2012年华约自招-数学 测试真题（（强基必备）清华自招近十年18套绝密原题对外）.pdf

1、2012 年华约自招数学2012 年华约自招数学 即 2012 年高水平自主选拔学业能力测试 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1 在锐角中，已知，则的取值范围为（） ABCABCcosB A.B.C. D. 2 (0,) 2 12 ,) 22 (0,1) 2 (,1) 2 2 红蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这 6 枚棋子排成一列，其中每对同字的棋子 中，均为红旗子在前，蓝棋子在后，满足这种情况的不同条件的不同排列方

2、式共 有（） A.36 种B.60 种C.90 种D.120 种 3 正四棱锥中，侧棱与底面所成角为，侧面与底面所成二面角为， SABCD 侧棱与地面正方形的对角线所成角为，相邻两侧面所成二面角为 SBABCDAC ，则、之间的大小关系是（） A. B. C. D. 4 向量，若，则（） ae | 1e tR | |ateae A.B.ae()aae C.D.()eae()()aeae 5 若复数的实部为 0，是复平面上对应的点，则点的轨迹是（ 1 1 Z 1 1 ( , )Z x y ） A.一条直线B.一条线段C.一个圆D.一段圆弧 6 椭圆长轴为 4，左顶点在圆上，左准线为轴，则此椭圆离

3、心 22 (4)(1)4xyy 率的取值范围是（） A.B.C.D. 1 1 , 8 4 1 1 , 4 2 1 1 , 8 2 1 3 , 2 4 G H E D C B A 7 已知三棱锥的底面为正三角形，点在侧面上的射影是 SABCABC A SBC H 的垂心，二面角为，且，则此三棱锥的体积为（ SBCHABC o 302SA ） A.B.C.D. 1 2 3 2 3 4 3 4 8 如图，在锐角中，边上的高于边上的 ABC AB CEAC 高交于点，以为直径作圆与的另一个交点BDHDE AC 为，已知，则的边长为 G25BC 20BD 7BE AG （） A.8 B. C.10 D.

4、 42 5 54 5 9 已知数列的通项公式为， n a 2 2 lg(1) 3 n a nn ，是数列的前项和，则（）1n 2 n S nlim n n S A.0B.C. D. 3 lg 2 lg2lg3 10已知,，当取得最大值时，在， 610 i x (1,2,10)i , 10 1 50 i i x 10 2 1 i i x 1 x ，这是个数种等于的数共有（） 2 x 10 x 6 A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个 二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11（本小题满分 14 分）在中，的对边分别为，。已知

5、 ABC AB Cabc 2 2sin1cos2 2 AB C （1） 求的大小C （2） 若，求的值 222 22cbacos2cos2AB 12（本小题满分 14 分）已知两点，动点在轴上的射影是， ( 2,0)A (2,0)B P y H 且。 2 2|PA PBPH A （1） 求动点的轨迹的方程 P C （2） 已知过点的直线交曲线于轴下方不同的两点，。设的中 B Cx M NMN 点为，过与点作直线，求直线斜率的取值范围。 RR (0, 2)QRQRQ 13（本小题满分 14 分）系统中每个元素正常工作的概率都是，各元件(01)pp 正常工作的事件相互独立，如果系统中有多于一半的元

6、件正常工作，系统就能给 你正常工作，系统正常工作的概率称为系统的可靠性。 （1） 某系统配置有个元件，为正整数，求该系统正常工作概率的表达 21k k 式。 （2） 现为改善（1）中系统的性能，拟增加两个元件，试讨论增加两个元件后， 能否提高系统的可靠性。 14. （本小题满分 14 分）记函数，证明：当 2 ( )1 2! n n xx fxx n 1,2n 是偶数时，方程没有实根：当是奇数时，方程有唯一的实n( )0 n fx n( )0 n fx 根，且。 n 2nn 15. （本小题满分 14 分某兵乓球培训班共有位学员，在班内双打训练赛期间，每两n 名学员都做为搭档恰好参加过一场双打比赛，试确定的所有可能值并分别给出n 对应的一种安排比赛的方案。