二项式定理教案(教学设计)（第九届全国高中青年数学教师优秀课展示与培训活动）.docx

1、1.3.1 二项式定理(第一课时) 教学设计 河北省秦皇岛市第一中学 刘志诚 一、一、教学内容解析教学内容解析 “二项式定理”是人教 A 版普通高中课程标准试验教科书 数学（选修 2-3） 第一章第三节 知识内容， 它是初中多项式乘法的继续和高中计数原理的应用， 同时也是高中学习数学期望等内容 的基础，因此二项式定理起着承上启下的作用。另外，二项式系数是一些特殊的组合数，利用二项 式定理又可以进一步加深对组合数的认识。总之，二项式定理是综合性比较强的，具有联系不同知 识内容的作用。 教学重点：利用计数原理分析二项展开式，归纳得到二项式定理。 本节课为概念教学课，可以使学生探究问题的过程中体验从

2、特殊到一般、类比归纳、化归与转 化等数学思想方法，也自然关注了学生数学抽象、逻辑推理等数学核心素养。 二、二、教学目标设置教学目标设置 1， 学生在情境问题的解决过程中和情境问题下的一系列思考问题和追问问题的探究中体会到学 习二项式定理的必要性和合理性。 2，学生经历了二项式定理的观察、分析、归纳、类比、猜想及证明的全部探究过程，提升了数 学抽象、逻辑推理和数学建模等数学核心素养，并且学生在二项式定理的发现、推导过程中，掌握 了二项式定理及其推导方法。 三、三、学情分析学情分析 学生初中学习过多项式乘法法则，并且刚刚学习了计数原理和排列组合知识，对本节课分析 n ba)( 展开式结构以及利用计

3、数原理分析项的系数提供了帮助，同时授课学生为高二学生，有着 一定的归纳推理能力，分析转化问题的能力。 但是，本节课思维含量比较大，对思维的严谨性和逻辑推导能力以及分类讨论，归纳推理能力 等有着很高的要求， 需要学生利用多项式乘法法则归纳乘积项的结构， 并能利用计数原理分析项的 系数， 学生学习起来有一定难度。 而且学生在学数学过程中， 往往只习惯于重视定理、 公式的结论， 而不重视推导过程，这都为本节课的教学带来了难度。 根据以上学情，制定如下教学难点： 教学难点： 如何让学生想到利用计数原理去分析二项展开过程； 如何发现二项式展开成单项式 之和时各项系数的规律。 四、四、数学情境与学习问题的

4、设置数学情境与学习问题的设置 根据本节课内容特征及学生特点,设计中强调创设出不仅能紧扣教学目标，又能靠近学生的最 近发展区， 同时又具有较丰富的数学信息的数学情境， 以便于在此情境中提出数学问题和解决数学 问题,使学生在获取数学知识的同时体验数学知识的形成过程。这样才能更有利于解决本节课数学 知识的抽象性与学生思维的具体性之间的矛盾， 从而也能提升学生的数学抽象和逻辑推理的核心素 养。 本节课重点从情境的来源、 情境设计的意图和围绕情境意图设计问题三方面关注了数学情境与 学习问题的设置。 1，情境来源 情境设计应以学生已有知识或熟悉的生活现象为出发点， 设置已经学了数学知识为情境。 为此， 本

5、节课从教材中的学生熟知的一个数学问题,即关于多项式相乘且能结合计数原理的知识出发设置 了探究)()( 54321321321 cccccbbbaaa展开式的项数的问题情境和求 3 )(ba展开式 的各项组成形式和各项系数的情境。 2，情境意图 情境设置的意图重在考察学生运用已有知识和经验分析问题和解决问题的能力， 建立特例问题 与一般数学结论间的联系。 本节课中这两个情境可以帮助学生获得多项式相乘时， 各乘积项形成的 方法以及根据各乘积项形成的过程结合计数原理分析各项的系数， 而这正是解决二项式定理的两个 前提，并且在此过程中也提升了学生数学抽象和逻辑推理的核心素养。 3，情境的问题设计 问题

6、的设计应通过针对情境特征的剖析， 通过设置思考和追问等问题形式结合学生独立思考和 小组探究等活动，引导学生深入反思，强化概念形成的合理性和科学性。本节课就是在两个情境问 题的解决过程中设置了一系列思考和探究活动， 重在使学生自然发现利用多项式乘法法则得到乘积 项特征以及利用乘积项特征结合计数原理分析系数的本质， 期间关注了数学抽象和逻辑推理等核心 素养。 五、五、教学策略分析教学策略分析 为了便于教学的顺利切入和展开，本节课从计数原理的一道课后练习入手，求乘积 )()( 54321321321 cccccbbbaaa展开后共有多少项，既符合学生的最近发展区，也巧妙 地让学生经历了从多项式法则结

7、合计数原理分析特殊的多项式乘积展开的问题。 既分散了教学重难 点， 又能通过问题的进一步特殊化和一般化层层推进教学， 也符合数学问题发生和发展的探究过程。 为了调动学生探究积极性，使每个学生经历定理的探究过程，遵循以学生为主体，教师是课堂 活动的组织者、引导者和参与者的课堂教学原则，教学上采取“启发式教学”方法；学生主要采取 自主学习和小组合作相结合的“探究式学习法” ，小组合作也为不同认知学生提供了学习的机会和 帮助。 为了探求知识发生发展的根源，结合学生思维发展规律，本节课采取由特殊到一般，由一个特 例入手，层层推进设计“问题串”教学，以问题的提出，问题的解决为主线，始终在学生的“最近 发

8、展区”设置问题。 本节课倡导学生主动参与，引导学生观察和分析问题，通过不断探究、发现，在师生互动，生 生互动中完成二项式定理的探究。 六、教学过程六、教学过程 1、创设情、创设情境境 初步体验初步体验 问题问题 1:在教材 10 P有这样一个问题， 乘积)()( 54321321321 cccccbbbaaa展开后共有多少 项？你认为如何解决这一问题？ 设计意图：设计意图： （1）检验学生多项式乘法法则是否清楚，这是为什么可以利用计数原理分析二项展开式的原因； （2）使学生明确，分析多项式乘积结果时可以运算展开、计数原理分析和模拟摸球三种策略； （3）通过问题的特殊化和一般化，便以引出课题，也

9、符合数学问题认知规律。 预设 1: 根据多项式运算，展开求解。 预设 2: 共有45533项。 追问追问 1：你能解释一下这三个多项式相乘，运算结果为 45 项的运算过程吗？ 预设 1： 根据多项式运算法则， 乘积每一项都是 kji cba形式， 结合分步乘法计数原理共有45533 项。 预设 2：将每一个因式看成是不同的盒子，因式中每一项看成盒子里不同的球，那么每个因式各取 一项相乘有多少项就变成了每个盒子各取一个球，构成三个球的组合有多少个的问题。 思考思考 1: 是否所有的多项式相乘求展开式项数问题都能类似问题 1 的方法快速求出？ 预设：不是，当各因式相同时乘积有同类项，合并后项数发生

10、改变。 追问追问 1：请举例说明。 预设： 222 2)(bababa，项数发生改变不是 4。 师：这位同学给我们提出一个新的问题，当因式相同时展开会有同类项需要合并，项数发生改变， 当然各项系数也有变化。下面我们就来尝试能否解决相同因式相乘中最特殊的一类，即 n ba)( 展 开式有什么特征?项数，各项系数和次数是多少? 2、探究归纳探究归纳 发现规律发现规律 创设情境 初步体验 思维拓展 能力提升 实战演练 巩固新知 知识建构 认识定理 探究归纳 发现规律 回顾反思 归纳总结 问题问题 2: 请同学们设计一个探究 n ba)( 的展开式思路。 预设：由特殊到一般，先研究4 , 3 , 2n

11、时情况。 追问追问 1：观察特例展开式的哪些信息有助于帮助我们得到一般展开式的规律，进而得到 n ba)( 的 展开式。 预设：各项组成形式、项数、各项系数和次数。 思考思考 1：请同学们按照设计的思路进行研究，看能否帮助我们得到 n ba)( 的展开式。 师生活动：师生活动：学生先独立思考，然后再小组探讨，最后请小组代表发言展示探究结果。 预设 1：总结出 n ba)( 展开式项数为1n，次数为n，各项形式为 kkn ba ，但是各项系数没有得到 规律。 预设 2：个别同学发现了系数的“杨辉三角”规律，但是只能各项递推，并不能得出一般式系数。 思考思考 2: 请同学们结合问题 1 的解决带来

12、的启发，思考能否不通过多项式相乘计算展开，探究一下 为什么 3 ()ab展开式的组成结构只能是形如 3223 ,babbaa这样的项？当然这就解决了展开式项数 为 4，各项次数为 3 的问题。 同时思考能否根据各项的形成过程结合所学知识求出各项的系数？ 师生活动：师生活动：学生先独立思考，然后小组交流探讨，教师巡视交谈，最后请小组代表发言解决。 预设 1： 3 a这样的项只能每个因式都取a相乘，只有一种情况，因此系数为 1，而产生ba 2 需要在 3 个因式)(ba 中有 2 个取a，1 个取b相乘，利用分布乘法原理结合组合数的意义，这样的情况有 1 1 2 3C C，即 3 种，因此ba 2

13、 的系数为 3，其余各项系数类似可得。 预设 2:模拟摸球。 追问追问 1: 请同学们思考刚才的推导方法4n时是否适用？ 预设：适用。 追问追问 2：请同学们按照上述方法快速给出 4 )(ba的展开式。 师生活动：教师巡视，边巡视边与学生交谈，纠正问题。 思考思考 3: 请同学按照刚才得到的规律和方法，猜想一下)()( Nnba n 的展开式，并观察展开式有 多少项，展开式各项的组成形式有什么特征，能否用一个式子表示这个特征？ 师生活动：师生活动：学生先独立思考，然后小组交流探讨，教师巡视交谈，最后请小组代表发言解决。 预设： 猜想 nn n n n n n n n n baCbaCbaCba

14、Cba 02121100 .)( ， 共有1n项， 每一项的都是n次， 每一项可以写成 kkn ba 的形式，系数是 k n C。 追问追问 1：能否解释一下，为什么每一项都是成 kkn ba 的形式，系数是 k n C。 预设 1：多项式乘法法则分析项的组成形式，计数原理分析系数。 预设 2：模拟摸球模型解决。 追问追问 2：我们能不能说展开式中的每一都是).2 , 1 , 0(nkbaC kknk n 的形式？ 预设：是。 3、知识建构知识建构 认识认识定理定理 问题问题 3: 公式)(.)( *110 NnbCbaCbaCaCba nn n kknk n n n n n n 叫做二项式定

15、理，右侧 展开式称为 n ba)( 的二项展开式。请同学们观察二项展开式一共有多少项？次数是多少？各项系 数是多少？a的次数排列规律是什么？b的次数排列规律是什么？通项 kknk n baC 是二项展开的第 几项？ 预设：共有1n项，次数都是n，系数为 k n C，a按降幂排列，次数由n到0，b按升幂排列，次数 由 0 到n，通项 kknk n baC 是展开式的第1k项. 师： 请大家结合定理得推导过程牢记定理内容， 我们称各项的系数).2 , 1 , 0(nkC k n 为二项式系数， 二项展开式的通项用 1k T表示，记为).2 , 1 , 0( 1 nkbaCT kknk nk 即通项

16、为展开式的第1k项. 追问追问:大家想不想知道二项式定理的创始人? 师：讲述二项式定理得创始人牛顿，以及牛顿在数学上所作的贡献，提升学生数学文化。 4、实战演练实战演练 巩固新知巩固新知 例1，求 5 ) 1 2( x 的展开式； 问题问题 4: 观察 5 ) 1 2( x 的结构，根据这节课所，,你准备如何解决这个问题? 预设: 直接利用公式展开。 追问追问 1:公式中的nba,在本题中分别是多少？ 预设:令5, 1 , 2n x ba 设计意图设计意图： （1）巩固二项式定理内容； （2）理解定理中ba,是任意的，根据题干将问题化归成二项 式形式。 例 2， （1） 6 ) 1 2( x

17、x 的展开式的第 5 项的系数为 ； （2） 6 ) 1 2( x x 的展开式中 2 x 的系数为 。 问题问题 5：观察分析例 2 (1)，你准备如何解决这个问题？ 预设 1：由通项公式).2 , 1 , 0( 1 nkbaCT kknk nk 知4k，所以第 5 项系数为15 4 6 C。 预设 2：带入通项公式计算 2 424 65 60 ) 1 ()2( xx xCT，所以系数为 60。 设计意图：设计意图： （1）探究展开式某一项时，通项公式是常用方法。 （2）二项式系数与项系数的区别。 （2） 6 ) 1 2( x x 的展开式中 2 x 的系数为 。 问题问题 6：分析第(2)

18、问，你准备如何解决？ 预设 1：根据题意 2 x 肯定为展开式中某项，因此利用通项公式 kkkkkk k xC x xCT 266 6 6 61 2) 1 ()2( ， 可得2k，因此系数为24024 2 6 C。 预设 2: 因为展开式的各项就是从 6 个) 1 2( x x 中分别选出x2或 x 1 相乘，因此想获得 2 x这样的项只 能是 4 个x2与 2 个 x 1 相乘，即 24 ) 1 ()2( x x，可知此项为 2242 6 240) 1 ()2(x x xC，所以系数为 240。 设计目的设计目的： （1）强化二项式通项公式在解决展开时某一项问题时的应用； （2）检验学生是否

19、掌握 二项项式定理推导的思想方法以及思想方法在实际问题中的应用。 5、思维拓展思维拓展 能力能力提升提升 问题问题 7: 求 52 )(yxx的展开式中 25y x的系数。 思考思考 1: 此问题中多项式是 3 项,我们还能否利用二项式定理解决,结合例 1 和例 2 的收获,你准备如 何着手解决这个问题? 预设 1:将yxx 2 中 2 项看成一项,令ybxxa, 2 ,利用二项式通项公式 25 yx这样的项只能是 在 2322 5 )(yxxC中得到,再将 32 )(xx 展开寻求 5 x这样的项就可以. 预设 2：根据多项式相乘法则，得到 25 yx这样的项，需要在 5 项中选 2 个选取

20、y，剩下的 3 项中选 定 2 个取 2 x，1 个选取x相乘就可以得到 25 yx，根据分步乘法原理，这些项共有 1 1 2 3 2 5 CCC种选法， 因此系数为30 2 3 2 5 CC。 设计意图设计意图： （1）培养分析问题，化归转化问题的能力； （2）通过两种方法对比，使学生明白学习 中不但要掌握结论是什么，更重要的是要理解为什么，即结论推导过程中蕴含的思想方法。 6、回顾反思回顾反思 归纳总结归纳总结 问题问题 8: 本节课，我们从课后一个练习入手，通过两个特例探究发现了如何结合计数原理和多项式 乘法法则探究多项式乘积展开的项的组成结构， 项数和系数， 并利用这一发现最终获得了一

21、般的二 项展开式，即二项式定理。请同学们回顾整个过程，你在知识上和思想方法上都有哪些收获，在学 习数学上有哪些启发？ 预设 1：学会了二项式定理，以及它的通项公式，并利用它们解决展开项问题。 预设 2：学会了推导多项式乘积展开式的方法，根据多项式乘法法则，可以分析出乘积项的结构特 征，并且结合计数原理分析项数和系数。 预设 3：体会到特殊问题的解决往往蕴含着一般的思想方法。 师：正如同学们所说，通过这节课，第一，我们掌握了二项式定理以及它的通项公式，并能利用它 们解决一些二项式展开问题， 当然在应用时我们还要注意一些细节， 比如二项式系数和项系数的区 别，通项代表的是第1k项等。第二，我们学会

22、了利用公式的推导思想方法去分析一些给定的多 项式展开问题。第三，体验了一些数学思想方法，比如特殊到一般、类比归纳、建立模型、化归与 转化等，希望同学们在以后的学习中多加体会。 七、课堂目标检测七、课堂目标检测 1. （1）写出 n ba)( 的展开式； （2）写出 n x1的展开式。 2.（1）分别求出 62 ) 1 2( x x 的展开式的第 4 项的二项式系数和第 4 项系数。 （2）求 9 ) 1 ( x x 的展开式中 3 x的系数。 3. 求 6 )(cba展开式中 222 cba的系数。 4. 根据本节课学习过程，请设计一个求 n cba)(展开式的探究思路？ 布局精巧布局精巧 培

23、养能力培养能力 关注核心素养关注核心素养 -对对“刘志诚老师二项式定理评优课刘志诚老师二项式定理评优课”的点评的点评 赵成海赵成海 特级教师特级教师 刘志诚老师的“二项式定理”(第一课时)的参赛课，特点突出，优点明显。请看以下几点。 一布局精巧一布局精巧 郑毓信教授曾提出过数学教师要练好三项基本功：善于举例，善于优化，善于提问，一节好的 数学课离不开教师在这三方面的驾驭能力。本节课的精巧布局就已经引人入胜，首先引例， “)()( 54321321321 cccccbbbaaa展开后共有多少项” (笔者以为这正符合 “善于举例善于举例” )， 非常符合学生的最近发展区， 巧妙地引导学生从已有的经

24、验中， 提炼了如何从多项式法则结合计数 原理分析特殊的多项式乘积展开问题的求解思维， 达到既分散了教学重难点， 同时又能通过问题的 进一步特殊化、一般化层层推进教学；其次本节课较多地提问，能够激发学生独立深入地思考，引 导学生对自己思维活动的监控、调整，有助于提高学生元认知能力，并且整节课的提问，大多带有 鼓励性、引导性、启发性，并且在提出第一个问题的同时，不断的追问，因而使课堂提问更为有效 且显然丰富多彩(笔者以为这正符合“善于提问善于提问”)；第三，教师善于引导学生，能够通过对旧知识 回顾与分析，得到启发，也就是从学生最近发展区入手，使学生产生探究新知的欲望，形成新的认 识，解决新的问题(

25、这就是“善于优化善于优化”)。 二二 培养能力培养能力 本节课，教师在培养学生能力方面也很突出，比如：引题后开门见山，直接给出问题： )()( Nnba n 的展开情况如何？学生思考并回答研究方案，即从特殊的入手，这正是学以致用， 学生有意识地将以往学过的逻辑推理方法， 自学地应用到新知识的学习与探究中， 特别是学生活动， 小组交流进行研究探讨(课堂气氛热烈)，因此体现出本节课在能力方面的培养 1对于归纳推理能力方面的培养，在学生研究后的展示中是通过对二项式中指数为 2，3，4 时 33223 ()33abaa babb等 的 展 开 式 特 点 的 分 析 与 探 讨 多 少 项 各 项 结

26、 构 形 式 )3 , 2 , 1 , 0( 3 kba kk a，b 分布规律各项系数(学生回答时时没有得出，通过另一小组补充，对称 美等思维特点寻求到杨辉三角特性)学生进一步对系数特点进行探讨，层层深入，寻求规律，从 而猜想出一般情况下)()( Nnba n 的展开情况，并且得出展开式的通项，整个分析与研究过程使 人跃跃欲试收获颇丰； 2对于分析转化问题的能力的培养，后面在定理应用方面的例 1，例 2 等，循序渐进，学以致用 展开式的应用、通项的应用、系数与二项式系数等区分与联系；并且课下的思考问题，求 52 )(yxx的展开式中 25y x的系数，使学生学习新知后的分析能力的升华，足见教

27、师的教学设计 的艺术性。 教会学生思考比教会学生做题更重要， 而本节课对学生各方面能力的培养恰恰就是在教会学生 思考方面做足了文章。 三关注核心素养三关注核心素养 2017 年普通高中数学课程标准（修订稿） 提出了数学区别于其他学科的核心素养包括：数数 学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。 本节课在数学抽象和逻辑推理的核心素养方面的培养有其精彩之外， 对于数学建模也很有见地， 比如将引例预设成：将每一个因式看成是不同的盒子，因式中每一项看成盒子里不同的球，那么将每一个因式看成是不同的盒子，因式中每一项看成盒子里不同的

28、球，那么 每个因式各取一项相乘有多少项就变成了每个盒子各取一个球每个因式各取一项相乘有多少项就变成了每个盒子各取一个球，构成三个球的组合有多少个的问构成三个球的组合有多少个的问 题。题。这是参赛老师区别于其它关于“二项式定理课例”所特有的见地。特别是学生的活动贯穿于整 个教学过程中，每一位学生无时不在参与到教学过程中，不断地进行思考与探索，使课堂在融洽的 兴趣盎然的氛围中有序进行，教学过程给人以美不胜收之感，课后学生的感受发自内心，收获更是 不胜枚举。 引入数学史，杨辉三角(比外国早 500 年) 感受数学文化，激发爱国热情与民族自豪感； 牛顿是二项式定理的创始人，以及牛顿在数学上所作的贡献，激发其求知与探索欲望。 总之，本节是很接地气的一节新授课。