高三数学培优专题练习15：平行垂直关系的证明.doc

1、 培优点十五培优点十五 平行垂直关系的证明平行垂直关系的证明 1平行关系的证明 例 1：如图，E，F，G，H分别是正方体 1111 ABCDA B C D的棱BC， 1 CC， 11 C D， 1 AA 的中点 求证： （1）EG平面 11 BB D D； （2）平面BDF平面 11 B D H 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【解析】证明（1）如图，取 11 B D的中点O，连接GO，OB， 因为 11 1 2 OGB CBE，所以BE OG，所以四边形BEGO为平行四边形，故OBEG， 因为OB 平面 11 BB D D，EG 平面 11 BB D D，所以EG平面 11 BB D

2、 D （2）由题意可知 11 BDB D连接HB， 1 D F， 因为 1 BHD F，所以四边形 1 HBFD是平行四边形，故 1 HDBF 又 1111 =B DHDDI，=BDBF BI，所以平面BDF平面 11 B D H 2垂直关系的证明 例 2： 如图， 在三棱柱 111 ABCA B C中， 侧棱 1 AA 底面ABC，M为棱AC的中点=AB BC， =2AC， 1= 2 AA （1）求证： 1 B C平面 1 A BM； （2）求证： 1 AC 平面 1 A BM； （3）在棱 1 BB上是否存在点N，使得平面 1 AC N 平面 11 AAC C？如果存在，求此时 1 BN

3、BB 的 值；如果不存在，请说明理由 【答案】 （1）见解析； （2）见解析； （3）存在， 1 2 【解析】 （1）证明：连接 1 AB与 1 A B，两线交于点O，连接OM 在 1 B AC中，M，O分别为AC， 1 AB的中点， 1 OMB C， 又OM 平面 1 A BM， 1 B C 平面 1 A BM， 1 B C平面 1 A BM （2）证明：侧棱 1 AA 底面ABC，BM 平面ABC， 1 AABM， 又M为棱AC的中点，=AB BC，BMAC 1 =AAAC A， 1 AA，AC 平面 1 1 ACC A，BM 平面 1 1 ACC A， 1 BMAC =2AC，=1AM又

4、 1= 2 AA，在 1 RtACC和 1 RtA AM中， 11 tantan2AC CAMA， 11 AC CAMA， 即 1111 90AC CC ACAMAC AC ， 11 AMAC 1 BMAMM，BM， 1 AM 平面 1 A BM， 1 AC 平面 1 A BM （3）解：当点N为 1 BB的中点，即 1 1 2 BN BB 时，平面 1 AC N 平面 11 AAC C 证明如下： 设 1 AC的中点为D，连接DM，DN，D，M分别为 1 AC，AC的中点， 1 DMCC， 且 1 1 2 DMCC又N为 1 BB的中点，DMBN，且DMBN， 四边形BNDM为平行四边形，B

5、MDN， BM 平面 1 1 ACC A，DN 平面 11 AAC C又DN 平面 1 AC N， 平面 1 AC N 平面 11 AAC C 一、单选题 1平面外有两条直线m和n，如果m和n在平面内的射影分别是 1 m和 1 n，给出下列 四个命题： 11 mnmn； 11 mnmn； 1 m与 1 n相交m与n相交或重合； 1 m与 1 n平行m与n平行或重合；其中不正确的命题个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【答案】D 【解析】结合题意逐一分析所给的四个说法，在如图所示的正方体 1111 ABCDA B C D中： 对于说法：若取平面为ABCD， 1 m， 1 n分别为AC，BD，m

6、n，分别为 11 ACBD， 对点增分集训对点增分集训 满足 11 mn，但是不满足mn，该说法错误；对于说法：若取平面为 1 1 ADD A， 1 m， 1 n分别为 111 A DAD，mn，分别为 111 ACBD，满足mn，但是不满足 11 mn， 该说法错误；对于说法：若取平面为ABCD， 1 m， 1 n分别为ACBD，mn，分别为 11 ACBD， 满足 1 m与 1 n相交，但是m与n异面，该说法错误；对于说法：若取平面为 1 1 ADD A， 1 m、 1 n分别为 11 A DAD，m、n分别为 11 ACBC，满足 1 m与 1 n平行， 但是m与n异面，该说法错误；综上

7、可得：不正确的命题个数是 4本题选择 D 选项 2 已知m、n为两条不同的直线，、为两个不同的平面， 则下列命题中正确的是 （ ） A若lm，ln，且mn，则l B若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 C若m，mn，则n D若mn，n，则m 【答案】D 【解析】对于选项 A，若lm，ln，且mn，则 l 不一定垂直平面，m有可 能和n平行， 该选项错误； 对于选项 B，若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则、可能相交或平行， 该选项错误； 对于选项 C，若mmn，则n有可能在平面内，该选项错误； 对于选项 D，由于两平行线中有一条垂直平面，则另一条也垂直平面，该选项正确， 故答案为

8、D 3给出下列四种说法： 若平面，直线ab，则ab； 若直线ab，直线a，直线b，则； 若平面，直线a，则a； 若直线a，a，则其中正确说法的个数为（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【答案】D 【解析】若平面，直线ab，则ab，可异面； 若直线ab，直线a，直线b，则，可相交，此时ab，平行两平面的交线； 若直线a，a，则，可相交，此时ab，平行两平面的交线； 若平面，直线a，则a与无交点，即a；故选 D 4 已知m、n为两条不同的直线，、为两个不同的平面， 则下列命题中正确的有 （ ） （1）m，n，m，n （2）nm，nm （3），m，nmn （4）m，mnn A0 个 B1

9、 个 C2 个 D3 【答案】B 【解析】由m，n，m，n，若ab，相交，则可得，若ab，则与 可能平行也可能相交，故（1）错误； 若mn，n根据线面垂直的第二判定定理可得m，故（2）正确； 若，m，n，则mn或mn，异面，故（3）错误； 若m，mn，则n或n，故（4）错误；故选 B 5如图，在正方体 1111 ABCDA B C D中，MNP， ，分别是 1111 C DBCA D，的中点，则下列 命题正确的是（ ） AMNAP B 1 MNBD C 11 MNBB D D平面 DMNBDP平面 【答案】C 【解析】A：MN和AP是异面直线，故选项不正确； B：MN和 1 BD是异面直线，故

10、选项不正确； C：记ACBDOI正方体 1111 ABCDA B C D中，MN，分别 11 C DBC，是的中点， 1 OND MCD， 1 1 2 OND MCD， 1 MNOD为平行四边形， 1 MNOD， MN 平面 1 BD D， 1 OD 平面 1 BD D，MN平面 1 BD D D：由 C 知 11 MNBB D D平面，而面 11 BB D D和面BDP相交，故选项不正确；故选 C 6已知mn，是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A若，垂直于同一平面，则与平行 B若mn，平行于同一平面，则mn与平行 C若，不平行，则在内不存在与平行的直线 D若mn，

11、不平行，则mn与不可能垂直于同一平面 【答案】D 【解析】垂直于同一平面的两平面相交或平行，A 不正确； 平行于同一平面的两直线可相交、平行或异面，B 不正确； 平面不平行即相交，在一个平面内平行两平面交线的直线与另一平面平行，C 不正确； D 为直线与平面垂直性质定理的逆否命题，故 D 正确故选 D 7已知mn，是两条不重合的直线，是三个两两不重合的平面，给出下列四个 命题： 若mm，则； 若，则； 若mnmn， ，则； 若mn，是异面直线，mmnn， ， ，则其中真命题是（ ） A和 B和 C和 D和 【答案】D 【解析】逐一考查所给的命题： 由线面垂直的性质定理可得若mm，则，命题正确；

12、 如图所示的正方体 1111 ABCDA B C D中，取平面， ，分别为平面 1 11 1 ABB AADD AABCD， 满足，但是不满足，命题错误； 如图所示的正方体 1111 ABCDA B C D中，取平面，分别为平面 1111 ABB AADD A， 直线mn，分别为 11 BBDD，满足mnmn， ，但是不满足，命题错误； 若mn，是异面直线，mmnn， ， ，由面面平行的性质定理易知， 命题正确； 综上可得，真命题是和，本题选择 D 选项 8如图，正方体的棱长为 1，线段 11 AC上有两个动点EF，且2EF ；则下列结论错误 的是（ ） ABDCE BEFABCD平面 C三棱

13、锥EFBC的体积为定值 DBEF的面积与CEF的面积相等 【答案】D 【解析】在正方体 1111 ABCDA B C D中，BD 平面 11 A ACC， 而CE 平面 11 A ACC，故BDCE，故 A 正确 又 11 AC平面ABCD，因此EF平面ABCD，故 B 正确 当EF变化时，三角形CEF的面积不变，点B到平面CEF的距离就是B到平面 11 ACCC的距 离，它是一个定值，故三棱锥EFBC的体积为定值（此时可看成三棱锥BCEF的体积） ， 故 C 正确 在正方体中，点B到EF的距离为 6 2 ，而C到EF的距离为 1，D 是错误的，故选 D 9如图所示，AB是圆O的直径，VA垂直

14、于圆O所在的平面，点C是圆周上不同于AB， 的任意一点，MN，分别为VAVC，的中点，则下列结论正确的是（ ） AMNAB BMN与BC所成的角为45 COC 平面VAC D平面VAC 平面VBC 【答案】D 【解析】对于 A 项，MN与AB异面，故 A 项错； 对于 B 项，可证BC 平面VAC，故BCMN，所成的角为90，因此 B 项错； 对于 C 项，OC与AC不垂直，OC不可能垂直平面VAC，故 C 项错； 对于 D 项，由于BCAC，VA平面ABC，BC 平面ABC，VABC， =ACVA AI，BC 平面VAC，BC 平面VBC，平面VAC 平面VBC，故选 D 10如图，在三棱柱

15、 111 ABCA B C中，侧棱 1 AA 底面 111 A BC，底面三角形 111 A BC是正三角 形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（ ） A 1 CC与 1 B E是异面直线 BAC 平面 11 ABB A CAE， 11 BC为异面直线且 11 AEB C D 11 AC平面 1 AB E 【答案】C 【解析】对于 A 项， 1 CC与 1 B E在同一个侧面中，故不是异面直线，A 错； 对于 B 项，由题意知，上底面是一个正三角形，故AC 平面 11 ABB A不可能，B 错； 对于 C 项，AE， 11 BC为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线， C 正确

16、； 对于 D 项， 11 AC所在的平面与平面 1 AB E相交，且 11 AC与交线有公共点， 故 11 AC平面 1 AB E不正确，D 项不正确；故选 C 11设EF，分别是正方体 1111 ABCDA B C D的棱DC上两点，且21ABEF，给出下列 四个命题： 三棱锥 11 DB EF的体积为定值；异面直线 11 D B与EF所成的角为45； 11 D B 平面 1 B EF；直线 11 D B与平面 1 B EF所成的角为60其中正确的命题为（ ） A B C D 【答案】A 【解析】由题意得，如图所示， 中，三棱锥的体积的为 11111 11 1112 22 3323 DB E

17、FBD EFD EF VVSBCEF ，体 积为定值； 中，在正方体中， 11 EFC D，异面直线 11 D B与EF所成的角就是直线 11 D B与 11 C D所成 的角， 即 111 45B D C，这正确的； 中，由可知，直线 11 D B与EF不垂直， 11 D B 面 1 B EF不成立，是错误的； 中，根据斜线与平面所成的角，可知 11 D B与平面 1 B EF所成的角，即为 111 45B D C， 不正确 12如下图，梯形ABCD中，ADBC，145ADABADABBCD， 将ABD沿 对角线BD折起设折起后点A的位置为 A ，并且平面ABD平面BCD给出下面四个命 题：

18、 A DBC；三棱锥ABCD 的体积为 2 2 ；CD 平面ABD； 平面A BC平面A DC其中正确命题的序号是（ ） A B C D 【答案】B 【解析】90BADADAB，45ADBABD ， 45ADBCBCD，BDDC， 平面ABD平面BCD，且平面A BDI平面BCDBD，CD 平面ABD， AD平面ABD，CDA D，故A DBC不成立，故错误； 棱锥ABCD 的体积为 1 122 22 3 226 ，故错误； 由知CD 平面ABD，故正确； 由知CD 平面ABD，又A B平面ABD，CDA B， 又ABAD，且A D、CD 平面A DC，ADCDD， A B平面A DC，又A

19、B平面A BC， 平面A BC平面A DC，故正确故选 B 二、填空题 13设mn，是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是 _(填序号) 若m，n，则mn；若m，m，则； 若mn，m，则n；若m，则m 【答案】 【解析】m，n，则mn，m与n可能相交也可能异面，不正确； m，m，则，还有与可能相交，不正确； mn，m，则n，满足直线与平面垂直的性质定理，故正确； m，则m，也可能m，也可能mA，不正确； 故答案为 14一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论 ABEF；AB与CM所成的角为60；EF与MN是异面直线；MNCD 以上四个命题中，正确命题的序号是_

20、【答案】 【解析】把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，如图： 则ABEF，EF与MN异面，ABCMMNCD，只有正确故答案为 15若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即ABCDACBDADBC，给出下列结 论： 四面体ABCD每组对棱相互垂直； 四面体ABCD每个面的面积相等； 从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大90而小于180； 连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分 其中正确结论的序号是_(写出所有正确结论的序号） 【答案】 【解析】 将四面体ABCD的三组对棱分别看作平行六面体的对角线， 由于三组对棱分别相 等， 平行六面体为长方体 由于长方体的各面不一定为

21、正方形， 同一面上的面对角线不一定垂直， 从而每组对棱不一 定相互垂直错误； 四面体ABCD的每个面是全等的三角形，面积是相等的正确； 由，四面体ABCD的每个面是全等的三角形，从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱 两两夹角能够等量代换为同一个三角形内的三个内角，它们之和为180错误； 连接四面体ABCD每组对棱中点构成菱形，线段互垂直平分正确，故答案为 16如图，一张矩形白纸ABCD，10AB ，10 2AD ，EF，分别为ADBC，的中点， 现分别将ABE，CDF沿BEDF，折起，且AC、在平面BFDE同侧，下列命题正确的 是_（写出所有正确命题的序号） 当平面ABE平面CDF时，AC平面

22、BFDE 当平面ABE平面CDF时，AECD 当AC、重合于点P时，PGPD 当AC、重合于点P时，三棱锥PDEF的外接球的表面积为150 【答案】 【解析】在ABE中， 2 tan 2 ABE，在ACD中， 2 tan 2 CAD， ABEDAC ，由题意，将ABECDF，沿BEDF，折起， 且AC，在平面BEDF同侧， 此时ACGH， ， ，四点在同一平面内，平面ABE I平面AGHCAG， 平面CDF I平面AGHCCH，当平面ABE平面CDF时，得到AGCH， 显然AGCH，四边形AGHC是平行四边形，ACGH， 进而得到AC平面BFDE，正确的； 由于折叠后，直线AE与直线CD为异面

23、直线，AE与CD不平行，错误的； 折叠后，可得 10 3 3 PG ，10PD ，其中10GD ， 222 PGPDGD， PG和PD不垂直，不正确； 当,A C重合于点P时，在三棱锥PDEF中，EFD和FCD均为直角三角形， DF为外接球的直径，即 5 6 22 DF R ， 则三棱锥PDEF的外接球的表面积为 2 2 5 6 44150 2 R ，是正确， 综上正确命题的序号为 三、解答题 17如图，四棱锥PABCD中，22ABADBC，BCAD，ABAD，PBD为正 三角形 且2 3PA （1）证明：平面PAB 平面PBC； （2）若点P到底面ABCD的距离为 2，E是线段PD上一点，且

24、PB平面ACE，求四面体 ACDE的体积 【答案】 （1）见解析； （2） 8 9 【解析】 （1）证明：ABAD，且2ABAD，2 2BD ， 又PBD为正三角形，2 2PBPDBD，又2AB ，2 3PA ，ABPB， 又ABAD，BCAD，ABBC，PBBCB， AB 平面PBC，又AB平面PAB， 平面PAB 平面PBC （2）如图，连接BD，AC交于点O，BCAD， 且2ADBC，2ODOB，连接OE， PB平面ACE，PBOE，则2DEPE， 由（1）点P到平面ABCD的距离为 2， 点E到平面ABCD的距离为 24 2 33 h ， 11148 22 33239 A CDEE A

25、CDACD VVSh ， 即四面体ACDE的体积为 8 9 18 如图， 四边形ABCD为正方形，EA平面ABCD，EFAB，4AB ，2AE ，1EF （1）求证：BCAF； （2）若点M在线段AC上，且满足 1 4 CMCA，求证：EM平面FBC； （3）求证：AF 平面EBC 【答案】 （1）见解析； （2）见解析； （3）见解析 【解析】 （1）EFAB，EF与AB确定平面EABF， EA平面ABCD，EABC由已知得ABBC且=EAAB AI， BC 平面EABF又AF 平面EABF，BCAF （2）过M作MNBC，垂足为N，连接FN，则MNAB 又 1 4 CMAC，MNAB又EFAB且 1 4 EFAB， EFMN且EFMN，四边形EFNM为平行四边形，EMFN 又FN 平面FBC，EM 平面FBC，EM平面FBC （3）由（1）可知，AFBC 在四边形ABFE中，4AB ，2AE ，1EF ，90BAEAEF ， 1 tantan 2 EBAFAE，则EBAFAE 设AFBEPI，90PAEPAB， 故90PBAPAB，则90APB，即EBAF 又EBBCBI，AF 平面EBC