（数学）苏州市2020-2021学年高三期初调研试卷数学及答案.pdf

1、苏州市20202021学年第一学期高三期初调研 数学试题 20209 一、 单项选择题(本大题共8小题， 每小题5分， 共计40分在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符 合题目要求的， 请把答案添涂在答题卡相应位置上) 1集合A=xx2-2x-30， B=xx1， AB= A(1， 3) B(1， 3 C-1，+) D(1，+) 2复数z满足(1+i)z=2+3i， 则z在复平面表示的点所在的象限为 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3(2x- 1 x2 )4的展开式中x的系数为 A-32 B32 C-8 D8 4已知随机变量服从正态分布N(1，2)， 若P(4)=0.9， 则

2、P(-20， b0， 且2a+b=1， 则 1 a + 2a a+b A有最小值为4 B有最小值为2 2 +1 C有最小值为 14 3 D无最小值 二、 多项选择题(本大题共4小题， 每小题5分， 共计20分在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是 符合题目要求的， 请把答案添涂在答题卡相应位置上) 9A， B是不在平面内的任意两点， 则 A在内存在直线与直线AB异面 B在内存在直线与直线AB相交 2 C存在过直线AB的平面与垂直 D在内存在直线与直线AB平行 10水车在古代是进行灌溉引水的工具， 亦称“水转简车”， 是一种以水流作动力， 取水灌田的工具据 史料记载， 水车发明于隋而盛于唐，

3、距今已有1000多年的历史， 是人类的一项古老的发明， 也是人类 利用自然和改造自然的象征， 如图是一个半径为 R的水车， 一个水斗从点 A(3，-3 3)出发， 沿圆 周按逆时针方向匀速旋转， 且旋转一周用时120秒经过t秒后， 水斗旋转到P点， 设点P的坐标为 (x， y)， 其纵坐标满足y=f(t)=R sin(t+)(t0，0， b0)的长轴两个端点分别为A， B， P(x0，y0)(y00)是椭圆上 的动点， 以AB为一边在x轴下方作矩形ABCD， 使AD=kb(k0)， PD交AB于 E， PC交AB于F (1)若k=1， PCD的最大面积为12， 离心率为 5 3 ， 求椭圆方程

4、； (2)若AE， EF， FB成等比数列， 求k的值 22(本小题满分12分) 已知函数f(x)=lnx-x+sinx+1 (1)求证：f(x)的导函数f(x)在(0， )上存在一零点； (2)求证：f(x)有且仅有两个不同的零点 2 江苏省苏州市20202021学年第一学期高三期初调研试卷 数学试题 20209 一、 单项选择题(本大题共8小题， 每小题5分， 共计40分在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符 合题目要求的， 请把答案添涂在答题卡相应位置上) 1集合A=xx2-2x-30， B=xx1， AB= A(1， 3) B(1， 3 C-1，+) D(1，+) 答案： B 解析：

5、 集合A=xx2-2x-30， 集合A=-1x3， 又集合B=xx1， AB=(1， 3， 故选B 2复数z满足(1+i)z=2+3i， 则z在复平面表示的点所在的象限为 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案： A 解析：z= 2+3i 1+i = (2+3i)(1-i) (1+i)(1-i) = 2+i-3i2 1-i2 = 5+i 2 = 5 2 + 1 2 i， z 在复平面表示的点在第 一象限故选A 3(2x- 1 x2 )4的展开式中x的系数为 A-32 B32 C-8 D8 答案： A 解析：Tr+1=Cr 4(2x) 4-r(- 1 x2 )r=(-1)r24-r

6、Cr 4x 4-3r， 当4-3r=1， r=1， 此时(-1)r24-rCr 4 =- 32， 故选A 4已知随机变量服从正态分布N(1，2)， 若P(4)=0.9， 则P(-21)为 A0.2 B0.3 C0.4 D0.6 答案： C 解析： P(-21)=0.5-(1-P(0， b0， 且2a+b=1， 则 1 a + 2a a+b A有最小值为4 B有最小值为2 2 +1 C有最小值为 14 3 D无最小值 答案： B 解析： 2a+b=1， a+b=1-a， 其中0a0， 2 )， 则下列叙述正确的是 A=- 3 B当t(0， 60时， 函数y=f(t)单调递增 C当t(0， 60时

7、，f(t)的最大值为3 3 D当t=100时，PA =6 答案： AD 解析： 求得R=6， 当t=0时，6sin=-3 3，sin=- 3 2 ， 由 0,y0 - x2-1,x0,y0 x2+1,x0 ， 函数y=f(x)的图象不经过第三象限， A正确； f(x)在R上单调递减， 故B错误； y=f(x)的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1， 故C正确； 假设函数g(x)=f(x)+x存在零点， 则xx -x-x =1， 得0=1不成立， 故假设不成立， 函数g(x) =f(x)+x不存在零点， 故D正确故选ACD 12数列an为等比数列 Aan+an+1为等比数列 Banan+1为等

8、比数列 Ca2 n+a 2 n+1 为等比数列 DSn不为等比数列(Sn为数列an的前n项和 答案： BCD 解析： 当an公比为-1时，an+an+1不是等比数列， 故A错误， BCD都正确 三、 填空题(本大题共4小题， 每小题5分， 共计20分请把答案填写在答题卡相应位置上) 13已知tan=2， 则cos(2+ 2 )= 答案：- 4 5 解析：cos(2+ 2 )=-sin2=- 2sincos sin2+cos2 =- 2tan tan2+1 =- 4 5 14已知正方体棱长为 2， 以正方体的一个顶点为球心， 以2 2为半径作球面， 则该球面被正方体表面 所截得的所有的弧长和为

9、答案： 3 解析： 根据题意该球面与正方体三个面有交线， 每条弧线均是 90为圆心角， 2 为半径的弧， 故所有弧长 之和为3 15直线kx+y+4=0将圆C：x2+y2-2y=0分割成两段圆弧之比为3： 1， 则k= 答案： 7 解析： 由题意知点C到直线的距离为 2 2 ， 5 k2+1 = 2 2 ， 解得k=7 16已知各项均为正数的等比数列an， 若2a4+a3-2a2-a1=8， 则2a8+a7的最小值为 答案： 54 解析： 设2a2+a1=m0， 公比为q，q2m-m=8q2= 8+m m ， 则2a8+a7=mq6=m (8+m)3 m3 = (8+m)3 m2 ， 2 令f

10、(m)= (8+m)3 m2 ，f(m)= (8+m)2(m-16) m3 ， 可得m=16时， f(m)min=f(16)=54 四、 解答题 ( 本大题共 6 小题， 共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、 证明 过程或演算步骤) 17(本小题满分10分) 在ABC 中， 角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， ABC 的面积为 S现在以下三个条件： (2c + b)cosA+acosB=0； sin2B+sin2C-sin2A+sinBsinC=0； a2-b2-c2= 4 3 3 S请从以上三个条 件中选择一个填到下面问题中的横线上， 并求解 已知向量

11、m = (4sinx，4 3)，n = (cosx， sin2x)， 函数f(x) = m n - 2 3， 在 ABC 中， a = f( 3 )， 且 ， 求2b+c的取值范围 解： 若， 则由正弦定理可得， 即， 因为C为三角形内角， sinC0， 可得， 因为， 可得 若 sin2B + sin2C - sin2A + sinBsinC = 0， 由正弦定理可得：， 由余弦定理可得 ， 因为， 可得 若a2-b2-c2= 4 3 3 S， 则， 所以， 可得， 因为， 可得 由正弦定理可得， 所以， 因为， 所以， 所以， ，因 为，所 以，所 以 ， 即2b+c的取值范围为 18(本

12、小题满分12分) 已知各项均不相等的等差数列an的前4项和为10， 且a1，a2，a4是等比数列bn的前 3项 2 (1)求an，bn； (2)设cn=bn+ 1 an(an+1) ， 求cn的前n项和Sn 解： (1)设数列的公差为d， 由题意知： 又因为成等比数列， 所以， 又因为， 所 以， 由得， 所以， ， (2)因为， 所以， 所以数列cn的前n项和Sn=2n- 1 n+1 19(本小题满分12分) 如图， 在四棱锥SABCD中， ABCD是边长为4的正方形， SD平面ABCD， E， F分别为AB， SC的中点 (1)证明： EF平面SAD； (2)若SD=8， 求二面角DEFS

13、的正弦值 解： (1)证明： 取SD的中点M， 连接AM， MF， M， F分别为SD， SC的中点， MFCD， 且， 又底面ABCD为正方形， 且E为AB中点， MFAE， 且MF=AE， 四边形AEMF为平行四边形， EFAM， EF不在平面SAD内， AM在平面SAD内， EF平面SAD； (2)以点D为坐标原点， DA， DC， DS所在直线分别为x轴， y轴， z轴建立如图所示的空间坐标系D xyz， 则D(0， 0， 0)， E(4， 2， 0)， F(0， 2， 4)， S(0， 0， 8)， 故 2 设平面DEF的一个法向量为， 则， 可取， 设平面EFS的一个法向量为， 则

14、， 可取， 设二面角DEFS的平面角为， 则 ， ， 即二面角DEFS的正弦值为 20(本小题满分12分) 某省2021 年开始将全面实施新高考方案， 在 6 门选择性考试科目中， 物理、 历史这两门科目采用原 始分计分： 思想政治、 地理、 化学、 生物这 4 门科目采用等级转换赋分， 将每科考生的原始分从高到低划 分为A， B， C， D， E共5个等级， 各等级人数所占比例分别为15%、 35%、 35%、 13%和2%， 并按给定的公 式进行转换赋分该省组织了一次高一年级统一考试， 并对思想政治、 地理、 化学、 生物这 4门科目的原 始分进行了等级转换赋分 (1)某校生物学科获得A等

15、级的共有10名学生， 其原始分及转换分如表： 原始分9190898887858382 转换分10099979594918886 人数11212111 现从这10名学生中随机抽取3人， 设这3人中生物转换分不低于95分的人数为X， 求X的分布列和 数学期望； (2) 假设该省此次高一学生生物学科原始分 Y 服从正态分布 N(75.8， 36)若 YN(，2)， 令= Y- ， 则N(0， 1)， 请解决下列问题： 若以此次高一学生生物学科原始分 C 等级的最低分为实施 分层教学的划线分， 试估计该划线分大约 为多少分？(结果保留整数)现随机抽取了该省800名高一 学生的此次生物学科的原始分， 若

16、这些学生的原始分相互独立， 记为被抽到的原始分不低于71分的学 生人数， 求P(=k)取得最大值时k的值 附： 若N(0， 1)， 则P(0.8)0.788， P(1.04)0.85 2 解： (1)随机变量X的所有可能的取值为0， 1， 2， 3， 根据条件得， ， 则随机变量X的分布列为 数学期望 (2)设该划线分为m， 由YN(75.8， 36)得， 令， 则， 依题意， 即， 因为当时， 所以， 所以， 故， 取m=69； 由讨论及参考数据得 ， 即每个学生生物统考成绩不低于71分的事件概率约为0.788， 故， 由， 即， 解得， 又， 所以k=631， 所以当k=631时取得最大值

17、 21(本小题满分12分) 如图， 已知椭圆 x2 a2 + y2 b2 =1(ab0)的长轴两个端点分别为A， B， P(x0，y0)(y00)是椭圆上 的动点， 以AB为一边在x轴下方作矩形ABCD， 使AD=kb(k0)， PD交AB于 E， PC交AB于F (1)若k=1， PCD的最大面积为12， 离心率为 5 3 ， 求椭圆方程； (2)若AE， EF， FB成等比数列， 求k的值 2 解： (1)如图， 当k=1时， CD过点(0， -b)， CD=2a， 当点P为(0， b)时PCD的面积最大， 即有， ab=6， 由已知离心率为， 由解得a=3， b=2， 所求椭圆的方程为，

18、 (2)如图， 由题意得：， 因为 在椭圆上， 所以， 又直线PD方程为， 令， 解得， 同理可得， 所以， 因为AE， EF， FB成等比数列， 所以AEFB=EF2， 即， 化简得： 又， 所以， 代入式得， 因为， 所以， 又， 所以 22(本小题满分12分) 已知函数f(x)=lnx-x+sinx+1 (1)求证：f(x)的导函数f(x)在(0， )上存在一零点； (2)求证：f(x)有且仅有两个不同的零点 解： (1)设， 2 当时， 所以在上单调递减， 又因为， 且当时，的图像不间断， 所以在上有唯一的零点， 所以命题得证； (3)1由(1)知： 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 所以在上存在唯一的极大值点 所以 又因为 所以在上恰有一个零点 又因为 所以在上也恰有一个零点 2当时， 设， 所以在上单调递减， 所以 即在上没有零点 3当时， 设， 所以在上单调递减， 所以 所以当时，恒成立 所以在上没有零点， 综上，f(x)有且仅有两个不同的零点 2