高三数学培优专题练习16：利用空间向量求夹角.doc

1、 培优点十六培优点十六 利用空间向量求夹角利用空间向量求夹角 1利用面面垂直建系 例 1：在如图所示的多面体中，平面 11 ABB A 平面ABCD，四边形 11 ABB A为边长为 2 的菱 形， ABCD为直角梯形，四边形 11 BCC B为平行四边形，且ABCD，ABBC，1CD （1）若E，F分别为 11 AC， 1 BC的中点，求证：EF 平面 11 AB C； （2）若 1 60A AB， 1 AC与平面ABCD所成角的正弦值为 5 5 ，求二面角 11 AACD的 余弦值 【答案】 （1）见解析； （2） 7 8 【解析】 （1）连接 1 A B，四边形 11 ABB A为菱形，

2、 11 A BAB 平面 11 ABB A 平面ABCD，平面 11 ABB BA I平面ABCDAB，BC 平面ABCD， ABBC， BC 平面 11 ABB A又 1 A B 平面 11 ABB A， 1 A BBC 11 BCB C， 111 A BB C 1111 BCABB， 1 A B 平面 11 AB C ,E F分别为 11 AC， 1 BC的中点， 1 EFAB，EF 平面 11 AB C （2）设 11 B Ca，由（1）得 11 B C 平面 11 ABB A， 由 1 60A AB，2BA，得 1 2 3AB ， 2 1 12ACa 过点 1 C作 1 C MDC，与

3、DC的延长线交于点M，取AB的中点H，连接 1 A H，AM， 如图所示， 又 1 60A AB， 1 ABA为等边三角形， 1 A HAB， 又平面 11 ABB A 平面ABCD，平面 11 ABB A平面ABCDAB， 1 A H 平面 11 ABB A， 故 1 A H 平面ABCD 11 BCC B为平行四边形， 11 CCBB， 1 CC 平面 11 AA BB 又CDAB，CD平面 11 AA BB 1 CCCDCI，平面 11 AA BB平面 1 DC M 由（1） ，得BC 平面 11 AA BB，BC 平面 1 DC M， 1 BCC M BCDCCI， 1 C M 平面A

4、BCD， 1 C AM是 1 AC与平面ABCD所成角 11 A BAB， 11 C BCB， 11 A B平面ABCD， 11 BC 平面ABCD， 11111 A BC BBI， 平面ABCD平面 111 A BC 11 3AHC M， 1 1 2 1 35 sin 5 12 MC C AM AC a ，解得3a 在梯形ABCD中，易证DEAB， 分别以HA uuu v ，HD uuu v ， 1 HA uuu v 的正方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系 则1,0,0A， 0, 3,0D， 1 0,0, 3A， 1 2,0, 3B ，1,0,0B ， 1, 3,0C ， 由

5、1 1,0, 3BB uuu v ，及 11 BBCC uuu vuuuv ，得 1 2, 3, 3C ， 1 3, 3, 3AC uuuv ， 1, 3,0AD uuu v ， 1 1,0, 3AA uuu v 设平面 1 ADC的一个法向量为 111 ,x y zm，由 1 0 0 AC AD uuuv uuu v m m 得 111 11 3330 30 xyz xy ， 令 1 1y ，得3,1,2m 设平面 11 AAC的一个法向量为 222 ,xyzn，由 1 1 0 0 AC AA uuuv uuu v n n 得 222 22 3330 30 xyz xz ， 令 2 1z ，

6、得 3,2,1n 32277 cos, 83 1434188 m n m n m n ， 又二面角 11 AACD是钝角，二面角 11 AACD的余弦值是 7 8 2线段上的动点问题 例 2：如图，在ABCDY中，30A ，3AD ，2AB ，沿BD将ABD翻折到ABD 的位置， 使平面A BC平面ABD （1）求证：AD平面BCD； （2）若在线段A C上有一点M满足A MA C uuuu vuuuv ，且二面角MBDC的大小为60， 求的值 【答案】 （1）见解析； （2） 31 2 【解析】 （1）ABD中，由余弦定理，可得1BD 222 BDADAB， 90ADB，90DBC作DFA

7、B于点F， 平面A BC平面ABD，平面A BCI平面ABDAB，DF 平面A BC CB 平面A BC，DFBC 又CBBD，BDDFDI，CB 平面ADB 又AD平面ADB，CBA D 又ADBD，BDCBBI，AD平面BCD （2）由（1）知DA，DB， DA 两两垂直，以D为原点，以DA uuu v 方向为x轴正方向建立如 图所示空间直角坐标系Dxyz， 则0,1,0B， 3,1,0C ， 0,0, 3 A 设, ,M x y z， 则由 3 33 x A MA Cy z uuuu vuuuv 3 , , 33M ， 设平面MDB的一个法向量为, ,a b cm， 则由 0 0 DB

8、DM uuu v uuuu v m m 0 3330 b abc ， 取11,0,ac m平面CBD的一个法向量可取 0,0, 3DA uuu v ， 2 2 13 cos, 2 31 DA uuu v m 113 22 0,1， 31 2 3翻折类问题 例 3： 如图 1， 在边长为 2 的正方形ABCD中，P为CD中点， 分别将PAD，PBC沿PA， PB所在直线折叠， 使点C与点D重合于点O， 如图 2 在三棱锥POAB中，E为PB中点 （1）求证：POAB； （2）求直线BP与平面POA所成角的正弦值； （3）求二面角PAOE的大小 【答案】 （1）见解析； （2） 15 5 ； （3

9、） 3 【解析】 （1）在正方形ABCD中，P为CD中点，PDAD，PCBC， 在三棱锥POAB中，POOA，POOB OAOBOI，PO 平面OAB AB平面OAB，POAB （2）取AB中点F，连接OF，取AO中点M，连接BM 过点O作AB的平行线OG PO 平面OAB，POOF，POOG OAOB，F为AB的中点，OFABOFOG 如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz 1, 3,0A， 1, 3,0B ，0,0,1P， 13 ,0 22 M BOBA，M为OA的中点，BMOA PO 平面OAB，PO 平面POA，平面POA平面OAB 平面POAI平面OABOA，BM 平面OAB， BM

10、平面POA 33 ,0 22 BM uuuv 平面POA的法向量 31,0，m 1,3,1BP uuv 设直线BP与平面POA所成角为，则 15 sincos, 5 BP BP BP uuv uuv uuv m m m 直线BP与平面POA所成角的正弦值为 15 5 （3）由（2）知 13 1 , 222 E ， 13 1 , 222 OE uuu v ， 1, 3,0OA uuv 设平面OAE的法向量为n，则有 0 0 OA OE uuv uuu v n n 即 30 30 xy xyz ， 令1y ，则3x ，2 3z 即 3, 1,2 3n 21 cos, 242 m n m n mn

11、由题知二面角PAOE为锐角，它的大小为 3 一、单选题 1如图，在所有棱长均为a的直三棱柱 111 ABCA B C中，D，E分别为 1 BB， 11 AC的中点， 则异面直线AD，CE所成角的余弦值为（ ） 对点增分集训对点增分集训 A 1 2 B 3 2 C 1 5 D 4 5 【答案】C 【解析】设AC的中点O，以OB uuu v ，OC uuu v ，OE uuu v 为x，y，z轴建立坐标系， 则0,0 2 a A ， 3 ,0, 22 a Da ，0,0 2 a C ，0,0,Ea， 则 3 , 22 2 a a ADa uuu v ，0, 2 a CEa uu u v ， 设AD

12、与CE成的角为，则 222 22 3 0 1 2222 cos 5 3 4444 aaa aa aaa aa ，故选 C 2在三棱柱 111 ABCA B C中，底面是边长为 1 的正三角形，侧棱 1 AA 底面ABC，点D在 棱 1 BB上， 且1BD ，若AD与平面 11 AAC C所成的角为，则sin的值是（ ） A 3 2 B 2 2 C 10 4 D 6 4 【答案】D 【解析】如图，建立空间直角坐标系，易求点 3 1 ,1 22 D 平面 11 AAC C的一个法向量是1,0,0n， 3 6 2 cos, 42 AD uuu v n，则 6 sin 4 故选 D 3如图，圆锥的底面

13、直径2AB ，高2OC ，D为底面圆周上的一点，120AOD， 则空间中两条直线AD与BC所成的角为（ ） A30 B60 C75 D90 【答案】B 【解析】取AB中点E，以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OC为z轴，建立空间直角 坐标系， 如图所示， 圆锥的底面直径2AB ，高2OC ，D为底面圆周上的一点，120AOD， 可得0, 1,0A，0,1,0B， 0,0,2C， 3 1 ,0 22 D ， 则 3 3 ,0 22 AD uuu v ， 0, 1, 2BC uuu v ， 设空间两条直线AD与BC所成的角为， 3 1 2 cos 233 AD BC ADBC u uuu v u

14、uu u v v uuuu v， 60，即直线AD与BC所成的角为60，故选 B 4 已知四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为 2 的正方形，5PAPD， 平面ABCD 平面PAD，M是PC的中点，O是AD的中点，则直线BM与平面PCO所成角的正弦值是 （ ） A 5 5 B 2 5 5 C 85 85 D 8 85 85 【答案】D 【解析】由题可知0,0,0O，0,0,2P，1,2,0B，1,2,0C ， 则0,0,2OP uuu v ，1,2,0OC uuu v ， M是PC的中点， 1 ,1,1 2 M ， 3 , 1,1 2 BM uuuv 设平面PCO的法向量, ,x y zn，

15、直线BM与平面PCO所成角为， 则 20 20 OPz OCxy uuu v uuu v n n 可取2,1,0n， 48 85 sincos 8517 5 4 BM BM BM uuuv uuuv uuuv， n n n ，故选 D 5如图，在直三棱柱 111 ABCA B C中，90BAC， 1 2ABACAA，点G与E分别 是 11 A B和 1 CC的中点，点D与F分别是AC和AB上的动点若GDEF，则线段DF长度 的最小值为（ ） A 2 5 5 B 3 5 5 C 5 5 D2 2 【答案】A 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系， 则()0,0,0A，()0,2,1E，()1,0

16、,2G，0(),0,F x，0(0,),Dy， 则1, , 2GDy uuu v ，, 2, 1EFx uuu v ， 由于GDEF，220GD EFxy uuu v uuu v ，22xy， 故2 22222 44 225845() 55 DFxyyyyyy， 当 4 5 y 时，线段DF长度取得最小值，且最小值为 2 5 5 故选 A 6如图，点ABC、 、分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上，0,0,2OC uuu v ，平面 ABC的法向量为 2,1,2n，设二面角C ABO的大小为，则cos（ ） A 4 3 B 5 3 C 2 3 D 2 3 【答案】C 【解析】由题意可知，

17、平面ABO的一个法向量为：0,0,2OC uuu v ， 由空间向量的结论可得： 42 cos 2 33 OC OC uuu v uuu v n n 故选 C 7如图所示，五面体ABCDE中，正ABC的边长为 1，AE 平面ABC，CDAE，且 1 2 CDAE 设CE与平面ABE所成的角为，(0)AEk k，若 , 6 4 ，则当k取最大值时，平面 BDE与平面ABC所成角的正切值为（ ） A 2 2 B1 C2 D3 【答案】C 【解析】如图所示，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz， 则0,1,0A，0,0, 2 k D ，0,1,Ek， 3 1 ,0 22 B ， 取AB的中点M，则

18、3 3 0 44 M ，则平面ABE的一个法向量为 3 3 ,0 44 CM uuuv ， 由题意 2 3 sin 2 1 CE CM CECM k uu u v u uu uu v vuu v uu ， 又由 , 6 4 ， 2 132 sin 22 2 1k ，解得 2 2 2 k，k的最大值为2， 当2k 时，设平面BDE的法向量为, ,x y zn， 则 2 0 2 312 0 222 DEyz BExyz uuu v uu u v n n ， 取 3, 1, 2 n，由平面ABC的法向量为0,0,1m， 设平面BDE和平面ABC所成的角为， 则 3 cos 3 n m nm ， 6

19、sin 3 ，tan2，故选 C 8 已知三棱柱 111 ABCA B C的侧棱与底面边长都相等， 1 A在底面ABC内的射影为ABC的 中心， 则 1 AB与底面ABC所成角的正弦值等于（ ） A 1 3 B 2 3 C 3 3 D 2 3 【答案】B 【解析】如图，设 1 A在平面ABC内的射影为O，以O为坐标原点，OA、 1 OA分别为x轴、 z轴建立空间直角坐标系如图 设ABC边长为 1，则 3 ,0,0 3 A ， 1 3 16 , 223 B ， 1 5 3 16 , 623 AB uuu v 又平面ABC的法向量为0,0,1n 设 1 AB与底面ABC所成角为，则 1 1 1 2

20、 sincos, 3 AB AB AB uu uuu v uuu v u v n n n 故直线 1 AB与底面ABC所成角的正弦值为 2 3 故选 B 9如图，四棱锥PABCD中，PB 平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，ADBC， ABBC，3ABADPB，点E在棱PA上，且2PEEA，则平面ABE与平面BED的 夹角的余弦值为（ ） A 2 3 B 6 6 C 3 3 D 6 3 【答案】B 【解析】以B为坐标原点，以BC、BA、BP所在直线为x、y、z轴， 建立空间直角坐标系， 则0,0,0B，0,3,0A，0,0,3P，3,3,0D，0,2,1E，0,2,1BE uu u v ，3

21、,3,0BD uuu v 设平面BED的一个法向量为, ,x y zn，则 20 330 BEyz BDxy uu u v uuu v n n ， 取1z ，得 11 ,1 22 n，平面ABE的法向量为1,0,0m， 1 6 2 cos, 66 1 2 n m平面ABE与平面BED的夹角的余弦值为 6 6 故选 B 10在正方体 1111 ABCDA B C D中，直线 1 BC与平面 1 A BD所成角的余弦值为（ ） A 2 4 B 2 3 C 3 3 D 3 2 【答案】C 【解析】分别以DA，DC， 1 DD为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系： 设正方体的棱长为 1，可得0,0

22、,0D，1,1,0B， 1 0,1,1C， 1 1,0,1A， 1 1,0,1BC uuur ， 1 1,0, 1A D uuur ，1, 1,0BD uuu r ， 设, ,x y zn是平面 1 A BD的一个法向量， 1 0 0 A D BD uuuv uuu v n n ，即 0 0 xz xy ， 取1x ，得1yz ，平面 1 A BD的一个法向量为1, 1, 1 n， 设直线 1 BC与平面 1 A BD所成角为， 1 1 1 26 sincos, 323 BC BC BC uuur uuur uuur n n n ； 2 3 cos1sin 3 ，即直线 1 BC与平面 1 A

23、 BD所成角的余弦值是 3 3 故选 C 11已知四边形ABCD，2ABBDDA，2BCCD，现将ABD沿BD折起，使 二面角 ABDC的大小在 5 , 66 内，则直线AB与CD所成角的余弦值取值范围是（ ） A 5 2 0, 8 B 2 0, 8 C 25 2 01 88 ， D 2 5 2 , 88 【答案】A 【解析】取BD中点O，连结AO，CO， 2ABBDDA2BCCD，COBD，AOBD，且1CO ，3AO ， AOC是二面角ABDC的平面角， 以O为原点，OC为x轴，OD为y轴， 过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系， ()0, 1,0B，()1,0,0C，()0

24、,1,0D， 设二面角ABDC的平面角为，则 5 , 66 ， 连AO、BO，则AOC， 3cos ,0, 3sinA， 3cos ,1, 3sinBA uur ，1,1,0CD uuu r ， 设AB、CD的夹角为，则 13cos cos 2 2 AB CD ABCD uuu r uuu r uuu ruuu r ， 5 , 66 ， 33 cos, 22 ， 故 5 13cos0, 2 ， 5 2 cos0, 8 故选 A 12正方体 1111 ABCDA B C D中，点P在 1 AC上运动（包括端点） ，则BP与所成角的取 值范围是（ ） A , 4 3 B , 4 2 C , 6 2

25、 D , 6 3 【答案】D 【解析】以点D为原点，DA、DC、 1 DD所在直线分别为xyz、 、轴建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为 1，点P坐标为,1,xx x， 则1,BPxx x uuv ， 1 1,0,1BC uuuv ， 设BP uuv 、 1 BC uuuv 的夹角为， 则 1 22 2 1 11 cos 12212 32 33 BP BC BPBC xx x uuv uu uu u v v uuuv ， 当 1 3 x 时，cos取最大值 3 2 ， 6 当1x 时，cos取最小值 1 2 ， 3 11 BCAD，BP与 1 AD所成角的取值范围是 , 6 3 故选 D 二

26、、填空题 13如图，在直三棱柱 111 ABCA B C中， 1 2ABBCCC，2 3AC ，m是AC的中点， 则异面直线 1 CB与 1 C M所成角的余弦值为_ 【答案】 14 28 【解析】在直三棱柱 111 ABCA B C中， 1 2ABBCCC，2 3AC ，M是AC的中点， BMAC，431BM 以M为原点，MA为x轴，MB为y轴，过M作AC的垂线为z轴， 建立空间直角坐标系， 则 3,0,0C ， 1 0,1,2B， 1 3,0,2C，0,0,0M， 1 3,1,2CB uuu v ， 1 3,0,2MC uuuu v ， 设异面直线 1 CB与 1 C M所成角为，则 1

27、1 1 1 114 cos 2887 CB CB MC MC uuu v uuu v uuuu v uuuu v 异面直线 1 CB与 1 C M所成角的余弦值为 14 28 14已知四棱锥PABCD的底面是菱形，60BAD，PD 平面ABCD，且PDAB， 点E是棱AD的中点，F在棱PC上，若:1:2PF FC ，则直线EF与平面ABCD所成角的 正弦值为_ 【答案】 4 35 35 【解析】以D点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设菱形ABCD的边长为 2， 则0,0,0D， 31 ,0 22 E ， 2 4 0, 3 3 F ， 3 7 4 , 26 3 EF uuu v ， 平面A

28、BCD的一个法向量为0,0,1n， 则 2 22 4 4 35 3 cos, 35 374 263 EF uuu v n， 即直线EF与平面ABCD所成角的正弦值为 4 35 35 15 设a，b是直线，是平面，a，b， 向量 1 a在a上， 向量 1 b在b上， 1 1,1,1a， 1 3,(0)4, b，则，所成二面角中较小的一个的余弦值为_ 【答案】 3 15 【解析】由题意， 1 1,1,1a， 1 3,(0)4, b， 11 11 11 3403 cos, 1535 ab a b ab ， a，b，向量 1 a在a上，向量 1 b在b上， ，所成二面角中较小的一个余弦值为 3 15

29、，故答案为 3 15 16 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD为平行四边形，PA平面ABCD，2AB ，3AD ， 120BAD，PAx，则当x变化时，直线PD与平面PBC所成角的取值范围是 _ 【答案】0, 6 【解析】如图建立空间直角坐标系，得0,2,0B， 33 ,2,0 22 C ， 33 ,0 22 D ， 0,0,Px， 设平面PBC的法向量, ,x y zm， 33 ,0 22 BC uuu v ，0,2,PBx uuv ， 0 0 BC PB uuu v uuv m m ，得 2 3 1, 3, x m， 又 33 , 22 PDx uuu v ， 2 2 2 3 cos,

30、12 43 PD x x uuu v m， 2 2 2 2 2 31 sin2 3 36 12 424 43 x x x x ， 1 sin0, 2 ，则0, 6 三、解答题 17如图所示：四棱锥PABCD，底面ABCD为四边形，ACBD，BCCD，PBPD， 平面PAC 平面PBD，2 3AC ，30PCA，4PC ， （1）求证：PA平面ABCD； （2） 若四边形ABCD中，120BAD，ABBC是否在PC上存在一点M， 使得直线BM 与平面PBD 所成的角的正弦值为 3 57 38 ，若存在，求 PM MC 的值，若不存在，请说明理由 【答案】 （1）见解析； （2）存在，1 PM M

31、C 【解析】 （1）设ACBDOI，连接PO BCCDACBDQ，O为BD中点 又PBPDQ，POBD 平面PAC 平面PBD，平面PAC I平面PBDPO BD平面PAC，而PA平面PACPABD 在PCA中，由余弦定理得 222 2cos30PAPCACPC AC， 2 3 1612242 34 2 PA ，而 222 PAACPC PAAC PABDPA BDACO 平面ABCD （2）过A作AB垂线记为y轴，AB为x轴，AP为z轴建立空间直角坐标系： 0,0,0A，0,0,2P，3,0,0B， 3 3 ,0 22 D ， 3,3,0C 3,0, 2PB uuv ， 3 3 , 2 22

32、 PD uuu v ，设 PM PMMC MC uuuv uuuv uuu v uuu v 332 , 111 M ， 332 , 111 BM uuuv 设平面PBD法向量为, ,x y zn， 320 0 33 020 22 z PB y PDxz uuv uuu v n n ，取 2,2 3, 3n， 设BM与平面PBD所成角为， 2 2 2 36 32 3 111 3 57 sincos 38 394 19 1 BM uuuv n， 解1，1 PM MC 18如图，在斜三棱柱 111 ABCA B C中，底面ABC是边长为 2 的正三角形， 1 3BB ， 1 10AB ， 1 60C

33、BB （1）求证：平面ABC 平面 11 BCC B； （2）求二面角 1 BABC的正弦值 【答案】 （1）见解析； （2） 4 74 37 【解析】 （1）取BC的中点O，连接OA， 1 OB， 底面ABC是边长为 2 的正三角形，OABC，且3OA， 1 3BB ， 1 60CBB，1OB ， 222 1 132 1 3 cos607OB ， 1 7OB ，又 1 10AB ， 222 11 10OAOBAB， 1 OAOB，又 1 OBBCOI，OA 平面 11 BCC B，又OA平面ABC， 平面ABC 平面 11 BCC B （2）如图所示， 以点O为坐标原点，OC为x轴，OA为y

34、轴，OH为z轴建立空间直角坐标系， 其中2BH ， 则 0, 3,0A，1,0,0B ，1,0,0C， 1 13 3 ,0, 22 B ， 1 13 3 ,3, 22 AB uuu v ， 1,3,0AB uuu v ， 1,3,0AC uuu v ， 设 1111 ,x y zn为平面 1 ABB的法向量， 则 1 11 0 0 AB AB uuu v uuu v n n ，即 11 111 30 13 3 30 22 xy xyz ，令 1 1y ，得 1 3,1,1 n； 设 2222 ,xyzn为平面 1 AB C的法向量，则 2 21 0 0 AC AB uuu u v uu v n n ，即 22 222 30 13 3 30 22 xy xyz ， 令 2 1y ，得 2 1 3,1, 3 n； 12 12 12 1 3 1 5 3 cos 3737 5 9 , nn n n nn ， 二面角 1 BABC的正弦值为 54 74 1 3737