构造法证明不等式 . 13 7.1 构造函数模型 . 13 7.2 构造数列模型 . 14 8数学归纳法证明不等式 . 15 8.1 分析综合法. 16 8.2 放缩法 . 16 8.3 递推法 . 17 9.判别式法证明不等式 . 17 10.导数法证明不等式 . 18 10.1 利用函数的单调性证明不等式 . 18 9.2 利用极值（或最值） . 20 11 比较法证明不等式 . 20 11.1 差值比较法 . 20 11.2

4、商值比较法 . 21 11.3 比较法的应用范围 . 22 12 结束语： . 22 参考文献 . 22 1 浅谈中学常用几种证明不等式的方法浅谈中学常用几种证明不等式的方法 摘要摘要：中学数学有关不等式的证明的题型多变，技巧性很强，同时它也没有固定的程序加以规定。因而 他是中学数学考试的难点。不等式的证明的方法很多。本文将列举出中学数学常用的几种方法：放缩法、 反正法、换元法、分析法、综合法、构造法、数学归纳法、判别式法、导数法、比较法。 关键词关键词：不等式 证明方法 1 1 引言引言 不等式， 渗透在中学数学各个分支中。 而不等式的证明在不等式中占有极其 重要的地位。不等式的证明的方法是

5、中学数学的重要知识，也成为了中学数学考 试的热点问题。本文针对以上的情况，提出了中学几种常见的不等式的证明方法 来和大家一起分享，希望不仅能够对我们今后碰到类似的问题起到指导的作用， 而且还能够培养分析和解决问题的能力。 2 2 放缩法证明不等式放缩法证明不等式 2.12.1 放缩法放缩法 放缩法的定义：在不等式的证明中，有时可把不等式中的某些项或因式换成 数字较大或较小的数或式，以达到证明的目的，这种证明方法称为放缩法。 放缩法的形式：欲证 AB，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量， 使得 , 211 ABBBBB i , 211 BAAAAA i ，或再利用传递性， 达 到欲证的目

6、的。 2.22.2（改变分子分母）放缩法（改变分子分母）放缩法 在不等式有分式时， 长放大或缩小分式的分子或分母， 从而达到 “以小代大” 或“以大代小”的目的。 2 例 1：求一切3) 1 1 ( , n n Nn 证明： n n nnn n n C n C n C n 111 1) 1 1 ( 2 21 = n nn n n nnn n nn ! ! ! 3 )2)(1( 2 ) 1( 2 32 ！ n n 1 ! 3 1 ! 2 1 2 12 2 1 2 1 2 1 2 n =) 2 1 2 1 2 1 2 1 (1 1210 n 2 1 1 2 1 1 1 n 3 2 1 3 1 n

7、)(3) 1 1 (Nn n n 2.32.3 拆补放缩法拆补放缩法 在证有些不等式的时候，常将其中某些项拆开和或合并以完成证明。 例 2：求证：)7(1 1 3 1 2 1 nn n 证明：kkk21 1 21 kkk 3 1 2 43 2 32 21 4 1 3 1 2 1 nnn 2211)21(2nnn 2211)21(2nnn 02217nn 1 1 3 1 2 1 n n 2.42.4 编组放缩法编组放缩法 证明不等式有时把某项拆开，重新编组，利用基本不等式完成证明。 例 3：求证:) 1,() 1( 1 4 1 3 1 2 1 1 1 nNnnn n n n . 证明：左) 1

8、1 () 3 1 1 () 2 1 1 () 11 ( n n n1 4 5 3 4 2 3 2 n n n n 1 4 5 3 4 2 3 2 n nn 1 ) 1( n nn n n 1 ) 1( 1 4 1 3 1 2 1 1 4 2.52.5 寻找“中介量”放缩法寻找“中介量”放缩法 当两式难以比较大小时，可寻找“中介量”牵线搭桥，利用不等式的传递性 完成证明。 例 4：求证： 19log 3 19log 2 19log 1 log 1 log 1 23552 证明：10log5log2log log 1 log 1 52 2log 2 )895(log2log3log5log 19l

9、og 3 19log 2 19log 1 19 3 19 2 1919 235 2360log19 19log 3 19log 2 19log 1 log 1 log 1 23552 小结:放缩法是不等式证明中常见的变形方法之一，具有较高的技巧性。放缩 必须有目标，而且要恰到好处，需要细心观察，目标往往要从证明的结论中寻 找。 3 3 反正法证明不等式反正法证明不等式 3.13.1 反证法定义反证法定义 “证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根 据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件、公理、定义、 5 定理、法则、公式等）相矛盾的结果这样，就证明了

10、结论的否定不成立，从而 间接地肯定了原命题的结论成立”.这种证明的方法，叫做反证法 3.23.2 反证法步骤反证法步骤 1、假设命题的结论不成立； 2、从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾； 3、由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确，即：提出假设推出矛 盾肯定结论 例 5：已知：cba,都是小于 1 的正数；求证：acabba)1 ( ,)1 ( ,)1 (中至少有 一个不大于 4 1 。 分析 ：采用反证法证明其证明思路是否定结论从而导出与已知或定理的 矛盾从而证明假设不成立，而原命题成立对题中“至少有一个不大于 4 1 ”的否 命题是“全都大于 4 1 ”。 证明：假设 4 1

11、)1 ( , 4 1 )1 ( , 4 1 )1 (accbba cba,都是小于 1 的正数 2 1 )1 (, 2 1 )1 (, 2 1 )1accbba（ 2 3 )1 ()1 ()1accbba（ 又 2 1 2 1 2 1 )1 ()1 ()1 accbba accbba （ 2 3 6 故与上式矛盾，假设不成立，原命题正确 说明： 反证法是利用互为逆否命题具有等价性的思想进行推证的 反证法必须罗 列各种与原命题相异的结论， 缺少任何一种可能， 则反证都是不完全的， 遇到 “至 少”、“至多”、“唯一”等字句的命题常用反证法 例 6：若2, 0, 0 33 qpqp，求证：2 qp

12、 证明：假设2 qp，则8)( 3 qp，即8)(3 33 qppqqp。 因为2 33 qp，所以2)( qppq 故2)( qppq 33 qp )( 22 qpqpqp 又, 0, 0qp即0 qp 所以pq)( 22 qpqp 故0)( 2 qp 与假设不成立，原命题正确。 总结：反证法是根据“正难则反”的原理，即如果正面证明有困难时，或者直接 证明需要分多种情况而反面只有一种情况时，可以考虑用反证法。反证法不仅在 几何中有着广泛的应用，而且在代数中也经常出现。用反证法证明不等式就是最 好的应用 4 4换元法证明不等式换元法证明不等式 4.14.1 利用对称性换元，化繁为简利用对称性换

13、元，化繁为简 例 7:设, Rcba求证: cbabacacbabc. 分析:把cba,中的两个互换,不等式不变,所以这是一个对称不等式,令 yacbx, bac, cbaz则原不等式等价于： 7 xyzxzzyyx8. 证明:令cbazbacyacbx,则 zya 2 1 , 2 1 zxbyxc 2 1 . , Rcba0 xyz当时,有 xyzxzzyyx8； 当0 xyz时,有 Rzyx,(否则zyx,中必有两个不为正值,不妨设0 x, 0y,则0c,这与0c矛盾), 因此 02xyyx, 02yzzy, 02zxxz xyzxzzyyx8, 综上所述, xyzxzzyyx8 把zyx

14、,代入上式得: cbabacacbabc 4.24.2 三角换元法三角换元法 三角换元法的基本思想是根据已知条件， 引进新的变量-三角函数， 把一个 复杂的不等式问题转化为三角不等式的问题，再利用三角函数的性质及三角恒等 式去证明，从而使不等式得证。 例 8：已知1 22 yx，求证22 22 yxyx 分析：由已知1 22 yx，令sin,cosyx，则1a 证明：令sin,cosyx，1a 22 22 yxyxsincos2sincos 2222 22) 4 2sin(22sin2cos 222 aa 说明:换元法是将较为复杂的不等式利用等价转换的思想转换成易证明的不等 式常用的换元法有(

15、1)若1x，可设sinx，R； 8 (2)若1 22 yx，可设cos,sinyx； (3)若1 22 yx，可设sin,cosyx，1a。 4.34.3 和差换元法和差换元法 在题中有两个变量yx,，可设baybax,，这称为和差换元法，换元 后有可能简化代数式。 例 9:对任意实数ba,，求证： 2222 663322 babababa 分析：对于任意实数a与b，都有 22 , 22 baba b baba a 。令 2 , 2 ba t ba s ，则有tsbtsa,。 证明：设tsbtsa,， 下面只须证： 6422462322 1515)3)(ttstssststss 不等式右边不等

16、式左边=01211 64224 ttsts 6422462322 1515)3)(ttstssststss 即 2222 663322 babababa 说明：利用“和差换元”可以简证难度较大的不等式. 4.44.4 分式换元法分式换元法 例 10：已知 9) 1 1)( 1 1 (, 1, ba baRba求证：且 分析：本题的证明方法很多，下面我们利用分式换元来进行证明 证明：设0, 0, yx yx y b yx x a且 9 )(25)2)(2( )1)(1 () 1 1)( 1 1 ( y x x y y x x y y yx x yx ba 9) 1 1)( 1 1( ba 当且仅

17、当时等号成立即 2 1 ,ba y x x y 说明：不等式的证明中，我们知道证明不等式时，可以利用分式换元，使其分式 结构变得简单，分母变为单项式，然后把逐项分离，便于利用均值不等式。 5综合法证明不等式综合法证明不等式 5.15.1 综合法综合法证明证明不等式的依据不等式的依据 （1）已知条件和不等式性质； （2）基本不等式： “”号） 5.25.2 用综合法证明不等式的应用用综合法证明不等式的应用 例 11：已知cba,是不全等的正数，求证： abcbacacbcba6)()()( 222222 10 分析：观察题目，我们很容易想到利用性质abba2 22 证明：bccb2 22 ，0a

18、 abccba2)( 22 同理可得：abccab2)( 22 abcbac2)( 22 cba,是不全等的正数， ，, 至少有一个不等式不能取等号 + abcbacacbcba6)()()( 222222 5.35.3 综合法与比较法的内在联系综合法与比较法的内在联系 由于作为综合法证明依据的不等式本身是可以根据不等式的意义、性质或比 较法证出的，所以用综合法可以获证的不等式往往可以直接根据不等式的意义、 性质或比较法来证明；摆在我们面前的问题恐怕是方法的选择方法选择不当， 不是证不出来就是难度加大；方法合理使用，会使题目难度大大下降因此我们 不要学过某种方法就抱定不放，要善于观察，根据题目

19、的特征选择证题方法。 11 6.6.分析法分析法 6.16.1 分析法的定义分析法的定义 从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转 化为判定这些充分条件是否具备的问题。如果能够肯定这些充分条件都已具备， 那么就可以断定原不等式成立，这种证明方法叫做分析法。 6.26.2 分析法证明不等式的方法与步骤分析法证明不等式的方法与步骤 用分析法论证“若 A 则 B”这个命题的格式是： 欲证命题 B 为真， 只需证命题 B1 为真， 只需证命题 B2 为真， 只需证命题 Bn 为真， 只需证命题 A 为真， 令已知命题 A 为真， 故命题 B 为真。 6.36.3 分析法证明不

20、等式的应用分析法证明不等式的应用 例 12：若bcac, 0，求证：abccaabcc 22 分析： 采用分析法证明 12 证明：abccaabcc 22 abccaabc 22 cba acaba abccaca abcca abcca 2 2 2 )( 2 222 22 2 bcac, 0 bac2 原不等式成立。 说明：从这道题目我们不难看出“分析法”的证明格式，是用“”符号，不断 用充分条件代替前面的不等式 6.46.4 综合法与分析法的综合应用综合法与分析法的综合应用 条件和结论之间的关系比较复杂,根据既定法则和事实条件,由因导果,一直 推究下去,有时会在中途迷失方向,使解题无法进行

21、下去.在这种情况下,可以同时 运用综合法与分析法的解题方法,执行. 例 13： 若cba，,是不全相等的正数，求证 cba accbba lglglg 2 lg 2 lg 2 lg 。 分析：利用对数的性质，所要证的不等式等价于 abc accbba lg) 222 lg( ，所以只要证 abc accbba 222 ，于是我们可以利用不等式的性质： ab ba 2 2 即可得证。 13 证明：cba accbba lglglg 2 lg 2 lg 2 lg abc accbba lg) 222 lg( abc accbba 222 0, 0,cboa ab ba 2 ，bc cb 2 ，ac

22、 ac 2 ，且这三个不等式的等号 不能同时成立（它们是 3 个不全等的正数） abc accbba 222 cba accbba lglglg 2 lg 2 lg 2 lg 说明：分析法和综合法是对立统一的两个方面在这道题目中，前面是分析法， 后面是综合法，两种方法结合使用，使问题较易解决分析法的证明过程恰恰是 综合法的分析、思考过程，综合法的证明方法是分析思考过程的逆推。 7 7构造法证明不等式构造法证明不等式 构造法作为一种数学思维方法， 在解题过程中通过观察分析给出式和欲证式， 充分挖掘题目的隐含信息，并进行联想与思考，恰当地构造出一个与题目相关的 数学模型，将欲证的问题转化到我们所熟

23、悉的情景之中，从而达到证题的目的， 这是构造法证题的解题模式。本文以证明不等式为例，介绍几种常见的构造法。 7.17.1 构造函数模型构造函数模型 我们常常利用一次函数的线性性质、二次函数的最值以及函数的单调性等性 质证明某些不等式问题。在证明不等式时，抓住不等式与函数的密切关系，以问 14 题的结构特征为起点，构造相应函数，从函数的思想和方法来解决问题。 例 14：已知: , 11a , 11b 11c 求证: 1acbcab 证明: 构造函数bcxcbxf)()( ) 11(x,此图象为一条直线. 1) 1)(1() 1 (cbbccbf 01b 01c 1) 1 (f 1)1)(1 ()

24、 1(cbbccbf 又01 , 01cb 1) 1(f 1)()(bcacbaf 例 15:已知yx,都是正数,1 yx；求证 51) 1( 2 9 2 2 yx 证明: 22 ) 1() 1()(yxxu设 522)( 1, 10 2 xxxu xyx 在(0,1)上的值域为 .5 , 2 9 所以, 51) 1( 2 9 2 2 yx. 7.27.2 构造数列模型构造数列模型 对于某些自然数的不等式问题，与数列有着密切的联系，这时可构造有关数 列模型，利用其单调性解决。 15 例 16： 求证： . 1 13 1 2 1 1 1 nnn 证明: 构造数列模型 , 1 13 1 2 1 1

25、 1 nnn an 则有 1 1 23 1 33 1 43 1 1 nnnn aa nn 33 1 23 1 43 1 nnn 0 )43)(33)(23( 2 nnn ，所以数列 n a为递增数列。 又因为0 12 1 1 4 1 3 1 2 1 1 a，故)(0 Nnan其中 即原不等式得证。 总结：欲证含有与自然数n有关的和的不等式)()(ngnf，可以构造函数模型 )()(ngnfan，只需证明数列 n a是单调递增，且0 1 a。另外，本题也可以用 数学归纳法证明，但是构造数列模型证明简洁。 8 8数学归纳法证明不等式数学归纳法证明不等式 说明数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命

26、题的重要方法。主要有 两个步骤一个结论： （1） 证明当 n 取 0 n（如 0 n=1 或 2 等）时结论正确 （2） 假设 n=k（k 0 ,nkN 且）时结论正确，证明 n=k+1 时结论也正确 由（1） 、 （2）得出结论正确。因此，熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的 其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题，归纳假设“P（k）成立”是问题 的条件而“命题 P（k+1）成立”就是所要证明的结论，因此，合理运用归纳假设 这一条件就成了归纳步骤中的关键，下面简要分析用数学归纳法证明不等式常涉 及的方法。 16 8.18.1 分析综合法分析综合法 例 17：求证： Nnn nn , ) 1(

27、 1 32 1 21 1 证明： （1）当，所以原不等式成立。时，因为1 2 1 21 1 1 n （2）假设时，原不等式成立，), 1( Nkkkn 即有： k kk ) 1( 1 32 1 21 1 1 kn时： )2)(1( 1 )2)(1( 1 ) 1( 1 32 1 21 1 kk k kkkk 因此，要证明当1 kn时，原不等式成立， 只要证明1 )2)(1( 1 k kk k成立 即证明 23 1 1 1 )2)(1( 1 1 2 kk kkkk kk 也就是证明kkkk123 2 即01) 1() 1(21)1()23( 2 22 2 2 kkkkkkkkkk 从而kkkk12

28、3 2 于是当1 kn时，原不等式也成立。 由（1） 、 （2）可知，对于任意的正整数n，原不等式都成立。 8.28.2 放缩法放缩法 例 18：求证：)( 22 1 3 1 2 1 1 1 Nn n n 证明： （1）当1n时， 2 1 1，不等式成立。 （2）假设 22 1 3 1 2 1 1), 1( 1 k Nkkkn k 时不等式成立，即 当1 kn时 17 2 1 2 1 2 22 1 2 1 3 1 2 1 1 1 1 kk k k kk 所以当1 kn时，不等式成立 由（1） 、 （2）可知，)( 22 1 3 1 2 1 1 1 Nn n n 8.38.3 递推法递推法 例

29、19：设10 a，定义a a aaa n n 1 ,1 11 ，求证：对一切, Nn 有 a an 1 1 1 证明： （1）当 a aaan 1 1 1, 11 11 又时，显然命题成立 （2）假设时), 1( Nkkkn，命题成立， 即 a ak 1 1 1 当1 kn时，由递推公式，知1)1 ( 1 aaaaa kk 同时， aa a aaaa kk 1 1 1 1 1 2 1 当1 kn时，命题也成立。 即 a ak 1 1 1 1 由（1） 、 （2）可知，对一切正整数 n，有 a an 1 1 1 说明：证明不等式的题型多种多样，所以不等式证明是一个难点，在由 n=k 成立， 推导

30、 n=k+1 不等式也成立时，过去讲的证明不等式的方法再次都可以使用，如比 较法、放缩法、分析法、反证法等，有时还要考证与原不等式的等价的命题 9.9.判别式法证明不等式判别式法证明不等式 判别式法是根据已知的或构造出来的一元二次方程、一元二次不等式、二次 函数的根、解集、函数的性质等特征确定出其判别式所应满足的不等式，从而推 出欲证的不等式的方法。 18 二次函数时，当0,)( 2 acbxaxxf若判别式0)(, 04 2 xfacb则 恒成立。 例 20：已知Rba,，求证：1 22 baabba 证明：令) 1()( 22 baabbaaG ) 1() 1( 22 bbaba 0) 1( 3) 1(4) 1( 222 bbbb 0)(af恒成立 1 22 baabba 说明：用判别式法证不等式关键在于构造二次函数，操作简单，使用方便。 10.10.导数法证明不等式导数法证明不等式 证明有些不等式的题目，看似简单，但是我们无从下手，几种常用的方法都 一一尝试，却没有任何作用。这时我们不妨从已有的知识下手，构造一个函数， 再借助导数来