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1、线代全册完整教学课件线代全册完整教学课件 第一节 矩阵及其运算 一、矩阵的定义一、矩阵的定义 二、矩阵的运算二、矩阵的运算 第一章 三、矩阵的分块三、矩阵的分块 四、分块矩阵的运算规则四、分块矩阵的运算规则 一、矩阵的定义 mnmm n n aaa aaa aaa A 21 22221 11211 由由 个数个数 排成的排成的 行行 列的数表列的数表 nm mn njmiaij, 2 , 1;, 2 , 1 称为称为 矩阵矩阵. .简称简称 矩阵矩阵. . mn行行 列列 nm 简记为简记为 . ij nm ijnm aaAA .,简称为元简称为元的元素的元素个数称为个数称为这这Anm 元素都

2、是实数的矩阵称为元素都是实数的矩阵称为实矩阵实矩阵 元素都是复数的矩阵称为元素都是复数的矩阵称为复矩阵复矩阵 例如例如 3469 5301 是一个是一个 实矩阵实矩阵, 42 9532是一个是一个 矩阵矩阵, 41 4是一个是一个 矩阵矩阵. 11 几种特殊矩阵几种特殊矩阵 (1)(1)行数与列数都等于行数与列数都等于 的矩阵的矩阵 ，称为，称为 阶阶 nn A . n A方阵方阵. .也可记作也可记作 11121 21222 12 n n n nnnn aaa aaa A aaa 例如例如 222 222 2613i 是一个是一个3 阶方阵阶方阵. 主对角线主对角线 次（副）对角线次（副）对

3、角线 特殊地，主对角线以下全为特殊地，主对角线以下全为0的方阵称为的方阵称为上三角形矩阵上三角形矩阵 主对角线以上全为主对角线以上全为0的方阵称为的方阵称为下三角形矩阵下三角形矩阵 , 2 1 n a a a B 只有一列的矩阵只有一列的矩阵 称为称为列矩阵列矩阵( (或或列向量列向量).). 称为称为对角对角 矩阵矩阵( (或或对角阵对角阵）. n 00 00 00 2 1 （3） 形如形如 的方阵的方阵, , O O 不全为不全为0 记作记作 ., 21n diagA (2)(2)只有一行的矩阵只有一行的矩阵 , 21n aaaA 称为称为行矩阵行矩阵( (或或行向量行向量) ). (4)

4、方阵方阵 称为称为单位矩阵单位矩阵（或（或单位阵单位阵）. . 100 010 001 n EE O O 全为全为1 （5）元素全为零的矩阵称为零矩阵，元素全为零的矩阵称为零矩阵， 零零 矩阵记作矩阵记作 或或 . . nm nm o o 注意注意 不同阶数的零矩阵是不相等的不同阶数的零矩阵是不相等的. 2.2.两个矩阵两个矩阵 为为同型矩阵同型矩阵,并且并且 对应元素相等对应元素相等,即即 ijij bBaA与与 , 2 , 1;, 2 , 1njmiba ijij 则称则称矩阵矩阵 相等相等,记作记作 BA与与.BA 例如例如 93 48 314 73 65 21 与与为为同型矩阵同型矩阵

5、. 同型矩阵与矩阵相等的概念同型矩阵与矩阵相等的概念 1.1.两个矩阵的行数相同两个矩阵的行数相同, ,列数相同时列数相同时, ,称为称为同型同型 矩阵矩阵. 例例 设设 , 1 31 , 213 321 zy x BA .,zyxBA求求已知已知 解解 ,BA . 2, 3, 2 zyx 矩 阵 运 算 矩 阵 运 算 加法加法 数与矩阵相乘数与矩阵相乘 矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘 转置矩阵转置矩阵 对称阵与反对称阵对称阵与反对称阵 共轭矩阵共轭矩阵 二、 矩阵的运算 、定义、定义 mnmnmmmm nn nn bababa bababa bababa BA 2211 2222222121

6、 1112121111 （一）矩阵的加法 设有两个设有两个 矩阵矩阵 那么矩阵那么矩阵 与与 的和记作的和记作 ，定义为，定义为 nm ,bB,aA ijij ABBA 即对应元素相加即对应元素相加. 说明说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算. 例例 123 456 981 863 091 5312 182633 405961 9583112 . 986 447 41113 2 2、 矩阵加法的运算规律矩阵加法的运算规律 ;1ABBA .2CBACBA mnmm n n aaa aaa aaa A 11 22221 11211 3 .,

7、 04BABAAA , ij a .负矩阵负矩阵的的称为矩阵称为矩阵A 1 1、定义、定义 . 11 22221 11211 mnmm n n aaa aaa aaa AA （二）数与矩阵相乘 ,AAA数数 与与矩矩阵阵 的的乘乘积积记记作作或或定定义义为为 此运算称为矩阵的数量乘积，简称数乘此运算称为矩阵的数量乘积，简称数乘 ;1AA ;2AAA .3BABA 2 2、数乘运算的运算规律、数乘运算的运算规律 矩阵的加法与数乘统称为矩阵的矩阵的加法与数乘统称为矩阵的线性运算线性运算. . （设（设 为为 矩阵，矩阵， 为数）为数） ,nm BA、 、定义、定义 s k kjiksjisjiji

8、ij babababac 1 2211 , 2 , 1;, 2 , 1njmi 并把此乘积记作并把此乘积记作 .ABC （三）矩阵与矩阵相乘 设设 是一个是一个 矩阵，矩阵， 是一个是一个 矩阵，那么规定矩阵矩阵，那么规定矩阵 与矩阵与矩阵 的乘积的乘积 是一个是一个 矩阵矩阵 ，其中，其中 ij aA sm ij bB ns nm ij cC AB 注意注意 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵 的行数时，两个矩阵才能相乘的行数时，两个矩阵才能相乘. 106 861 985 123 321 例如例如 1 2 3 321 132231 .10 不存在不存在.

9、 21 3 2 2 3 2 12 22 12 22 13 23 . 63 42 42 例例 2222 63 42 21 42 C 22 16 32 816 设设 4150 0311 2101 A 121 113 121 430 B 例例2 2 ? 求求ABAB. . 故故 121 113 121 430 4150 0311 2101 ABC . 解解 , 43 ij aA , 34 ij bB . 33 ij cC 5 67 1026 2 1710 、矩阵乘法的运算规律、矩阵乘法的运算规律 ;1BCACAB ,2ACABCBA ;CABAACB BABAAB 3（其中（其中 为数）为数）; 4

10、; nnnnn A EE AA 若若A是是 阶方阵，则阶方阵，则 为为A的的 次幂，即次幂，即 并且并且 5n k Ak 个个k k AAAA ,AAA kmkm . mk k m AA 为正整数为正整数k,m 注意注意 矩阵一般不满足交换律，即：矩阵一般不满足交换律，即： ,BAAB .BAAB kk k 例例 设设 11 11 A 11 11 B 则则 , 00 00 AB, 22 22 BA .BAAB 故故 ?)(: 2 BA思考 .AOBOABO存存在在矩矩阵阵，使使得得 .ABOAOBO若若，则则不不能能推推出出矩矩阵阵或或 说明说明 但也有例外，例如但也有例外，例如 , 20 0

11、2 A, 11 11 B 则有则有 , AB 22 2 2 BA 22 2 2 .BAAB 称为称为纯量矩阵纯量矩阵（或（或数量矩阵数量矩阵） 00 00 00 n k k kE k 形形如如的的方方阵阵 nnnnn kEAAkEkA 2 012 01 ( ) m m m f xaa xa xa x aaaAn 设设， 系系数数 ， ， ，均均为为常常数数， 为为 阶阶方方阵阵， 2 012 ( ) m m f Aa Ea Aa Aa A n 则则 仍仍为为 阶阶方方阵阵. . ( ).f AA称称为为 的的矩矩阵阵多多项项式式 矩阵多项式 2 10 ( )23( ). 43 f xxxAf

12、A 例例3: 3: 设设，, ,求求 解解 00 10 01 00 10 01 2 A . 00 20 12 2 2 2 . 00 10 01 k AA求求设设 例例4 4 00 10 01 00 20 12 2 2 2 23 AAA 3 23 23 00 30 33 由此归纳出由此归纳出 2 00 0 2 1 1 21 kk kk k A k kk kkk k 用数学归纳法证明用数学归纳法证明 当当 时，显然成立时，显然成立. 2 k 假设假设 时成立，则时成立，则 时，时， nk 1 nk 12 11 1 10 2 001 0000 nnn nnnn n n n n AA An 所以对于任

13、意的所以对于任意的 都有都有 k . 00 0 2 1 1 21 k kk kkk k k kk k A 11 1 1 1 1 2 01 00 nnn nn n nn n n 定义定义 把矩阵把矩阵 的行换成同序数的列得到的的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作 AA 或或 A A 例例 , 854 221 A ; 82 52 41 T A ,618 B. 6 18 T B 、转置矩阵(transpose matrix) （四）矩阵的其它运算 转置矩阵的运算性质 ;1AA T T ;2 TT T BABA ;3 T T AA 4. T TT ABB

14、 A 例例5 5 已知已知 , 102 324 171 , 231 102 BA . T AB求求 解法解法1 102 324 171 231 102 AB , 101317 3140 . 103 1314 170 T AB TT T ABAB 21 30 12 131 027 241 . 103 1314 170 解法解法2 2、对称(矩)阵与反对称(矩)阵 定义定义 设设 为为 阶方阵，如果满足阶方阵，如果满足 ，即，即 那么那么 称为对称称为对称(矩矩)阵阵. An T AA n,j , iaa jiij 21 A .A为对称阵为对称阵例如例如 601 086 1612 ( ,1,2,

15、), T jiij AAaai jn A 如如果果，即即 则则方方阵阵 称称为为反反对对称称（矩矩）阵阵. . 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等 说明说明 例例6 6 证明任一证明任一 阶矩阵阶矩阵 都可表示成对称阵都可表示成对称阵 与反对称阵之和与反对称阵之和. nA 证明证明 T AAC 设设 T TT AAC 则则AAT ,C 所以所以C为对称矩阵为对称矩阵. , T AAB 设设 T TT AAB 则则AAT ,B 所以所以B为反对称矩阵为反对称矩阵. 22 TT AAAA A , 22 BC 命题得证命题得证. 3 3、共轭矩阵、共轭矩阵 当当 为复矩阵时，用为复矩阵时，用 表

16、示表示 的共轭的共轭 复数，记复数，记 ， 称为称为 的共轭矩阵的共轭矩阵. 定义定义 ij aA ij a ij a ij aA AA ;2AA 3;ABAB 运算性质运算性质 ;1BABA （设（设 为复矩阵，为复矩阵， 为复数为复数,且运算都是可行的）且运算都是可行的）: BA, 4. TT AA 三、矩阵的分块 对于行数和列数较高的矩阵 ，为了 简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的 运算化成小矩阵的运算. A 一个矩阵可以有多种不同的分块方法. A具体做法：将矩阵 用若干条纵线和横线 分成若干小块，每一小块也可以看成一个 矩阵（称为 的子矩阵），以子矩阵为元 素的形式上的矩阵称为分块矩

17、阵. A 1 2 3 B B B b b a a A 110 101 000 001 例例 , BE OA b b a a A 110 101 000 001 a a A 0 1 其中其中 b b B 1 1 10 01 E 00 00 O , 4321 AAAA b b a a A 110 101 000 001 0 1 0 1 a A其中其中 1 0 1 2 a A 1 0 0 3 b A b A 1 0 0 4 1,AB设设矩矩阵阵 与与 为为同同型型矩矩阵阵 采采用用相相同同的的分分块块法法 , ijij AB其其中中与与为为同同型型矩矩阵阵 则则 . 11 111111 srsrss

18、 rr BABA BABA BA 四、分块矩阵的运算规则 srs r srs r BB BB B AA AA A 1 111 1 111 , 那末那末为数为数设设,2 1 111 srs r AA AA A . 1 111 srs r AA AA A 分块成分块成矩阵矩阵为为矩阵矩阵为为设设,3nlBlmA , 1 111 1 111 trt r sts t BB BB B AA AA A 那末那末的行数的行数 的列数分别等于的列数分别等于其中其中 , , 2121ijjjitii BBBAAA srs r CC CC AB 1 111 ., 1;, 1 1 rjsiBAC kj t k ik

19、ij 其中其中 AB分分块块矩矩阵阵相相乘乘时时需需 的的列列的的划划分分与与 的的行行的的划划分分一一致致 即即是方阵是方阵 且非零子块都且非零子块都其余子块都为零矩阵其余子块都为零矩阵上有非零子块上有非零子块 角线角线的分块矩阵只有在主对的分块矩阵只有在主对若若阶矩阵阶矩阵为为设设 . , ,5AnA , 2 1 s A A A A O O ,4 11 sr A A A 设设 r A 1 1s A . 11 T sr T T A A A 则则 T s A 1 T r A 1 T s A 1 T r A 1 . 11 T sr T T A A A 则则 1,2, . i AisA 其其中中都

20、都是是方方阵阵 那那末末称称为为分分块块 对对角角矩矩阵阵 准准对对角角矩矩阵阵 11 22 0000 0000 6 0000 ss AB AB AB . 00 00 00 22 11 ssB A BA BA 例例1 设设 , 1011 0121 0010 0001 A, 0211 1401 1021 0101 B .AB求求 解解 分块成分块成把把BA, 1011 0121 0010 0001 A 10 01 10 01 A 00 00 11 21 , E E O 1 A 0211 1401 1021 0101 B 11 BE 21 B 22 B 则则 2221 11 1 BB EB EA

21、OE AB . 22121111 11 BABBA EB 又又 21111 BBA 11 01 21 01 11 21 11 01 20 4324 11 02 14 11 21 221 BA 33 31 22121111 11 BABBA EB AB. 1311 3342 1041 0101 于是于是 , 100 100 000 001 b b a a A设设 b b a a B 100 000 001 000 .,ABABA 求求 例例2 解解分块分块将将BA, b b a a A 100 100 000 001 , 0 0 2 1 A A b b a a B 100 000 001 000

22、 , 0 0 2 1 B B 其中其中 , 0 1 1 a a A ; 1 1 2 b b A , 1 0 1 a a B ; 1 0 2 b b B 其中其中 2 1 2 1 0 0 0 0 B B A A BA , 0 0 22 11 BA BA a a a a BA 1 0 0 1 11 , 21 12 a a b b b b BA 1 0 1 1 22 , 22 12 b b . 2200 1200 0021 0012 b b a a 2 1 2 1 0 0 0 0 B B A A BA 22 11 0 0 BA BA 2 1 2 1 2 1 0 0 0 0 0 0 A A B B A

23、 A ABA , 0 0 222 111 ABA ABA , 12 32 23 111 aaa aaa ABA , 23 122 32 23 222 bbb bbb ABA 2 1 2 1 2 1 0 0 0 0 0 0 A A B B A A ABA 222 111 0 0 ABA ABA . 2300 12200 00 0012 32 23 32 23 bbb bbb aaa aaa 矩 阵 运 算 矩 阵 运 算 加法加法 数与矩阵相乘数与矩阵相乘 矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘 转置矩阵转置矩阵 对称阵与反对称阵对称阵与反对称阵 共轭矩阵共轭矩阵 （2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩

24、阵的行数）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数 时，两个矩阵才能相乘，且矩阵相乘不满足交换律时，两个矩阵才能相乘，且矩阵相乘不满足交换律. （1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算. 五、小结 (1) 加法加法 采用相同的分块法采用相同的分块法同型矩阵同型矩阵, (2) 数乘数乘 的每个子块的每个子块乘乘需需乘矩阵乘矩阵数数AkAk, (3) 乘法乘法 ,ABAB若若 与与 相相乘乘 需需 的的列列的的划划分分与与 的的行行的的划划分分相相一一致致 分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似 (

25、4) 转置转置 sr A A A 11r A 1 1s A T s A 1 T r A 1 T sr T T A A A 11 (5) 分块对角阵（准对角阵）分块对角阵（准对角阵） s A A A A 2 1 O O 思考题 问等式问等式阶方阵阶方阵为为与与设设,nBA BABABA 22 成立的充要条件是什么成立的充要条件是什么? , 22 BABBAABABA 故故 成立的充要条件为成立的充要条件为 BABABA 22 .BAAB 解解 第二节 行列式 第一章第一章 一、一、n n 阶行列式的定义阶行列式的定义 三、三、行列式按行行列式按行( (列列) )展开展开 二、行列式的性质二、行列

26、式的性质 四、小结四、小结 一、二阶行列式的概念一、二阶行列式的概念 定义定义 二阶行列式 二阶行列式 主对角线主对角线 副对角线副对角线 数数 aij ( i, j =1, 2) 表示第表示第 i 行第行第 j 列的元素列的元素. 对角线法则对角线法则 说明说明 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式 2221 1211 aa aa , 21122211 aaaa 二、三阶行列式二、三阶行列式 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 112233122331132132 132231122133112332, a a aa a aa a

27、 a a a aa a aa a a 其中其中 aij ( i , j =1, 2, 3 ) 表示第表示第 i 行第行第 j 列的元素列的元素. 三阶行列式三阶行列式 三阶行列式的计算可如下图三阶行列式的计算可如下图: 定义定义 333231 232221 131211 aaa aaa aaa + + + 三、排列与逆序数三、排列与逆序数 为了得到为了得到 n 阶行列式的定义和讨论其性质阶行列式的定义和讨论其性质, 先引入排列和逆序数的概念先引入排列和逆序数的概念. 由自然数由自然数 1, 2, , n 组成的一个有序数组组成的一个有序数组， 称为一个称为一个 n n 级排列级排列. 其中若某

28、两数之间其中若某两数之间前面的数前面的数 大于后面的数大于后面的数, 则称它们构成则称它们构成一个一个逆序逆序. 一个排一个排 列中所有逆序的总数称为该列中所有逆序的总数称为该排列的逆序数排列的逆序数. n 级排列级排列 (i1 i2in ) 的逆序数记为的逆序数记为(i1i2in), 简简 记为记为 . 例如六级排列例如六级排列 243516 中中, 2 与与 1, 4 与与 1, 3 与与 1, 5与与 1, 4 与与 3 均构成逆序均构成逆序, 故故 (243516) = 5. 定理定理 奇奇、偶排列：逆序数为偶数的排列称为偶排列：逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列, 逆序数为奇数的排列

29、称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列. 如四级排列如四级排列 2314 是偶排列，而六级排列是偶排列，而六级排列 243516 为奇排列为奇排列. 对换：将一个排列某两个数的位置互换而其余的对换：将一个排列某两个数的位置互换而其余的 数不动数不动, , 则称对该排列作了一次则称对该排列作了一次对换对换. . 如排列如排列 31524 是排列是排列 21534 经过经过 2 与与 3 对换对换 而得而得, 而而 (21534)=3, (31524)=4, 即经过对换后即经过对换后 排列的奇偶性改变了排列的奇偶性改变了. 一次对换改变排列的奇偶性一次对换改变排列的奇偶性. 四、四、n n 阶行列

30、式的定义阶行列式的定义 利用排列与逆序数的概念利用排列与逆序数的概念, 可以看出三阶行列式可以看出三阶行列式 333231 232221 131211 aaa aaa aaa D 332112322311312213 312312322113332211 aaaaaaaaa aaaaaaaaa 中共中共 3! = 6 项项, 其中一半带正号其中一半带正号, 一半带负号一半带负号. (123)= 0 (312)=2 (231)=2 (321)=3 (132)=1 (213)=1 333231 232221 131211 aaa aaa aaa D 321 321 321 )( ) 1( jjj

31、jjj aaa 三阶行列式可记为三阶行列式可记为 其中其中 是对所有三级排列是对所有三级排列 ( j1 j2 j3 ) 求和求和. 2221 1211 aa aa D 21 21 21 )( ) 1( jj jj aa 其中其中 是对所有二级排列是对所有二级排列 (j1 j2) 求和求和. 同样同样, 二阶行列式二阶行列式 仿此仿此, 可得可得 定义定义 n n 阶行列式阶行列式 nnnn n n aaa aaa aaa D 21 22221 11211 n n njjj jjj aaa 21 21 21 )1( 其中其中 是对所有是对所有 n 级排列级排列 ( j1 j2jn ) 求和求和

32、由定义可知由定义可知, n 阶行列式是所有阶行列式是所有取自不同行不同列的取自不同行不同列的 n 个个 元素乘积的代数和元素乘积的代数和, 共有共有 n! 项项, 其中一半带正号其中一半带正号, 一半带负号一半带负号. 例例1 1 计算计算上上三角行列式三角行列式 nn n n a aa aaa 00 0 222 11211 展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是 12 12 . n jjnj a aa , n jn 1 1, n jn 321 3,2,1, n jnjj 所以不为零的项只有所以不为零的项只有 . 2211nn aaa nn n n a aa aaa 00 0 222 1

33、1211 12 1122 1 n nn a aa . 2211nn aaa 解解 计算下列计算下列 n 阶行列式阶行列式 11 2122 12 . nnnn a aa D aaa (称为称为下下三角行列式三角行列式) 由定义由定义，D 中取自不同行不同列的中取自不同行不同列的 n 个元素的乘积个元素的乘积， 除了除了 a11 a22 ann 外外，其余全为其余全为 0 ，而而 a11 a22 ann 的的 列列 下标的排列为下标的排列为 (12 n) , ( 1 2 n ) = 0, D = ( 1)0 a11 a22 ann 故故 = a11 a22 ann 例例2 2 解解 作为例作为例

34、2 的的 特例，可知下面的特例，可知下面的 n 阶行列式阶行列式(称为对角行列式称为对角行列式) . 2211 22 11 nn nn aaa a a a 计算计算 n 阶行列式阶行列式 1 2,12 1,1 . n nn nn nnn a aa D aaa 例例3 3 取取 D 中不在同一行不在同一中不在同一行不在同一 列的列的 n 个元素的个元素的 乘积乘积， 除除 a1n a2, n-1 an1 外外，其余全为其余全为 0 ， 而而 a1n a2,n-1 an1 的列下标的排列为的列下标的排列为 (n, n 1, 1), ) 1()2(21) 1, 1,(nnnn 故故 2 ) 1( nn 由例由例 3立即可知立即可知 11, 21 2 )1( ) 1( nnn nn aaaD 1 1,2 1 n n n a a a 解解 11, 21 2 )1( ) 1( nnn nn aaa 在在 n 阶行列式的定义中阶行列式的定义中，为了确定每一项的符号为了确定每一项的符号，把把 n 个元素的行下标均按自然顺序排列个元素的行下标均按自然顺序排列.事实上事实上，数的乘法是数的乘法是 可交换的可交换的，因而这因而这 n 个元素相乘时次序可以是任意的个元素相乘时次序可以是任意的，故故 有有 定理定理 n 阶行列式的定义也可写成阶行列式的定义也可