海淀区2020~2021高三数学第一学期期中练习参考答案.pdf

1、数学答案 第 1 页（共 10 页） 海淀区海淀区 20202021 学年第一学期期中练习学年第一学期期中练习 高三数学高三数学参考答案参考答案 2020.11 一、一、选择题共选择题共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4040 分分。 题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 答案 A C C D B C A B A B 二、填空题共二、填空题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2525 分分。 题号 （11） （12） （13） （14） （15） 答案 2 3 25 3 4 1 2 3 3 2

2、 三、解答题共 6 小题，共 85 分。 （16） （本小题共 14 分） 解： （）由正弦定理得： sinsin bc BC . 因为 sin2sinBC， 所以 2bc. 因为 3 cos 4 A ，0A， 所以 2 7 sin1 cos 4 AA. 因为 7S ， 所以 2 11 sin2sin7 22 SbcAcA. 所以 2 4c . 所以 2c . （）由（）知 2bc. 因为 3 cos 4 A ， 所以 2222222 3 2cos442 4 abcbcAcccc. 所以 2ac. 所以 2 a c . （17） （本小题共 14 分） 解： （）设等差数列 n a的公差为d，

3、则 1 (1) n aand. 数学答案 第 2 页（共 10 页） 因为 5 9a ， 39 22aa， 所以 1 1 49, 21022. ad ad 解得： 1 1, 2. a d 所以 21 n an. （）选择 设等比数列 n a的公比为q. 因为 11 ba， 312 baa， 所以 1 1b ， 3 4b . 因为 3 7S ， 所以 2313 2bSbb. 所以 2 1 2 b q b . 所以 1(1 ) 21 1 n n n bq S q . 因为 2020 n S ， 所以 212020 n . 所以 10n . 即n的最大值为10. 选择 设等比数列 n a的公比为q.

4、 因为 11 ba， 312 baa， 所以 1 1b ， 3 4b . 所以 23 1 4 b q b ，2q . 因为 1nn bb ， 数学答案 第 3 页（共 10 页） 所以 2q . 所以 1(1 ) 21 1 n n n bq S q . 因为 2020 n S ， 所以 212020 n . 所以 10n . 即n的最大值为10. 选择 设等比数列 n a的公比为q. 因为 3 7S ， 1 1b ， 所以 2 17qq. 所以 2q ，或3q . 因为 1nn bb ， 所以 2q . 所以 1(1 ) 21 1 n n n bq S q . 因为 2020 n S ， 所以

5、 212020 n 所以 10n . 即n的最大值为10. （18） （本小题共 14 分） 解： （）因为e0 x ， 由 2 ( )e (23 )0 x f xxx，得 2 230 xx. 所以 0 x ，或 3 2 x . 所以 不等式( )0f x 的解集为 0,x x 或 3 2 x . （）由 2 ( )e (23 ) x f xxx得： 2 ( )e (23) x fxxx 数学答案 第 4 页（共 10 页） e (23)(1) x xx. 令( )0fx ，得1x ，或 3 2 x （舍）. ( )f x与( )fx在区间0,2上的情况如下： x 0 (0,1) 1 (1,2

6、) 2 ( )f x 0 ( )f x 0 e 2 2e 所以 当1x 时，( )f x取得最小值(1)ef ； 当2x 时，( )f x取得最大值 2 (2)2ef. （19） （本小题共 14 分） 解： （）因为 sinyx的单调递减区间为 3 2 ,2 22 kk（k Z）. 所以 3 2 2 262 kxk，k Z. 所以 4 2 2 33 kxk，k Z. 所以 函数( )f x的单调递减区间为 4 2 ,2 33 kk（k Z）. （）因为 ( )2sin() 6 f xx， 所以 ()2sin 6 f xx. 因为 ( )( ) () 6 g xf x f x， 所以 ( )4

7、sin()sin 6 g xxx 31 4(sincos )sin 22 xxx 2 2 3sin2cos sinxxx 3 1 cos2sin2xx 2sin(2)3 3 x. 因为 0 xm， 所以 22 333 xm. 因为 ( )g x的取值范围为0,23， 数学答案 第 5 页（共 10 页） 所以 sin(2) 3 x 的取值范围为 3 ,1 2 . 所以 4 2 233 m. 解得： 55 126 m. 所以 m的最大值为 5 6 . （20） （本小题共 14 分） 解：由可得：. （）当时，. 所以 曲线在点处的切线方程为. （）当时，在上不具有单调性 当时，令得. ( )f

8、 x与( )f x在区间(,) 上的情况如下： 极大值 极小值 因为 在上具有单调性， 所以 . 当时， ( )f x与( )f x在区间(,) 上的情况如下： 极小值 极大值 因为 在上具有单调性， 所以 ，即. 综上所述，的取值范围是. （）先证明：. 由（）知，当时，的递增区间是，递减区间是 . 因为 ，不妨设，则. 32 ( )324f xaxaxa 2 ( )363(2)fxaxaxax x 1a (3)2,(3)9ff ( )yf x(3, (3)f925yx 0a ( )2f x R 0a ( )0fx 12 0,2xx x(,0)0(0,2) 2 (2,) ( )fx0 0 (

9、 )f x ( )f x( ,3)a a 2a 0a x(,0)0(0,2) 2 (2,) ( )fx 00 ( )f x ( )f x( ,3)a a 30a 3a a(, 32,) 12 ( )()4f xf x 0a ( )f x(,0)(2,) (0,2) 12 2xx 12 xx 2 1x 数学答案 第 6 页（共 10 页） 若，则. 所以 1211 ( )( )( )(2)444f xf xf xfxa. 若，因为 ， 所以 ，当且仅当时取等号. 综上所述，. 再证明：的取值范围是. 假设存在常数m（4m ） ，使得对任意 12 2xx， 12 ( )( )f xf xm. 取

10、1 2x ，且 2 4 2 m x a ，则 32 222 (2)( )2324ff xaxaxa 222 2222 2(2)(2)2(2)4ax xa xa xm， 与 12 ( )( )f xf xm矛盾. 所以 的取值范围是. （21） （本小题共 15 分） 解：解： （）取，则存在（） ，使得，即 321 2aaa. 因为 1 3aa， 2 5ab， 所以 . （）假设 n a中仅有有限项为，不妨设，且当nm时，均不 为，则. 取，则存在（） ，使得 ，与0 k a 矛盾. （）当时，首先证明数列 n a是递增数列，即证， 恒成立. 若不然，则存在最小的正整数，使得，且. 显然.取，

11、则存在（） ，使得 1 0 x 21 22xx 1 0 x 2 1x 12 ( )()(2)(2)4f xf xff 12 2xx 12 ( )()4f xf x 12 ( )()f xf x4,) 12 ( )()f xf x4,) 1,2ij k a24k 21 2 k aaa 321 27aaa 00 m a n a 02m 1,ijm k a2mkm 1 20 km aaa ab*n N 1nn aa 0 n 00 1nn aa 0 12n aaa 0 2n 00 ,1,2,1jn in k a 00 2nkn 数学答案 第 7 页（共 10 页） . 因为 ， 所以 这个不同的数恰为

12、 这项. 所以 ，与 00 1nn aa 矛盾. 所以 数列 n a是递增数列. 再证明：. 记，即证. 当时，结论成立. 假设存在最小的正整数，使得对任意恒成立， 但，则. 取，则存在（） ，使得. 因为 数列 n a是递增数列， 所以 . 所以 . 因为 这个数恰为 这项. 所以 ， 与 0 10m aamd 矛盾. 所以 . 当时，令，则，且. 对于中任意两项,() ij b b ij， 0 2 kni aaa 00000 121 222 nnnnn aaaaaaa 0000 121 2,2,2 nnnn aaaaaa 0 1n 000 1221 , nnn aaa 0 1n 00 1n

13、n aa (1)(),1,2,3, n aanba n dba(1) ,1,2,3, n aand n 1,2n 0 m(1) n aand 0 1nm 0 10m aam d 0 2m 00 ,1,2,1jm im k a 00 2mkm 0 2 kmi aaa 000 12121mmm aaaaa 0000 121 222 mmmm aaaaaa 0000 121 2,2,2 mmmm aaaaaa 0 1m 000 1221 , mmm aaa 0 1m 000 11000 22(1) (2) mmm aaaamdamdam d (1)(),1,2,3, n aanba n ab,1,2,3, nn ba n 12 ,ba bb 12 bb n b 数学答案 第 8 页（共 10 页） 因为 对任意,() ij a a ij，存在(2 ) k ajkj，使得2 kji aaa， 所以 2() kji aaa ，即存在(2 ) k bjkj，使得2 kji bbb. 因此 数列满足题设条件. 由可知， 所以 . 综上所述，. 经检验，数列 n a满足题设条件. n b (1)(),1,2,3, n banab n (1)(),1,2,3, n aanba n (1)(),1,2,3, n aanba n