吉林省吉林市普通高中2021届高三第一次调研测试（期中）数学（理）试题 Word版含答案.doc

1、高三数学（理科）试题高三数学（理科）试题 第第 1 页页 （共（共 12 页）页） 吉林市普通中学吉林市普通中学 2020202020212021 学年度高中毕业班第一次调研测试学年度高中毕业班第一次调研测试 理科数学理科数学 本试卷共本试卷共 22 小题，共小题，共 150 分，共分，共 6 页，考试时间页，考试时间 120 分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一 并交回。并交回。 注意事项：注意事项： 1 1答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条 形码形码、姓名、

2、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2 2选择题答案使用选择题答案使用 2B2B 铅笔填涂铅笔填涂, ,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 的标号；非选择题答案的标号；非选择题答案必须必须使用使用 0.50.5 毫米黑色毫米黑色字迹的字迹的签字笔书写，字体工整、签字笔书写，字体工整、 笔迹清楚。笔迹清楚。 3 3请按照题号在各题的答题区域请按照题号在各题的答题区域( (黑色线黑色线框框) )内作答，超出答题区域书写的答案内作答，超出答题区域书写的答案 无效。无效。 4. 4. 作图可先

3、用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5. 5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。纸刀。 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小小题，每小题题，每小题 5 分，共分，共 60 分分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是在每小题给出的四个选项中，只有一个是 符合题目要求。符合题目要求。 1. 已知集合已知集合06| 2 xxxA，|NxxB ，则，则() R C AB A. 2 , 1 B. 2 , 1 , 0 C

4、. 3 , 2 , 1 D. 3 , 2 , 1 , 0 2. 下列函数中最小正周期为下列函数中最小正周期为 的函数的个数的函数的个数 |sin|xy ；) 3 2cos( xy；xy2tan A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 下列向量中不是单位向量的是下列向量中不是单位向量的是 A. )0 , 1( B. )1 , 1( C. )sin,(cos D. )0|(| | a a a 4. 为了得到函数为了得到函数) 42 1 cos( xy的图象，可将函数的图象，可将函数xy 2 1 cos 的图象的图象 A. 向左平移向左平移 4 个单位个单位 B. 向右平移向右平移 4 个单位

5、个单位 高三数学（理科）试题高三数学（理科）试题 第第 2 页页 （共（共 12 页）页） C. 向左平移向左平移 2 个单位个单位 D. 向右平移向右平移 2 个单位个单位 5. 设角设角 的始边为的始边为x轴非负半轴，则“角轴非负半轴，则“角 的终边在第二、三象限”是“的终边在第二、三象限”是“0cos ”的”的 A. 充分不必要条件充分不必要条件 B. 必要不充分条件必要不充分条件 C. 充要条件充要条件 D. 既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 6. 等差数列等差数列 n a中，中， 51015 30aaa，则，则 2216 2aa 的值为的值为 A 10 B20 C10 D20

6、 7. 已知定义在实数集已知定义在实数集R上的偶函数上的偶函数)(xf在区间在区间), 0 是单调增函数，若是单调增函数，若)2()1(faf ，则，则 实数实数a的取值范围是的取值范围是 A. 31 a B. 1 a或或3 a C. 13 a D. 3 a或或1 a 8. 周髀算经中给出了弦图，所谓弦图（如图）是由四个全等的直角三角形和中间一个小周髀算经中给出了弦图，所谓弦图（如图）是由四个全等的直角三角形和中间一个小 正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为 , ，且小正方形与大正，且小正方形与大正 方形面积之比为方形面积

7、之比为25:1，则，则)cos( 的值为的值为 A. 25 24 B1 C 25 7 D0 9. 已知某函数的图象如图所示，则该函数的解析式可能是已知某函数的图象如图所示，则该函数的解析式可能是 A. x e e y x x cos) 1 1 ( B. 22 2| xy x C. 2|2 | xy x D. xxycos)1( 2 10. 某兴趣小组对函数某兴趣小组对函数)(xf的性质进行研究，发现函数的性质进行研究，发现函数)(xf是偶函数，在定义域是偶函数，在定义域R上满足上满足 )1()1()1(fxfxf ，且在区间，且在区间0 , 1 为减函数则为减函数则)3( f与与) 2 5 (

8、 f的关系为的关系为 A) 2 5 ()3( ff B) 2 5 ()3( ff C) 2 5 ()3( ff D) 2 5 ()3( ff 11设设I为为ABC的内心，延长线段的内心，延长线段AI交线段交线段BC于点于点D，若，若DBCD3 ，则，则 CB sin:sin 高三数学（理科）试题高三数学（理科）试题 第第 3 页页 （共（共 12 页）页） A. 1:2 B. 1:3 C. 1:4 D. 1:9 12. 已知函数已知函数)2()(, 1, 1,ln )(fkxxg xxe xx xf x ，对，对3 , 3, 21 xRx，使得，使得 )()( 21 xgxf 成立，则成立，则

9、k的取值范围是的取值范围是 A. 6 1 3 1 ,( e B. ) 6 1 3 1 ， e C. 6 1 3 1 , 6 1 3 1 ee D. 6 1 3 1 ,( e ) 6 1 3 1 ， e 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 个小题个小题，每小题每小题 5 分分，共，共 20 分分。 13. 已知复数已知复数iz32 ，则则 |1| z_. 14. 已知函数已知函数 x axf 1 )(0( a且且)1 a，若，若)2020()2021(ff ，则实数，则实数a的取值范围的取值范围 是是_. 15. 有一个数阵排列如下：有一个数阵排列如下： 1 2 4 7 11 16 2

10、2 3 5 8 12 17 23 6 9 13 18 24 10 14 19 25 15 20 26 21 27 28 则第则第 40 行从左至右第行从左至右第 6 个数字为个数字为 . 16. 如图所示，滨江公园内有一块三角形形状的草坪如图所示，滨江公园内有一块三角形形状的草坪ABC，经测量，经测量 得得mBCmACmAB1310,40,30 ，在保护草坪的同时，在保护草坪的同时， 为了方便游人行走，现打算铺设一条小路为了方便游人行走，现打算铺设一条小路DE（其中点（其中点D在边在边 AB上，点上，点E在在边边AC上），若上），若DE恰好将该草坪的面积平分，恰好将该草坪的面积平分， 则则ED

11、,两点间的最小距离为两点间的最小距离为 m. 三、解答题：三、解答题：共共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （本小题满分 （本小题满分 10 分）分） 数列数列 n b前前n项和为项和为 n S且且 11 1 1, 2 nn bbS ， （I）求）求 n b的通项公式；的通项公式； C A B D E 高三数学（理科）试题高三数学（理科）试题 第第 4 页页 （共（共 12 页）页） （II）求）求 2462n bbbb值值. 18 （本小题满分（本小题满分 12 分）分） 已知函数已知函数) 3 cos(sin2)( xx

12、xf，Rx ， （I）求函数）求函数)(xf的对称中心；的对称中心； （II）若存在）若存在 4 3 , 4 0 x，使不等式，使不等式mxf )( 0 成立，求实数成立，求实数m的取值范围的取值范围. 19 （本小题满分 （本小题满分 12 分）分） 在在ABC中，中，cba,分别是内角分别是内角CBA,的对边，的对边，CbBcacos3sin3 ， （I） 求角求角B的大小；的大小； （II）若）若4 b，且，且ABC的面积等于的面积等于34，求，求ca,的值的值. 高三数学（理科）试题高三数学（理科）试题 第第 5 页页 （共（共 12 页）页） 20 （本小题满分 （本小题满分 12

13、分分） 已知函数已知函数xx a axxf3 2 12 3 1 )( 23 ， （I） 当当2 a时，求函数时，求函数)(xf的单调区间与极值；的单调区间与极值； （II）是否存在正实数）是否存在正实数a，使得函数，使得函数)(xf在区间在区间1 , 1 上为减函数？若存在，请求上为减函数？若存在，请求a的取值范的取值范 围；若不存在，请说明理由围；若不存在，请说明理由. 21 （本小题满分 （本小题满分 12 分）分） 已知数列已知数列 n a的首项的首项 1 3a ，且满足，且满足 1 1 221 n nn aa ， （I）设）设 1 2 n nn a b ，证明，证明 n b是等差数列；

14、是等差数列； （II）求数列）求数列 n a的前的前n项和项和 n S. 高三数学（理科）试题高三数学（理科）试题 第第 6 页页 （共（共 12 页）页） 22 （本小题满分（本小题满分 12 分）分） 设函数设函数xxmxf2ln)( ， （I）当当2 m时，求函数时，求函数)(xf在点在点)1(, 1(f处的切处的切线；线； （II）若若0 x，都有，都有0)( xf，求正实数求正实数m的取值范围；的取值范围； （III）当当1 m时，曲线时，曲线)(xfy 上上的点的点)0)(,( 000 xyx处的切线与处的切线与 2 xy 相切相切，求满足求满足 条件的条件的 0 x的个数的个数.

15、 . 命题、校对：高三数学核心组命题、校对：高三数学核心组 高三数学（理科）试题高三数学（理科）试题 第第 7 页页 （共（共 12 页）页） 吉林市普通中学吉林市普通中学 20202021 学年度高中毕业班第一次调研测试学年度高中毕业班第一次调研测试 理科数学参考答案理科数学参考答案 一、一、选择题选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D C B C A A A A B B B D 二、二、填空题填空题 13. 3 2 14. (0,1) 15. 1030 16. 610 三、解答题三、解答题 1717【解析】【解析】 （1）由 1 1 2 nn bS 得 1 1 2

16、 nn bS .1 分 两式相减得 1 1 2 nnn bbb 即 1 3 (n2) 2 nn bb .2 分 121 11 1, 22 bbS，所以 21 3 2 bb .3 分 当2n 时 n b为等比数列，且 2 13 ( )(n2) 22 n n b .4 分 所以 n b的通项公式为 2 1(n1) 13 ( )(n2) 22 n n b .5 分 （2）由（1）知 22 2 13 ( ) 22 n n b 设 2nn ab ，则 2 2122 22 2 13 ( ) 39 22 ( ) 13 24 ( ) 22 n nn n nn ab ab .7 分 所以 2n b是首项为 1

17、2 ，公比 9 4 的等比数列.8 分 所以 2462 19 1( ) 29 24 ( )1 9 54 1 4 n n n bbbb .10 分 1818【解析】【解析】 （1）由题得，) 3 sinsin 3 cos(cossin2) xxxxf（xxx 2 sin3cossin 高三数学（理科）试题高三数学（理科）试题 第第 8 页页 （共（共 12 页）页） )2cos1 ( 2 3 2sin 2 1 xx 2 3 2cos 2 3 2sin 2 1 xx 2 3 ) 3 2sin( x4 分 令 kx 3 2 )(Zk ，得 62 k x )(Zk 所以，函数)(xf的对称中心为) 2

18、 3 , 62 ( k )(Zk 6 分 (2) 因为存在 4 3 , 4 0 x，使不等式mxf)( 0 成立，所以m大于)(xf的最小值8 分 由 4 3 4 x，得 6 7 3 2 6 x， 当 6 7 3 2 x，即 4 3 x时，)(xf取最小值 2 13 ， 所以 2 13 m，则m的取值范围为), 2 13 ( .12 分 1919【解析】【解析】 （1）由正弦定理得 3sinsinsin3sincosACBBC 因为AB C，所以3sin()sinsin3sincosBCCBBC 即3(sincoscossin)sinsin3sincosBCBCCBBC2 分 化简，得3cos

19、sinBB4 分 因为(0, )B，所以 3 B 6 分 （2）由（1）知 3 B ，因为4b，所以由余弦定理，得 222 2cosbacacB，即 222 42cos 3 acac 化简，得 22 16acac8 分 因为该三角形面积为4 3 所以 1 sin4 3 2 acB ，即16ac 10 分 联立，解得4ac12 分 2020【解析】【解析】 （1 1）当2a时， 2 ( )(253)(1)(23)fxxxxx .1 分 令( )0fx ，解得 3 1 2 x 或-， .2 分 高三数学（理科）试题高三数学（理科）试题 第第 9 页页 （共（共 12 页）页） x 3 2 （- ,

20、- ） 3 2 3 2 （-,-1） -1 +（-1， ） ( )fx + 0 - 0 + ( )f x 增 极大值 减 极小值 增 .3 分 所以，( )f x的增区间为 3 2 （- ,- ），+（-1， ）， .4 分 ( )f x的减区间为 3 2 （-,-1） .5 分 ( )f x的极大值为 39 () 28 f ， .6 分 ( )f x的极小值为 7 ( 1) 6 f .7 分 （2 2）依题意： 2 ( )(21)301,1fxaxax 在上恒成立 .9 分 又因为0a，所以， 0 ( 1)0 (1)0 a f f ，.10 分 【说明】 （【说明】 （1）此处只使用判别式小

21、于等于）此处只使用判别式小于等于 0 加上加上 a0 的不给分；的不给分； （2）若使用变量分离的，需要分类讨论，可以酌情给分；）若使用变量分离的，需要分类讨论，可以酌情给分； 即 0 2 4 3 a a a 即无解。 所以，不存在满足条件的正实数a.12 分 【说明】 （【说明】 （1）此处若结算结果都正确，只结论错误，只扣）此处若结算结果都正确，只结论错误，只扣 1 分；分； （2）此处若计算结果不正切，不给分；）此处若计算结果不正切，不给分； 21.21.【解析】【解析】 （1）解法一：将等式122 1 1 n nn aa两边都减去1得 1 1 2) 1(21 n nn aa.2 分 再

22、除以 1 2 n 得1 2 1 2 1 1 1 n n n n aa ，即1 1 nn bb.4 分 即1 1 nn bb.且1 2 1 1 1 a b.5 分 所以 n b是首项为1，公差为1的等差数列.6 分 解法二：由 n n n a b 2 1 得 1 1 1 2 1 n n n a b.1 分 将 122 1 1 n nn aa代入上式得1 2 1 2 12 2 222 1 1 1 n n n n n n n n n aaa b.3 分 因此1 1 nn bb.且1 2 1 1 1 a b.5 分 高三数学（理科）试题高三数学（理科）试题 第第 10 页页 （共（共 12 页）页）

23、所以 n b是首项为1，公差为1的等差数列.6 分 (2) 由（1）知 n bn ，所以 1 ,21 2 nn nnn a bn an .8 分 则 23 1 22 23 22n n Snn .9 分 令 23 1 22 23 22n n Tn . 2341 21 22 23 22n n Tn . -得： 231 22222 nn n Tn .10 分 11 2(21)2(1n)22 nnn n Tn 即 1 (n 1)22 n n T .11 分 所以 1 (n 1)22 n n Sn .12 分 【说明】在求【说明】在求 n T时，也可以用时，也可以用 1 2n nn ccn ，采用累加法

24、求和，采用累加法求和.其中其中(n 2)2n n c . 2222【解析】【解析】 22. （I）当2m时， 2 ( )2fx x ， .1 分 (1)0kf 即切线方程为2y .2 分 （II） 由 2 ( )2(0) mmx fxx xx ， ( )0 2 m fxx令，可得 .3 分 0 2 m x当时 ， ( )0fx ，即 ( )f x在(0,) 2 m 上单调递增； 2 m x 当时 ， ( )0fx ，即 ( )f x在() 2 m ，上单调递减； 则 max ( )()ln 22 mm f xfmm，.5 分 依题意：ln0, (0) 2 m mmm ，所以，0 2me .6

25、分 依题意： 2ln x mx ，.3 分 2 ln1 ln ( )( ) xx h xh x xx 令， 则 0, ( )0,( )(0, )xeh xh xe当时即在单调递增； , ( )0,( )( ,)xeh xh xe当时即在单调递减； 高三数学（理科）试题高三数学（理科）试题 第第 11 页页 （共（共 12 页）页） 则 max 1 ( )( )h xh e e ，.5 分 依题意： 21 me ，所以，0 2me .6 分 （III）当1m时， 112 ( )2 x fx xx 则曲线( )yf x上的点 000 (,)(0)x yx 处的切线方程为 00 0000 00 1

26、21 2 (ln2)()ln1 xx yxxxxyxx xx 即 .7 分 设直线l与 2 yx相切于点 2 11 ( ,)x x，即切线方程为 2 11 2yx xx.8 分 即 2 0 1 2 0 0 0000 02 01 1 2 2 1 2 1 ln4ln410 2 ln1 x x x x xxxx x xx 即即 2 ( )4ln41,( )8 ln44,( )8ln12g xxxxg xxxxgxx令则 3 2 ( )0,gxxe 令得， 33 22 ( )g x 即在(0,e )单调递减，在(e ,+ )单调递减增 33 22 min ( )()840g xg ee 即 .9 分

27、3 2 (0,)8ln120,( )(8ln12)44xexg xxx 当时，即， 1( )0 xg x当时， 所以，(0,1)( )0 xg x当时，(1,)( )0 xg x当时，, ( )1g x即在(0,1)单调递减，在( ,+ )单调递减增, min ( )(1)30g xg 即 .10 分 4222 2 24244 18448(4)8 ()10,( )4410 eee e gg eee eeeee 又因为且 .11 分 2 1 ( )01g x e 在(,1)和( ,e)上各有1个零点， ( )01g x 在(0,1)和( ,+ )上各有1个零点， 即 2 000 4ln410 x

28、xx 有两个实根，即满足条件的 0 x有两个 .12 分 即 2 0 1 0 0 00 2 0002 01 1 2 2 1 211 1 lnln+0 24 ln1 x x x x xx xxx xx 即即 2 2323 11111221 ( )ln,( ) 422 xx g xxg x xxxxxx 令则 高三数学（理科）试题高三数学（理科）试题 第第 12 页页 （共（共 12 页）页） 1313 ( )0,() 22 g xx 令得或舍，.9 分 1313 ( ) 22 g x 即在(0,)单调递减，在(,+ )单调递减增 min 13 ( )()0 2 g xg 即 .10 分 2 1 ()0,( )0gg e e 又因为且.11 分 2 11313 ( )0 22 g x e 在(,)和(,e)上各有1个零点， ( )01g x 在(0,1)和( ,+ )上各有1个零点， 00 2 00 11 ln0 4 xx xx 即有两个实根，即满足条件的 有2个.12 分