高三数学培优专题练习6：三角函数.doc

1、 培优点六培优点六 三角函数三角函数 1求三角函数值 例 1：已知 3 0 44 ， 3 cos 45 ， 35 sin 413 ，求sin的值 【答案】 56 65 【解析】 3 442 ， 33 sinsincos 44244 33 =coscossinsin 4444 3 0 44 ， 0 24 ， 33 44 ， 4 sin 45 ， 312 cos 413 ， 12 34556 sin 13 55 1365 2三角函数的值域与最值 例 2：已知函数 cos 22sinsin 344 f xxxx ， （1）求函数 f x的最小正周期和图像的对称轴方程； （2）求函数 f x在区间 ,

2、 12 2 的值域 【答案】 （1）T ，对称轴方程： 32 k xkZ； （2） 3 ,1 2 【解析】 （1） cos 22sinsin 344 f xxxx 132222 cos2sin22sincossincos 222222 xxxxxx 22 13 cos2sin2sincos 22 xxxx 1331 cos2sin2cos2sin2cos2 2222 xxxxx sin 2 6 x T 对称轴方程： 2 6232 k xkxkZ （2） sin 2 6 f xx ， , 12 2 x ， 5 2, 636 x ， 3 sin 2,1 62 f xx 3三角函数的性质 例 3：函

3、数 3sin2cos2f xxx（ ） A在 , 36 上单调递减 B在 , 6 3 上单调递增 C在 ,0 6 上单调递减 D在 0, 6 上单调递增 【答案】D 【解析】 31 3sin2cos22sin2cos22sin 2 226 f xxxxxx ， 单调递增区间： 2 22 26236 kxkkxkk Z 单调递减区间： 32 2 22 26263 kxkkxkkZ 符合条件的只有 D 一、单选题 1若 1 sin 63 ，则 2 cos2 3 的值为（ ） A 1 3 B 7 9 C 1 3 D 7 9 对点增分集训对点增分集训 【答案】B 【解析】由题得 2 cos2=cos

4、2cos2cos2 3336 2 17 12sin12 699 故答案为 B 2函数 2sin2 6 f xx 的一个单调递增区间是（ ） A , 6 3 B 5 , 36 C , 3 6 D 2 , 63 【答案】B 【解析】 2sin2 6 f xx ， 2sin 2 6 f xx ， 令 3 2 22 , 262 kxkkZ，得 5 , 36 kxkkZ 取0k ，得函数 f x的一个单调递增区间是 5 , 36 故选 B 3已知 1 tan4 tan ，则 2 cos 4 （ ） A 1 5 B 1 4 C 1 3 D 1 2 【答案】B 【解析】由 1 tan4 tan ，得 sin

5、cos 4 cossin ，即 22 sincos 4 sin cos ， 1 sincos 4 ， 2 1cos 2 1sin212sincos2 cos 4222 1 12 1 4 24 ，故选 B 4关于函数 3sin 21 3 f xxx R，下列命题正确的是（ ） A由 12 1f xf x可得 12 xx是的整数倍 B yf x的表达式可改写成 3cos 21 6 f xx C yf x的图象关于点 3 ,1 4 对称 D yf x的图象关于直线 12 x 对称 【答案】D 【解析】函数 3sin 21 3 f xxx R，周期为 2 2 T ， 对于 A： 由 12 1f xf

6、x， 可能 1 x与 2 x关于其中一条对称轴是对称的， 此时 12 xx不是 的整数倍，故错误 对于 B：由诱导公式， 5 3sin 213cos213cos 21 3236 xxx ，故错误 对于 C：令 3 4 x ，可得 3315 3sin 2131 44322 f ，故错误， 对于 D：当 12 x 时，可得 3sin11 312 1263 f ， f x的图象关于 直线 12 x 对称，故选 D 5函数 2 cos2sinsin 555 f xxx 的最大值是（ ） A1 B sin 5 C 2sin 5 D5 【答案】A 【解析】由题意可知： 2 coscoscoscossins

7、in 5555555 xxxx ， 则： 2 cos2sinsincoscossinsincos 5555555 f xxxxxx ， 所以函数的最大值为 1本题选择 A 选项 6函数sin0yx的部分图象如图所示，则，的值分别可以是（ ） A1， 3 B1， 2 3 C2， 2 3 D2， 3 【答案】D 【解析】由图可知，该三角函数的周期 4 33 T ，所以 2 2 T ， 则sin 2yx， 因为 32 ff ，所以该三角函数的一条对称轴为 5 32 212 x ， 将 5 ,1 12 代入sin 2yx，可解得 3 ，所以选 D 7已知函数 sin0, 2 f xx ， 4 x 和

8、4 x 分别是函数 f x取得零点 和最小值点横坐标，且 f x在 , 12 24 单调，则的最大值是（ ） A3 B5 C7 D9 【答案】B 【解析】 sin0, 2 f xx ， 4 x 和 4 x 分别是函数 f x取得零点和 最小值点的横坐标， 4424 kTT ，即 21 24 k T k Z 又 2 T ，0， 21kk * N， 又 f x在 , 12 24 单调， 24122 T ， 又 2 T 8， 当3k ，7时， sin 7f xx，由 4 x 是函数 f x最小值点横坐标知 4 ， 此时， f x在 , 1228 x 递减， , 28 24 x 递增，不满足 f x在

9、 , 12 24 单调， 故舍去； 当2k ，5时， sin 5f xx由 4 x 是函数 f x最小值点横坐标知 4 ， 此时 f x在 , 12 24 单调递增，故5故选 B 8已知函数 cossinf xxx，给出下列四个说法： 20143 34 f ；函数 f x的周期为； f x在区间 , 4 4 上单调递增； f x的图象关于点 ,0 2 中心对称 其中正确说法的序号是（ ） A B C D 【答案】B 【解析】cos sincos sinf xxxxx ， 所以函数 f x的周期不为，错， cos2 sin2cos sinf xxxxx，周期为2T 201443 =cossin

10、33334 ff ，对 当 , 4 4 x 时， 1 cos sinsin2 2 f xxxx， 2, 2 2 x ，所以 f x在 , 4 4 上单调 递增 对 131 , 4242 ff ，所以错即对，填故选 B 9已知0，函数 sin 4 f xx 在 , 2 上单调递减，则的取值范围是（ ） A 1 0, 2 B0,2 C 1 5 , 2 4 D 1 3 , 2 4 【答案】C 【解析】 , ,0 2 x ， 1 , 4244 x ， 函数 sin 4 f xx 在 , 2 上单调递减，周期 2 T ，解得2， sin 4 f xx 的减区间满足： 3 2 2 , 242 kxkkZ，

11、 取0k ，得 1 242 3 42 ，解之得 15 24 ， 即的取值范围是 1 5 , 2 4 ，故选 C 10同时具有性质： f x最小正周期是； f x图象关于直线 3 x 对称； f x在 , 6 3 上是增函数的一个函数是（ ） A sin 23 x y B sin 2 6 yx C cos 2 3 yx D sin 2 3 yx 【答案】B 【解析】函数 sin 26 x y 的最小正周期为 2 4 1 2 T ，不满足，排除 A； 函数 sin 2 6 yx 的最小正周期为 2 2 T ，满足， 3 x 时， 2 sin1 36 y 取得最大值， 3 x是 sin 2 6 yx

12、 的一条对称轴，满足 ； 又 , 6 3 x 时， 2, 62 2 x ， sin 2 6 yx 单调递增，满足，B 满足题意； 函数 cos 2 3 yx 在 , 6 3 x ，即 20, 3 x 时单调递减，不满足，排除 C； 3 x 时， 21 sin 362 y 不是最值， 3 x不是 sin 2 6 yx 的一条对称轴，不满 足， 排除 D，故选 B 11关于函数 1 2sin 26 f xx 的图像或性质的说法中，正确的个数为（ ） 函数 f x的图像关于直线 8 3 x 对称； 将函数 f x的图像向右平移 3 个单位所得图像的函数为 1 2sin 23 yx ； 函数 f x在

13、区间 5 , 33 上单调递增；若 f xa，则 1 cos 233 a x A1 B2 C3 D4 【答案】A 【解析】令 1 262 xkkZ，解得 2 2 3 xkkZ，当1k 时，则 8 3 x ，故 正确 将函数 f x的图像向右平移 3 个单位得： 11 2sin2sin 2362 yxx ，故错误 令 1 2 2 2262 kxkkZ，解得 42 4 4 33 kxkkZ，故错误 若 f xa，即 1 2sin 26 xa ，则 11 cossin 23223 xx 6 1 sin 22 a x ，故错误 故选 A 12函数 sin0,0, 2 f xAxA 的图象关于直线 3

14、x 对称，它的最小正 周期为， 则函数 f x图象的一个对称中心是（ ） A ,0 12 B ,1 3 C 5 ,0 12 D ,0 12 【答案】D 【解析】由 2 ，解得2，可得 sin 2f xAx， 再由函数图象关于直线 3 x 对称，故 2 sin 33 fAA ，故可取 6 ， 故函数 sin 2 6 f xAx ， 令 2, 6 xkkZ，可得 , 212 k xkZ，故函数的对称中心 ,0 212 k k Z， 令0k 可得函数 f x图象的对称中心是 ,0 12 ，故选 D 二、填空题 13函数 cos 2 4 yx 的单调递减区间是_ 【答案】 3 , 88 kk ，k Z

15、 【解析】由 2 22 4 kxk，即 3 88 kxk，k Z， 故函数的单调减区间为 3 , 88 kk ，k Z，故答案为 3 , 88 kk ，k Z 14已知0,，且 3 cos 5 ，则 tan 4 _ 【答案】 1 7 【解析】0,，且 3 5 cos， 2 4 sin1 5 cos， 4 tan 3 ， 4 1 tan11 3 tan 4 41tan7 1 3 ，故答案为 1 7 15函数 sin23cos2f xxx在 0, 2 x 的值域为_ 【答案】3,2 【解析】 sin23cos2f xxx， 0, 2 x ，20,x， 2 2, 333 x ， 3 sin 2,1

16、32 x ， 3,2f x ，故答案为3,2 16关于 4sin 2, 3 f xxx R，有下列命题 由 12 0f xf x可得 12 xx是的整数倍； yf x的表达式可改写成 4cos 2 6 yx ； yf x图象关于 ,0 6 对称； yf x图象关于 6 x 对称 其中正确命题的序号为_(将你认为正确的都填上) 【答案】 【解析】对于， 4sin 2, 3 f xxx R的周期等于，而函数的两个相邻的零点间 的距离等于 2 ，故由 12 0f xf x可得 12 xx必是 2 的整数倍，故错误 对于，由诱导公式可得，函数 4sin 24sin2 326 f xxx 4cos24c

17、os 2 66 xx ，故正确 对于，由于 6 x 时，函数 4sin00f x ，故 yf x的图象关于点 ,0 6 对称， 故正确 对于， 2 32 xkkZ，解得 122 k xkZ，即 6 x 不是对称轴，故错误 综上所述，其中正确命题的序号为 三、解答题 17已知 2sin 2cos2 6 f xxax aR，其图象在 3 x 取得最大值 （1）求函数 f x的解析式； （2）当 0, 3 ，且 6 5 f，求sin2值 【答案】 2sin 2 6 f xx ； （2） 43 3 10 【解析】 （1） 2sin 2cos22sin2 cos2cos2 sincos2 666 f x

18、xaxxxax 3sin21 cos2xax， 由在 3 x 取得最大值， 222 3sin1 cos3+1 333 faa ， 2 20a，即2a ，经检验符合题意 3sin2cos22sin 2 6 f xxxx （2）由 0, 3 ， 2, 66 2 ， 又 6 2sin 2 65 f ， 3 sin 2 65 ，得 20, 62 ， 4 cos 2 65 ， sin2sin2+sin 2coscos 2sin 666666 334143 3 525210 18已知函数 2 sin3sinsin0 2 f xxxx 的最小正周期为 （1）求的值； （2）求函数 f x在区间 2 0, 3 上的取值范围 【答案】 （1）1； （2） 3 0, 2 【解析】 （1） 1cos233111 sin2sincos2sin 2 2222262 x f xxxxx ， 因为函数 f x的最小正周期为，且0，所以 2 2 解得1 （2）由（1）得 1 sin 2 62 f xx ， 因为 2 0 3 x，所以 7 2 666 x，所以 1 sin 21 26 x 因此 13 0sin 2 622 x ，即 f x的取值范围为 3 0, 2