天津市八校2021届高三上学期期中联考 数学试题 Word版含答案.docx

1、 高三数学高三数学 第第 1 1 页页 （共（共 1212 页）页） 天津市天津市 2020202020212021 学年度第一学期期中八校联考学年度第一学期期中八校联考 高三数学高三数学 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 9 9 小题，每题小题，每题 5 5 分，共分，共 4545 分，在每小题给出的四个选项中只有一项分，在每小题给出的四个选项中只有一项 是符合题目要求的）是符合题目要求的） 1已知集合已知集合0log| 2 xxA，21 x Bx，则（，则（ ） A 1ABx x B ABR C 1ABx x DAB 2已知向量已知向量(1,2),(2,1)axb,则则a b 的充要条

2、件是（的充要条件是（ ） A 1 2 x B1x C5x D0 x 3在在ABC中，中，M是是BC的中点若的中点若ABa，CAb，则 ，则AM（ ） A 1 () 2 ab B 1 () 2 ab C 1 2 ab D 1 2 ab 4已知已知 3 log 5a ， 0.2 3b ， 1.2 3c ，则（，则（ ） Abca Bbac Cacb Dabc 5已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为 2，这个球的表面积为，这个球的表面积为6，则这个正四，则这个正四 棱柱的体积为（棱柱的体积为（ ） A1 B2 C3 D4 高三数学高三数学 第第 2 2 页

3、页 （共（共 1212 页）页） 6已知已知0 x， 0y ，若，若 2 28 2 yx mm xy 恒成立，则实数恒成立，则实数m的取值范围是（的取值范围是（ ） A4m或或2m B2m或或4m C42m D24m 7设设 ( )f x为定义在 为定义在R上的奇函数，当上的奇函数，当0 x时，时，1) 1(log)( 2 2 aaxxxf（a为为 常数常数） ，则不等式，则不等式2)53(xf的解集为（的解集为（ ） A( , 1) B ( 1,) C(, 2) D( 2, ) 8将函数将函数( ) sinf xx 的图像先向右平移的图像先向右平移 3 个单位，再把所得函数图像横坐标变为原来

4、个单位，再把所得函数图像横坐标变为原来 的的 1 (0) ，纵坐标不变，得到函数，纵坐标不变，得到函数 g x的图像，若函数的图像，若函数 g x在在 3 , 22 上没有上没有 零点，则零点，则的取值范围是（的取值范围是（ ） A(0,1 B 2 0, 9 C 22 8 0, 93 9 D 28 0,1 99 9已知定义在已知定义在R上的函数上的函数 1, 1,ln )( 2 xxx xx xf，若函数，若函数 k xf xax恰有恰有 2 个零个零 点，则实数点，则实数a的取值范围是（的取值范围是（ ） A 1 ,11,0 e B 1 , 1,1 e C 1 , 1,10 e D 1 1,

5、00,1 e 高三数学高三数学 第第 3 3 页页 （共（共 1212 页）页） 二、填空题（本题二、填空题（本题 6 6 小题，每题小题，每题 5 5 分，共分，共 3030 分，双空题答对一个空得分，双空题答对一个空得 3 3 分）分） 10设函数设函数 1 2 2,1 1 log,1 x x f x x x （ ），则，则4ff （ ）_ 11设曲线设曲线ln1yaxx在点在点0,0处的切线方程为处的切线方程为 03 yx ，则，则a_. 12底面边长和高都为底面边长和高都为 2 的正四棱锥的表面积为的正四棱锥的表面积为_. 13设设ABC的内角的内角 CBA, 所对的边分别为所对的边分

6、别为,cba若若CBAsincossin2,则则ABC的的 形状为形状为_ 14已知已知 ba, 均为正实数，且均为正实数，且1ab，则，则 ab a18 2 的最小值为的最小值为_，此时，此时a的值的值 为为_. 15如图，如图，在平面四边形在平面四边形ABCD中，中，ABBC， ADCD， 120BAD ，AB=AD1.若点若点E 为为DC上的动点，则上的动点，则AE BE 的最小值为的最小值为_. 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 5 小题，共小题，共 7575 分分. .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16 （本小题满分 （

7、本小题满分 14 分）分） 已知已知 f xa b ，其中，其中 2cos ,3sin2axx ， cos ,1bx ，xR （1）求）求 f x的单调递增区间；的单调递增区间； （2） 在） 在ABC中， 角中， 角A，B，C所对的边分别为所对的边分别为a，b，c， 1f A ，7a ， 且向量且向量 3,sinmB 与与 2,sinnC 共线，求边长共线，求边长b和和c的值的值 高三数学高三数学 第第 4 4 页页 （共（共 1212 页）页） 17 （本小题满分 （本小题满分 14 分）分） 设数列设数列 n a的前的前n项和为项和为 2 2 n Sn， n b为等比数列，且为等比数列，

8、且 11 ab， 2211 ()b aab （1）求数列）求数列 n a和和 n b的通项公式；的通项公式； （2）设）设 n n n a c b ，求数列，求数列 n c的前的前n项和项和 n T 18 （本小题满分 （本小题满分 15 分）分） 如图，在四棱锥如图，在四棱锥PABCD中，中，PA 平面平面ABCD，底面，底面ABCD是直角梯形，其中是直角梯形，其中 /AD BC，ABAD， 1 2 2 ABADBC，4PA，E为棱为棱BC上的点，且上的点，且 1 4 BEBC （1）求证：）求证：DE 平面平面PAC； （2）求二面角）求二面角APCD的余弦值；的余弦值； （3）设）设Q为

9、棱为棱CP上的点（不与上的点（不与C，P重合） ，重合） ， 且直线且直线QE与平面与平面PAC所成角的正弦值所成角的正弦值 为为 5 5 ，求，求 CQ CP 的值的值 高三数学高三数学 第第 5 5 页页 （共（共 1212 页）页） 19 （本小题满分 （本小题满分 16 分）分） 已知数列已知数列 n a的前的前n项和为项和为 n S， * 11 288 nn SannNa ， 设， 设2 nn ba. （1）证明：）证明： n b是等比数列；是等比数列； （2）设）设 1 1 2121 n n n nn a c ，求，求 n c的前的前n项和项和 n T，若对于任意，若对于任意 *

10、n nNT， 恒成立，求恒成立，求的取值范围的取值范围. 20 （本小题满分 （本小题满分 16 分）分） 已知函数已知函数( )ln1f xxxax，aR. （1）当）当0 x，若关于，若关于x的不等式的不等式( )0f x 恒成立，求恒成立，求a的取值范围；的取值范围； （2）当）当(1,)x时，证明：时，证明： (1) ln x e x x e 2 xx. 高三数学高三数学 第第 6 6 页页 （共（共 1212 页）页） 2020202020212021 学年度第一学期期中八校联考学年度第一学期期中八校联考 高三数学参考答案高三数学参考答案 1 A 2 D 3 B 4 B 5 B 6

11、C 7 D 8 C 9 C 10 4 11 4 12544 13等腰三角形等腰三角形 14 8 4 1 15 16 21 16 （ （1） ,() 63 kkkZ ;（2）3,2bc 解： （解： （1） 2 2cos3sin21 cos23sin2xxfxxx 12cos 2 3 x , cosyx 在在2,2kkkZ上单调递增上单调递增,令令 222() 3 kxkkZ , 得得 2 () 36 kxkkZ , f x的单调递增区间的单调递增区间 2 , 36 kkkZ 6 分分 （2） 1 3 2cos21 AAfcos 21 3 A ，又，又 7 2 333 A , 2 3 A ，即，

12、即 3 A 7a ,由余弦定理得由余弦定理得 2 222 2cos3abcbcAbcbc 高三数学高三数学 第第 7 7 页页 （共（共 1212 页）页） 因为向量因为向量 3,sinmB 与与 2,sinnC 共线共线,所以所以2sin3sinBC, 由正弦定理得由正弦定理得23bc，3,2bc 14 分分 17 （ （1）42 n an， 1 2 4 n n b ； （； （2） 255 ) 4 399 n n Tn( 解：解： （1）当当2n时，时， 22 1 22142() nnn aSSnnn - -，当，当1n 时，时， 11 2aS 满足上式，故满足上式，故 n a的通项式为的

13、通项式为42 n an设设 n b的公比为的公比为q， 由已知条件由已知条件 2211 ()b aab知，知， 1 2b ， 1 2 21 1 2 b b aa ，所以，所以 2 1 1 4 a q a ， 1 1 1 1 2 4 n n n bbq ，即，即 1 2 4 n n b 6 分分 （2） 1 1 42 21 4 2 4 n n n n n an cn b ， 121 12 1 3 45 42()14n nn Tcccn 221 ()()41 43 45 423 421 4 nn n Tnn 两式相减得：两式相减得： 1231 () 55 31 2 444421 4(4 3 )2)

14、 3 nnn n Tnn ( 255 ) 4 399 n n Tn(14 分分 高三数学高三数学 第第 8 8 页页 （共（共 1212 页）页） 18 （ （1）见解析； （）见解析； （2） 2 5 5 ； （； （3） 2 3 CQ CP 解： （解： （1）因为）因为PA 平面平面ABCD，AB平面平面ABCD，AD 平面平面ABCD 所以所以PAAB，PAAD因为因为ABAD，则以，则以 A 为坐标原点，建立如图所示的空为坐标原点，建立如图所示的空 间直角坐标系间直角坐标系 由已知可得由已知可得0,0,0A，2,0,0B，2,4,0C，0,2,0D，0,0,4P，2,1,0E 所以所

15、以2, 1,0DE ，2,4,0AC ，0,0,4AP 因为因为 2 2 1 4 00DE AC ， 0DE AP 所以所以DEAC，DEAP 又又APACA，AP 平面平面PAC，AC 平面平面PAC 所以所以DE 平面平面PAC 4 分分 （2）设平面）设平面PAC的法向量的法向量m，由（，由（1）可知，）可知，2, 1,0mDE 高三数学高三数学 第第 9 9 页页 （共（共 1212 页）页） 设平面设平面PCD的法向量的法向量, ,nx y z，因为，因为0,2, 4PD ，2,4, 4PC 所以所以 0 0 n PD n PC ，即，即 240 2440 yz xyz 不妨设不妨设

16、1z ，得，得2,2,1n r 22 22 221202 5 cos, 5 21221 m n m n mn 所以二面角所以二面角APCD的余弦值为的余弦值为 2 5 5 9 分分 （3）设）设01 CQ CP ，即，即2 , 4 ,4CQCP 所以所以22 ,44 ,4Q，即，即2 ,43, 4QE 因为直线因为直线QE与平面与平面PAC所成角的正弦值为所成角的正弦值为 5 5 所以所以 2222 2 2 2430 5 cos, 5 212434 QE m QE m QEm 即即 2 362493 解得解得 2 3 ，即，即 2 3 CQ CP 15 分分 （几何法同样给（几何法同样给 分）

17、分） 高三数学高三数学 第第 1010 页页 （共（共 1212 页）页） 19 （ （）证明见解析； （）证明见解析； （） 2 9 解： （解： （）当）当1n 时，时， 2 14a ， 当当 * 2nnN，时，时， 11 28210 nnnn SanSan ，所以，所以 1 22 nn aa ， 即即 1 222 nn aa ，即，即 1 22 n n b n b ， 又又 22 11 2 2 2 ba ba ， n b是首项是首项 1 6b ，公比为，公比为 2 的等比数列的等比数列 6 分分 （2）由（）由（1）知）知 1 26 2n n a ，即，即3 22 n n a ， 所以所

18、以 1 11 3 2211 111 212121212121 n nnn n n nn nnnn a c 223341 11111111 1 2 121212121212121 n n nn T 1 11 1 321 n n n T 当当n为偶数时，为偶数时， 1 11 1 321 n n n T 是递减的，此时当是递减的，此时当2n时，时， n T取最大取最大 值值 2 9 ，则，则 2 9 当当n为奇数时，为奇数时， 1 11 1 321 n n n T 是递增的，此时是递增的，此时 1 3 n T ，则，则 1 3 高三数学高三数学 第第 1111 页页 （共（共 1212 页）页） 综

19、上，综上，的取值范围是的取值范围是 2 9 16 分分 20 （ （1） 1, ) ； （ ； （2）见解析）见解析 解： （解： （1）由）由 0f x ，得，得ln1 0 x xax (0)x 整理，得整理，得 1 lnax x 恒成立，恒成立， 即即 min 1 lnax x 令令 1 lnF xx x 则则 22 111 x Fx xxx 函数函数 F x在在0,1上单调递减，上单调递减， 在在1,上单调递增上单调递增 函数函数 1 lnF xx x 的最小值为的最小值为 11F1a ，即，即1aa的取值范的取值范 围是围是1, 6 分分 （2）由（）由（1） ，当） ，当1a时，有时

20、，有ln1x xx，即，即 1 ln x x x 要证要证 1 ln x e x x e ，可证，可证 11 x e x x ex ，1x ，即证，即证 1 x e ex ，1x 构造函数构造函数 1 x G xeex x则则 x Gxee 当当1x 时，时， 0Gx G x在在1,上单调递增上单调递增 10G xG在在1,上成立，即上成立，即 x eex，证得，证得 1 x e ex 当当1,x时，时， 1 ln x e x x e 成立成立 高三数学高三数学 第第 1212 页页 （共（共 1212 页）页） 构造函数构造函数 2 ln1H xxxx x 则则 1 21Hxx x 2 21xx x 211xx x 当当1x 时，时， 0Hx ， H x在在1,上单调递减上单调递减 10H xH，即，即 2 ln0(1)xxxx 当当1,x时，时， 2 lnxxx成立成立 综上，当综上，当1,x时，有时，有 2 1 ln x e x xxx e 16 分分 （其余方法同样给分）（其余方法同样给分）