圆锥曲线统一性质问题探究.pdf

1、1 目录 一、几个统一定义 1椭圆、双曲线、抛物线的统一定义一 2椭圆、双曲线、抛物线的统一定义二 二、与焦半径相关的问题 3椭圆、双曲线、抛物线的切线与焦半径的性质（准线作法） 4椭圆、双曲线、抛物线的焦点在切线上射影的性质 5椭圆、双曲线、抛物线的焦半径圆性质 6椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直径圆性质 7椭圆、双曲线、抛物线焦点三角形内切圆性质 三、与焦点弦相关的问题 8椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值 1） 9椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值 2） 10椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值 3） 11椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质 1（中点共线） 12椭圆、

2、双曲线、抛物线的焦点弦性质 2（三点共线） 13椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质 3（对焦点直张角） 14椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系 15椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系（角平分线） 16椭圆、双曲线、抛物线的相交弦与准线关系推广 17椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直线被曲线及对称轴所分比之和为定值 18椭圆、双曲线、抛物线的焦半径向量模的比之和为定值 2 四、相交弦的蝴蝶特征 19椭圆、双曲线、抛物线的相交弦蝴蝶定理一 20椭圆、双曲线、抛物线的相交弦蝴蝶定理二 五、切点弦的相关问题 21椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质 1（等比中项） 22椭圆、双曲线、抛物线的切点

3、弦性质 2（倒数和 2 倍） 23椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质 3（外项积定值） 24椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质 4（平行线族） 25椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质 5（切点弦过定点） 六、等角问题 26椭圆、双曲线、抛物线的等角定理一 27椭圆、双曲线、抛物线的等角定理二 28椭圆、双曲线、抛物线的对称点共线 29椭圆、双曲线、抛物线的焦点对切线张角性质 30椭圆、双曲线、抛物线的共轭弦性质 七、与动弦中点相关的问题 31圆、椭圆、双曲线中点弦与中心性质 32圆、椭圆、双曲线切线与半径的斜率积为定值（中点弦的极限状态） 33椭圆、双曲线、抛物线的动弦中垂线性质 34椭圆、双曲线、

4、抛物线的定向弦中点轨迹 35椭圆、双曲线、抛物线的定点弦中点轨迹 八、数量积定值问题 3 36椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦张角向量点积为定值 37椭圆、双曲线、抛物线的定点弦张角向量点积为定值 九、其他重要性质 38圆锥曲面光线反射路径的性质 39椭圆、双曲线、抛物线的切线与割线性质 40椭圆、双曲线、抛物线的直周角性质 41椭圆、双曲线的 90 度的中心角性质 42圆、椭圆、双曲线上动点对直径端点的斜率积为定值 43椭圆、双曲线、抛物线的顶点对垂直弦连线交点轨迹对偶 44椭圆、双曲线、抛物线准线上点对焦点弦端点及焦点斜率成等差 45椭圆、双曲线、抛物线的焦点与切线的距离性质 46椭圆、双曲线

5、、抛物线的中心与共轭点距离等积 4 1椭圆、双曲线、抛物线的统一定义一 问题探究 1 动点 P 在圆 A： 22 ()4xy上运动，定点( ,0)B，则 （1）线段QB的垂直平分线与直线QA的交点P的轨迹是什么？ （2）若BMtMQ ，直线l过点M，与直线QA的交于点P，则点 P 轨迹又是什么？ 实验成果动态课件 定圆上一动点与圆内一定点的垂直平 分线与其半径的交点的轨迹是椭圆 备用课件 定圆上一动点与圆外一定点的垂直平 分线与其半径所在直线的交点的轨迹 是双曲线 备用课件 定直线（无穷大定圆）上一动点与圆外 一定点的垂直平分线与其半径所在直 线的交点的轨迹是抛物线 备用课件 5 2椭圆、双曲

6、线、抛物线的统一定义二 问题探究 2 已知定点( 1,0)A ，定直线 1 l：3x ，动点N在直线 1 l上，过点N且与 1 l垂直的直线 2 l上有一动点 P，满 足 PA PN ，请讨论点 P 的轨迹类型. 实验成果动态课件 动点到一定点与到一定直线的距离之 比为小于 1 的常数，则动点的轨迹是 椭圆 备用课件 动点到一定点与到一定直线的距离之 比为大于 1 的常数，则动点的轨迹是 双曲线 备用课件 动点到一定点与到一定直线的距离之 比为等于 1 的常数，则动点的轨迹是 抛物线 备用课件 6 3椭圆、双曲线、抛物线的切线与焦半径的性质（准线作法） 问题探究 3 已 知 两 定 点( 1,

7、0), (1,0)AB， 动 点P满 足 条 件8PAPB， 另 一 动 点Q 满 足 0,()0 PAPB QB PBQP PAPB ，求动点 Q 的轨迹方程. 实验成果动态课件 椭圆上一点处的切线与该点的焦半径 的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为 椭圆相应之准线 备用课件 双曲线上一点处的切线与该点的焦半 径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹 为双曲线相应之准线 备用课件 抛物线上一点处的切线与该点的焦半 径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹 为抛物线之准线 备用课件 7 4椭圆、双曲线、抛物线的焦点在切线上射影的性质 问题探究 4 已知两定点( 2,0), (2,0)AB，动点P满足条件2PAPB

8、，动点 Q 满足()0 PAPB QB PAPB ， ()0 PAPB QP PAPB ，求动点 Q 的轨迹方程. 实验成果动态课件 焦点在椭圆切线上的射影轨迹是以 长轴为直径的圆 备用课件 焦点在双曲线切线上的射影轨迹是 以实轴为直径的圆 备用课件 焦点在抛物线切线上的射影轨迹是 切抛物线于顶点处的直线（无穷大 圆） 备用课件 8 5椭圆、双曲线、抛物线的焦半径圆性质 问题探究 5 1已知动点 P 在椭圆 22 1 43 xy 上，F 为椭圆之焦点，0PMFM ，探究2 OMPF 是否为定值 2已知点 P 在双曲线 22 1 43 xy 上，F 为双曲线之焦点，0PMFM ，探究2 OMPF

9、 是否为定值 实验成果动态课件 椭圆中以焦半径为直径的圆必与长 轴为直径的圆相切（此圆与椭圆内 切） 备用课件 双曲线中以焦半径为直径的圆必与 实轴为直径的圆相切 （此圆与双曲线 外切） 备用课件 抛物线中以焦半径为直径的圆必与 切于抛物线顶点处的直线相切 （此圆 无穷大与曲线外切） 备用课件 9 6椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直径圆性质 问题探究 6 过抛物线yx4 2 上不同两点 A、B 分别作抛物线的切线相交于 P 点，. 0PBPA （1）求点 P 的轨迹方程； （2）已知点 F（0，1） ，是否存在实数使得0)( 2 FPFBFA？若存在，求出的值，若不存在， 请说明理由. 实验成果

10、动态课件 椭圆中以焦点弦为直径的圆必与准 线相离 备用课件 双曲线中以焦点弦为直径的圆必与 准线相交 备用课件 抛物线中以焦点弦为直径的圆必与 准线相切 备用课件 10 7椭圆、双曲线、抛物线焦点三角形内切圆性质 问题探究 7 1已知动点 P 在椭圆 22 1 43 xy 上， 12 ,F F为椭圆之左右焦点，点G为 12 FPF的内心，试求点G的轨迹 方程. 2已知动点 P 在双曲线 22 1 43 xy 上， 12 ,F F为双曲线之左右焦点，圆G是 12 FPF的内切圆，探究圆G 是否过定点，并证明之. 实验成果动态课件 椭圆中焦点三角形的内切圆圆心轨迹是 以原焦点为顶点的椭圆 备用课件

11、 双曲线中焦点三角形的内切圆圆心轨迹 是以过原顶点的两平行开线段(长为 2b) 备用课件 抛物线中焦点三角形(另一焦点在无穷远 处)的内切圆圆心轨迹是以原焦点为顶点 的抛物线 备用课件 11 8椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值 1） 问题探究 8 已知椭圆 22 1 43 xy ， 1 F为椭圆之左焦点，过点 1 F的直线交椭圆于 A，B 两点，是否存在实常数，使 ABFA FB 恒成立.并由此求AB的最小值.（借用柯西不等式） 实验成果动态课件 椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为 常数 11 112 |AFBFep 备用课件 双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和 为常数 AB在同支 11

12、 112 |AFBFep AB在异支 11 112 | |AFBFep 备用课件 抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和 为常数 112 |AFBFep 备用课件 12 9椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值 2） 问题探究 9 已知椭圆 22 1 43 xy ， 1 F为椭圆之左焦点， 过点 1 F的直线 12 ,l l分别交椭圆于A， B两点和C， D两点， 且 12 ll， 是否存在实常数，使ABCDABCD 恒成立.并由此求四边形 ABCD 面积的最小值和最大值. 实验成果动态课件 椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CDAB2 2 | 1 | 1 2 备用课件 双曲线互相

13、垂直的焦点弦倒数之和为常 数 ep e CDAB2 |2| | 1 | 1 2 备用课件 抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常 数 ep e CDAB2 2 | 1 | 1 2 备用课件 13 10椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值 3） 问题探究 10 已知椭圆 22 1 43 xy ， 1 F为椭圆之左焦点，过点 1 F的直线交椭圆于 A，B 两点，AB中垂线交x轴于点 D， 是否存在实常数，使 1 ABFD 恒成立？ 实验成果动态课件 设椭圆焦点弦 AB 的中垂线交长 轴于点 D，则DF与AB之 比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件 设双曲线焦点弦 AB 的中垂线交 焦点

14、所在直线于点 D，则DF 与AB之比为离心率的一半 （F 为焦点） 备用课件 设抛物线焦点弦 AB 的中垂线与 对称轴交于点 D，则DF与 AB之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件 14 11椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质 1（中点共线） 问题探究 11 已知椭圆 22 1 43 xy ， 1 F为椭圆之左焦点，过点 1 F的直线 1 l交椭圆于 A，B 两点，直线 2 l：4x 交x轴于 点 G，点,A B在直线 2 l上的射影分别是,N M，设直线,AM BN的交点为 D，是否存在实常数，使 1 GDDF 恒成立. 实验成果动态课件 椭圆的焦点弦的端点在相应准线上 的投影与端点的交

15、叉连线与对称轴 的交点平分焦点与准线与对称轴的 交点线段 备用课件 双曲线的焦点弦的端点在相应准线 上投影与端点的交叉连线与对称轴 的交点平分焦点与准线与对称轴的 交点线段 备用课件 抛物线的焦点弦的端点在相应准线 上投影与端点的交叉连线与对称轴 的交点平分焦点与准线与对称轴的 交点线段 备用课件 15 12椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质 2（三点共线） 问题探究 12 已知椭圆 22 1 43 xy ， 1 F为椭圆之左焦点，过点 1 F的直线 1 l交椭圆于 A，B 两点，,C D分别为椭圆的左、 右顶点，动点P满足,PAAD PCCB 试探究点P的轨迹. 实验成果动态课件 椭圆焦点弦端

16、点 A、 B 与另一顶点 D 连线与相应准线的交点 N、 M， 则 N、 C、B 三点共线，M、C、A 三点共 线 备用课件 双曲线焦点弦端点 A、B 与另一顶 点 D 连线与相应准线的交点 N、 M， 则 N、C、B 三点共线，M、C、A 三点共线 备用课件 抛物线焦点弦端点 A、B 与另一顶 点 D 连线与相应准线的交点 N、 M， 则 N、C、B 三点共线，M、C、A 三点共线（抛物线的 D 点在无穷远 处）. 备用课件 16 13椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质 3（对焦点直张角） 问题探究 13 已知双曲线 22 1 31 xy ， 1 F为双曲线之左焦点，过点 1 F的直线 1 l

17、交双曲线于 A，B 两点，,C D分别为双曲 线的左、 右顶点， 动点P满足 11 ,PAAD PCCB 动点Q满足 22 ,QAAC QBBD 试探究 1 PFQ 是否为定值. 实验成果动态课件 椭圆焦点弦端点 A、 B 与另一顶点 D 连线与相应准线的交点 N、M，则 11 NFMF 备用课件 双曲线焦点弦端点 A、B 与另一顶 点 D 连线与相应准线的交点 N、 M， 则 11 NFMF 备用课件 抛物线焦点弦端点 A、B 与另一顶 点 D 连线与相应准线的交点 N、 M， 则NFMF（抛物线的 D 点在无 穷远处） 备用课件 17 14椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系 问题探

18、究 14 已知椭圆 22 1 43 xy ， 1 F为椭圆之左焦点，过点 1 F的直线 12 ,l l分别交椭圆于 A，B 两点和 C，D 两点，直线 2 l：4x ，直线 AD 交直线 2 l于点 P，试判断点 P、C、B 是否三点共线，并证明之. 实验成果动态课件 椭圆的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨 迹是准线 备用课件 本性质还可解释圆也有准线（在无穷远处） ， 因为当焦点逐步向中心靠拢时准线逐步外移 双曲线的任意两焦点弦端点所在直线交点的 轨迹是准线 备用课件 抛物线的任意两焦点弦端点所在直线交点的 轨迹是准线 备用课件 18 15椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系（角平分线

19、） 问题探究 15 已知椭圆 22 1 43 xy ， 1 F为椭圆之左焦点，过点 1 F的直线 12 ,l l分别交椭圆于 A，B 两点和 C，D 两点，直线 3 l：4x ，直线 AD 交直线 3 l于点 P，试证明 11 PF APFD . 实验成果动态课件 椭圆的任意两焦点弦端点所在直线交 点必在准线上且交点与焦点的连线平 分 2 AF C 备用课件 双曲线的任意两焦点弦端点所在直线 交点必在准线上且交点和焦点的连线 平分 1 AFC 备用课件 抛物线的任意两焦点弦端点所在直线 交点必在准线上且交点和焦点的连线 平分AF D 备用课件 19 16椭圆、双曲线、抛物线的相交弦与准线关系推

20、广 问题探究 16 已知椭圆 22 1 84 xy ，过点(2,0)N的直线 12 ,l l分别交椭圆于 A，B 两点和 C，D 两点，设直线 AD 与直线 CB 交于点 P，试证明点 P 的轨迹为直线4x . 实验成果动态课件 过椭圆长轴上任意一点 N（0 , t）的两 条弦端点的直线的交点的轨迹是一定 直线 t a x 2 备用课件 过双曲线实轴上任意一点 N（0 , t）的 两条弦端点的直线的交点的轨迹是一 定直线 t a x 2 备用课件 过抛物线对称轴上任意一定点 N （0 , t） 的两条弦端点的直线的交点的 轨迹是一定直线tx 备用课件 20 17椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直线

21、被曲线 及对称轴所分比之和为定值 问题探究 17 已知椭圆 22 1 84 xy ，点 1 F为椭圆之左焦点，过点 1 F的直线 1 l分别交椭圆于 A，B 两点，设直线 AB 与y轴 于点M， 11 ,MAAF MBBF 试求的值. 实验成果动态课件 椭圆的焦点弦所在直线被曲线 及短轴直线所分比之和为定 值. 备用课件 双曲线的焦点弦所在直线被曲 线及虚轴直线所分比之和为定 值. 备用课件 过抛物线的焦点弦所在直线被 曲线及顶点处的切线所分比之 和为定值. 备用课件 21 18椭圆、双曲线、抛物线的焦半径向量模的比之和为定值 问题探究 18 已知方向向量为(1, 3)e 的直线l过点(0,

22、2 3)A和椭圆 22 22 :1 xy C ab (0)ab的焦点，且椭圆C的 中心O和椭圆的右准线上的点B满足：0,OB eABAO .求椭圆C的方程；设E为椭圆C上任一 点，过焦点 12 ,F F的弦分别为,ES ET,设 111 ,EFFS 222 EFFT ，求 12 的值. 实验成果动态课件 过椭圆上任点 A 作两焦点的焦点弦 AC， AB，其共线向量比之和为定值即 111 222 2 12 2 1 21 AFm FB AFm FB e mm e 定值 备用课件 过双曲线上任点 A 作两焦点的焦点弦 AC，AB，其共线向量比之和为定值即 111 222 2 12 2 1 21 AF

23、m FB AFm FB e mm e 定值 备用课件 （注：图中测算不是向量，故中间一式 用的是差） 由于抛物线的开放性，焦点只有一个， 故准线相应地替换了焦点，即 ? PA ? =m ? 1 ? AF ? PB ? =m ? 2 ? BF 备用课件 ? m ? 1 ? +m ? 2 ? =0 22 19椭圆、双曲线、抛物线的相交弦蝴蝶定理一 问题探究 19 已知椭圆 22 1 84 xy ，过点T(1,0)的直线 12 ,l l分别交椭圆于 A，B 两点和 C，D 两点，设直线 3 l过点 T 且 3 lx 轴，交 12 ,l l于点 N，M，试证明TN=TM. 实验成果动态课件 过椭圆长轴

24、所在直线上任意一点 T（0 , t）的两条弦端点的直线截过 T 点的垂线段相等 NTTM 备用课件 过双曲线实轴所在直线上任意一点 T （0 , t）的两条弦端点的直线截过 T 点的垂线段相等 NTTM 备用课件 过抛物线对称轴上任意一点 T（0 , t） 的两条弦端点的直线截过 T 点的垂线 段相等 NTTM 备用课件 23 20椭圆、双曲线、抛物线的相交弦蝴蝶定理二 问题探究 20 已知椭圆 22 1 84 xy ，过点(0,1)T的直线 12 ,l l分别交椭圆于 1122 ( ,), (,)A x yB xy两点和 3344 (,),(,)C xyD xy 两点，设直线 3 l过点 T

25、 且 3 lx 轴，交 12 ,l l于点 N，M，试证明 1324 yyyy. 实验成果动态课件 过椭圆短轴上任意一点M的两条弦端 点作两条直线,一定截过 M 点与对称 轴垂直的直线为相等的线段 PM=MQ 备用课件 过双曲线虚轴上任意一点 N（0 , t）的 两条弦端点作两条直线,一定截过 N 点与对称轴垂直的直线为相等的线段 PM=MQ 备用课件 过抛物线对称轴上任意一点 M（0 , t） 的两条弦端点作两条直线,一定截过 M 点与对称轴垂直的直线为相等的线 段 PM=MQ 备用课件 24 21椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质 1（等比中项） 问题探究 21 已知椭圆 22 1 84 x

26、y ，过原点(0,0)O，点(2,1)T的直线l交椭圆于点 N，过点 T 的中点弦为 AB，过 A，B 分别作切线 12 ,l l且交于点 P，求证： 2 | |OTOPON. 实验成果动态课件 椭圆中心 O 与点 00 (,)P xy的连线交椭圆 于N ， 交 切 点 弦 于 点 Q ， 则 2 | |OQ OPON.且 Q 点平分切点弦 AB（无论点 P 在曲线的什么位置，上述 结 论 均 成 立 ） . 且 点 P 与 直 线 00 1Ax xBy y沿直线 PO 作反向运动. 备用课件 双曲线中心 O 与点 00 (,)P xy的连线交双 曲 线 于 N ， 交 切 点 弦 于 点 Q

27、 ， 则 2 | |OQ OPON.且 Q 点平分切点弦 AB（无论点 P 在曲线的什么位置，上述 结 论 均 成 立 ） . 且 点 P 与 直 线 00 1Ax xBy y沿直线 PO 作反向运动 (直线保持平行).备用课件 设过点 P 与抛物线对称轴平行(中心在对 称轴方向的无穷远处)的直线交抛物线于 N ， 交 切 点 弦 于 点Q ， 则 2 | |O Q O PO N .且 Q 点平分切点 弦 AB（无论点 P 在曲线的什么位置，上 述 结 论 均 成 立 ） . 且 点 P 与 直 线 00 ()y yp xx作反向运动(直线保持平 行).备用课件 25 22椭圆、双曲线、抛物线

28、的切点弦性质 2（倒数和 2 倍） 问题探究 22 过抛物线 2 yx外一点(2,0)P作抛物线的两条切线 PA，PB，切点分别为 A，B，另一直线l过点 P 与抛物线 交于两点 C、D，与直线 AB 交于点 Q，试探求 | PQPQ PCPD 的值是否为定值. 实验成果动态课件 椭圆 22 1AxBy外一点 P 的任 一直线与椭圆的两个交点为 C、D， 与椭圆切点弦 00 1Ax xBy y的 交点为 Q，则 112 |PCPDPQ 成 立.反之亦然.备用课件 双曲线 22 1AxBy外一点 P 的 任一直线与双曲线的两个交点为 C 、 D ， 与 双 曲 线 切 点 弦 00 1Ax xB

29、y y的交点为 Q，则 112 |PCPDPQ 成立.反之亦然. 备用课件 过抛物线外一点 P 的任一直线与抛 物线的两个交点为 C、D，与抛物线 切 点 弦 的 交 点 为Q ， 则 112 |PCPDPQ 成立.反之亦然. 备用课件 26 23椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质 3（外项积定值） 问题探究 23 已知椭圆 22 1 84 xy ，过点 T(1,0)的直线 1 l， 2 l分别交椭圆于两点 C、D，点 Q 在直线l上，且满足 CP QDPD CQ ，试探求点 Q 的轨迹. 实验成果动态课件 过椭圆 22 1AxBy外一点 P 的任一 直线与椭圆的两个交点为 C、D，点 Q 是

30、此 直 线 上 另 一 点 ， 且 满 足 CP QDPD CQ ，则点 Q 的轨迹即 为切点弦 00 1Ax xBy y，反之亦然. 备用课件 过双曲线 22 1AxBy外一点 P 的任 一直线与双曲线的两个交点为 C、D，点 Q 是 此 直 线 上 另 一 点 ， 且 满 足 CP QDPD CQ ，则点 Q 的轨迹即 为切点弦 00 1Ax xBy y，反之亦然. 备用课件 过抛物线外一点 P 的任一直线与抛物线 的两个交点为 C、D，点 Q 是此直线上 另一点，且满足CP QDPD CQ ， 则点 Q 的轨迹即为切点弦，反之亦然. 备用课件 27 24椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质

31、4（平行线族） 问题探究 24 过抛物线 2 yx外一点(2,0)P作抛物线的两条切线 PA，PB，切点分别为 A，B，另一直线l：2x 与抛物 线交于点 N，与直线 AB 交于点 Q，求证： （1）N 点处的切线与直线 AB 平行.（2）AQQB . 实验成果动态课件 椭圆 22 1AxBy中心与椭圆 外一点的直线与椭圆的交点处 的切线平行于椭圆的切点弦 00 1Ax xBy y. 备用课件 双曲线 22 1AxBy中心与双 曲线外一点的直线与双曲线的 交点处的切线平行于双曲线的 切点弦 00 1Ax xBy y. 备用课件 过抛物线中心（这中心在无穷远 处）与抛物线外一点的直线与抛 物线的

32、交点处的切线平行于抛 物线的切点弦. 备用课件 28 25椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质 5（弦过定点） 问题探究 25 过抛物线 2 yx外一点(1,2)Q作抛物线的中点弦 AB（Q 为 AB 中点） ，两条切线 PA，PB 交于点 P，过点 P 作直线l，且lAB，点G是直线l上的动点，过 G 作抛物线的两条切线 GC、GD，求证：直线 CD 过定点. 实验成果动态课件 点 T 是与椭圆 22 1AxBy外一点 P 的切点弦对应的直线上的动点，则与点 T 对应的切点弦必过定点 Q. 备用课件 点 T 是与双曲线 22 1AxBy外一点 P 的切点弦对应的直线上的动点，则与点 T 对应的切

33、点弦必过定点 Q. 备用课件 点 T 是与抛物线 2 2ypx外一点 P 的切 点弦对应的直线上的动点，则与点 T 对 应的切点弦必过定点 Q.（PQ 平行对称 轴） 备用课件 29 26椭圆、双曲线、抛物线的等角定理一 问题探究 26 已知椭圆 22 1 84 xy ，点 1 F为椭圆之左焦点，过点 1 F的直线 1 l分别交椭圆于 A，B 两点，问是否在 x 轴上存 在一点 P，使得斜率0 PAPB kk. 实验成果动态课件 椭圆准线与长轴的交点与焦半径端点 连线所成角被长轴平分 备用课件 双曲线准线与实轴的交点与焦半径端 点连线所成角被实轴平分 备用课件 抛物线准线与对称轴的交点与焦半径

34、 端点连线所成角被对称轴平分 备用课件 30 27椭圆、双曲线、抛物线的等角定理二 问题探究 27 已知双曲线 22 1 31 xy ，过( ,0)N t点的直线 1 l交双曲线于 A，B 两点，问是否在 x 轴上存在一点 P，使得斜 率0 PAPB kk. 实验成果动态课件 过椭圆长轴上任意一点 N（0 , t）的一条弦 端点与对应点)0 ,( 2 t a 的连线所成角被焦点 所在直线平分. 备用课件 过双曲线实轴所在直线上任意一点 N （0 , t） 的一条弦端点与对应点)0 ,( 2 t a 的连线所成 角被焦点所在直线平分. 备用课件 过抛物线对称轴上任意一点 N（0 , t）的一 条

35、弦端点与对应点)0 ,( 2 t a 的连线所成角被 对称轴平分 备用课件 31 28椭圆、双曲线、抛物线的对称点共线 问题探究 28 抛物线 2 4yx，直线l过点( ,0)F t并交抛物线于 M、N，若)0(FNMF，直线xt 与 x 轴交于点 E，试探究：ENEMEF与的夹角是否为定值. 实验成果动态课件 过点 Q(T,0)的任一直线交椭圆于 A，B 两 点， 点 A 关于 x 轴的对称点 A,则点 A， B， 2 (,0) a P t 三点共线. 备用课件 过点 Q(T,0)的任一直线交双曲线于 A，B 两点，点 A 关于 x 轴的对称点 A,则点 A， B， 2 (,0) a P t

36、 三点共线. 备用课件 过点 P(T,0)的任一直线交椭圆于 A，B 两 点， 点 A 关于 x 轴的对称点 A,则点 A， B， P(-t,0)三点共线. 备用课件 32 29椭圆、双曲线、抛物线的焦点对切线张角性质 问题探究 29 过点(2,0)P作抛物线 2 4xy的切线 PA（斜率不为 0） ，F为焦点，研究斜率 PFPA kk与的关系. 实验成果动态课件 过椭圆外一点作椭圆的两切线与焦点 连线所成的角相等. 备用课件 过双曲线外一点作双曲线的两切线与 焦点连线所成的角相等. 备用课件 过抛物线外一点作抛物线的两切线与 焦点（另一焦点在无穷远处）连线所成 的角相等. 备用课件 33 3

37、0椭圆、双曲线、抛物线的共轭弦性质 问题探究 30 过点(1,2)P作抛物线 2 4yx的直线 PA、PB，且斜率0 PBPA kk+. （1）探究直线 AB 的斜率是否为定值. （2）试研究三角形 PAB 的面积是否有最大值. 实验成果动态课件 过椭圆上一定点作倾角互补的两直线与椭圆 的另两交点的连线的倾角为定值 备用课件 过双曲线上一定点作倾角互补的两直线与双 曲线的另两交点的连线的倾角为定值 备用课件 过抛物线上一定点作倾角互补的两直线与抛 物线的另两交点的连线的倾角为定值 备用课件 34 31圆、椭圆、双曲线弦中点与中心性质 问题探究 31 已知椭圆 22 1 84 xy 的动弦 AB

38、 的中点为 M，试研究斜率 ABOM kk是否为定值（O 为原点）. 实验成果动态课件 圆的弦的斜率与其中点和圆中 心连线的斜率积为定值 1 PAPB KK 备用课件 椭圆的弦的斜率与其中点和椭 圆中心连线的斜率积为定值 2 2 PAPB b KK a 备用课件 双曲线的弦的斜率与其中点和 双曲线中心连线的斜率积为定 值 2 2 PAPB b KK a 备用课件 35 32圆、椭圆、双曲线切线与半径的斜率积为定值（中点弦的极限状态） 问题探究 32 已知点 P 为椭圆 22 1 84 xy 上的动点，设点 P 的切线斜率为k，试研究斜率 OP kk是否为定值（O 为原点）. 实验成果动态课件

39、圆切线与半径的斜率积为定值 1 POL KK 备用课件 椭圆切线与切点和中心连线的 斜率积为定值 2 2 POL b KK a 备用课件 双曲线切线与切点和中心连线 的斜率积为定值 2 2 POL b KK a 备用课件 36 33椭圆、双曲线、抛物线的动弦中垂线性质 问题探究 33 已知椭圆 22 1 84 xy 的动弦 AB 的中垂线交 x 轴于点 0 (,0)P x，试研究 0 x的取值范围. 实验成果动态课件 椭圆的动弦 AB 的中垂线 MQ 必不过焦点（AB 不垂直于长 轴） 备用课件 双曲线的动弦AB的中垂线MQ 必不过焦点（AB 不垂直于实 轴） 备用课件 抛物线的动弦AB的中垂

40、线MQ 必不过焦点 （AB 不垂直于对称 轴） 备用课件 37 34椭圆、双曲线、抛物线的定向弦中点轨迹 问题探究 34 对于给定的椭圆，怎样用圆规和直尺找出椭圆的中心、对称轴、顶点、焦点、准 线 实验成果动态课件 椭圆的定向弦 AB 的中点轨迹为过椭圆 中心的线段. 备用课件 双曲线的定向弦 AB 的中点轨迹为过双 曲线中心的直线. 备用课件 抛物线的定向弦 AB 的中点轨迹为平行 于抛物线对称轴的射线. 备用课件 38 35椭圆、双曲线、抛物线的定点弦中点轨迹 问题探究 35 过点 00 (,)P xy的直线交抛物线于 A,B 两点，试探求 AB 中点的轨迹. 实验成果动态课件 椭圆的定点

41、弦 AB 的中点轨迹 为原椭圆内的椭圆弧 备用课件 双曲线的定点弦 AB 的中点轨 迹为双曲线 备用课件 抛物线的定点弦 AB 的中点轨 迹为抛物线. 备用课件 39 36椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦张角向量点积为定值 问题探究 36 已知椭圆 22 1 43 xy ，直线过焦点(1,0)F交椭圆于 A、B 两点，是否存在一定点 P 使PA PB 为定值. 实验成果动态课件 在圆锥曲线焦点所在直线上必 存在一定点，它与焦点弦端点 所张的向量点积为定值且在 椭圆、双曲线情形下定点坐标 为 2 (3) (,0) 2 ce . （c为焦点坐标，e为离心率） 2 24 (1) 4 c CA CBee

42、备用课件 在抛物线 2 2ypx情形下定 点 C 恰为顶点 2 3 4 p CA CB 备用课件 40 37椭圆、双曲线、抛物线的定点弦张角向量点积为定值 问题探究 37 已知椭圆 22 1 41 xy ，直线过点(1,0)Q交椭圆于 A、B 两点，是否存在一定点 P 使QA QB 为定值. 实验成果动态课件 过椭圆长轴直线上任点的直线 交椭圆于两点 A、B，则必存在 一定点 22 (1) ,0) 22 ce Qn n ， 它与 AB 弦端点所张的向量点 积为定值备用课件 （c为焦点坐标，e为离心率） 过双曲线实轴直线上任点的直 线交双曲线于两点 A、B，则必 存在一定点 22 (1) ,0)

43、 22 ce Qn n ，它与 AB 弦端点所张的向量点积为定 值备用课件 （c为焦点坐标，e为离心率） 过抛物线 2 2ypx对称轴直 线上任点的直线交抛物线于两 点 A、 B， 则必存在一定点 C 恰 为顶点 2 3 4 p CA CB 备用课件 41 38圆锥曲面光线反射路径的性质 问题探究 38 要测试一只音响的声音效果，请你设计出一个测试房间，使测试效果尽可能准确. 实验成果动态课件 由焦点发出的光线经椭圆曲面反射后 的光线必过另一焦点 备用课件 由焦点发出的光线经双曲面反射后的 光线所在直线必过另一焦点 备用课件 由焦点发出的光线经抛物面反射后的 光线必过另一焦点（另一焦点在无穷

44、远处，故反射光线会平行于对称轴） 备用课件 42 39椭圆、双曲线、抛物线的切线与割线性质 问题探究 39 抛物线 2 yx上一点(1,1)H，点 P 是以 H 为切点的切线上一点，点 M 满足PMMH ，过点 P 的直线 1 l交 曲线于,A D两点， 过 M， D 的直线 2 l交曲线于C点， 过 P， C 的直线 3 l交曲线于B点， 求证：(0)ABPH . 实验成果动态课件 过椭圆外一定点与切点连线的中 点的任一直线交椭圆于两点,这 两点分别与定点的连线交椭圆于 另两点,这两点连线的斜率与切 线斜率相等 备用课件 过双曲线外一定点与切点连线的 中点的任一直线交双曲线于两 点,这两点分

45、别与定点的连线交 双曲线于另两点,这两点连线的 斜率与切线斜率相等 备用课件 过抛物线外一定点与切点连线的 中点的任一直线交抛物线于两 点,这两点分别与定点的连线交 抛物线于另两点,这两点连线的 斜率与切线斜率相等 备用课件 43 40椭圆、双曲线、抛物线的直周角性质 问题探究 40 抛物线 2 yx上一点(1,1)P，A,B 是抛物线上另两点，且0PA PB ，PQPAPB . （1）试探求点 Q 的轨迹. （2）试探求直线 AB 是否过定点. 实验成果动态课件 以直角为定点的椭圆内接直角三角形的 斜边必过定点,且定点在斜边的中点轨迹 上,且当直角顶点在椭圆上运动时,其对应 的定点在一新的椭

46、圆上运动. 备用课件 以直角为定点的双曲线内接直角三角形 的斜边必过定点,且定点在斜边的中点轨 迹上,且当直角顶点在双曲线上运动时,其 对应的定点在一新的双曲线上运动. 备用课件 以直角为定点的抛物线内接直角三角形 的斜边必过定点,且定点在斜边的中点轨 迹上,且当直角顶点在抛物线上运动时,其 对应的定点在一新的抛物线上运动. 备用课件 44 41椭圆、双曲线的 90 度的中心角性质 问题探究 41 1. (2009 山东卷理)设椭圆 E： 22 22 1 xy ab （A,B0）过 M（2，2） ，N(6,1)两点，O 为坐标原点， （I）求椭圆 E 的方程； （II） 是否存在圆心在原点的圆

47、， 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且OAOB ？若存在， 写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在,说明理由. 2. （2009 北京理）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的离心率为3，右准线方程为 3 3 x （）求双曲线C的方程； （）设直线l是圆 22 :2O xy上动点 0000 (,)(0)P xyx y 处的切线，l与双曲线C交于不同的两点 ,A B，证明AOB的大小为定值. 实验成果动态课件 直角三角形的直角顶点在中心，斜边的 端点椭圆上,则中心在斜边上的射影轨 迹是圆 备用课件 直角三角形的直角顶点在中心，斜边的 端

48、点在双曲线上,则中心在斜边上的射 影轨迹是圆 备用课件 45 42圆、椭圆、双曲线直径性质动点对直径端点的斜率积为定值 问题探究 42 已知定点( 3,0), (3,0)AB，动点 P 满足，直线 PA，PB 的斜率 1 2 PAPB kk ，试探求点 P 的轨迹. 实验成果动态课件 圆上动点对直径端点的斜率积 为定值 1 PAPB KK 备用课件 椭圆上动点对直径端点的斜率 积为定值 2 2 PAPB b KK a 备用课件 双曲线上动点对直径端点的斜 率积为定值 2 2 PAPB b KK a 备用课件 46 43椭圆、双曲线、抛物线的顶点对垂直弦连线交点轨迹对偶 问题探究 43 已知椭圆

49、 22 1 84 xy 的动弦MN垂直交 x 轴于点 0 (,0)P x，椭圆的长轴端点分别为 12 ,B B，试探求直线 1 B NB M 2 与交点的轨迹. 实验成果动态课件 椭圆 22 22 1 xy ab 中垂直于长轴的弦的端 点对长轴顶点的连线的交点轨迹为与椭 圆共顶点的双曲线 22 22 1 xy ab . 备用课件 双曲线 22 22 1 xy ab 中垂直于长轴的弦的 端点对实轴顶点的连线的交点轨迹为与 双曲线共顶点的椭圆 22 22 1 xy ab . 备用课件 抛物线 2 2ypx中垂直于对称轴的弦的 端点对顶点的连线的交点轨迹为与抛物 线共顶点的抛物线 2 2ypx . 备用课件 47 44椭圆、双