《杨辉三角》教学设计（第九届全国高中青年数学教师优秀课展示与培训活动）.pdf

1、1 杨辉三角教学设计 山东省德州一中山东省德州一中 宋宋 XX 一、教材分析：一、教材分析： （1）教材内容：杨辉三角是全日制普通高级中学教科书人教现行人教 B 版 选修 2-3 第 1 章第 3 节第 2 课时， 本节内容是继二项式定理后对二项式系数的深 入研究，是依现行教材开发的一节研究性学习内容。本节课主要是总结杨辉三角 的四个基本性质及利用杨辉三角性质解决二项式系数的有关问题。 杨辉三角的 基本性质主要是二项展开式的二项式系数即组合数的性质， 因此它也是研究杨辉 三角其他规律的基础。 （2）地位与作用 ： 本节课是在学生学习了计数原理、组合及组合数的性质的基 础上，又具体学习了二项式定

2、理、二项式系数等概念的基础上进行的。这对巩固 二项式定理，建立相关知识之间的联系，进一步认识组合数、进行组合数的计算 和变形都有重要的作用，对后续学习也具有重要地位。通过本节课的教学进一步 提高学生的观察归纳演绎能力,进一步了解到二项式系数的性质的来龙去脉，感 受体验数学美。 二、学情分析：二、学情分析： 1. 本班同学学习成绩比较突出，无论在观察问题还是分析问题上已经具备 了更为理性的思考，对发现的规律能够尝试总结归纳。同时学生已掌握了组合及 组合数的性质，这是突破本节课难点的基础。 2. 我校实行“1121”教学模式，在“先学后教”的原则下，以学案为载体， 进行授课。班里设有合作学习小组，

3、即小组内拥有稳定的成员，持续了一年多的 相互支持、鼓励和帮助，小组内部及小组之间有了一定的解决问题的能力，但对 于本节课的难点，学生还需要在老师的指导下共同完成。 三、目标分析：三、目标分析： 2 1 1、知识与技能目标：、知识与技能目标： 了解有关杨辉三角形的简史，熟悉杨辉三角的数字排列特点，从中发现二项 式系数的主要性质， 掌握这些性质 ； 并灵活运用二项式系数的性质解决相关问题。 2 2、过程与方法目标：、过程与方法目标： 通过小组讨论,培养学生发现问题、探究知识、建构知识的研究型学习习惯 及合作化学习的团队精神. 3 3、情感、态度价值观目标：、情感、态度价值观目标： （1）培养学生善

4、于交流，乐于合作的团队精神； （2）在研究的过程中，培养学生不怕挫折，永不满足的意志品质，追求新知的 科学态度 ； （3）通过了解我国古代的数学成就，培养学生的爱国主义精神，激发学生探索、 研究数学的热情。 四、基于以上分析，我制定本节课的教学重点和难点为：四、基于以上分析，我制定本节课的教学重点和难点为： 教学重点教学重点：引导学生从杨辉三角的行列数字中发现规律（含拓展性质），得出结 论，并灵活运用二项式系数的性质解决相关问题；从而培养学生自主学习的能力. 教学难点：教学难点：利用赋值法解决展开式的系数问题。 五、教学手段：五、教学手段： 多媒体辅助教学，导学案 六、六、教学策略分析教学策略

5、分析 ： 杨辉三角这节课具有双重性，现代数学的严谨性和系统性在 本节课体现的淋漓尽致，然而数百年来，对杨辉三角（帕斯卡三角）的研究和发 现持续不断， 因此它的与时俱进又无时无刻不体现了古代数学的传承性。 鉴于此， 我做了如下的教学策略： 将本节课大致分为两大环节，第一环节通过课前学案的预习，引导学生总结 教材中给出的性质，并通过例题和检测题，引领学生学会用所给出的性质尤其是 用赋值法解决问题，培养和增强学生的数学运算能力； 3 第二环节将重点放在了课外拓展中，杨辉三角具有高度的开放性，需要学生 观察分析，获得感性认识，然后在小组同学的讨论交流中进行归纳总结，并在此 过程中培养学生交流与合作能力

6、，使学生们体会合作的重要性 此外，在教学最后环节简单介绍杨辉三角的历史地位，渗透数学文化，增加 学生的文化自信。 七、教学过程：七、教学过程： 设计环节 师生活动 设计意图 新课导入 由同学们一起回顾二项式展开式入手，引入课题。 温故知新， 合理引入杨 辉三角 新课讲授 环节一环节一：展示杨辉三角图，观察、分析杨辉三角。我 们学过哪些性质？它们与组合数之间有什么关系？仔 细观察杨辉三角的图形，根据对导学案的预习，得出 相关的性质。 环节二环节二：分析杨辉三角，得出性质： （1） 三角数表中的每一行的数字有什么特点？反映了 组合数的哪个性质？ （2） 相邻两行的数字有什么关系？反映了组合数的哪

7、个性质？ （3）二项式的幂指数为偶数时， 展开式的二项式系数 最大项是第几项？ 幂指数为奇数时， 展开式二项式系数最大项是第几项？ （4）将每一行的数字相加，你会发现： 第 n 行数字的 和为_，如何证明？ 以上四条是二项 式系数的基本性质,也 是本节课教学的重点, 是解决后面问题的基 础, 采取分组讨论、 交 流展示的学习方式， 让 学生展示自主探究的 结论,让学感受到自主 探究的成就,同时激发 继续探究的热情。 4 第行的奇数项相加，和是多少？偶数项呢？ n 例题研究 环节三：学生展示自己的成果环节三：学生展示自己的成果 例1、 证明在的展开式中，奇数项的二项式系()nab 数和等于偶数项

8、的二项式系数和. 例2、 已知展开式的各项二项式系数和是1024， 2 (1)nx 求展开式中含的项. 6 x 例 3、求的展开式中二项式系数最大的项. 8 (1)x 利用杨辉三角的基本 性质来解决问题 例 1：赋值法是求二项 展开式系数及有关问 题的常用方法， 注意取 值要有利于问题的解 决， 促进学生进一步掌 握二项式系数的性质， 引导学生学会用赋值 法解决问题， 促进其有 意识的运用 例 2 和例题 3：利用所 学性质解决相关的问 题， 学生通过集体讨论 已经能够解决这个问 题。 目标检测 1. 设， 887 8710 (31)xa xa xa xa 则（1） 87610 aaaaa （

9、2） 876510 aaaaaa （3） 86420 aaaaa 让学生进行自我练习， 进一步熟悉本节课所 学内容， 尤其是赋值法， 形成程序性步骤， 达到 熟练程度。 5 课外拓展 1、从三角数表中，你还能发现其它的性质吗？ 杨辉三角不仅可“横看”找规律，还可“斜看” 、“竖 看” ，或从奇偶性等多角度观察，你会有许多的收获。 2、简单介绍一下杨辉，了解一下他的数学成就. 课下思考：虽然杨辉三角在欧洲被称为帕斯卡三角， 但是两者有无不同之处，查阅资料， 给出自己的观点。 关于课外拓展的设计意图关于课外拓展的设计意图：学生通过课前的研究调查学生通过课前的研究调查， 会发现很多有趣的规律。让学生

10、带着问题走进课堂，会发现很多有趣的规律。让学生带着问题走进课堂， 带着疑问离开教室，培养学生自主研修的习惯，提高带着疑问离开教室，培养学生自主研修的习惯，提高 学生探究问题学生探究问题、 解决问题的能力解决问题的能力. .与此同时还能让学生与此同时还能让学生 得到共享的乐趣，激发民族自豪感。在最后留下的课得到共享的乐趣，激发民族自豪感。在最后留下的课 后作业中，我的教学目的是试图让学生跳出课本，站后作业中，我的教学目的是试图让学生跳出课本，站 在一个更高的角度，初步体会在数学的发展历程中，在一个更高的角度，初步体会在数学的发展历程中， 中西方关于数学知识体系形成的差异性中西方关于数学知识体系形

11、成的差异性. . 在这个环节中， 学生可 能提出一些自己发现 的探究结果,可以留待 3-5 分钟让学生展示 一下， 并由此拓展杨辉 三角的悠久历史和诸 多奥秘， 凸现数学史教 学. 课堂小结 杨辉三角奥秘无穷，大家从不同角度，一定会发 现更多的规律! 熟悉的地方也会有风景! 通过一个动漫短片的形式，再次了解杨辉三角。 进一步回顾本节知识 点，通过课堂的整理、 总结与反思， 使学生更 好的掌握主干知识， 体 会探究过程中渗透的 数学思想方法。 而动漫 短片更能加深学生对 杨辉三角的印象。 八、教学反思八、教学反思 对于本节课，一些教师可能会采取讲授课的形式进行教学，因为课本上已经 直接给出了一些

12、二项式系数的规律，教师也就因为课时所限、高考非绝对重点考 6 查等原因而直接讲结论，紧接着练习以完成教学任务。以这样的方式培养出来的 学生会习惯被动接受，会丧失自主创新的能力。因此，在本节课的实际教学中， 我的设计力求学生能在学习中体验在体验中探究在探究中创新。 同时拿 出一点时间， 介绍数学家杨辉， 由此引入一点数学史内容， 激发学生的爱国情感， 激发学生的文化自信，从而实现本节课的情感目标。 进行教学设计时，让学生发挥有效联想和猜想，独立思考，得到一些初步 猜想。经过这一环节，学生心中会因自己的发现而有了一定的成就感，同时又渴 望能发现更多的规律。而此时的学习小组讨论正是一场“及时雨” ，能让不同层 次的学生的思想互相碰撞，产生火花。本节课的升华阶段是学生成果的展示，小 组交流后，既展示了成果，又锻炼了胆量和语言组织能力。我认为，一节成功的 课，不应该是一节学生完全没有疑问的看似“完美”的课，而是能够让学生有收 获，同时又想收获更多的课。 本节课值得改进的地方：一是可考虑最后可适当让学生总结本节课内容，让 学生享受成功的喜悦，同时激发学生“再求索”的热情；二是学生展示小组讨论 时间把握不好，有待进一步提高。