2020武汉六校高三数学上学期第一次联考数学及答案.pdf

1、湖北省部分重点中学2021届高三第 一次联考 命题学校： 考试时间：2020年11月13日上午7:30-9:30 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1已知 复数z=-，则下列说法正确的是（） 3+4i A.复数z的 实部为3 4 C.复数z的虚部为 i 25 高三数学试卷 命题教师：审题教师： 试卷满分：150分 3. 4 B.复数z的共辄复数 为 +i 25. 25 D.复数z的模为1 2巳知集合A= 2,1,1, 2, 4 , B = y I y = logz Ix|l,xEA，则AnB=C ) A. 2,1, 1 B. -

2、1, 1, 2 C. -1, 1D. 2,-1 r +2趴J_3巳知a,b是平面向量，如果Id I =乔_，|b| 3,（a (2a b) ，那么a 与 b的数量积等千 （） A. -2B. 1 C. 2D. 3祁 4.1614年纳皮尔在研究天文学的过程中 为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运 算；1707年欧拉发现了指数与对数 的互逆关系对数源于指数 ，对数的发明先于指数，这巳经成为 历史珍闻若e=2.5,lg2=0.3010,lge= 0. 4343，根据指数与对数的关系，估计x的值约为（ A. 0.4961 B. 0.6941 C. 0.9164 D. 1.4 69 5

3、已知a,b是两条不同的 直线，a,3,Y是 三个不同的 平面 ，则下列命题中正确的是（） A.若anJ=a,Jn y=b,a II扒则allr B.若a/Ib,aJ_a,aJ_J，则bllf3 C.若aJ_J,anJ=a,aJ_扒则bJ_a D.若aJ_a,bJ_f3,aJ_3，则aJ_b 6若aE（穴，气，2cos2a= sin（ 王 2 4 +a)，则sin2a的值为 （） 7 7 A. B. 1 8 8 C. - 8 D. -;. 8 7若函数f(x) =2ax-asinx-cosx是 R上的增函数，则实数 a的取值范围是（） 、丿 A.（卒B 享习 8对千函数f(x) =21 sinx

4、 I cosx， 下列关于说法中正确的是( ) A.图像关千直线x一对称B 在（ff-）上单调递增 C.最小正周期为穴 D.在（0，穴）上有两个极值点 二、多选题：本题共4小题，每小题5分 ，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全 部 选对的得5分 ，部分选对的得3分，有选错的得0分 9已知 数列a.满足：a1=2，当n2时，an=（J亡二丁了1) 2-2，则关于数列a n的说法正确的 是（ ） A. a2=7 C. a=n2+2n-l B.数列a. 为递增数列 D.数列伈为周期数列 10以下说法，错误的是（） A. 3x。ER，使ex。b是ala I b lbl 的充要条件 D.

5、凶ABC中，”sinA+ sinB = cosA + cosB”是“C=王的充要条件 2 11若 函数f(x) =x3 +ax2 +bx +c（其中 a,b,cER)的图像关于点M(l,O)对称，且f(O) =1，函 数j(.r)是f(x)的导函数，则下列说法 中正确的有（） A. 函数 y=j(x+l)是奇函数 B. j(xl) +J(l-x) =O C. x=l是函数 y厂（x）的对称轴 D. f1(l) =O 12我国古代九章算术中将上、下两个面为 平行矩形的六面体成为刍D c C. (CX) ，祁） 童如图刍童ABCD-EFGH有 外接球 ，且AB=5,A D行，EF= 4,EH =2

6、，平面ABCD与平面EFGH的距离为1，则下列说法中正 确的有() A A.该刍童外接球的体积为36穴 B.该刍童为棱台 c.该刍童中AC、EG在一个平面内 石 D.该刍童中二面角B-A D-H的余弦值为 5 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13函数f(x) =xlnx在点P(e,e)处的切线方程为 14在.1ABC中，乙B乙C =75,BC=2，则AB=_ 15已知三棱锥P-ABC 的四个表面都是直角三角形 ，且PA.l平面ABC,PA=AB =2,AC=4, 则 该三棱锥的体积为 B D.（将 ，十oo） 高三数学试卷第1页（共4页） 16若正实数 x,y满足xy2(x+y

7、) =9，则2x+y的最小值为 高三数学试卷第2页（共4页） 四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17在.1ABC 中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且b=c(cosA-sinA) . (1)求 角C; (2)若c=2石， D为边 BC的中点，在下列条件中任选一个，求AD的长度 条件CD:.1ABC的面积5=2，且BA; 条件：cosB=. 2石 （注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答记分） 18数列a.满足a1+2a2 +3a3+na. = (n1) zn+l +2(nl) , (1)求数列a.的通项公式； 2n+l (2)设b.=-， sn

8、为数列九的前n项和，求s. a” 19如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形， PA=BD点AB=2万，且PB=PD. (1)证明：平面PACJ_平面ABCD; (2)若PA.l_AC，棱PC上一点 M满足BM.l_MD，求直线BD与P伈 平面ABM所成角 的正弦 /!：尸 I, / 4 /；: ， 三了 乙- 夕-, D I勺;，二-一：、 兑？户 21近年来，我国肥胖人群的规模急速增长， 肥胖人群 有着很大的健康隐患目前，国际上常用身体 质量指数（英文为Body Mass Index，简称BMI)来衡量人体胖 瘦程度以及是否健康，其计算公式 是 BMI= 体重（单位：kg) 身高环单

9、位：m2) 中国成人的BMI 数值标准为：BMI18.5为偏瘦；18.5BMI23.9为正常；24BMIO)的直线交E于A、M两点，点 N在E 4 3 参考公式：知 n (ad-bc) 2 (a+b) (c+d) (a+c) (b+d) ，其中n =a+b+c+d. 参考数据： - 上，且 AM AN= O. (1)当IAMl = IAN I时，求LiAMN的面积； (2)当19IAMI =8 IAN I时，求k的值 P (K 2k) k 0.25 1.323 0.10 2.706 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 22已知函数J(x) 矿 x(a ER

10、且al)定义域为（0，十=) . (1)若f(x)在（0，十）上有且只有一个零点，求实数a的值； (2)当a=e时，若f(x) 1入x2-x在（0，十）上恒成立，求整数入的最大值 （注：其中e是自然对数的底数，e 05?1,65, e?2. 72, e15 ?4.48, e16 ?4.95) 高三数学试卷第3页（共4页） 高三数学试卷第4页（共4页） 第 1 页 共 6 页 湖北省部分重点中学湖北省部分重点中学 2021 届高三第一次联考届高三第一次联考 高三数学试卷参考答案 一、单选题14：BCAC58：DABD 二、多选题9.ABC10.AB11.AC12.AD 三、填空题13. 2eyx

11、 14.6 215. 4 3 3 16.12 四、解答题 17.解： （1）由)sin(cosAAcb知ACACBsinsincossinsin， 又CACACABsincoscossin)sin(sin， 因为sincossinsin(sin0)tan1ACCAAC 又又0C，所以 3 4 C 5 分 （2）选择条件选择条件：由ABC的面积2S 知， 1 sin2 2 abC ， 即 12 24 2 22 abab （1） 又 Cabbaccos2 222 ，所以 22 20abab （2） 联立（1） （2）得 2 2, 2 a b 或 2, 2 2. a b 又BA，所以2, 2 2ab

12、 因此，在ACD中， 222 2 2cos8 1 2 2 2 113 2 ADACCDAD CDC ， 所以 13AD .10 分 选择条件选择条件：由cos 2 5 5 B 知 5 5 sinB . 所以 10 sinsin()sincoscossin 10 ABCBCBC ， 在ABC中，由 2 2 52 5 5 10 10sinsinsin ba C c B b A a 知： ， 所以 22 2ab， 所以在ACD中， 222 2 2cos8 1 2 2 2 113 2 ADACCDAD CDC ， 所以 13AD .10 分 18.解： （1）由题意， 1 2a 由 1 123 23(

13、1) 22(1) n n aaanann ， 得 1231 23(1)(2) 22(2) n n aaanann ， 第 2 页 共 6 页 ，得 1 (1) 22 (2) 222 (2) nnn n nannnn ， 所以2 (2) n n an 又因为当1n 时，上式也成立，所以数列 n a的通项公式为2n n a 6 分 （没有讨论1n 的情况扣 1 分） （2）由题意， 2121 2 n n n nn b a ，所以 123 123 35721 = 2222 nn n n Sbbbb ， 2341 13572121 222222 n nn nn S ， ，得 所以 从而 1 (25)

14、( )5 2 n n Sn 12 分 19.解： （1）连接AC交BD于O，连接PO， 由四边形ABCD是菱形，得BDAC， 因为=PB PD，所以BDPO， 又ACPO ，平面PAC，OPOAC，故 BD平面 PAC 又BD 平面ABCD， 所以平面PAC 平面ABCD.5 分 （2）解法一：解法一：由（1）知：平面PAC 平面ABCD，平面PAC 平面ABCDAC， 又PAAC，PA平面PAC，故PA 平面ABCD 在菱形ABCD中，因为 3BDAB ，所以30ABD， 所以ABC为等边三角形，所以2AC ， 在PBC和PDC中，PBPD，PCPC，BCDC， 所以PBCPDC ，所以BP

15、MDPM 在PBM和PDM中，PBPD，BPMDPM ，PMPM， 所以PBMPDM ，所以BMDM 因为BMMD，所以BDM为等腰直角三角形， 所以 = 3OMOB ，所以 1 = 2 OMAP， 1232341 2341 1 1 1357213572121 2222222222 3111121 2() 222222 11 1 ( ) 121 22 =2 1 22 1 2 51 =(25) ( ) 22 n nnn nn n n n nnn S n n n 第 3 页 共 6 页 所以M为PC中点，OMAP8 分 又PA 平面ABCD，所以OM 平面ABCD 设O到平面ABM的距离为h，BD

16、与平面ABM所成角为，则sin h OB 由 O ABMMAOB VV ，知 11 SS 33 ABMAOB hOM ，所以 S S AOB ABM OM h 在Rt AOB中， 113 S13 222 AOB OA OB 在Rt BMD中， 2 6 2 BMBD 在Rt PAC中， 2222 (2 3)24PCPAAC ，所以2AM ， 所以 2 2 22 111615 62 22222 ABM SBMABBM ， 所以 3 3 15 2 515 2 AOB ABM SOM h S ， 15 5 5 sin 53 h OB 即直线BD与平面ABM所成角的正弦为 5 5 12 分 解法二：解法

17、二：以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系 则(0 1 0)A， ，(0 1 0)C，( 3 0 0)B，(3 0 0)D ， 设(01)PMPC ，则有 ( 1 2 3)(0 2 2 3) MMM xyz， ， 所以(0 21 2 32 3 )M， 由BMMD，得 0BM MD ，即 (3 21 2 32 3 ) (3 1 2 2 32 3)0， 所以 22 3(21)(2 32 3)0，即 2 81450 ， 解得 1 2 或 5 4 （舍去） 所以(0 0 3)M， 设平面ABM的法向量为( )nx y z ，则 0 0 AB n AM n ， ， 即 ( 3 1 0) ( )0 (0

18、1 3) ( )0 x y z x y z ， ， 即 30 30 xy yz ， ， 可取(1 3 1)n ， 设BD与平面ABM所成的角为，则 2 35 sincos 52 35 BD n BD n BDn ，12 分 第 4 页 共 6 页 20.解：（1）设 11 ( ,)M x y，则由题意知， 1 0y ，( 2,0)A 由已知及椭圆的对称性，知1k ，所以AM的方程为2yx 将2xy代入 22 1 43 xy 中，得 2 7120yy 所以0y 或 12 7 y 所以 1 12 7 y 所以 11212144 2 27749 AMN S4 分 （2）由题意，0k ，设直线AM的方

19、程为(2)yk x， 联立 22 (2), 1. 43 yk x xy 消y，得 2222 (34)1616120kxk xk， 由 2 1 2 1612 ( 2) 34 k x k ，得 2 1 2 68 34 k x k ， 所以 2 2 1 2 12 1 12 34 k AMkx k 8 分 同理可设直线AN的方程为 1 (2)yx k , 可得 2 2 121 34 k k AN k 9 分 由198AMAN，得 22 198 3434 k kk ，即 32 325724760kkk ,即 2 (2)(32738)0kkk， 又0k ，所以 2 327380kk ，所以2k 12 分

20、21.解：由图可知，1000 名高血压患者中： BMI 28 30)，30 32)，32 34)， 人数0.1 2 1000200 0.05 2 1000100 0.025 2 100050 5000 名非高血压患者中： BMI 28 30)，30 32)，32 34)， 人数0.08 2 5000800 0.03 2 5000300 0.005 2 500050 被调查者中肥胖人群的 BMI 平均值 2008002910030031505033 29.8 200 1005080030050 （2）由（1）及频率分布直方图知，1000 名高血压患者中有200 10050350人肥胖， 5000

21、 名非高血压患者中有800300501150人肥胖，所以可得如下列联表： 第 5 页 共 6 页 肥胖不肥胖总计 高血压3506501000 非高血压115038505000 总计150045006000 由列联表中数据得 2 K 的观测值为 2 6000 (350 3850 1150 650) 6410.828 1000 5000 4500 1500 k ， 所以能有 99.9%的把握认为 35 岁以上成人高血压与肥胖有关 22.解： （1）设( )f x的零点为 0 xx ，则 ax xa 0 0 ， 又因 1 ( )ln xa fxaaax ，则由题意知 0 ()0fx，即0ln 1 0

22、 0 ax axaa， 由得 1 00 ln aa axax，所以 0 ln1a ax 又对式两边取对数得 00 lnlnxaax，即 0 0 lnln x x a a 比较得：1ln 0 x，故 0 ex 所以满足条件的实数a的值只有一个，且ea 6 分 （2）当 ea 时， e ( )exf xx 2e ( )1f xxx 在(0 + )，上恒成立 2 e1 x x 在(0 + ) ，上恒成立 设 2 e1 ( ) x g x x ，则 3 e (2)2 ( ) x x g x x 设( )e (2)2 x h xx，则( )e (1) x h xx 故( )h x在(0 1)，上单调递减

23、，在(1 + )，上单调递增 又(0)=0h，(1)=2e0h， 1.5 (1.5)=20.5e0h 所以存在 0 (1.5 1.6)x ，使得 0 00 ()=e (2)2=0 x h xx ，即 0 0 2 e = 2 x x 当 0 (0 )xx，时，( )0h x ，此时 3 e (2)2 ( )0 x x g x x ； 当 0 ( + )xx，时，( )0h x ，此时 3 e (2)2 ( )0 x x g x x 所以( )g x在 0 (0 )x，上单调递减，在 0 ( + )x，上单调递增 所以( )g x在 0 xx处取得最小值 0 ()g x 又 0 (1.5 1.6)x ，所以 0 0 0 22 0000 2 1 2e11425 ()=, (2)316 x x g x xxxx 第 6 页 共 6 页 要使 2 e1 ( ) x g x x 在(0 + ) ，上恒成立，需满足 0 ()g x 所以整数的最大值为 112 分