2021年新课标(老高考)文数复习练习课件:第十五章 坐标系与参数方程.pptx
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1、考点考点1 1 极坐标方程极坐标方程 1.(2020课标,22,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数且t1),C与 坐标轴交于A,B两点. (1)求|AB|; (2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线AB的极坐标方程. 2 2 2- - , 2-3 xt t ytt 解析解析 (1)因为t1,由2-t-t2=0得t=-2,所以C与y轴的交点为(0,12);由2-3t+t2=0得t=2,所以C与x轴的交 点为(-4,0).故|AB|=4. (2)由(1)可知,直线AB的直角坐标方程为+=1,将x=cos ,y=sin 代入,得直线AB的极坐标方 程为3c
2、os -sin +12=0. 10 -4 x 12 y 2.(2020江苏,21B,10分)在极坐标系中,已知点A在直线l:cos =2上,点B在圆C:=4sin 上(其中0,02). (1)求1,2的值; (2)求出直线l与圆C的公共点的极坐标. 1 , 3 2 , 6 解析解析 (1)由1cos =2,得1=4;2=4sin =2, 又(0,0)也在圆C上,因此2=2或0. (2)由得4sin cos =2,所以sin 2=1. 因为0,00)在曲线C:=4sin 上,直线l过点A(4, 0)且与OM垂直,垂足为P. (1)当0=时,求0及l的极坐标方程; (2)当M在C上运动且P在线段O
3、M上时,求P点轨迹的极坐标方程. 3 解析解析 (1)因为M(0,0)在C上,所以当0=时,0=4sin=2. 由已知得|OP|=|OA|cos=2. 设Q(,)为l上除P的任意一点. 在RtOPQ中,cos=|OP|=2. 经检验,点P在曲线cos=2上. 所以,l的极坐标方程为cos=2. (2)设P(,),在RtOAP中,|OP|=|OA|cos =4cos ,即=4cos . 因为P在线段OM上,且APOM, 故的取值范围是. 所以,P点轨迹的极坐标方程为=4cos ,. 3 3 3 3 - 3 2, 3 - 3 - 3 , 4 2 , 4 2 一题多解一题多解 (1)因为点M(0,0
4、)在曲线C:=4sin 上, 所以当0=时,0=4sin=4=2,所以M. 因为且2=4sin , 所以曲线C的直角坐标系方程为x2+y2=4y, 将M的极坐标化为直角坐标可得M(,3), 所以OM:y=x, 因为OM与l垂直, 所以l的斜率为-, 因为l过点A(4,0),所以l:y=-(x-4), 所以l的极坐标方程为cos +sin =4, 即l:sin=2. (2)由(1)知曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4y,设点M的直角坐标为(x0,y0), 所以OM:y=(x-x0)+y0=x, 3 3 3 2 3 2 3, 3 222, sin , xy y 2 3, 3 3 3 3 3 3
5、3 3 6 0 0 y x 0 0 y x 因为OM与l垂直, 所以l:y=-(x-4), 联立OM与l的直线方程,可得 P, 因为+=4y0, 所以P, 令P(a,b),则 所以 由+=4y0,得a2+b2=4a, 即P点轨迹的直角坐标方程为x2+y2=4x, 所以P点轨迹的极坐标方程为=4cos , 因为P点在线段OM上,所以. 0 0 x y 2 000 2222 0000 44 , xx y xyxy 2 0 x 2 0 y 2 0 0 0 , x x y 2 0 0 0 , . x a y bx 2 0 0 , . b y a xb 2 0 x 2 0 y , 4 2 5.(2017
6、课标,22,10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C1的极坐标方程为cos =4. (1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM| |OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程; (2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求OAB面积的最大值. 2, 3 解析解析 本题考查极坐标方程及其应用. (1)设P的极坐标为(,)(0),M的极坐标为(1,)(10).由题设知|OP|=,|OM|=1=. 由|OM| |OP|=16得C2的极坐标方程为=4cos (0). 因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x0). (2)设点B的
7、极坐标为(B,)(B0). 由题设知|OA|=2,B=4cos , 于是OAB的面积S=|OA| B sinAOB =4cos =22+. 当=-时,S取得最大值2+. 所以OAB面积的最大值为2+. 4 cos 1 2 sin- 3 3 sin 2 - 32 3 12 3 3 6.(2019课标,22,10分)如图,在极坐标系Ox中,A(2,0),B,C,D(2,),弧,所 在圆的圆心分别是(1,0),(1,),曲线M1是弧,曲线M2是弧,曲线M3是弧. (1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程; (2)曲线M由M1,M2,M3构成,若点P在M上,且|OP|=,求P的极坐标. 2, 4 3
8、 2, 4 AB BC CD 1, 2 AB BC CD 3 解析解析 (1)由题设可得,弧, , 所在圆的极坐标方程分别为=2cos ,=2sin ,=-2cos . 所以M1的极坐标方程为=2cos ,M2的极坐标方程为=2sin ,M3的极坐标方 程为=-2cos . (2)设P(,),由题设及(1)知 若0,则2cos =,解得=; 若,则2sin =,解得=或=; 若,则-2cos =,解得=. 综上,P的极坐标为或或或. AB BC CD 0 4 3 44 3 4 4 3 6 4 3 4 3 3 2 3 3 4 3 5 6 3, 6 3, 3 2 3, 3 5 3, 6 7.(20
9、18课标,22,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半 轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为2+2cos -3=0. (1)求C2的直角坐标方程; (2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程. 解析解析 (1)由x=cos ,y=sin 得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4. (2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆. 由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线. 记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2. 由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公
10、共点且l2与C2有两个公 共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点. 当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以=2,故k=-或k=0. 经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点; 2 |-2| 1 k k 4 3 当k=-时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点. 当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以=2,故k=0或k=. 经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点; 当k=时,l2与C2没有公共点. 综上,所求C1的方程为y=-|x|+2. 4 3 2 |2| 1 k k 4 3 4 3 4 3 方法技巧方法技巧 极坐
11、标方程与直角坐标方程互化的技巧: (1)巧用极坐标方程两边同乘或同时平方的技巧,将极坐标方程构造成含有cos ,sin ,2的形式, 然后利用公式代入化简得到直角坐标方程. (2)巧用两角和、差公式转化成sin()或cos()的形式,进而利用互化公式得到直角坐标方 程. (3)将直角坐标方程中的x转化为cos ,将y转化为sin ,即可得到其极坐标方程. 1.(2018江苏,21C,10分)在极坐标系中,直线l的方程为sin=2,曲线C的方程为=4cos ,求直线l 被曲线C截得的弦长. - 6 以下为教师用书专用 解析解析 本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力. 因为曲
12、线C的极坐标方程为=4cos , 所以曲线C是圆心为(2,0),直径为4的圆, 因为直线l的极坐标方程为 sin=2,所以直线l过点(4,0),倾斜角为, 设A(4,0),则A为直线l与圆C的一个交点. - 6 6 设A(4,0),则A为直线l与圆C的一个交点. 设另一个交点为B,则OAB=. 连接OB,因为OA为直径,所以OBA=, 所以AB=4cos=2. 因此,直线l被曲线C截得的弦长为2. 6 2 6 3 3 一题多解一题多解 把直线和曲线的极坐标方程化成直角坐标方程得到l:x-y-4=0,C:x2+y2-4x=0,则C:(x- 2)2+y2=4,半径R=2,圆心C(2,0)到l的距离
13、d=1,因此,直线l被曲线C截得的弦长为2=2. 3 2 2 22 -R d3 2.(2017课标,22,10分)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数 方程为(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C. (1)写出C的普通方程; (2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:(cos +sin )-=0,M为l3与C的交点, 求M的极径. 2,xt ykt -2,xm m y k 2 解析解析 (1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去参数m得l2的普通方程l2:y=(x+2). 设P(x,y),由题设
14、得 消去k得x2-y2=4(y0). 所以C的普通方程为x2-y2=4(y0). (2)C的极坐标方程为2(cos2-sin2)=4(00).在以 坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:=4cos . (1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程; (2)直线C3的极坐标方程为=0,其中0满足tan 0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a. cos , 1sin xat yat 解析解析 (1)消去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.(2分) 将x=cos ,y=sin 代入C1的普通方程中,得到C1
15、的极坐标方程为2-2sin +1-a2=0.(4分) (2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组 (6分) 若0,由方程组得16cos2-8sin cos +1-a2=0,(8分) 由已知tan =2,可得16cos2-8sin cos =0,从而1-a2=0, 解得a=-1(舍去)或a=1. a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上.所以a=1.(10分) 22 -2 sin1-0, 4cos . a 易错警示易错警示 对“互化”过程不熟悉,对参数和极坐标的几何意义理解不透彻是失分的主要原因. 4.(2015课标,23,10分)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x
16、-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C1,C2的极坐标方程; (2)若直线C3的极坐标方程为=(R),设C2与C3的交点为M,N,求C2MN的面积. 4 解析解析 (1)因为x=cos ,y=sin , 所以C1的极坐标方程为cos =-2,C2的极坐标方程为2-2cos -4sin +4=0.(5分) (2)将=代入2-2cos -4sin +4=0, 得2-3+4=0, 解得1=2,2=. 故1-2=, 即|MN|=. 由于C2的半径为1, 所以C2MN的面积为.(10分) 4 2 22 2 2 1 2 5.(2011课标,23,10分
17、)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(为参数),M是C1上的 动点,P点满足=2,P点的轨迹为曲线C2. (1)求C2的方程; (2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线=与C1的异于极点的交点为A,与C2的异 于极点的交点为B,求|AB|. 2cos , 22sin x y OPOM 3 解析解析 (1)设P(x,y),则由条件知M.由于M点在C1上,所以即 从而C2的参数方程为(为参数). (2)曲线C1的极坐标方程为=4sin ,曲线C2的极坐标方程为=8sin . 射线=与C1的交点A的极径为1=4sin,射线=与C2的交点B的极径为2=8sin. 所以|AB|=
18、|2-1|=2. , 2 2 x y 2cos , 2 22sin . 2 x y 4cos , 44sin . x y 4cos , 44sin x y 3 3 3 3 3 评析评析 本题考查曲线的参数方程、极坐标方程及极径的几何意义,属中等难度题. 1.(2020课标,22,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数).以坐标原点 为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为4cos -16sin +3=0. (1)当k=1时,C1是什么曲线? (2)当k=4时,求C1与C2的公共点的直角坐标. cos , sin k k xt yt 考点考点2 2 参数
19、方程参数方程 解析解析 (1)当k=1时,C1:消去参数t得x2+y2=1,故曲线C1是圆心为坐标原点,半径为1的圆. (2)当k=4时,C1:消去参数t得C1的普通方程为+=1. C2的直角坐标方程为4x-16y+3=0. 由解得 故C1与C2的公共点的直角坐标为. cos , sin , xt yt 4 4 cos , sin , xt yt xy 1, 4 -1630 xy xy 1 , 4 1 . 4 x y 1 1 , 4 4 2.(2020课标,22,10分)已知曲线C1,C2的参数方程分别为C1:(为参数),C2:(t为 参数). (1)将C1,C2的参数方程化为普通方程; (2
20、)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1,C2的交点为P,求圆心在极轴上,且经过 极点和P的圆的极坐标方程. 2 2 4cos, 4sin x y 1, 1 - xt t yt t 解析解析 (1)C1的普通方程为x+y=4(0 x4). 由C2的参数方程得x2=t2+2,y2=t2+-2, 所以x2-y2=4.故C2的普通方程为x2-y2=4. (2)由得所以P的直角坐标为. 设所求圆的圆心的直角坐标为(x0,0), 由题意得=+,解得x0=. 因此,所求圆的极坐标方程为=cos . 2 1 t 2 1 t 22 4, -4 xy x y 5 , 2 3 , 2 x y 5
21、3 , 2 2 2 0 x 2 0 5 - 2 x 9 4 17 10 17 5 3.(2018课标,22,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),直线l的参 数方程为(t为参数). (1)求C和l的直角坐标方程; (2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率. 2cos , 4sin x y 1cos , 2sin xt yt 解析解析 (1)曲线C的直角坐标方程为+=1. 当cos 0时,l的直角坐标方程为y=tan x+2-tan ,当cos =0时,l的直角坐标方程为x=1. (2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程(1+3c
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