七年级数学上册3.4实际问题与一元一次方程用一元一次方程解实际问题-（新版）新人教版.doc

1、 1 用一元一次方程解实际问题用一元一次方程解实际问题 一、和、差、倍、分问题：本类问题依具体题意，由和、差、倍、分列方程求解 例 1 某大型商场三个季度共销售 DVD2800 台，第一季度销售量是第二季度的31，第三季度销量是第二季 度的 2 倍，问第三季度销售 DVD 多少台？ 分析：列总量=各分量之和 解：设第二季度销售量为 x，则31x+x+2x=2800 x=840 2x=1680 答：第三季度销售量为 1680 台 二、人数调配问题 本类问题依调动后列等量关系 例 2 甲、乙两个工程队分别有 80 人和 60 人，为了支援乙队，需要从甲队调出一部分人进乙队，使乙队 的人数比甲队人数

2、的 2 倍多 5 人，问从甲队调出的人数应是多少？ 解：应从甲队调出人进乙队，则调动后的等量关系是：乙队的人数=甲队的人数2+5，所以 60+x=2（80-x） +5 解之得 x=35 答：从甲队调出的人是 35 三、商品的销售问题 商品利润=商品售价-商品进价（即商品成本） 商品利润率=商品进价商品利润100% 折扣率：打 n 折，指按售价为 10 n 售出，n 折可以是小数（如 8.5 折） 例 3 某商品的进价是 1530 元，按商品标价的 9 折出售时，利润率是 15% ，商品的标价是多少元？ 分析：本题由利润=进价利润率=标价折扣率-进价列方程 解：设此商品的标价是 x 元，则 0.

3、9x-1530=153015% 解得 x=1955 答：此商品的标价是 1955 元 四、数字型问题 解决这类问题关键在于如何巧妙设出未知数，从而化简计算，常用的设未知数方法是：连续数设中间； 多位自然数设一位；数字换位设部分；小数点移动直接设；数字成比例设比值；特殊关系特殊设 例 4 一个四位整数，其个位数字为 2，若把末位数字移到首位，所得新数比原数小 108，求这个四位数 解：设这个四位数的前三位数为 x，由此四位数为 10 x+2，末位数移到首位后所得新数为 10002+x， 则 （10 x+2）-（10002+x）=108 解得 x=234 所以 10 x+2=2343 五、百分比问

4、题 例 5 某所中学现有学生 4200 人，计划一年后初中在校生增加 8%，高中在校生增加 11%，这样全校在校生 2 将增加 10%，问：这所学校现在的初中在校生和高中在校生人数分别是多少？ 分析：本题等量关系是：一年后初中在校生增加的人数+高中在校生增加的人数=全校在校生增加的总人数 解：设这所学校现在的初中在校生人数为 x 人，则现在的高中在校生为（4200-x）人，由题意可得 8%x+ （4200-x）11%=420010%，解得 x=1400 当 x=1400 时，4200-x=2800 答：这所学校现在的初中在校生人数为 1400 人，现在的高中在校生人数为 2800 人 六、工程

5、问题 工程问题经常把总工作量看成 1，存在等量关系：工作效率工作时间=工作量，工作量的和=1 例 1 某单位开展植树活动， 由一人植树要 80 小时完成， 现由一部分人先植树 5 小时， 由于单位有紧急事情， 再增加 2 人，且必须在 4 小时之内完成植树任务，这些人的工作效率相同，应先安排多少人植树？ 分析：把工作量看作 1，每一个人的工作效率为 80 1 ，由 x 人先做 5 小时，完成的工作量为 80 1 5x= 80 5 x， 增加 2 人后，4 小时完成的工作量为 80 1 （x+2）4= 80 )2(4x ，由 5 小时的工作量4 小时的工作量=工作总 量，可列方程 解：设安排 x

6、 人先工作 5 小时，根据工作总量等于各分量之和，得 80 5x + 80 )2(4x =1 解得 x=8 答：应先安排 8 人植树 例 2 某车间接到一批加工任务，计划每天加工 120 件，可以如期完成，实际加工时每天多加工 20 件，结 果提前 4 天完成任务，问这批加工任务共有多少件？ 分析：假设这批加工任务一共有 x 件，那么计划 120 x 天完成，而实际用了 20120 x 天完成，所以由等量关 系：计划用的时间 -实际用的时间=4，列方程 解：设这批加工任务共有 x 件，依题意得 120 x )20120( x =4 解得 x=3360 答：这批加工任务共有 3360 件 七、行

7、程问题 行程问题，它涉及路程、速度和时间三个基本量，在匀速条件下，它们的基本关系是：路程=速度时间， 行程问题又分为以下四种情况 相遇问题 基本关系式：快者路程+慢者路程=两地距离 例 3 甲、乙两列火车从 A、B 两地相向而行，乙车比甲车早发车 1h，甲车比乙车速度每小时快 30km，甲车 发车两小时恰好与乙车相遇，相遇后为了错车，甲车放慢了速度，以它原来的 3 2 速度行驶；而乙车加快了速度， 以它原来的 3 5 倍飞速行驶，结果 2 4 1 h 后，两车距离又等于 A、B 两地之间的距离，求两车相遇前速度及 A、B 两 地之间的距离。 3 解析：设相遇前乙车的速度为 xkm/h，则相遇前

8、、后两车行驶的路程可由图 1 表示出来 依题意得 3x+2（x+30）= 3 2 （x+30）+ 3 5 x 4 9 ， 解得 x=60 则 x+30=90（km/h） ， 3x+2（x+30）=360+290=360（km） 答：相遇前甲车的速度为 90km/h 相遇前乙车的速度为 60km/h A、B 两地之间的距离为 360km. 追及问题 同地追及。基本关系式：快者路程=慢者路程 例 4 一队学生在校外进行军事野营训练，他们以 5km/h 的速度行进，走了 18min 的时候，学校要将一个紧急 通知传给队长， 通讯员从学校出发， 骑自行车以 14km/h 的速度按原路追去， 问通讯员用

9、多久可以追上学生队伍？ 解：设通讯员用 xh 可以追上学生队伍，依题意，得 5（x+ 60 18 ）=14x 解这个方程，得 x= 6 1 答：通讯员用 6 1 h 可以追上学生队伍 异地追及：基本关系式：快者路程-慢者路程=两地距离 例 5 A、B 两站间的距离为 448km，一列慢车从 A 站出发，每小时行驶 60km，一列快车从 B 站出发，每小时 行驶 80km，问经过几小时快车能追上慢车？ 分析：本题虽未明确两车的行驶方向，但既然快车能追上慢车，则两车只能沿从 A 到 B 的方向同向而行 解：设经过 xh 快车能追上慢车，根据题意得 80 x-60 x=448，解得 x=22.4 答

10、：经过 22.4 小时快车能追上慢车 环形跑道问题 一般情况下，在环形跑道上，两人同时出发，第 n 次相遇有两种情况：相向而行，路程和等于 n 圈长；同向 而行，路程差等于 n 圈长 例 6 小王每天去体育场每次都见到一位田径队的叔叔也在锻炼，两人沿 400 米跑道跑步，每次总是小王跑 2 圈的时间叔叔跑 3 圈，一天，两人在同地反向而跑，小明看了一下记时表，发现隔了 32 秒两人第一次相遇， 求两人的速度；第二天小王打算和叔叔在同地同向而跑，看叔叔隔多少时间首次与他相遇，你能先帮小王预测一 下吗？ 解：设叔叔的速度为 3Vm/s，则小王的速度为 2Vm/s 根据题意，得（3V+2V）32=4

11、00，解得 V=2.5 3V=32.5=7.5m/s 2V=22.5=5m/s 即叔叔的速度为 7.5m/s，小王的速度为 5m/s 第二天同地同向跑时，设 xs 首次相遇依题意，得 7.5x-5x=400，解得 x=160，即 160s 后首次相遇 点评：本题隐含一个条件是小王与叔叔的速度比为 2：3 A B 2（x+30） 3x 甲 乙 A B 4 9 3 5 x 甲 乙 4 9 3 2 （x+30） 图 1 4 航行问题 对于航行问题，需注意以下几点： 航行问题主要包括轮船航行和飞机航行 顺水（风）速度=静水（风）速度+水流（风）速度；逆水（风）速度=静水（风）速度-水流（风）速度，顺

12、水（风）速度-逆水（风）速度=2 倍水（风）速度。 基本关系式：往路程=返路程 例 7 有甲、乙两艘船，现同时由 A 地顺流而下，乙船到 B 地时接到通知，须立即返回 C 地执行任务，甲船 继续顺流航行，已知甲、乙两船在静水中的速度都是每小时 7.5km，水流速度为每小时 2.5km，A、C 两地间的距 离为 10km，如果乙船由 A 地经 B 地再到达 C 地共用了 4h，问：乙船从 B 地到达 C 地时，甲船距离 B 地多远？ 分析：本题 C 地可能在 A、B 两地之间，也可能不在 A、B 两地之间，所以应分两种情况分析 解：设乙船由 B 地航行到 C 地用了 xh，那么甲、乙两船由 A

13、地到 B 地都用了（4-x）h （1） 若 C 地在 A、B 两地之间，则有（4-x） （7.5+2.5）-x（7.5-2.5）=10，解得 x=2，所以甲船距离 B 地 102=20（km） （2） 若 C 地不在 A、B 两地之间，则有 x（7.5-2.5）-4（4-x） （7.5+2.5）=10 解得 x= 9 34 ，所以甲船距离 B 地 10 9 34 = 9 340 （km） 答：甲船距离 B 地 9 340 km 八、方案决策问题 例 1 商场计划拨款 9 万元从厂家购进 50 台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别 为甲种型号每台 1500 元，乙种型号每台

14、2100 元，丙种型号每台 2500 元 若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共 50 台，用去 9 万元，请你研究一下商场的进货方案； 若商场销售一台甲种型号电视机可获利 150 元， 销售一台乙种型号电视机可获利 200 元， 销售一台丙种 型号电视机可获利 250 元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为使销售时获利最多，应选择哪种进货方 案？ 分析： （1）本题没有明确进哪两种型号的电视机，而厂家提供了三种型号的电视机，故有三种不同的购货方 案，即甲和乙，甲和丙，乙和丙，应分别求之； （2）把（1）中每种方案的获利分别求出，比较后即可得到获利 最多的方案 解： （1）设购进甲种型

15、号电视 x 台，则购进乙种型号电视机（50-x）台，根据题意，得 1500 x+2100（50-x）=90000 解这个方程，得 x=25，则 50-x=25 故第一种进货方案是购进甲、乙两种型号的电视机各 25 台 设购进甲种型号电视机 y 台，则购进丙种型号电视机（50-y）台，根据题意得 1500y+2500（50-y）=90000 解这个方程，得 y=35，则 50-y=15 5 故第二种进货方案是购进甲种型号电视机 35 台，丙种型号电视机 15 台 设购进乙种型号电视机 z 台，则购进丙种型号电视机（50-z）台，根据题意，得 2100z+2500（50-z）=90000 解这个方

16、程，得 z=87.5， （不舍题意，舍去） 故此种方案不可行 （2）上述的第一种方案可获利：15025+20025=8750（元）第二种方案可获利：15035+25015=9000 （元） 因为 87509000，故应选择第二种进货方案 点评：当我们面临数学问题而无法确定其情形时，就必须进行分类讨论分类讨论思想的实质是把问题“分 而治之，各个击破” 九、图表信息问题 例 1 在“五一”黄金周期间，小明、小亮等同学随家人一同到江郎山旅游，下面是购买门票时，小明与 他爸爸的对话：爸爸：大人们票每张 35 元，学生门票 5 折优惠，我们共有 12 人，共需 350 元 小明：爸爸，等一下，让我算一算

17、，换一种方式买票是否可以更省钱 问题： （1）小明他们一共去了几个成人？几个学生？ （2）请你帮小明算一算，用哪种方式买票更省钱？并说明理由 分析： （1）此题的相等关系是：买成人票的钱+买学生票的钱=350（元） ， 其中学生票按成人票的 5 折优惠，即要乘以 0.5 （2）虽然旅游的总共是 12 人，不够 16 人团体票的优惠，但我们可以用虚拟方式，凑成 16 人，用团体票的 方式购买，然后再比较两种方法的优劣性，作出决策 解： （1）设他们一共去了 x 个成人，则去的学生有（12-x）个，由题意得 35x+0.535（12-x）=350， 解得 x=8，12-x=4答：他们一共去了 8

18、个成人，4 个学生 （2）另一种买票方式：可以多买 4 张票，即买 16 张票，享受团体票的优惠，需要费用为 16350.6=336 （元） ，350-336=14（元） ，由此可见，虽然多买张票，便比第一种方式省 14 元钱， 故选择买团体票更省钱 评注：图表信息类的应用题，立意新颖，来源广泛，形式灵活，将数学真正融入到日常生活当中，使同学们 感到数学就在我们身边 此类题主要考查同学们分析图表， 并从中获取信息， 应用方程的知识解决问题的能力 解 这类题的关键要仔细观察，挖掘出图表中所提供的信息，通过联想把图表中的信息与相应的数学知识、数学模型 联系起来，正确地列出方程 十、利息问题： 对这

19、一问题主要是弄清什么是本金，利息，本息和，利率，税率及它们之间的关系 关系式：本息和=本金+利息，利息=本金利率期数，利息税=利息税率 例 3 一年期定期储蓄年利率为 2.25%，所得利息要交纳 70%的利息税，已知某储户的一笔年期定期储蓄到 票价 成人：35 元/张 学生：按成人票 5 折优惠 团体票（16 人以上含 16 人） ： 按成人票 6 折优惠 6 期纳税后得利息 450 元，问该储户存入多少本金？ 分析：利用等量关系：利息-利息税=450 元列方程 解：设该储户存入本金 x 元 根据题意，得 2.25%x-2.25%20%x=450 解得 x=25000 答：该储户存入 2500

20、0 元本金 十一、配套问题： 设 a 个甲件与个 b 乙件配套，那么生产 m 个甲件，n 个乙件，配套后的等量关系为：ah=bm 例 4 现有白铁皮 28 张，每张白铁皮可做甲件 5 个或乙件 6 个，若 3 个甲件与 2 个乙件配套，问如何下料 正好使机件配套 解析： 设用 x 张白铁皮做甲件， 则用 （28-x） 张做乙件， 根据题意得 5x2= （28-x） 3 解得 x=18. 28-x=10 答：用 18 张白铁皮做甲件，用 10 张白铁皮做乙件正好使机件配套。 点评：配套问题应注意比例关系，用比例关系列出相等关系 列方程解应用题设元“三招”搞定 如何才能正确地设出未知数呢？一般来说

21、有下面“三招”设元的技 巧： 一招：直接设元法：例 1 一条环形跑道长 400 米.甲练习骑自行车，平均每分钟行驶 550 米；乙练习长跑， 平均每分钟跑 250 米.两人同时、同地、同向出发，经过多少时间，两人首次相遇？ 分析 本题是行程问题的追及问题.它有两个相等关系：甲的路程乙的路程环形跑道圆的周长；甲用 的时间=乙用的时间. 说明 直接设元就是把应用题所要求的未知数作为方程中的元，即问什么设什么. 二招：间接设元法：例 2 四盘苹果共 100 个，把第一盘的个数加上 4，第二盘的个数减去 4，第三盘的个 数乘以 4，第四盘的个数除以 4，所得的数目一样，问原来四盘苹果各多少个? 分析

22、本题若从四盘苹果考虑直接设未知数，需要列出四元一次方程组，显然求解时有一定的难度.若对“所得 的数目一样”这个条件反过来想，则由此可推出四盘苹果的数目，因此，设间接未知数x表示这个数目，则容易 得到四盘苹果原来的个数分别为x4，x+4， 1 4 x，4x，于是很方便地列出方程求解. 说明 有些应用题，在不方便直接设未知数的情况下，可以根据具体情况，设出题目中并不要求求出的 其它未知数作为方程的元. 三招：设辅助元法：例 3 某种商品 2006 年比 2005 年上涨了 25，欲控制该商品 2007 年零售价比 2005 年只上涨 10，则 2007 年应比 2006 年降价的百分数是多少. 分析 欲求 2007 年比 2006 年降价多少元，若设 2005 年这种商品零售价为a元，又设 2007 年应比 2006 年 降价的百分数为x，则该商品 2006 年的零售价为a (1+25)，2007 年的零售价为a (1+25) (1x)，可列出 方程求解. 说明 某些应用题，直接设出未知数还难以列出方程，这时，可以根据具体的情况设出题目中并不要求出的 7 其他未知数来作为辅助元.本例中设出辅助未知数a， 可以将 2006 年、 2007 年该商品的零售价更清楚地表示出来.