高三数学培优专题练习15:平行垂直关系的证明.doc
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- 数学 专题 练习 15 平行 垂直 关系 证明 下载 _考试试卷_数学_高中
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1、 培优点十五培优点十五 平行垂直关系的证明平行垂直关系的证明 1平行关系的证明 例 1:如图,E,F,G,H分别是正方体 1111 ABCDA B C D的棱BC, 1 CC, 11 C D, 1 AA 的中点 求证: (1)EG平面 11 BB D D; (2)平面BDF平面 11 B D H 【答案】 (1)见解析; (2)见解析 【解析】证明(1)如图,取 11 B D的中点O,连接GO,OB, 因为 11 1 2 OGB CBE,所以BE OG,所以四边形BEGO为平行四边形,故OBEG, 因为OB 平面 11 BB D D,EG 平面 11 BB D D,所以EG平面 11 BB D
2、 D (2)由题意可知 11 BDB D连接HB, 1 D F, 因为 1 BHD F,所以四边形 1 HBFD是平行四边形,故 1 HDBF 又 1111 =B DHDDI,=BDBF BI,所以平面BDF平面 11 B D H 2垂直关系的证明 例 2: 如图, 在三棱柱 111 ABCA B C中, 侧棱 1 AA 底面ABC,M为棱AC的中点=AB BC, =2AC, 1= 2 AA (1)求证: 1 B C平面 1 A BM; (2)求证: 1 AC 平面 1 A BM; (3)在棱 1 BB上是否存在点N,使得平面 1 AC N 平面 11 AAC C?如果存在,求此时 1 BN
3、BB 的 值;如果不存在,请说明理由 【答案】 (1)见解析; (2)见解析; (3)存在, 1 2 【解析】 (1)证明:连接 1 AB与 1 A B,两线交于点O,连接OM 在 1 B AC中,M,O分别为AC, 1 AB的中点, 1 OMB C, 又OM 平面 1 A BM, 1 B C 平面 1 A BM, 1 B C平面 1 A BM (2)证明:侧棱 1 AA 底面ABC,BM 平面ABC, 1 AABM, 又M为棱AC的中点,=AB BC,BMAC 1 =AAAC A, 1 AA,AC 平面 1 1 ACC A,BM 平面 1 1 ACC A, 1 BMAC =2AC,=1AM又
4、 1= 2 AA,在 1 RtACC和 1 RtA AM中, 11 tantan2AC CAMA, 11 AC CAMA, 即 1111 90AC CC ACAMAC AC , 11 AMAC 1 BMAMM,BM, 1 AM 平面 1 A BM, 1 AC 平面 1 A BM (3)解:当点N为 1 BB的中点,即 1 1 2 BN BB 时,平面 1 AC N 平面 11 AAC C 证明如下: 设 1 AC的中点为D,连接DM,DN,D,M分别为 1 AC,AC的中点, 1 DMCC, 且 1 1 2 DMCC又N为 1 BB的中点,DMBN,且DMBN, 四边形BNDM为平行四边形,B
5、MDN, BM 平面 1 1 ACC A,DN 平面 11 AAC C又DN 平面 1 AC N, 平面 1 AC N 平面 11 AAC C 一、单选题 1平面外有两条直线m和n,如果m和n在平面内的射影分别是 1 m和 1 n,给出下列 四个命题: 11 mnmn; 11 mnmn; 1 m与 1 n相交m与n相交或重合; 1 m与 1 n平行m与n平行或重合;其中不正确的命题个数是( ) A1 B2 C3 D4 【答案】D 【解析】结合题意逐一分析所给的四个说法,在如图所示的正方体 1111 ABCDA B C D中: 对于说法:若取平面为ABCD, 1 m, 1 n分别为AC,BD,m
6、n,分别为 11 ACBD, 对点增分集训对点增分集训 满足 11 mn,但是不满足mn,该说法错误;对于说法:若取平面为 1 1 ADD A, 1 m, 1 n分别为 111 A DAD,mn,分别为 111 ACBD,满足mn,但是不满足 11 mn, 该说法错误;对于说法:若取平面为ABCD, 1 m, 1 n分别为ACBD,mn,分别为 11 ACBD, 满足 1 m与 1 n相交,但是m与n异面,该说法错误;对于说法:若取平面为 1 1 ADD A, 1 m、 1 n分别为 11 A DAD,m、n分别为 11 ACBC,满足 1 m与 1 n平行, 但是m与n异面,该说法错误;综上
7、可得:不正确的命题个数是 4本题选择 D 选项 2 已知m、n为两条不同的直线,、为两个不同的平面, 则下列命题中正确的是 ( ) A若lm,ln,且mn,则l B若平面内有不共线的三点到平面的距离相等,则 C若m,mn,则n D若mn,n,则m 【答案】D 【解析】对于选项 A,若lm,ln,且mn,则 l 不一定垂直平面,m有可 能和n平行, 该选项错误; 对于选项 B,若平面内有不共线的三点到平面的距离相等,则、可能相交或平行, 该选项错误; 对于选项 C,若mmn,则n有可能在平面内,该选项错误; 对于选项 D,由于两平行线中有一条垂直平面,则另一条也垂直平面,该选项正确, 故答案为
8、D 3给出下列四种说法: 若平面,直线ab,则ab; 若直线ab,直线a,直线b,则; 若平面,直线a,则a; 若直线a,a,则其中正确说法的个数为( ) A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【答案】D 【解析】若平面,直线ab,则ab,可异面; 若直线ab,直线a,直线b,则,可相交,此时ab,平行两平面的交线; 若直线a,a,则,可相交,此时ab,平行两平面的交线; 若平面,直线a,则a与无交点,即a;故选 D 4 已知m、n为两条不同的直线,、为两个不同的平面, 则下列命题中正确的有 ( ) (1)m,n,m,n (2)nm,nm (3),m,nmn (4)m,mnn A0 个 B1
9、 个 C2 个 D3 【答案】B 【解析】由m,n,m,n,若ab,相交,则可得,若ab,则与 可能平行也可能相交,故(1)错误; 若mn,n根据线面垂直的第二判定定理可得m,故(2)正确; 若,m,n,则mn或mn,异面,故(3)错误; 若m,mn,则n或n,故(4)错误;故选 B 5如图,在正方体 1111 ABCDA B C D中,MNP, ,分别是 1111 C DBCA D,的中点,则下列 命题正确的是( ) AMNAP B 1 MNBD C 11 MNBB D D平面 DMNBDP平面 【答案】C 【解析】A:MN和AP是异面直线,故选项不正确; B:MN和 1 BD是异面直线,故
10、选项不正确; C:记ACBDOI正方体 1111 ABCDA B C D中,MN,分别 11 C DBC,是的中点, 1 OND MCD, 1 1 2 OND MCD, 1 MNOD为平行四边形, 1 MNOD, MN 平面 1 BD D, 1 OD 平面 1 BD D,MN平面 1 BD D D:由 C 知 11 MNBB D D平面,而面 11 BB D D和面BDP相交,故选项不正确;故选 C 6已知mn,是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题正确的是( ) A若,垂直于同一平面,则与平行 B若mn,平行于同一平面,则mn与平行 C若,不平行,则在内不存在与平行的直线 D若mn,
11、不平行,则mn与不可能垂直于同一平面 【答案】D 【解析】垂直于同一平面的两平面相交或平行,A 不正确; 平行于同一平面的两直线可相交、平行或异面,B 不正确; 平面不平行即相交,在一个平面内平行两平面交线的直线与另一平面平行,C 不正确; D 为直线与平面垂直性质定理的逆否命题,故 D 正确故选 D 7已知mn,是两条不重合的直线,是三个两两不重合的平面,给出下列四个 命题: 若mm,则; 若,则; 若mnmn, ,则; 若mn,是异面直线,mmnn, , ,则其中真命题是( ) A和 B和 C和 D和 【答案】D 【解析】逐一考查所给的命题: 由线面垂直的性质定理可得若mm,则,命题正确;
12、 如图所示的正方体 1111 ABCDA B C D中,取平面, ,分别为平面 1 11 1 ABB AADD AABCD, 满足,但是不满足,命题错误; 如图所示的正方体 1111 ABCDA B C D中,取平面,分别为平面 1111 ABB AADD A, 直线mn,分别为 11 BBDD,满足mnmn, ,但是不满足,命题错误; 若mn,是异面直线,mmnn, , ,由面面平行的性质定理易知, 命题正确; 综上可得,真命题是和,本题选择 D 选项 8如图,正方体的棱长为 1,线段 11 AC上有两个动点EF,且2EF ;则下列结论错误 的是( ) ABDCE BEFABCD平面 C三棱
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