高三数学培优专题练习16:利用空间向量求夹角.doc
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- 数学 专题 练习 16 利用 空间 向量 夹角 下载 _考试试卷_数学_高中
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1、 培优点十六培优点十六 利用空间向量求夹角利用空间向量求夹角 1利用面面垂直建系 例 1:在如图所示的多面体中,平面 11 ABB A 平面ABCD,四边形 11 ABB A为边长为 2 的菱 形, ABCD为直角梯形,四边形 11 BCC B为平行四边形,且ABCD,ABBC,1CD (1)若E,F分别为 11 AC, 1 BC的中点,求证:EF 平面 11 AB C; (2)若 1 60A AB, 1 AC与平面ABCD所成角的正弦值为 5 5 ,求二面角 11 AACD的 余弦值 【答案】 (1)见解析; (2) 7 8 【解析】 (1)连接 1 A B,四边形 11 ABB A为菱形,
2、 11 A BAB 平面 11 ABB A 平面ABCD,平面 11 ABB BA I平面ABCDAB,BC 平面ABCD, ABBC, BC 平面 11 ABB A又 1 A B 平面 11 ABB A, 1 A BBC 11 BCB C, 111 A BB C 1111 BCABB, 1 A B 平面 11 AB C ,E F分别为 11 AC, 1 BC的中点, 1 EFAB,EF 平面 11 AB C (2)设 11 B Ca,由(1)得 11 B C 平面 11 ABB A, 由 1 60A AB,2BA,得 1 2 3AB , 2 1 12ACa 过点 1 C作 1 C MDC,与
3、DC的延长线交于点M,取AB的中点H,连接 1 A H,AM, 如图所示, 又 1 60A AB, 1 ABA为等边三角形, 1 A HAB, 又平面 11 ABB A 平面ABCD,平面 11 ABB A平面ABCDAB, 1 A H 平面 11 ABB A, 故 1 A H 平面ABCD 11 BCC B为平行四边形, 11 CCBB, 1 CC 平面 11 AA BB 又CDAB,CD平面 11 AA BB 1 CCCDCI,平面 11 AA BB平面 1 DC M 由(1) ,得BC 平面 11 AA BB,BC 平面 1 DC M, 1 BCC M BCDCCI, 1 C M 平面A
4、BCD, 1 C AM是 1 AC与平面ABCD所成角 11 A BAB, 11 C BCB, 11 A B平面ABCD, 11 BC 平面ABCD, 11111 A BC BBI, 平面ABCD平面 111 A BC 11 3AHC M, 1 1 2 1 35 sin 5 12 MC C AM AC a ,解得3a 在梯形ABCD中,易证DEAB, 分别以HA uuu v ,HD uuu v , 1 HA uuu v 的正方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系 则1,0,0A, 0, 3,0D, 1 0,0, 3A, 1 2,0, 3B ,1,0,0B , 1, 3,0C , 由
5、1 1,0, 3BB uuu v ,及 11 BBCC uuu vuuuv ,得 1 2, 3, 3C , 1 3, 3, 3AC uuuv , 1, 3,0AD uuu v , 1 1,0, 3AA uuu v 设平面 1 ADC的一个法向量为 111 ,x y zm,由 1 0 0 AC AD uuuv uuu v m m 得 111 11 3330 30 xyz xy , 令 1 1y ,得3,1,2m 设平面 11 AAC的一个法向量为 222 ,xyzn,由 1 1 0 0 AC AA uuuv uuu v n n 得 222 22 3330 30 xyz xz , 令 2 1z ,
6、得 3,2,1n 32277 cos, 83 1434188 m n m n m n , 又二面角 11 AACD是钝角,二面角 11 AACD的余弦值是 7 8 2线段上的动点问题 例 2:如图,在ABCDY中,30A ,3AD ,2AB ,沿BD将ABD翻折到ABD 的位置, 使平面A BC平面ABD (1)求证:AD平面BCD; (2)若在线段A C上有一点M满足A MA C uuuu vuuuv ,且二面角MBDC的大小为60, 求的值 【答案】 (1)见解析; (2) 31 2 【解析】 (1)ABD中,由余弦定理,可得1BD 222 BDADAB, 90ADB,90DBC作DFA
7、B于点F, 平面A BC平面ABD,平面A BCI平面ABDAB,DF 平面A BC CB 平面A BC,DFBC 又CBBD,BDDFDI,CB 平面ADB 又AD平面ADB,CBA D 又ADBD,BDCBBI,AD平面BCD (2)由(1)知DA,DB, DA 两两垂直,以D为原点,以DA uuu v 方向为x轴正方向建立如 图所示空间直角坐标系Dxyz, 则0,1,0B, 3,1,0C , 0,0, 3 A 设, ,M x y z, 则由 3 33 x A MA Cy z uuuu vuuuv 3 , , 33M , 设平面MDB的一个法向量为, ,a b cm, 则由 0 0 DB
8、DM uuu v uuuu v m m 0 3330 b abc , 取11,0,ac m平面CBD的一个法向量可取 0,0, 3DA uuu v , 2 2 13 cos, 2 31 DA uuu v m 113 22 0,1, 31 2 3翻折类问题 例 3: 如图 1, 在边长为 2 的正方形ABCD中,P为CD中点, 分别将PAD,PBC沿PA, PB所在直线折叠, 使点C与点D重合于点O, 如图 2 在三棱锥POAB中,E为PB中点 (1)求证:POAB; (2)求直线BP与平面POA所成角的正弦值; (3)求二面角PAOE的大小 【答案】 (1)见解析; (2) 15 5 ; (3
9、) 3 【解析】 (1)在正方形ABCD中,P为CD中点,PDAD,PCBC, 在三棱锥POAB中,POOA,POOB OAOBOI,PO 平面OAB AB平面OAB,POAB (2)取AB中点F,连接OF,取AO中点M,连接BM 过点O作AB的平行线OG PO 平面OAB,POOF,POOG OAOB,F为AB的中点,OFABOFOG 如图所示,建立空间直角坐标系Oxyz 1, 3,0A, 1, 3,0B ,0,0,1P, 13 ,0 22 M BOBA,M为OA的中点,BMOA PO 平面OAB,PO 平面POA,平面POA平面OAB 平面POAI平面OABOA,BM 平面OAB, BM
10、平面POA 33 ,0 22 BM uuuv 平面POA的法向量 31,0,m 1,3,1BP uuv 设直线BP与平面POA所成角为,则 15 sincos, 5 BP BP BP uuv uuv uuv m m m 直线BP与平面POA所成角的正弦值为 15 5 (3)由(2)知 13 1 , 222 E , 13 1 , 222 OE uuu v , 1, 3,0OA uuv 设平面OAE的法向量为n,则有 0 0 OA OE uuv uuu v n n 即 30 30 xy xyz , 令1y ,则3x ,2 3z 即 3, 1,2 3n 21 cos, 242 m n m n mn
11、由题知二面角PAOE为锐角,它的大小为 3 一、单选题 1如图,在所有棱长均为a的直三棱柱 111 ABCA B C中,D,E分别为 1 BB, 11 AC的中点, 则异面直线AD,CE所成角的余弦值为( ) 对点增分集训对点增分集训 A 1 2 B 3 2 C 1 5 D 4 5 【答案】C 【解析】设AC的中点O,以OB uuu v ,OC uuu v ,OE uuu v 为x,y,z轴建立坐标系, 则0,0 2 a A , 3 ,0, 22 a Da ,0,0 2 a C ,0,0,Ea, 则 3 , 22 2 a a ADa uuu v ,0, 2 a CEa uu u v , 设AD
12、与CE成的角为,则 222 22 3 0 1 2222 cos 5 3 4444 aaa aa aaa aa ,故选 C 2在三棱柱 111 ABCA B C中,底面是边长为 1 的正三角形,侧棱 1 AA 底面ABC,点D在 棱 1 BB上, 且1BD ,若AD与平面 11 AAC C所成的角为,则sin的值是( ) A 3 2 B 2 2 C 10 4 D 6 4 【答案】D 【解析】如图,建立空间直角坐标系,易求点 3 1 ,1 22 D 平面 11 AAC C的一个法向量是1,0,0n, 3 6 2 cos, 42 AD uuu v n,则 6 sin 4 故选 D 3如图,圆锥的底面
13、直径2AB ,高2OC ,D为底面圆周上的一点,120AOD, 则空间中两条直线AD与BC所成的角为( ) A30 B60 C75 D90 【答案】B 【解析】取AB中点E,以O为原点,OE为x轴,OB为y轴,OC为z轴,建立空间直角 坐标系, 如图所示, 圆锥的底面直径2AB ,高2OC ,D为底面圆周上的一点,120AOD, 可得0, 1,0A,0,1,0B, 0,0,2C, 3 1 ,0 22 D , 则 3 3 ,0 22 AD uuu v , 0, 1, 2BC uuu v , 设空间两条直线AD与BC所成的角为, 3 1 2 cos 233 AD BC ADBC u uuu v u
14、uu u v v uuuu v, 60,即直线AD与BC所成的角为60,故选 B 4 已知四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为 2 的正方形,5PAPD, 平面ABCD 平面PAD,M是PC的中点,O是AD的中点,则直线BM与平面PCO所成角的正弦值是 ( ) A 5 5 B 2 5 5 C 85 85 D 8 85 85 【答案】D 【解析】由题可知0,0,0O,0,0,2P,1,2,0B,1,2,0C , 则0,0,2OP uuu v ,1,2,0OC uuu v , M是PC的中点, 1 ,1,1 2 M , 3 , 1,1 2 BM uuuv 设平面PCO的法向量, ,x y zn,
15、直线BM与平面PCO所成角为, 则 20 20 OPz OCxy uuu v uuu v n n 可取2,1,0n, 48 85 sincos 8517 5 4 BM BM BM uuuv uuuv uuuv, n n n ,故选 D 5如图,在直三棱柱 111 ABCA B C中,90BAC, 1 2ABACAA,点G与E分别 是 11 A B和 1 CC的中点,点D与F分别是AC和AB上的动点若GDEF,则线段DF长度 的最小值为( ) A 2 5 5 B 3 5 5 C 5 5 D2 2 【答案】A 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系, 则()0,0,0A,()0,2,1E,()1,0
16、,2G,0(),0,F x,0(0,),Dy, 则1, , 2GDy uuu v ,, 2, 1EFx uuu v , 由于GDEF,220GD EFxy uuu v uuu v ,22xy, 故2 22222 44 225845() 55 DFxyyyyyy, 当 4 5 y 时,线段DF长度取得最小值,且最小值为 2 5 5 故选 A 6如图,点ABC、 、分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上,0,0,2OC uuu v ,平面 ABC的法向量为 2,1,2n,设二面角C ABO的大小为,则cos( ) A 4 3 B 5 3 C 2 3 D 2 3 【答案】C 【解析】由题意可知,
17、平面ABO的一个法向量为:0,0,2OC uuu v , 由空间向量的结论可得: 42 cos 2 33 OC OC uuu v uuu v n n 故选 C 7如图所示,五面体ABCDE中,正ABC的边长为 1,AE 平面ABC,CDAE,且 1 2 CDAE 设CE与平面ABE所成的角为,(0)AEk k,若 , 6 4 ,则当k取最大值时,平面 BDE与平面ABC所成角的正切值为( ) A 2 2 B1 C2 D3 【答案】C 【解析】如图所示,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz, 则0,1,0A,0,0, 2 k D ,0,1,Ek, 3 1 ,0 22 B , 取AB的中点M,则
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