南京市2020~2021学年度第一学期高二数学期中调研测试及答案.docx

1、高二期中调研 数学试卷 第 1 页共 6 页 南京市南京市 20202021 学年度第一学期期中调研学年度第一学期期中调研测试测试 高高 二二 数数 学学 2020.11 注意事项：注意事项： 1本试卷共 6 页，包括单项选择题（第 1 题第 8 题） 、多项选择题（第 9 题第 12 题） 、 填空题（第 13 题第 16 题） 、解答题（第 17 题第 22 题）四部分本试卷满分为 150 分，考试时间为 120 分钟 2答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置 3作答选择题时，选出每小题的答案后，用 2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信 息点涂黑；如需改动

2、，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案答案不能答在试卷上 4 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答， 答案必须写在答题卡各题目指定区域内， 在其他位置作答一律无效 一、一、单项单项选择题：本大题共选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分在每小题给出的四个选项中分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的，请把答案填，请把答案填涂涂在答题卡相应位置上在答题卡相应位置上 1在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 x22y 的焦点为 F，准线为 l，则点 F 到直线 l 的距离为 A1 2 B1 C2 D4 2已知向量

3、a(2，3，1)，b(4，m，n)，且 ab，其中 m，nR，则 mn A4 B4 C2 D2 3若 sin2cos()，则 tan( 4)的值为 A3 B1 3 C3 D1 3 4在平面直角坐标系 xOy 中，若椭圆 C：x 2 9 y2 m1 与双曲线 T：x 2y2 m1 有相同的焦点， 则双曲线 T 的渐近线方程为 Ay1 4x By 1 2x Cy4x Dy2x 5 在平面直角坐标系 xOy 中， 直线 x2y40 与两坐标轴分别交于点 A， B， 圆 C 经过 A， B，且圆心在 y 轴上，则圆 C 的方程为 Ax2y26y160 Bx2y26y160 Cx2y28y90 Dx2y

4、28y90 高二期中调研 数学试卷 第 2 页共 6 页 6如图，已知圆柱的底面半径为 2，与圆柱底面成 60 角的平面截这个圆柱得到一个椭圆， 则该椭圆的焦距为 A2 2 B2 3 C4 2 D4 3 7如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，BC1与 B1C 相交于点 O，A1ABA1AC60 ， BAC90 ，A1A3，ABAC2，则线段 AO 的长度为 A 29 2 B 29 C 23 2 D 23 8在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左焦点为 F，点 M， N 在双曲线 C 上若四边形 OFMN 为菱形，则双曲线 C 的离心率为 A

5、 31 B 51 C 31 D 51 二二、多项多项选择题选择题：本大题共本大题共 4 4 小题，每小题，每小小题题 5 5 分，共分，共 2020 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求，请把答案填有多项符合题目要求，请把答案填涂涂在在答题卡相应位置答题卡相应位置上全部选对得上全部选对得 5 5 分，部分选分，部分选 对得对得 3 3 分，分，不选或不选或有错选的得有错选的得 0 0 分分 9已知两个不重合的平面 ， 及直线 m，下列说法正确的是 A若 ，m，则 m B若 ，m，则 m C若 m，m，则 D若 m，m，则 10在平面直角坐标系 xOy 中

6、，F1，F2分别为椭圆 x2 4 y2 21 的左、右焦点，点 A 在椭圆 上若AF1F2为直角三角形，则 AF1的长度可以为 A1 B2 C3 D4 11如图，直线 l1，l2相交于点 O，点 P 是平面内的任意一点，若 x，y 分别表示点 P 到 l1， l2的距离，则称(x，y)为点 P 的“距离坐标” 下列说法正确的是 A距离坐标为(0，0)的点有 1 个 B距离坐标为(0，1)的点有 2 个 N （第 11 题） O M P l2 l1 （第 6 题） A1 C1 （第 7 题） A B C B1 O 高二期中调研 数学试卷 第 3 页共 6 页 C距离坐标为(1，2)的点有 4 个

7、 D距离坐标为(x，x)的点在一条直线上 1220 世纪 50 年代，人们发现利用静态超高压和高温技术，通过石墨等碳质原料和某些金 属反应可以人工合成金刚石人工合成金刚石的典型晶态为立方体（六面体） 、八面体 和立方八面体以及它们的过渡形态其中立方八面体（如图所示）有 24 条棱、12 个顶 点、14 个面（6 个正方形、8 个正三角形） ，它是将立方体“切”去 8 个“角”后得到 的几何体已知一个立方八面体的棱长为 1，则 A它的所有顶点均在同一个球面上，且该球的直径为 2 B它的任意两条不共面的棱所在直线都相互垂直 C它的体积为5 2 3 D它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等 三三、

8、填空题填空题： 本大题共本大题共 4 4 小题， 每小题， 每小小题题 5 5 分， 共分， 共 2020 分 请把答案填写分 请把答案填写在答题卡相应位置在答题卡相应位置上上 13在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l1：xay0 和直线 l2：2x(a3)y40， aR若 l1与 l2平行，则 l1与 l2之间的距离为_ 14在空间直角坐标系中，若三点 A(1，1，a)，B(2，a，0)，C(1，a，2)满足 (AB 2AC)BC，则实数 a 的值为 _ 15词语“堑堵” 、 “阳马” 、 “鳖臑”等出自中国数学名著九章算术 商功 ，是古代人对一 些特殊锥体的称呼在九章算术 商功中，把

9、四个面都是直角三角形的四面体称为 “鳖臑” 现有如图所示的“鳖臑”四面体 PABC，其中 PA平面 ABC，PAAC1， BC 2，则四面体 PABC 的外接球的表面积为_ 16早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的 冲击 现设桥拱上有如图所示的 4 个溢流孔， 桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分， 且四个溢流孔轮廓线相同建立如图所示的平面直角坐标系 xOy，根据图上尺寸，溢流 孔 ABC 所在抛物线的方程为_，溢流孔与桥拱交点 A 的横坐标 为_ （第 12 题） A B C P （第 15 题） 第 16 题 高二期中调研 数学试卷 第 4 页共 6

10、 页 四四、解答题解答题：本大题共本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分请在分请在答题卡指定区域内答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要作答，解答时应写出必要 的文字说明，证明过程或演算步骤的文字说明，证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 10 分） 在 sin(AB)sinBsinC；2acosC2bc；ABC 的面积 S 3 4 (a2b2c2) 三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题 已知ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， _， D 是边 BC 上的一点， BAD 2，且 b4，c2，求线段 AD 的长 注注：如果如果选择选择多个多个

11、条件分别条件分别解解答，答，按按第一个解答计分第一个解答计分 18 （本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 F：(x2)2y21，动圆 M 与直线 l：x1 相切 且与圆 F 外切 （1）记圆心 M 的轨迹为曲线 C，求曲线 C 的方程； （2）已知 A(2，0)，曲线 C 上一点 P 满足 PA 2PF，求PAF 的大小 高二期中调研 数学试卷 第 5 页共 6 页 19 （本小题满分 12 分） 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，D 为 AC 中点 （1）求证：B1A平面 C1BD； （2）若 AA1AB3，BC4，且 ABBC，求三棱锥 BB1C1D 的体积

12、 20 （本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O：x2y21，点 A，B 是直线 xym0(mR) 与圆 O 的两个公共点，点 C 在圆 O 上 （1）若ABC 为正三角形，求直线 AB 的方程； （2）若直线 xy 30 上存在点 P 满足AP BP0，求实数 m 的取值范围 D B B1 A1 （第 19 题） C1 A C 高二期中调研 数学试卷 第 6 页共 6 页 21 （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，平面 PAB平面 ABCD，PAAB，PAAD4， BCAD，ABAD，ABBC2，PEPC (01) （1）若 1 2，求直线

13、DE 与平面 ABE 所成角的正弦值； （2）设二面角 B-AE-C 的大小为 ，若|cos|2 34 17 ，求 的值 22 （本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0) 的左顶点与上顶点的距离 为 2 3，且经过点(2， 2) （1）求椭圆 C 的方程； （2）直线 l 与椭圆 C 相交于 P，Q 两点，M 是 PQ 的中点若椭圆上存在点 N 满足 ON 3MO，求证：PQN 的面积 S 为定值 （第 21 题） P A B C D E x O y P M Q （第 22 题图） 高二期中调研 数学试卷 第 7 页共 6 页 南

14、京市南京市 20202021 学年度第一学期期中调研学年度第一学期期中调研测试测试 高二数学参考答案高二数学参考答案 2020.11 一、一、单项单项选择题：本大题共选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分 1B 2B 3D 4D 5A 6D 7A 8C 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分 9BC 10ABC 11ABC 12ACD 三三、填空题：本大题共填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分 13 2 149

15、2 154 16y 5 36(x14) 2，140 13 四、四、解答题解答题：本大题共：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分 17 （本小题满分 10 分） 解：解：选 由条件 sin(AB)sinBsinC， 在ABC 中，ABC，所以 sin(AB)sinBsin(AB)， 即 sinAcosBcosAsinBsinBsinAcosBcosAsinB， 2 分 从而 sinB2cosAsinB 因为 B 为三角形内角，所以 sinB0，所以 cosA1 2 因为 A 为三角形内角，所以 A2 3 4 分 在ABC 中，因为 b4，c2， 故由正弦定理 b sinB c si

16、nC 得 4sinC2sinB，即 2sinCsinB， 所以 sinB2sinC2sin( 3B) 3cosBsinB，即 2sinB 3cosB 由 sinB0 知 cosB0，因此 tanBsinB cosB 3 2 8 分 因为BAD 2，所以 ADAB tanB 3 10 分 选 由条件2acosC2bc，结合余弦定理得 2ab 2a2c2 2ab 2bc， 即 a2b2c2bc， 2 分 所以 cosAb 2c2a2 2bc 1 2， 因为 A 为三角形内角，所以 A2 3 4 分 高二期中调研 数学试卷 第 8 页共 6 页 在ABC 中，因为 b4，c2， 故由正弦定理 b s

17、inB c sinC 得 4sinC2sinB，即 2sinCsinB， 所以 sinB2sinC2sin( 3B) 3cosBsinB，即 2sinB 3cosB 由 sinB0 知 cosB0，因此 tanBsinB cosB 3 2 8 分 因为BAD 2，所以 ADAB tanB 3 10 分 选 由条件，ABC 的面积 S 3 4 (a2b2c2)， 得1 2bcsinA 3 4 (2bccosA)，即 sinA 3cosA， 2 分 因为 A 为三角形内角，所以 sinA0，从而 cosA0， 所以 tanAsinA cosA 3，所以 A 2 3 4 分 在ABC 中，因为 b4

18、，c2， 故由正弦定理 b sinB c sinC 得 4sinC2sinB，即 2sinCsinB， 所以 sinB2sinC2sin( 3B) 3cosBsinB，即 2sinB 3cosB 由 sinB0 知 cosB0，因此 tanBsinB cosB 3 2 8 分 因为BAD 2，所以 ADAB tanB 3 10 分 另解：另解：A2 3 （略） 4 分 在ABC 中，因为 b4，c2， 由余弦定理得 a2b2c22bccosA4222242cos2 3 28， 所以 a2 7 6 分 由正弦定理得 a sinA b sinB，则 sinB bsinA a 4sin2 3 2 7

19、 21 7 ， 又 B 为锐角，所以 cosB 1sin2B2 7 7 ，则 tanBsinB cosB 3 2 8 分 在ABD 中，因为BAD 2， 所以 ADAB tanB 3 10 分 高二期中调研 数学试卷 第 9 页共 6 页 18 （本小题满分 12 分） 解解： （1）设 M(x，y)，圆 M 的半径为 r 由题意知，MFr1，M 到直线 l 的距离为 r 方法一：方法一：点 M 到点 F(2，0)的距离等于 M 到定直线 x2 的距离， 根据抛物线的定义知，曲线 C 是以 F(2，0)为焦点，x2 为准线的抛物线 故曲线 C 的方程为 y28x 6 分 方法二：方法二：因为

20、MF (x2)2y2r1，|x1|r，x1， 所以 (x2)2y2x2，化简得 y28x， 故曲线 C 的方程为 y28x 6 分 （2）方法一：方法一：设 P(x0，y0)，由 PA 2PF， 得(x02)2y022(x02)2y02， 8 分 又 y028x0，解得 x02，故 P(2，4)， 10 分 所以 kPA1，从而PAF 4 12 分 方法方法二二：过点 P 向直线 x2 作垂线，垂足为 Q 由抛物线定义知，PQPF，所以 PA 2PQ， 8 分 在APQ 中，因为PQA 2， 所以 sinQAPPQ PA 2 2 ， 10 分 从而QAP 4，故PAF 4 12 分 19 （本

21、小题满分 12 分） （1）证明：证明：连结 B1C 交 BC1于点 O，连结 OD 在三棱柱 ABCA1B1C1中，BCB1C1，BCB1C1， 所以四边形 B1BCC1为平行四边形， 所以 O 为 B1C 中点 又因为 D 为 AC 中点， 所以 OD 为CB1A 的中位线， 所以 B1AOD 3 分 又因为 B1A平面 C1BD，OD 平面 C1BD， 所以 B1A平面 C1BD 5 分 （2）解：解：方法一：方法一：三棱锥 BB1C1D 的体积就是三棱锥 DBB1C1的体积 7 分 过点 D 作 DEBC，垂足为 E 在直三棱柱 ABCA1B1C1中，B1B平面 ABC B1 （第 1

22、9 题） A1 C1 B D A C O E 高二期中调研 数学试卷 第 10 页共 6 页 因为 DE平面 ABC， 所以 B1BDE 又因为 DEBC，且 B1B，BC平面 B1BCC1，B1BBCB， 所以 DE平面 B1BCC1，即 DE 为三棱锥 DBB1C1的高 9 分 在ABC 中，AB3，BC4，且 ABBC， 所以 AC 32425，sinC3 5， 在 RtDEC 中，DC1 2AC 5 2，所以 DEDCsinC 3 2 又BB1C1的面积 S1 2BB1B1C1 1 2346， 所以三棱锥 DBB1C1的体积 V1 3SDE3， 故三棱锥 BB1C1D 的体积等于 3

23、12 分 方法方法二二：三棱锥 BB1C1D 的体积就是三棱锥 B1BDC1的体积 7 分 因为（1）中已证 B1A平面 C1BD， 所以 B1到平面 BDC1的距离等于 A 到平面 BDC1的距离 因此三棱锥 B1BDC1的体积等于三棱锥 ABDC1的体积， 即等于三棱锥 C1ABD 的体积 在直三棱柱 ABCA1B1C1中，C1C平面 ABC， 所以 C1C 为三棱锥 C1ABD 的高 10 分 因为 AB3，BC4，且 ABBC，SABC1 2ABBC6 因为 D 是 AC 的中点，所以ABD 的面积 S1 2S ABC3 故三棱锥 C1ABD 的体积 V1 3SC1C3， 即三棱锥 B

24、B1C1D 的体积等于 3 12 分 20 （本小题满分 12 分） 解：解： （1）由ABC 为正三角形，得AOB2ACB2 3 ，所以ABOBAO 6， 所以原点 O 到直线 AB 的距离 d1sin 6 1 2 3 分 由点到直线的距离公式得|m| 2 1 2，解得 m 2 2 或 2 2 所以直线 AB 的方程为 2x2y 20 或 2x2y 20 5 分 （2）方法方法一：一：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y) 因为AP BP0，所以点 P 在以 AB 为直径的圆上 高二期中调研 数学试卷 第 11 页共 6 页 记该圆圆心为(x0，y0)，则 xx0， yy0 是

25、方程组 xy0， xym0的解，解得 x0 m 2， y0m 2 故以 AB 为直径的圆的方程为(xm 2) 2(ym 2) 21m2 2 ，其中 2m 2 9 分 又点 P 在直线 xy 3 0 上，即直线与圆有公共点， 所以|m 3| 2 1m 2 2 ，即 2m22 3m10 解得 31 2 m1 3 2 综上，实数 m 的取值范围是 31 2 ，1 3 2 12 分 方法方法二：二：设 A(x1，y1)，B(x2，y2) 联立直线 AB 与圆 O 方程，得 x2y21， xym0， 消去 y 得 2x22mxm210 所以 x1，x2是的两个解， 判别式(2m)242(m21)0，即

26、2m 2， 且 x1x2m，x1x2m 21 2 7 分 设点 P(x，y)，则AP (xx 1，yy1)，BP (xx 2，yy2) 由AP BP0，得(xx 1) (xx2)(yy1) (yy2)0， 将 yx 3，y1x1m，y2x2m 代入， 整理得 2x22(x1x2m 3)x2x1x2(m 3)(x1x2)(m 3)20 又 x1x2m，x1x2m 21 2 ，所以 2x22 3xm2 3m20， 关于 x 的方程 2x22 3xm2 3m20 有实数解， 10 分 因此(2 3)242(m2 3m2)0，即 2m22 3m10， 解得 31 2 m1 3 2 综上，实数 m 的取

27、值范围是 31 2 ，1 3 2 12 分 21 （本小题满分 12 分） 解解： 因为平面 PAB平面 ABCD， PAAB， 平面 PAB平面 ABCDAB， PA平面 PAB， 所以 PA平面 ABCD 因为 AD平面 ABCD，所以 PAAD 高二期中调研 数学试卷 第 12 页共 6 页 又 ABAD，所以 PA，AB，AD 两两互相垂直 以AB ，AD，AP为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz2 分 因为 PAAD4，ABBC2， 所以 A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)， D(0，4，0)，P(0，0，4) （1）若 1 2，即 E 为 PC 中

28、点，则 E( )1，1，2 ， 所以DE ( )1，3，2 ，AB ( )2，0，0 ，AE ( )1，1，2 设平面 ABE 的一个法向量为 m(x1，y1，z1)， 则 m AB 0， m AE 0， 即 2x10， x1y12z10 令 z11，得 y12， 所以平面 ABE 的一个法向量为 m(0，2，1) 4 分 设直线 DE 与平面 ABE 所成角为 ， 则 sin|cosDE ，m| 62 14 5| 4 70 35 6 分 （2）因为PE PC(01)，则 E(2，2，44) 设平面 ABE 的一个法向量为 n(x2，y2，z2)， 则 n AB 0， n AE 0， 即 2x

29、20， 2x2+2y2+(44)z20 令 y22，得 z2 1， 所以平面 ABE 的一个法向量为 n(0，2， 1) 设平面 AEC 的一个法向量为 l(x3，y3，z3)， 则 l AC 0， l AP 0， 即 2x32y30， 4z30 令 x31，得 y31， 所以平面 AEC 的一个向量为 l(1，1，0) 9 分 （或证明 CD平面 PAC，从而CD 为平面 PAC 的一个法向量） 因为二面角 B-AE-C 的大小为 ，且|cos|2 34 17 ， 得|cosn，l| 2 4( 1) 2 2| 2 34 17 ，整理得 32210， 解得 1 3，或 1(舍)所以 1 3 1

30、2 分 y z P A B C D E x 高二期中调研 数学试卷 第 13 页共 6 页 22 （本小题满分 12 分） 解解： （1）椭圆 C 的左顶点(a，0)，上顶点(0，b) 因为左顶点与上顶点的距离为 2 3，所以 a2b22 3，化简得 a2b212 因为椭圆经过点(2， 2)，所以 4 a2 2 b21， 2 分 由解得 a28，b24 或 a26，b26（舍去） ， 所以椭圆 C 的方程为x 2 8 y2 41 4 分 （2）当 PQ 斜率不存在时，N 为(2 2，0)，PQ 方程为 x2 2 3 ，易得 PQ8 2 3 ， 此时 S1 2MNPQ 1 2 8 2 3 8 2

31、 3 64 9 5 分 当 PQ 斜率存在时，设 PQ 的方程为 ykxm (m0)， 联立 ykxm， x2 8 y2 4 1 得(12k2)x24kmx2(m24)0， 由(4km)28(12k2)(m24)0，得 0m28k24 （*） 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 x1x24km 12k2，x1x2 2(m24) 12k2 ， 因此 PQ 的中点 M 为(2km 12k2， m 12k2) 又因为ON 3MO，所以 N(6km 12k2， 3m 12k2)， 将点 M 代入椭圆方程，得 18k2m2 4(12k2)2 9m2 4(12k2)21， 化简得 2k219 4m 2，符合（*）式 9 分 记点 O 到直线 l 的距离为 d， 则 S4SOPQ2PQd2 1k2|x1x2|d 2 1k22 2 8k 24m2 12k2 |m| 1k2 4 2|m| 8k24m2 12k2 ， 将 2k219 4m 2代入，得 S4 2|m| 9m2m2 9 4m 2 64 9 综上，PQN 的面积 S 为定值64 9 12 分