2021届湖北省部分重点中学高三上学期10月联考数学试题（解析版）.doc

1、第 1 页 共 20 页 2021 届湖北省部分重点中学高三上学期届湖北省部分重点中学高三上学期 10 月联考数学试题月联考数学试题 一、单选题一、单选题 1已知全集已知全集UR， |1Mx x ， |20Nx x x，则图中阴影部分表示，则图中阴影部分表示 的集合是的集合是( )( ) A | 1 0 xx B | 10 xx C | 2 1xx D |1x x 【答案】【答案】A 【解析】【解析】通过韦恩图，可知所求集合为 U NC M，求解出集合N，利用集合运算知 识求解即可 【详解】 由2020 x xx ，即20Nxx 图中阴影部分表示的集合为： U NC M 又1 U C Mx x

2、 10 U NC Mxx 本题正确选项：A 【点睛】 本题关键在于通过韦恩图确定所求集合，属于基础题 2从从2020年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语3门统一高考成绩和考生 门统一高考成绩和考生 选考的选考的 3 门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成 等级性考试成绩位次由高门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成 等级性考试成绩位次由高 到低分为到低分为A、B、C、D、E， 各等级人数所占比例依次为：， 各等级人数所占比例依次为：A等级等级15%，B等级等级40%， C等级等级30%，D等级等级14%，E等级等级1%现采用分层抽样的

3、方法，从参加历史等级性现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性 考试的学生中抽取考试的学生中抽取200人作为样本，则该样本中获得人作为样本，则该样本中获得A或或B等级的学生人数为（等级的学生人数为（ ） A55 B80 C90 D110 【答案】【答案】D 【解析】【解析】利用抽样比求解 第 2 页 共 20 页 【详解】 设该样本中获得A或B等级的学生人数为x，则 1540 110 200100 x x 故选：D 【点睛】 本题考查分层抽样的定义与应用，考查计算能力，是基础题 3已知已知|1 2Axx，命题，命题“ 2 ,0 xA xa ”是真命题的一个充分是真命题的一个充分不必要条不必要条

4、件是（件是（ ） A4a B4a C5a D5a 【答案】【答案】C 【解析】【解析】首先求出命题为真时参数a 的取值范围，再找出其一个充分不必要条件； 【详解】 解：因为|12Axx， 2 ,0 xA xa 为真命题，所以 2 max ax ，xA， 因为函数 2 f xx在1,2上单调递增，所以 2 max 4x ，所以4a 又因为5,4, 所以命题“ 2 ,0 xA xa ，|12Axx”是真命题的一个充分不必要条件为 5a 故选：C 【点睛】 本题考查全称命题为真求参数的取值范围，以及充分条件、必要条件，属于基础题. 4在增减算法统宗中有这样一则故事：在增减算法统宗中有这样一则故事：“

5、三百七十八里关，初行健步不为难；次日 三百七十八里关，初行健步不为难；次日 脚痛减一半，如此六日过其关脚痛减一半，如此六日过其关”.则下列说法不正确的是（则下列说法不正确的是（ ） A此人第一天走的路程比后五天走的路程多此人第一天走的路程比后五天走的路程多 6 里 里 B此人第六天只走了此人第六天只走了 5 里路里路 C此人第二天走的路程比全程的此人第二天走的路程比全程的 1 4 还多还多 1.5 里里 D此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的 8 倍 倍 【答案】【答案】B 【解析】【解析】 根据描述知： 378里路程 6天走完且第二天开始每天所走里

6、程是前一天的一半， 根据等比数列概念即可求第一天所走路程， 进而得到其它 5天各走的里程即可确定错误 的说法. 【详解】 第 3 页 共 20 页 由题意知，一共 378 里路，6天走完且第二天开始每天所走里程是前一天的 1 2 ， 若第一天走了x里， 则第n天所走的路程为 1 2n x ， 即有 6 1 2(1)378 2 x， 得192x ， 第 1、2、3、4、5、6 天各走了 192、96、48、24、12、6里， 结合选项，A、C、D 正确，而 B中此人第六天只走了 6里路. 故选：B 【点睛】 本题考查了等比数列，根据题设描述结合等比数列的概念确定等比数列，并根据等比数 列前 n

7、项和公式求首项，属于基础题. 5已知定义在已知定义在R上的上的函数函数 | ( )21 x m f x （m为实数）为偶函数，记为实数）为偶函数，记 3 2af ， 3mbf， 0.5 log3cf，则（，则（ ） Aabc Ba cb Ccab Dcba 【答案】【答案】A 【解析】【解析】由题意可得0m，可得 | | ( )21 x f x 在(0, )单调递增，在(,0) 单调递 减，比较三个变量的绝对值大小可得 【详解】 定义在R上的函数 | ( )21( x m f xm 为实数）为偶函数， ( 1)ff （1） ，即 | 1|1| 2121 mm ，解得0m ， 检验得当0m时，原

8、函数为偶函数. | | ( )21 x f x在(0,)单调递增，在(,0)单调递减， 3 1 2(0,1) 8 ，31 m ， 0.52 |log3| log 31， 3 0.5 (2 )(3 )(log3) m fff ，即abc 故选：A 【点睛】 本题考查函数的单调性和奇偶性的应用，考查对数式大小的比较，意在考查学生对这些 知识的理解掌握水平，属于基础题 6函数函数( )sin( )(0) 4 f xAx 的图象与的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为轴交点的横坐标构成一个公差为 3 的的 等差数列，要得到函数等差数列，要得到函数( )cosg xAx的图象，只需将的图象，只需将 (

9、)f x的图象（ 的图象（ ） 第 4 页 共 20 页 A向左平移向左平移 12 个单位个单位 B向右平移向右平移 4 个单位个单位 C向左平移向左平移 4 个单位个单位 D向右平移向右平移 3 4 个单位个单位 【答案】【答案】A 【解析】【解析】依题意有 f x的周期为 22 ,3,sin 3 34 Tf xAx .而 sin 3sin 3sin 3 244124 g xAxAxAx ，故应左移 12 . 7现有某种细胞现有某种细胞 1 千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由 1 个细胞 个细胞 分裂成分裂成 2 个细胞，按这

10、种规律，个细胞，按这种规律，1 小时后，细胞总数约为小时后，细胞总数约为 1 2 1000 1 2 1000 2 3 2 1000，2 小时后，细胞总数约为小时后，细胞总数约为 1 2 3 2 1000 1 2 3 2 1000 2 9 4 1000，问当细，问当细 胞总数超过胞总数超过 1010个时，所需时间至少为（个时，所需时间至少为（ ）(参考数据：参考数据：lg30.477，lg20.301) A38 小时小时 B39 小时小时 C40 小时小时 D41 小时小时 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据分裂规律，可得细胞在每个小时后的个数成等比数列，由此列式计算 【详解】 记第n个小

11、时后细胞个数为 n a，则 1 113 2 222 nnnn aaaa ， 1 3 1000 2 a ， n a是等比数列， 1 3 333 100010 222 nn n a ， 由 310 3 1010 2 n n a ，得 7 3 10 2 n ， 3 lg7 2 n， 777 40 3 lg3lg20.4771 0.301 lg 2 n 故选：C 【点睛】 本题考查等比数列的应用，解题关键是根据题意得出相隔 1小时细胞个数的关系，从而 引入数列模型求解 8若若1a ，设函数，设函数 4 x f xax 的零点为的零点为 ,log4 a m g xxx 的零点为的零点为n， 第 5 页

12、共 20 页 则则 11 mn 的取值范围是的取值范围是( ) A 7 , 2 B1, C4, D 9 , 2 【答案】【答案】B 【解析】【解析】把函数零点转化为两个函数图象交点的横坐标，根据指数函数与对数函数互为 反函数，得到两个函数图象之间的关系求出m，n之间的关系，根据两者之和是定值， 利用基本不等式得到要求的结果 【详解】 函数( )4 x f xax的零点是函数 x ya与函数 4yx 图象交点A的横坐标， 函数( )log4 a g xxx的零点是函数logayx与函数4yx图象交点B的横坐 标， 由于指数函数与对数函数互为反函数， 其图象关于直线y x 对称， 直线4yx与直线

13、y x 垂直， 故直线4yx与直线y x 的交点(2,2)即是A，B的中点， 4mn， 111111 ()()(2) 1 44 mn mn mnmnnm ， 当2mn等号成立， 而4mn，故 11 1 mn ， 故所求的取值范围是1， ) 故选：B 【点睛】 本题考查函数零点、反函数的性质、基本不等式求最值，考查函数与方程思想、转化与 化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意验证等号成 立的条件. 二、多选题二、多选题 9如图，点如图，点 P在正方体在正方体 1111 ABCDABC D的面对角线的面对角线 1 BC上运动，则下列上运动，则下列四个结论四个结论 正确的

14、有（正确的有（ ） 第 6 页 共 20 页 A三棱锥三棱锥 1 AD PC的体积不变的体积不变 B 1 AP与平面与平面 1 ACD所成的角大小不变所成的角大小不变 C 1 DPBC D 1 DB 1P A 【答案】【答案】ABD 【解析】【解析】 【详解】 正方体中 11 / /BCAD， 则有 1/ / BC平面 1 ADC， P到平面 1 ADC的距离不变， 1 ADC 面积不变，因此三棱锥 1 AD PC的体积不变，A 正确； 同理 1 / /AB平面平面 1 ADC，从而可得平面 11/ / ABC平面 1 ADC，可得 1 AP/ /平面 1 ACD， 1 AP与平面 1 ACD

15、所成的角大小始终为 0，B 正确； 当P与 1 C重合时，DP与 1 BC所成角为60，不垂直，C 错； 由正方体中 11 AC 11 B D， 由 1 11 ACB B， 得 11 AC 平面 11 BB D D， 可得 111 ACB D， 同理 11 ABB D，从而可证 1 B D 平面 11 ABC，必有 11 B DAP，D 正确； 故选：ABD 【点睛】 本题考查空间的直线与平面间的平行与垂直的关系，掌握正方体的性质是解题关键考 查了学生的空间想象能力，逻辑推理能力 第 7 页 共 20 页 10已知双曲线已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左右两个顶点分别

16、是的左右两个顶点分别是 A1，A2，左右两个焦点，左右两个焦点 分别是分别是 F1，F2，P是双曲线上异于是双曲线上异于 A1，A2的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的任意一点，给出下列命题，其中是真命题 的有（的有（ ） A 12 2PFPFa B 直线直线 12 ,PA PA的斜率之积等于定值的斜率之积等于定值 2 2 b a C使使 12 PFF为等腰三角形的点为等腰三角形的点P有且仅有有且仅有 4 个个 D焦点到渐近线的距离等于焦点到渐近线的距离等于 b 【答案】【答案】BD 【解析】【解析】A. 由双曲线的定义判断；B.设 00 ,P x y，利用斜率公式求解判断；C.利用双 曲

17、线的对称性判断；D.利用点到直线的距离公式求解判断； 【详解】 A. 因为 12 2PFPFa ，故错误； B.设 00 ,P x y， 则 22 00 22 1 xy ab ， 所以 12 2 2 0 00 222 0 2 0 2 0 1 PAPA yy kk xa x b a ax b xaa ， 故正确； C.若点P在第一象限，若 12 2 ,22PFPFcca， 12 PFF为等腰三角形；若 21 2 ,22PFPFcca， 12 PFF为等腰三角形，由双曲线的对称性知，点P有且仅 有 8个，故错误； D.不妨设焦点坐标为： 2 ,0F c ，渐近线方程为0bxay，则焦点到渐近线的距

18、离 22 bc db ba ，故正确； 故选：BD 【点睛】 本题主要考查双曲线的定义和几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 11在在ABC中，角中，角 , ,A B C所对的边分别为 所对的边分别为, ,a b c，已知，已知60B ，4b，下列判断，下列判断 正确的是（正确的是（ ） A若若3c ，则角，则角C有两解有两解 B若若 9 2 a ，则角，则角C有两解有两解 CABC为等边三角形时周长最大为等边三角形时周长最大 DABC为等边三角形时面积最小为等边三角形时面积最小 第 8 页 共 20 页 【答案】【答案】BC 【解析】【解析】根据正弦定理分析求解 【详解】 A由 s

19、insin bc BC 得 sin3sin603 sin 48 cB C b ，又cb，CB，C为 锐角，只有一解，A 错； B由 sinsin ab AB ，得 9 3 sin1 256 A ，又a b，AB，A角有两解，则C角 有两解，B正确； C由 222 2cosbacacB得 222222 31 16()3()()() 44 acacacacacacac， 8ac ，当且仅当a c 时，等号成立，此时三角形周长最大，三角形为正三角形C 正确； D由 C的推导过程知 22 162acacacacac，当且仅当a c 时等号成立， 即ac最大值是 16，此时 ABC S最大，又 3 B

20、，三角形为正三角形，D 错 故选：BC 【点睛】 本题考查正弦定理与余弦定理的应用，有解三角形时，在已知两边和其中一边对称解三 角形时，利用正弦定理求解，可能有两解 12已知函数已知函数 lnf xx， 32 ( )2()g xxexkx kR，若函数，若函数 ( )( )yf xg x 有有 唯一零点，则以下四个命题正确唯一零点，则以下四个命题正确的是（的是（ ） A 2 1 ke e B曲线曲线 ( )yg x 在点在点( , ( )e g e处的切线与直线处的切线与直线10 xey 平行平行 C函数函数 2 ( )2yg xex在在0, e上的最大值为上的最大值为 2 21e D函数函数

21、 2 ( ) x yg xe x e 在在0,1上单调递增上单调递增 【答案】【答案】AB 【解析】【解析】A将问题转化为方程 2 ln 2 x xexk x 仅有一个解，然后构造新函数求解 出k的值；B根据导数的几何意义求解出切线方程，然后判断是否平行；C分析 第 9 页 共 20 页 2 ( )2yg xex的单调性，直接求解出最大值并判断选项是否正确；D对 2 ( ) x yg xe x e 求导，利用导数分析单调性并判断选项是否正确. 【详解】 A函数 ( )( )yf xg x 有唯一零点方程 2 ln 2 x xexk x 有唯一解， 设 2 12 ln ,2 x hxhxxexk

22、 x ， 1 1 ln 0 x hxx x ， 所以 1 h x在0,e上单调递增，在, e 上单调递减，所以 11 max 1 hxh e e ， 又因为 222 22 min 2hxh eeekke，且方程有唯一解， 所以 2 1 ke e ，所以 2 1 ke e ，故 A 正确； B因为 322 1 ( )2g xxexex e ，所以 22 1 ( )34g xxexe e ， 所以 222 11 34g eeee ee ，且 1g e ，所以切线方程为：0 xey， 所以切线与10 xey 平行，故 B 正确； C记 322 2 1 ( )F xg xxxx e ee ， F x在

23、0,e上单调递增， 所以 3 max 21F xF ee，故 C错误； D记 32 2 xxxGe， 2 3434G xxexxxe， 所以 G x在 4 0, 3 e 上单调递减，所以 G x在0,1上单调递减，故 D错误. 故选：AB. 【点睛】 本题考查函数与导数的综合应用，其中涉及到利用导数求解切线方程、利用导数分析函 数的单调性和最值以及函数零点和方程根的转化，对学生综合分析问题的能力要求很 高，难度较难. 三、填空题三、填空题 13 4 2xyxy的展开式中的展开式中 32 x y的系数为的系数为_. 【答案】【答案】14 【解析】【解析】针对 4 ()xy部分由二项式定理知通项为

24、 4 14 rrr r TC xy ，结合整个代数式有 第 10 页 共 20 页 32 x y的项组成为 22213 44 2x C x yy C x y即可求其系数. 【详解】 对于 4 ()xy，由二项式通项知： 4 14 rrr r TC xy ， 含 32 x y项的组成为： 222132132 4444 2(2)x C x yy C x yCCx y， 32 x y的系数为 14. 故答案为：14. 【点睛】 本题考查二项式定理，根据已知代数式形式求指定项的系数，属于基础题. 14函数函数 2 ln 1 x f xa x 为奇函数，则实数为奇函数，则实数a_. 【答案】【答案】1

25、【解析】【解析】 由 f x为奇函数， 根据定义有 22 lnl 11 n xx aa xx ， 结合lnyx 是单调函数即可求a. 【详解】 函数 f x为奇函数知：()( )fxf x ，而(l 1 2 )n x x fxa ， 22 lnl 11 n xx aa xx ，即 1 1 (2) lnln (2) a xa a x x xa ， 又lnyx是单调函数， (2)1 1(2) a xax xa xa ，即有 2 2 1 21 a a ，解得1a. 故答案为：1. 【点睛】 本题考查了利用函数的奇偶性求参数值，应用lnyx的单调性列方程，属于基础题. 15在在ABC中，中， , ,a

26、 b c分别为角 分别为角, ,A B C的对边，若函数的对边，若函数 3222 1 ( )()1 3 f xxbxacac x有极值点，则有极值点，则B的范围是的范围是_ 【答案】【答案】, 3 第 11 页 共 20 页 【解析】【解析】 【详解】 由题意 222 ( )2()fxxbxacac有两个不等实根， 所以 222 44()0bacac ， 222 acbac， 所以 222 1 cos 22 acb B ac ，所以 3 B 故答案为：, 3 . 【点睛】 对定义域内的可导函数来讲， 导函数( )fx的零点是函数极值点的必要条件， 只有在 0 x 的两侧( )fx的符号正好相反

27、， 0 x都是极值点本题中导函数( )fx是二次函数，因 此要使得( )fx的零点为 ( )f x的极值点，只要求相应二次方程有两个不等实根即可 16黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德 黎曼发现提出，在高黎曼发现提出，在高 等数学中有着广泛的应用，其定义为：当等数学中有着广泛的应用，其定义为：当 q x p ( , p q为正整数， 为正整数， q p 是既约真分数是既约真分数)时时 1 ( )R x p ，当，当0,1x 或或0,1上的无理数时上的无理数时( )0R x ，若函数，若函数 f x是定义在是定义在R上的上的

28、奇函数，且对任意奇函数，且对任意x都有都有 20fxf x，当，当0,1x时，时， f xR x，则，则 108 lg 35 ff _. 【答案】【答案】 1 5 【解析】【解析】根据已知条件可得 f x是周期为 2的奇函数，且 ( ),01 ( ) (), 10 R xx f x Rxx ，根据对数的运算性质以及 f x周期性有 10 lg(1 lg3) 3 ff 、 82 () 55 ff 即可求值. 【详解】 f x是定义在R上的奇函数且 20fxf x，知： 2()fxf xfx， 第 12 页 共 20 页 f x是周期为 2的函数，又当0,1x时， f xR x， 1,0 x ，有

29、( )()f xRx ， 而 10 lg(1 lg3) 3 ff ，01 lg31 且1 lg3为无理数，有(1 lg3)0f， 82221 (2)()( ) 55555 fffR ， 1081 lg 355 ff ， 故答案为： 1 5 . 【点睛】 本题考查了利用函数的奇偶性、周期性求函数值，注意对新定义的理解，以及求值过程 中对数运算法则、函数周期的应用. 四、解答题四、解答题 17已知函数已知函数( ) logkf xx（k为常数，为常数，0k 且且1k ） ） （1）在下列条件中选择一个）在下列条件中选择一个_使数列使数列 n a是等比数列，说明理由；是等比数列，说明理由； 数列数列

30、 n f a是首项为是首项为 2，公比为，公比为 2 的等比数列；的等比数列； 数列数列 n f a是首项为是首项为 4，公差为，公差为 2 的等差数列；的等差数列； 数列数列 n f a是首项为是首项为 2，公差为，公差为 2 的等差数列的前的等差数列的前 n项和构成的数列项和构成的数列 （2）在（）在（1）的条件下，当）的条件下，当 2k 时，设时，设 1 2 2 41 n nn a b n ，求数列，求数列 n b的前的前 n项和项和 n T . 【答案】【答案】 （1），理由见解析； （2） 21 n n T n 【解析】【解析】 （1）选，由 f x和对数的运算性质，以及等比数列的定

31、义，即可得到结论； （2）运用等比数列的通项公式可得 n a，进而得到 2 1 41 n b n ，由数列的裂项相消求 和可得所求和. 【详解】 （1）不能使 n a成等比数列.可以：由题意4(1) 222 n f ann ， 第 13 页 共 20 页 即log22 kn an，得 22n n ak ，且 4 1 0ak， 2(1) 2 2 1 22 n n n n ak k ak . 常数0k 且1k ， 2 k 为非零常数， 数列 n a是以 4 k为首项， 2 k为公比的等比数列 （2）由（1）知 1 4222 n k n akkk ，所以当 2k 时， 1 2n n a . 因为 1

32、 2 2 41 n nn a b n ， 所以 2 1 41 n b n ，所以 1111 (21)(21)2 2121 n b nnnn ， 12 111111 L1L 23352121 nn Tbbb nn 11 1 22121 n nn . 【点睛】 本题考查等比数列的定义和通项公式，数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于 中档题. 18已知函数已知函数 ( )cos()0,0,0 2 f xAxA 的图象过点的图象过点 1 0, 2 ，最，最 小正周期为小正周期为 2 3 ，且最小值为，且最小值为1. （1）求函数）求函数 ( )f x的解析式 的解析式. （2）若）若 ( )f

33、x在区间 在区间, 6 m 上的取值范围是上的取值范围是 3 1, 2 ，求，求 m的取值范围的取值范围. 【答案】【答案】 （1）( )cos(3) 3 f xx ； （2） 25 , 918 . 【解【解析】析】 （1）由最值求得A，由周期求得，由点的坐标及的范围可求得，得解 析式； （2）由, 6 xm 得 5 33 633 xm ，结合余弦函数性质可得结论 【详解】 （1）由函数的最小值为1，可得 A=1， 因为最小正周期为 2 3 ，所以=3. 可得( )cos(3)f xx， 第 14 页 共 20 页 又因为函数的图象过点（0， 1 2 ） ，所以 1 cos 2 ，而0 2 ，

34、所以 3 ， 故( )cos(3) 3 f xx . （2）由, 6 xm ，可知 5 33 633 xm ， 因为 53 ()cos 662 f ，且 cos=1， 73 cos 62 ， 由余弦曲线的性质的， 7 3 36 m ，得 25 918 m ， 即 25 , 918 m . 【点睛】 本题考查求三角函数的解析式，考查余弦型三角函数的值域问题，掌握余弦函数性质是 解题关键 19在三棱锥在三棱锥VABC中，平面中，平面VAC 平面平面ABC， ，ABC和和VAC均是等腰直角均是等腰直角 三角形，三角形，ABBC，2ACCV，M、N分别为分别为VA、VB的中点的中点 （1）求证：）求证

35、：ABVC； （2）求直线）求直线VB与平面与平面CMN所成角的正弦值所成角的正弦值 【答案】【答案】 （1）证明见解析； （2） 2 2 3 【解析】【解析】 （1）利用线面垂直的性质证ABVC即可； （2）面ABC内过点C作CH垂直 于AC，构建以C为原点，,CA CH CV为x，y，z轴的空间直角坐标系Cxyz， 应用平面法向量与直线方向向量的夹角与线面角的关系即可求直线VB与平面CMN所 成角的正弦值. 【详解】 （1）在等腰直角三角形VAC中，ACCV，所以VCAC 第 15 页 共 20 页 平面VAC 平面ABC，平面VAC 平面ABCAC，VC 平面VAC， VC 平面ABC

36、AB平面ABC， ABVC； （2） 在平面ABC内过点C作CH垂直于AC， 由 （1） 知，VC 平面ABC， 因为CH 平面ABC，所以VCCH 如图，以C为原点，,CA CH CV为x，y，z轴建立空间直角坐标系Cxyz 则0,0,0C，0,0,2V，1,1,0B，1,0,1M， 1 1 ,1 2 2 N 1,0,1CM ， 1 1 ,1 2 2 CN ，1,1, 2VB 设平面CMN的法向量为, ,nx y z，则 0 0 n CM n CN ，即 0 11 0 22 xz xyz 令1x 则1y ，1z ，所以1,1, 1n 直线VB与平面CMN所成角大小为， 2 2 sincos,

37、 3 n VB n VB n VB 所以直线VB与平面CMN所成角的正弦值为 2 2 3 【点睛】 本题考查了应用线面垂直性质证线线垂直，利用空间向量求线面角的正弦值，属于中档 第 16 页 共 20 页 题. 20在平面直角坐标系中，椭圆在平面直角坐标系中，椭圆 C： 22 22 1 xy ab (ab0)过点过点 53 , 22 ，离心率为，离心率为 2 5 5 . （1）求椭圆）求椭圆 C的标准方程；的标准方程； （2）过点）过点 K(2，0)作与作与 x轴不重合的直线与椭圆轴不重合的直线与椭圆 C交于交于 A，B两点，过两点，过 A，B点作直线点作直线 l：x 2 a c 的垂线，其中

38、的垂线，其中 c为椭圆为椭圆 C的半焦距，垂足分别为的半焦距，垂足分别为 A1，B1，试问直线，试问直线 AB1与与 A1B的交点是否为定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由的交点是否为定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】【答案】 （1） 2 2 1 5 x y； （2）为定点， 9 ,0 4 . 【解析】【解析】 （1）由离心率和所过点的坐标列出关于, ,a b c的方程组，解之可得椭圆方程； （2）当直线 AB的斜率不存在时，求出交点是 9 ,0 4 ，当直线 AB 的斜率存在时，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 AB为 yk(x2)，代入椭圆方程

39、整理后应用韦达定理得 1212 ,xx x x，写出 11 ,A B坐标，得出直线 1 AB和 1 AB方程，求出交点坐标（代入 1212 ,xx x x化简）可得结论 【详解】 (1)由题意得 222 22 53 1 44 2 5 5 abc ab c a 5 1 2 a b c 所以椭圆 C的标准方程为 2 2 1 5 x y. (2)当直线 AB 的斜率不存在时，直线 l：x 5 2 ， 第 17 页 共 20 页 AB1与 A1B的交点是 9 ,0 4 . 当直线 AB 的斜率存在时，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 直线 AB 为 yk(x2)， 由 22 2 55 yk x

40、 xy (15k2)x220k2x20k250， 所以 x1x2 2 2 2 1 5 k k ，x1x2 2 2 25 1 5 k k ， A1 1 5 , 2 y ，B1 2 5 , 2 y ， 所以 lAB1： 21 2 1 5 5 2 2 yy yxy x ， lA1B：y 21 1 2 5 5 2 2 yy yxy x ， 联立解得 x 2 2 122 2 2 12 2 252525 45 1 9 1 544 25420 1 5 1 5 k x x k k kxxk k ， 代入上式可得 211212 2 11 9420 104410 k xxxxkx xk yy xx 22 22 1

41、 2025 9420 1 51 5 410 kk kkk kk x 0. 综上，直线 AB1与 A1B 过定点 9 ,0 4 【点睛】 本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题解题方法是设而不求的思想方 法通过设出交点坐标和直线方程，利用韦达定理得 1212 ,xx x x，然后按部就班地计 算求解：得点坐标，写出直线方程，求直线的交点坐标，代入化简 21某中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步共四门某中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步共四门 课程，要求初等代数、初等几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格，课程，要求初

42、等代数、初等几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格， 才能取得参加数学竞赛复赛的资格，现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，才能取得参加数学竞赛复赛的资格，现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训， 每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同， （见下表） ，且每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同， （见下表） ，且 每一每一门课程是否合格相互独立，门课程是否合格相互独立， 第 18 页 共 20 页 课课 程程 初等代数初等代数 初等几何初等几何 初等数论初等数论 微积分初步微积分初步 合格的概合格的概 率率 3 4 2 3

43、2 3 1 2 （1）求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；）求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率； （2）记）记表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求的分布列（只需的分布列（只需 列式无需计算）及期望列式无需计算）及期望 E . 【答案】【答案】 （1） 5 12 ； （2）分布列答案见解析，期望为 5 4 . 【解析】【解析】 （1） 分别记甲对这四门课程考试合格为事件, ,A B C D，则“甲能修得该课程 学分”的概率为()()()P ABCDP ABCDP ABCD，由独立事件的概率公式可计算出 概率 （2）由（1

44、）知每个人获得复赛资格的概率是 5 12 ，的取值依次为0,1,2,3， 5 3, 12 B ，由二项分布概率公式计算了概率得分布列，再由二项分布的期望公式计算 出期望 【详解】 （1） 分别记甲对这四门课程考试合格为事件, ,A B C D，则“甲能修得该课程学分”的 概率为()()()P ABCDP ABCDP ABCD，事件, ,A B C D相互独立， 3 2 2 13 2 2 13 2 1 15 ()()() 4 3 3 24 3 3 24 3 3 212 P ABCDP ABCDP ABCD (2) 03 3 7 (0)() 12 PC， 12 3 57 (1)()() 12 12

45、 PC， 22 3 57 (2)() () 1212 PC， 33 3 5 (3)() 12 PC 因此，的分布列如下： 0 1 2 3 P 03 3 7 () 12 C 12 3 57 ()() 12 12 C 22 3 57 () () 1212 C 33 3 5 () 12 C 因为 5 3, 12 B 第 19 页 共 20 页 所以 55 3. 124 E 【点睛】 本题考查相互独立事件同时发生的概率公式，随机变量的概率分布列和数学期望，考查 二项分布旨在考查学生的数据处理能力，运算求解能力 22已知函数已知函数 2 x xaxa f x e ，其中，其中aR . （1）当）当0a

46、时，求曲线时，求曲线 yf x在点在点 1,1f的切线方程；的切线方程； （2）求证：若）求证：若 f x有极值，则极大值必大于有极值，则极大值必大于 0. 【答案】【答案】 （1） 1 yx e ； （2）证明见解析. 【解析】【解析】 （1）求出导函数( ) fx，计算出切线斜率 (1) f ，可得切线方程； （2）由导函数( ) fx，求出函数的极大值后可得证 【详解】 （1） 2 222 xx xaxaxax fx ee ， 当0a 时， 1 1f e ， 1 1f e ， 则 f x在 1,1f的切线方程为 1 yx e ； （2）证明：令 0fx ，解得2x或x a ， 当2a 时， 0fx 恒成立，此时函数 f x在R上单调递减， 函数 f x无极值； 当2a 时，令 0fx ，解得2ax ，令 0fx ，解得xa或2x ， 函数 f x在,2a上单调递增，在, a ，2,上单调递减， 2 4 20 a f xf e 极大值 ； 当2a时，令 0fx ，解得2xa，令 0fx ，解得2x或xa， 函数 f x在2, a上单调递增，在,2， , a上单调