椭圆的定义与方程 教案（第九届全国高中青年数学教师优秀课展示与培训活动）.doc

1、NO.1 Middle School Affiliated To Central China Normal University 自选课题：椭圆的定义和方程 华中师范大学第一附属中学 曹XX 一、教学设计 1.教学内容解析 本节课研究的是普通高中课程标准实验教科书 数学 选修 21（人教 A 版）第二 章“圆锥曲线与方程”第二节“椭圆的定义和方程”的内容. 普通高中数学课程标准（2017 年版）中，将本节内容安排在选择性必修课程“几何与代数”这一主题中.这一主题都是运 用代数方法研究几何问题.在这一主题下的平面解析几何单元学习中，通过建立平面直角坐 标系，先后研究了直线、圆、圆锥曲线的几何特征

2、，导出相应方程；用代数方法研究它们的 几何性质.这种数形结合的思想方法贯穿了这一主题研究的始终.而本节课主要是完成椭圆 研究的第一部分，即让学生经历从具体情境中抽象出椭圆定义，再由定义推导方程的过程. 因此本节内容起到的是承上启下的作用.此外，本节课立足单元整体教学设计，在充分挖掘 教材内容的前提下，整合教材中与“椭圆的定义和方程”有关内容（如“章引言中提到椭圆 的起源、椭圆的应用、椭圆的研究方法；【探究与发现】中提到的旦德林双球证明椭圆上的 点满足的几何性质；例题与习题中提到的椭圆的其它生成方式（主要表现为第二、第三定义 的形式）以及椭圆的简单应用）.所以本节课并不局限于建构出第一定义、推导

3、出方程，还 引导学生梳理教材中除第一定义外椭圆的其它生成方式，了解这些生成方式之间的联系（主 要是第一、第二、第三定义的联系）以及椭圆的简单应用.在此过程中进一步体会坐标法以 及数形结合的基本思想.同时，本节课的另一特点就是将椭圆的研究历史融入教学中.在椭圆 起源与发展的历史背景中，还有一些训练学生思维的教学资源（如：构造旦德林双球将从借 助空间几何体圆锥研究椭圆转化为在平面内研究椭圆的化归思想；推导方程中洛必达使用的 和差术、赖特使用的平方差法所蕴含的参数思想、方程思想以及对称、对偶的思想）以及培 养学生价值观的教育资源（如：从历史传说中感受椭圆源于生活、应用于生活的理念；古代 数学家探求真

4、理的理性与智慧）.在此过程中，将数学“史学形态”转化为“教育形态”. 根据以上分析，本节课的教学重点确定为:椭圆的定义与标准方程，坐标法的基本思想. 2.教学目标设置 普通高中数学课程标准（2017年版）对本节课内容的要求是：经历从具体情境中 抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程. 结合以上目标要求以及对教材的研究，将本节课的教学目标确定为： （1） 通过回顾古代数学家对圆锥曲线的研究历史，学生了解圆锥曲线的来由，体验其中 蕴含的数学文化，重点提升直观想象等核心素养. （2） 学生经历对“旦德林双球”模型的探究以及相互合作亲自动手画椭圆的过程，抽象 出椭圆的定义，重点提升逻辑推理和数学抽

5、象等核心素养. （3） 能依据定义推导椭圆的标准方程，同时了解椭圆的不同生成方式以及这些方式之间 的联系（主要指三个定义的联系），重点提升数学运算等核心素养. （4） 能够将与椭圆有关的实际问题抽象成数学问题，并用“坐标法”解决问题.体会到数 学来源于生活、应用于生活的理念，重点提升数学建模等核心素养. 3.学生学情分析 本节课的授课对象为华中师大一附中高二理科科技班学生，学生的基础很好，能力也很 强，具有一定的自主探究与合作学习的能力.在必修内容“直线与方程”、“圆与方程”两章 的学习中，学生已经初步掌握了运用“坐标法”来研究几何问题.但是缺少主动通过方程蕴 含的几何意义研究问题的意识. 日

6、常生活中，学生对椭圆的大致形状已经有了一定的感性认识，但并不清楚椭圆上的点 满足的几何特征.本节课立足数学史，借助“旦德林双球”模型来研究椭圆上的点满足的几 NO.1 Middle School Affiliated To Central China Normal University 何特征.尽管学生已经学习了立体几何的相关知识，但由于“旦德林双球”模型构造巧妙， 位置关系、数量关系较多.所以学生不易从该模型中直接观察到椭圆上的点满足的几何特征. 另外，学生已具备了求曲线方程的一般方法.在探究出椭圆的定义后，学生对“建系、设点、 限定条件、坐标化”不会感到困难，但对于含两个根号的方程的化简，

7、学生之前很少接触， 完成有些困难. 根据以上分析，本节课的教学难点确定为:椭圆定义的导出及椭圆标准方程的推导，椭 圆多种生成方式（第一定义、第二定义、第三定义）之间的联系. 4.教学策略分析 本节课不是一堂传统的新课.采取“课前学生依据研究性学习学案的问题提示查阅 资料自学、小组内成员交流学习成果；课中各组展示学习成果、教师引导拓展探究；课后继 续课上未完成的探究”这样一种“探究展示过程贯穿于课前、课中、课后”的研究性学习方 式来进行.通过“查、演、感、证、画、比、算、整、联、赏、用”相结合的做法，使学生 经历“探（椭圆历史之旅）、研（椭圆定义之理）、推（椭圆方程之道）、究（椭圆生成之变）、

8、赏（椭圆曲线之用）”的完整探究过程. 具体来说一下五个过程： 探椭圆历史之旅（查、演）：通过研究性学习学案中的问题串提示，引导学生借助 互联网查阅有关椭圆的起源与发展的三个重要阶段.三个阶段分别为起源和截线定义阶段、 第一定义阶段、“旦德林双球”证明阶段.通过数学兴趣小组的同学在课上演绎历史短剧的形 式带学生重温椭圆的发展历程. 研椭圆定义之理（感、证、画）：尽管历史上最先发现“椭圆上的点到两个定点的距离 之和为定值”这一性质的数学家是阿波罗尼奥斯，但是他的几何证明过程非常复杂.所以这 里选取“旦德林双球”模型来抽象出椭圆的这一性质.由于“旦德林双球”模型结构复杂、 位置关系、数量关系较多，所

9、以在研究性学习学案中让学生学习立几画板制作旦德林双 球模型，更形象直观的感知“旦德林双球”的结构特点.并通过研究性学习学案中一层 一层递进问题的设计，让学生证明该性质.得到性质后，再通过引导学生画椭圆来完善性质 的逆命题得到椭圆定义.对于椭圆的画法，历史上荷兰数学家舒腾为我们提供了三种画椭圆 的方式，一种就是教材中提供的拉绳子直接画的方式，另外两种就是利用椭圆规来画.其中 用绳子直接画椭圆，利用的是“椭圆上的点到两定点的距离之和为定值”这一性质，所以我 们引导学生在课上用这种方法亲自画椭圆. 推椭圆方程之道（比、简）：对椭圆方程的推导是本节课的一大难点.之前学生已经系 统学习了如何求曲线方程，

10、对于“建系、设点、限制条件、坐标化”这几个步骤学生不会感 到困难，如何建系可通过研究性学习学案引导学生类比圆的标准方程建系过程.定值、 两个定点距离都由教师直接给出即可.真正难点在于“方程的化简”，由于这个方程有很多化 简方法（如：二次平方法、洛必达的和差术、赖特的平方差法、有理化法等）.为简化运算 过程，教师在课前给了学生足够的时间研究化简方法，除了考虑用二次平方法外，教师尽 量引导学生采用洛必达的和差术和赖特的平方差法来化简.在这个过程中，提升学生数学运 算等核心素养.对于完备性的证明，要通过化简方程时等价变形来说明，对此教材中没有明 确要求，教师提示一下即可，可由学生课后继续研究. 究椭

11、圆生成之变（整、联）：引导学生整合教材中的例题与练习题给出的椭圆除定义外 的其它几种具体的生成方式，主要与圆的伸缩变换、第二定义、第三定义有关.由于教材没 有直接给出一般意义下的第二、第三定义，所以这里不做过多引申.只给出两种定义的具体 表现形式，即焦点在 x 轴上，中心在原点的椭圆时的情形.此外，通过某些重要的方程建立 三种定义间的联系，进一步深化数形结合的思想.由于推导方程过程中没有进行完备性证明 ， 所以这里只研究由第一定义得到第二、第三定义的某种具体形式. 2 NO.1 Middle School Affiliated To Central China Normal Universit

12、y 赏椭圆曲线之用（查、用）：教材中椭圆曲线的应用主要体现在两个方面，一方面通过 P46 例 5 电影放映机的例题以及课后【阅读与思考】让学生了解椭圆的光学（声学）性质； 另一方面就是通过方程研究椭圆的性质，专门的几何性质放在下节课研究.在这里我们立足 数学史，给出一个历史传说，引导学生查阅椭圆的声学性质.并改编了传说，利用方程研究 实际问题，渗透用方程研究椭圆性质的坐标法思想，为下一节课专门研究椭圆的几何性质做 铺垫. 5教学基本流程 探椭圆历史之旅 研椭圆定义之理 推椭圆方程之道 究椭圆生成之变 赏椭圆曲线之用 二、教学过程展示 研究性学习学案见附页 学生分小组展示学习成果 环节一 探椭圆

13、历史之旅 学生活动一：数学兴趣小组依据学案问题提示演绎有关椭圆起源的历史短剧 剧中三个阶段 1.梅内克缪斯从古代计时沙漏中发现椭圆曲线（这一阶段没有明确的文献说 明，但是公认的是从生活中实物发现的）并提出“用平面截三种不同的圆锥得到三种圆锥曲 线.”2.阿波罗尼奥斯提出“用平面截同一个圆锥得到三种圆锥曲线”，并用纯几何方法证明 了一条非常重要的性质：椭圆上的点到两个定点的距离之和为定值.但证明过程非常复杂.3. 旦德林构造双球模型，巧妙证明椭圆上的点到两个定点的距离之和为定值. 【评析 1】通过短剧使学生了解椭圆的起源与发展，体验圆锥曲线文化的发展历程，感受古 代数学家的理性与智慧.同时由学生

14、亲自演绎短剧，激发学生的学习兴趣.在了解平面截圆锥 形成圆锥曲线以及分析旦德林双球结构的过程中，有助于发展学生直观想象等核心素养. 环节二 研椭圆定义之理 1.学生活动二：借助“旦德林双球”模型证明椭圆上的点满足的重要性质 （1）通过立几画板观察椭圆上的点 A 运动时， | AE | | AF | 为定值（如图 1）. （2）依据研究性学习学案的问题串提示证明| AE | | AF | 为定值. 证明： AB, AF 为同一个球的两条切线， 所以| AB | AF |，同理| AC | AE | 所以| AE | | AF | AC | | AB | BC | 又两个球与圆锥侧面的公共点形成的

15、曲线是两个圆， 且这两个圆所在平面是平行的，这两个平面与圆锥的底面也是平行的， 所以这两个平面与圆锥围成的封闭几何体是圆台， 又 BC 是圆台的母线，所以| AE | | AF | BC |为定值. （3）通过立几画板将平面抽取出来,在平面内观察点 A 运动时,| AE | | AF | 为定值（如图 2） （图 1） （图 2） 教师指出：依据旦德林双球结构，发现两个定点 E,F 与椭圆在同一平面内，从而将最初的 借助于圆锥这一空间几何体研究椭圆转化为直接在平面内研究椭圆.这是人们对椭圆研究的 一个巨大进步. 【评析 2】课前让学生学习立几画板的使用，增强了学生运用信息化手段研究数学问题的意

16、 识.立几画板中展示的“旦德林双球”模型十分直观，有助于学生对这一立体图形更好的理 3 NO.1 Middle School Affiliated To Central China Normal University 解.同时，通过（计算机）先计算点 A 运动时， AE AF 的值，根据结果猜测为定值，再进 行严格的数学证明，渗透了科学研究的一般方法.学生的逻辑推理、数学运算等核心素养也 得到了发展.学生证明性质后，教师要点明用旦德林双球模型证明这一性质的重大意义.也为 后面学生用绳子画椭圆做铺垫. 2.学生活动三：用绳子画椭圆，完善性质的逆命题，建构椭圆定义. （1）学生布置试验： 取一条长

17、度为 25cm 的定长的细绳，将它的两端拉开一段距离，分 别用钉子固定在图板的两点处（如图 3），两钉子间的距离为 20cm，套 上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，看看画出的轨迹是什么曲线？ 若将两钉子间的距离调整到 25cm ，再看看画出的轨迹是什么曲线？ 若将两钉子间的距离调整到30cm呢？ （图 3） （2）发现：常数等于两定点距离时，轨迹为线段；常数小于两定点距离时，轨迹不存在 （3）新知： 我们把平面内与两个定点 F1,F2 的距离的和等于常数（大于| F F | ）的点的轨迹叫做椭圆 1 2 （ellipse）.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距. 【评析 3】数学中的

18、定义都具有充分必要性。通过学生亲自动手画椭圆，使学生找到椭圆概 念的充分必要条件。有助于培养学生严谨的科学精神，进一步提升学生的直观想象、数学抽 象等核心素养. 3.教师简单介绍历史上画椭圆的方法 刚才我们用绳子画出了椭圆，但画的过程中，不好掌握方向，所以误差较大.事实上， 历史上荷兰数学家舒腾为我们提供了三种画椭圆的方法（如图 4），有兴趣的学生课后了解 椭圆规的结构，探究下为什么椭圆规画出的图形是椭圆. （图 4） 【评析 4】渗透历史上椭圆的画法，拓宽学生视野并引导学生进一步探究. 4.定义的简单应用 教师：除了画椭圆，还可以通过折纸折出椭圆，几何画板展示折纸过程. 在圆形纸片内任取不同

19、于圆心的一点 M ，将纸片折起，使 圆周过点 M ，然后将纸片展开，就得到一条折痕（如图 5） ， 这样继续折下去，得到若干折痕，这些折痕围成的轮廓就是 椭圆（如图 6）.你能说一下为什么吗？ 学生活动四：讨论、证明 连接OF 交 IJ 于 A ，则| AO | | AM | AO | | AF | r （定值） 且 r | OM | （图 5） （图 6） 由定义知， A 点的轨迹是椭圆. 【评析 5】应用椭圆定义探究由教材上 P49第 7 题改编的折纸试验. 环节三 推椭圆方程之道 1. 回顾（1） 我们是用什么方法来研究直线与圆两部分内容的？ 性质 学生：坐标法 （创始人：笛卡尔、费马）

20、 坐 标 法 由 形 到 数 由 数 到 形 数 形 结 合 4 方程 NO.1 Middle School Affiliated To Central China Normal University 教师：坐标法研究几何问题，即在探究曲线几何特征基础上，建立它们的方程，再通过方程 研究它们的简单几何性质.这种数形结合的思想方法也是我们研究椭圆等圆锥曲线的基本方 法.下面我们来推导方程 （2）求曲线方程的一般步骤？ 学生：建设限代化（证） 【评析 6】引导学生回顾解析几何的研究方法与求曲线方程的一般步骤是关键. 2.推导方程： （1）教师：通过研究性学习学案的提示，由画椭圆过程，猜想椭圆既是轴

21、对称图形又 是中心对称图形.受圆心在原点时圆的标准方程形式最简单的启发.你是如何推导椭圆方程 的呢？ （2）学生展示： 建：以经过椭圆两焦点 角坐标系 xOy F1, F2 的直线为 x 轴，线段 FF 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直 1 2 设：设 M(x, y) 是椭圆上任意一点.记椭圆的焦距为 2c， M 到 M | MF | | MF | 2a 限： 1 2 代： (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a 化： F F 的距离之和等于 2a 1, 2 学生 1：直接二次平方法 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a 直接平方得 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2

22、(x c)2 y2 (x c)2 y2 4a2 化简得 x2 y2 c2 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a2 整理得 x2 y2 c2 (x2 y2 c2 )2 4c2 x2 2a2 得 (x2 y2 c2 )2 4c2 x2 2a2 (x2 y2 c2 ) 平方得 (x2 y2 c2 )2 4c2 x2 4a4 (x2 y2 c2 )2 4a2 (x2 y2 c2 ) 整理得 a4 a2 (x2 y2 c2 ) c2 x2 即 (a c )x a y a (a c ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x y 2 2 同除以 a a c ，得 2 ( 2 2 ) 2 2 2 1 a

23、 a c 由 2a 2c, 即 a c,所以 a2 c2 0， x y 2 2 令b a2 c2 ，方程 2 2 1( 0) a b a b （这样做代换，不仅使方程具有对称性，而且b 有明确的几何意义） 移项后二次平方法 由 (x c)2 y2 2a (x c)2 y2 两边平方得 (x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2 (x c)2 y2 整理得 a2 cx a (x c)2 y2 （1） 两边平方得 a4 2a2cx c2 x2 a2 x2 2a2cx a2c2 a2 y2 整理得 (a2 c2 )x2 a2 y2 a2 (a2 c2 ) （2） 5 NO.1 Middle

24、 School Affiliated To Central China Normal University x y 2 2 同除以 a2 (a2 c2 )，得 2 2 2 1 a a c 由 2a 2c, 即 a c,所以 a2 c2 0， x y 2 2 令b a2 c2 ，方程 2 2 1( 0) a b a b 若以经过椭圆两焦点 F1, F2 的直线为 y 轴，线段 y x 2 2 椭圆方程为 2 2 1(a b 0) . a b 学生 2：老师，我有更简单的方法. FF 的垂直平分线为 x 轴， 1 2 (x c) y ,| PF | (x c) y 2 2 2 2 2 | PF |

25、 | PF | (x c) y (x c) y 4cx 2 2 2 2 2 2 1 2 m n 2a 记 | PF | m,| PF | n则 1 2 m2 n2 4cx 法一）将 n 2a m 代入 m2 n2 4cx ，得 m a c x a c x y 2 2 PF a x x c y ，化简得 | | ( )2 2 2 2 2 1 1 a a a c 法二） (m n)(m n) 又 m n 2a m n 2cx a c 得 m a x ，下同法一 a 法三）设 m a d,n a d 则 (a d)2 (a d)2 4cx cx c 得 d | PF | a x (x c)2 y2

26、，下同法一 1 a a 教师：这些方法的改进都是在逐步简化运算.学生 2 就是用两种方法来表示 | PF |，一种方 1 法是两点距离公式，另一种方法是通过分析 | PF |,| PF | 的表达式特点，构造了关于 1 2 | PF |,| PF | 的两个方程.再得到两个方程后，法一是直接消元解出| PF |；法二由平方差 1 2 1 公 式 构 造 了 关 于 | PF | | PF | 的 对 偶 式 | PF | | PF | ， 进 而 解 出 | PF | ； 法 三 设 1 2 1 2 1 | PF | a d,| PF | a d ，这是一种具有对称性的设法，而椭圆也具有对称性

27、，这种设 1 2 法可以理解为椭圆的对称性在代数形式上的一种体现.事实上，对于法二和法三，古代数学 家就已经使用过.法二是赖特的平法差法，法三是洛必达的和差术.当然还有其它推导方法， 比如有理化等，同学们有兴趣可以课后查阅. 附“有理化法”推导过程： (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a 同乘以有理化因式 (x c)2 y2 (x c)2 y2 左端平方差 得到 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2cx （1） a 又由 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a （2） cx 解得 (x c)2 y2 a a 6 NO.1 Middle School Affiliated T

28、o Central China Normal University 平方整理得 （下略） x y 2 2 2 2 2 1 a a c 证：教师指出，可以证明以方程的解为坐标的点都在椭圆上.请同学们课后证明. 【评析 7】通过类比圆心在原点时，圆的标准方程形式最简单，引导学生建立恰当的坐标系 推导椭圆方程.发展学生直观想象等核心素养.学生经历推导椭圆方程的过程，课上讨论不同 的推导方法，培养学生勇于探索的科学精神，发展数学运算等核心素养.进一步体会“坐标 法”的基本思想.同时，教师点出推导过程中渗透的方程思想、参数思想，对称以及对偶的 思想让学生体会. 新知： 1. 焦点在 x 轴上， x y

29、2 2 2 2 1(a b 0) ， 焦点坐标为 F c F c 1( , 0), 2 ( , 0) a b y x 2 2 2. 焦点在 y 轴上， 2 2 1(a b 0) ，焦点坐标为 a b 说明：这里 c2 a2 b2 F c F c 1(0, ), 2 (0, ) 教师解读标准方程的含义：焦点在坐标轴上，中心（两焦点连线段的中点）在原点的椭圆方程 环节四 究椭圆生成之变 1.学生展示教材上椭圆的生成方式 教师：定义也可以看成是椭圆的一种生成方式.我们又推导了椭圆的方程，研究椭圆的方式 变多了，对椭圆会有更深入的认识.依据研究性学习学案的提示，在课前你们已经查阅 了教材上介绍的生成椭

30、圆的途径.请小组成员展示 学生展示： （1）圆按某一方向做压缩变换 （教材 41页例 2）在圆 x2 y2 4 上任取一点 P ，过点 P 作 x 轴的垂线段 PD, D 为垂足. 当点 P 在圆上运动时，线段 PD 的中点 M 的轨迹是什么？为什么？ （2）到两个定点斜率之积为定值（不是整个椭圆） （教材 41 页例 3）设 点 A, B 的坐标分别为(5, 0), (5, 0) .直线 AM , BM 相交于点 M ，且它 4 们的斜率之积是 9 ，求点 M 的轨迹方程. （3）到定点与到定直线的距离之比为定值 25 （教材 47 页例 6）点 M (x, y) 与定点 F(4, 0)的距

31、离和它到直线l : x 的距离的比是常 4 4 数 ，求点 M 的轨迹. 5 2.师生互动，几何画板辅助了解椭圆生成方式 教师：你依据什么说这样画出的轨迹是椭圆？ 学生：求出的方程形式和椭圆标准方程形式一致. 教师：除了将圆按某方向压缩得到椭圆，拉伸可以吗？ 学生：应该也可以. 教师：请参看教材 50 页 B 组第 1 题. DP x 轴，点 M 在 DP 的延长线上，且.当点 P 在圆 x2 y2 4 上运动时，求点 M 的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 教师：斜率之积未定值、距离之比为定值.那么改变定值还是椭圆吗？ 教师几何画板演示，改变定值时曲线的形状变化.（如图 7） 7 NO.1 Mi

32、ddle School Affiliated To Central China Normal University （图 7） 【评析 8】课前引导学生查阅教材，发现除第一定义外的另外三种具体的生成方式，使学生 体会到椭圆的几何特征可以有不同的表现形式.为后面生成方式一般化，得到第二定义、第 三定义的某种形式做铺垫.同时几何画板的展示使学生直观感受到定值的改变对曲线形状的 影响，避免学生对生成方式产生错误理解. 3.教师引导学生思考生成方式之间的联系 教师：生成方式不同，但生成的曲线都是椭圆.这些生成方式有没有更紧密的联系呢？我们 知道，方程往往蕴含着某些几何意义，比如说：方程 (x 1)2

33、(y 1)2 1表示(x, y)与 (1, 1) 的距离为 1.那我们就观察下标准方程推导过程中的两个方程： a2 cx a (x c)2 y2 (a2 c2 )x2 a2 y2 a2 (a2 c2 ) 这两个方程是否蕴含着某种几何意义？这些几何意义与这几种生成方式是否有联系？ 学生活动五：讨论、展示 对于 a 2 c 0 (x c) y c 2 2 a a 2 x c 表示点 (x, y)到 (c,0) 的距离与点 (x, y)到直线 x a 2 的距离之比为常数 c c a y y c a c 2 2 对于 x2 a2 时， 2 ( ) 1 2 x a x a a a c 表示点 (x,

34、y)与 (a, 0), (a,0)两点连线的斜率之积为常数( )2 1 a 教师指出：这也是椭圆的第二、第三定义的一种表现形式 （以焦点在 x 轴，中心在原点的椭圆为例） 2 1.到定点 F(c, 0)(c 0) 与到定直线l : x 点轨迹是椭圆. a 距离之比是常数 c (0 c 1) c a a c (0 c 1) 2.与两个定点 (a, 0), (a,0)连线的斜率之积为常数( )2 1 的点的轨迹是椭圆. a a 【评析 9】 通过两个重要的方程，我们建立了三种定义之间的联系.从第一定义（曲线性质） 推导方程，再从方程蕴含的几何意义，得到第二定义、第三定义（曲线性质）.进一步深化 数

35、形结合的思想方法.同时，第二定义、第三定义的某种形式的给出又将教材中例题的两种 生成方式一般化. 环节五 赏椭圆曲线之用 1.通过传说了解椭圆的声学性质 教师：带学生回顾“杰尼西亚的耳朵”这一传说.请学生说一说其中的奥秘. 据说，很久以前，意大利西西里岛有一个山洞，叙拉古的暴君杰尼 西亚把一些囚犯关在这个山洞里.囚犯们多次密谋逃跑，但每次计划都 被杰尼西亚发现.起初囚犯们认为出了内奸，但始终未发现告密者.后 来他们察觉到囚禁他们的山洞形状古怪，洞壁把囚犯们的话都反射到狱 8 NO.1 Middle School Affiliated To Central China Normal Univer

36、sity 卒耳朵里去了，于是囚犯们诅咒这个山洞为“杰尼西亚的耳朵”. 学生：山洞内壁是一个椭圆形，囚犯和狱卒分别位于椭圆的两个焦点处，由椭圆的声学性质， 囚犯发出的声音经过椭圆内壁反射后，会传到狱卒的耳朵. 【评析 10】通过史料使学生了解椭圆性质，并为后面利用坐标法解决问题做材料上的铺垫. 2.坐标法解决传说问题 教师：事实上，这只是杰尼西亚的耳朵上半段传说，还有下半段，我们一起来看一下 囚犯得知是狱卒偷听他们的谈话后，十分生气.于是想着要教训下狱卒，打算向上扔绳子打狱卒.囚犯 走到崖底，大约 40米.囚犯、狱卒、崖底大致在一条直线上，并测得沿与该直线垂直的方向到达山洞内壁， 约 64米.请

37、你计算下，囚犯们用最短多长的绳子才能打到狱卒. 学生活动六：讨论、展示 以囚犯、狱卒所在的直线为 x 轴，囚犯、狱卒连线段的中点为原点建系， 设椭圆方程为 x y 2 2 2 2 1(a b 0) a b 令 y 0，得 x aa c 40 令 x c ，得 易得 c 60 y b 2 a b 即 (a c)(a c) 64 2 64b 即 (a c)(a c) 64 a a 所以绳子最短要 120米才能打到狱卒. 【评析 11】同时将实际问题抽象成数学问题，培养学生的数学建模等核心素养.进一步深化 坐标法解决几何问题的思想. 总结： 知识：椭圆定义方程 文化：椭圆研究历史 方法：坐标法 思想

38、：数形结合 应用：数学源于生活，应用于生活 教师：同学们我们在椭圆的应用中，得知椭圆的声学性质，你还想了解椭圆的其它性质吗？ 预知后事如何，请听下回分解. 【评析 12】为下节课研究几何性质做铺垫. 作业 课后探究 （1） 请了解舒腾使用的椭圆规的结构，并用代数方法证明画出的曲线是椭圆. （2） 请完成椭圆方程推导过程中的“完备性证明”. 9 NO.1 Middle School Affiliated To Central China Normal University 三、教学反思 本节课采取“课前学生查阅资料自学、小组内成员交流学习成果；课中各组展示学习成 果、教师引导学生拓展探究；课后继

39、续课上未完成的探究”这样一种“探究展示过程贯穿于 课前、课中、课后”的研究性学习方式来进行.通过教学实践，认识到教学活动的重心应由 “重视教”转为“重视学”，应放在促进学生学会学习上，包括通过研究性学习学案的 问题串引导学生通过互联网自主获取资料、独立思考、动手实践、自主探索、合作交流等. 可取之处：本节课充分挖掘有关椭圆研究的历史中的教学资源与价值观教育资源，采取 问题化方式，将数学“史学形态”转化为“教育形态”.改变了课堂学习模式，将一节传统 的“由拉绳子画椭圆进而抽象出椭圆定义，再由定义推导方程”变成了一节“以圆锥曲线这 一单元为背景”下的研究性学习课.实现了“核心素养导航、整体设计定位

40、、数学史料融合” 的三位一体的教学设计策略. 改进之处：在引导学生课前自学新知阶段，是不是可以更彻底.比如说“历史上推导椭 圆方程的方法、椭圆规的相关知识是否可以由学生查阅资料，动手操作来完成.课的结尾除 了老师或者学生总结外，还可不可以更精彩”，这些都是有待进一步尝试的. 四、 教学点评 本节课突破了一堂新课的常规上法，以学生课前预习、探究、查阅资料为前提，课 堂以学生展示课前学习成果为主体，巧妙的融入了数学文化和数学史。既是一堂生动有趣的 数学课，又是一堂深入的研究课，数学核心素养在本节课中得到很好的体现。 1.融入数学文化 本节课通过一组历史短剧创设情境，让学生了解历史上椭圆的起源和发展

41、，梅内克缪 斯提出“用平面截三种不同的圆锥得到三种圆锥曲线”，阿波罗尼奥斯提出“用平面截同一 个圆锥得到三种圆锥曲线”，由“旦德林双球”模型证明椭圆性质，把学生的思维带入历史 长河，激发了学生的好奇心和求知欲，出奇制胜。介绍了坐标法的创始人笛卡尔和费马；推 导椭圆标准方程时用到的和差术和平方差法分别是古代数学家洛必达和赖特曾经用过的方 法；最后椭圆的应用以“杰尼西亚的耳朵”这一传说为背景。整节课多处巧妙的融入数学史 和数学文化，让学生领悟到数学的文化价值和审美价值。 2.引领学习模式 （1）改变课堂模式：本节课打破传统课堂的课堂学习模式，采用翻转课堂模式，即首先课 前学习知识，然后课堂内化知识

42、，将一节常规新课的教学，通过学生课前学习和课堂展示， 俨然成为一节研究课。本节课采用自主学习、合作交流、深入探究等多种学习方式，既有独 立思考，又有动手实践，符合学生的认知水平，激发了学生学习的潜能。 （2）重视探究活动：本节课探究无处不在。在建构出椭圆定义后，用定义探究由课本上习 题改编的折纸试验。教师引导学生从两个重要的方程的几何意义探究三种定义间的联系。椭 圆标准方程的推导，除了课本的推导方法以外，引导学生多角度思考问题，学生先后用五种 不同方法推导出椭圆的标准方程，其中两种方法与古代数学家的推导不谋而合，激励了学生 的自信心。探究过程让学生的学习过程成为一个再创造、再发现的过程，培养了

43、学生创新意 识的发展。 （3）知识前后联系：引导学生在自学过程中，将课本知识前后联系，发现了椭圆定义以外 的三种不同生成方式，教师引导学生分析课本中椭圆标准方程的推导过程中的两个重要方程 的几何意义，通过学生深入思考和交流，发现椭圆的标准方程的推导过程中蕴含着椭圆的第 二定义和第三定义，从而将本节知识前后内容融为一体。 3.彰显课标理念 （1）学生发展为本：充分展现学生在课堂的主体地位。从历史短剧的表演，到椭圆定义的 形成，椭圆标准方程的推导，椭圆其它的生成方式，椭圆的实际应用，整个过程都是学生参 与课堂，以小组为单位展示自己和小组成员的研究成果，充分体现了科学精神和创新意识， 10 NO.1

44、 Middle School Affiliated To Central China Normal University 培养了学生的关键能力。 （2）凸显数学思想：本节课按照椭圆历史椭圆定义椭圆方程椭圆生成方式 椭圆应用这一条主线，从椭圆历史中“旦德林双球”证明椭圆性质，进而得到定义。通过 建立平面直角坐标系，研究椭圆方程，再从椭圆的方程认识椭圆图形并了解椭圆的其它生成 方式以及用方程研究椭圆曲线的应用，这种从形到数、再从数到形的研究方法凸显了数形结 合这一主要数学思想在解析几何中的应用。 （3）融合信息技术：课本例题与习题中几种椭圆形成方式，都是具体的数据，为了说明问 题的一般性，借助几何

45、画板，将数据不断调整，直观感受到不同的数据对图形形状的影响， 体现了信息技术的优越性，提高了课堂的实效性。 3.落实核心素养 本节课将知识技能的掌握与数学学科核心素养有机结合。从历史短剧中借助实物模型展 示和学生的直观想象，建立圆锥曲线的数学模型，其中重点讲述椭圆模型。提升了学生的直 观想象等核心素养。通过旦德林双球模型证明椭圆的本质性质以及用绳子画椭圆后抽象出椭 圆的定义，学生的逻辑推理、数学抽象等素养得到发展。在椭圆标准方程的推导过程中，利 用定义和椭圆图形的几何性质，根据代数式的结构特征，用五种不同方法进行推导，培养了 学生的数学运算等核心素养。通过方程解决与椭圆有关的实际问题，培养了学

46、生数学建模等 核心素养。总之，数学抽象，逻辑推理，数学建模，直观想象，数学运算等数学核心素养在 本节课中得到了充分的体现。 本节课是一节成功的展示课，充分体现了新课标的理念，对于教师的教法和学生的学习 模式都是一种全新的诠释。 附 ：“椭圆的定义和方程”研究性学习学案设计 课前自主学习，各小组组内交流学习成果，推荐中心发言人，课上分小组展示学习成果. 学习目标： （1） 查阅有关椭圆的起源与发展的历史材料，了解椭圆的来由，体验蕴含的数学文化. （2） 经历对“旦德林双球”模型的探究过程，抽象出椭圆的定义，并能依据椭圆定义推 导椭圆的标准方程.进一步体会数形结合的基本思想. （3） 了解椭圆除定

47、义外的其它生成方式. （4） 了解椭圆的简单应用.体会数学来源于生活、应用于生活的理念. 学习过程： 一椭圆曲线起源 请查阅相关资料，回答以下问题. 问题 1 请查阅古希腊人对圆锥曲线的研究历史，说一说人们是如何在日常生活中发现椭圆 的，以及为什么“椭圆、双曲线、抛物线”被称为圆锥曲线？ 问题 2 古希腊数学家阿波罗尼奥斯（Apollonius）对圆锥曲线的研究做了哪些重要贡献？ 问题 3 比利时数学家旦德林（Germinal Dandelin）为证明椭圆上的点满足的重要几何性质 构造了“旦德林双球”模型（图 1） .请查阅教材中的阅读材料，了解“旦德林双球” 的结构特点，并依据图 1，写出旦

48、德林证明的结论. （图 1） 11 NO.1 Middle School Affiliated To Central China Normal University 二椭圆定义探究 问题 4 请你借助互联网学习立几画板（或几何图霸）等软件的使用，构造“旦德林双球” 模型.观察点 A （如图 1）运动过程中， AE AF 是否为定值？并依据以下提示证 明你的结论. 思考： 1. 图中 A, B,C, E, F 哪些点为定点？哪些点为动点？ 2. 图中四条线段 AB, AC, AE, AF ，有长度相等的线段 吗？是哪几条？ 3. 两个球与圆锥侧面的公共点形成什么曲线？ 4. 两个曲线所在平面有怎

49、样的位置关系？与圆锥底面有 怎样的位置关系？ 5. 两个平面与圆锥围成的封闭几何体是什么？ 6. AE AF 是定值吗？为什么？ 问题 5 问题 4 得出了椭圆上的点满足的重要几何性质，请思考：满足这一性质的点的轨迹 一定是椭圆吗？请你依据教材 38页的探究内容动手画一画，说明你的结论. 问题 6 请你根据前面的研究，归纳椭圆定义 三椭圆方程推导 记椭圆上的点到两个焦点的距离之和为 2a ，焦距为 2c .由之前的画图可以猜想，椭圆既是 轴对称，又是中心对称图形，受圆心在原点时圆的标准方程形式最简单的启发，请你建立恰 当的平面直角坐标系来推导椭圆方程.（把你想到的所有推导方法都写出来） 总结椭圆的标