2021年新课标(老高考)文数复习练习课件:第十六章 不等式选讲.pptx
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1、考点考点1 1 绝对值不等式绝对值不等式 1.(2020课标,23,10分)已知函数f(x)=|3x+1|-2|x-1|. (1)画出y=f(x)的图象; (2)求不等式f(x)f(x+1)的解集. 解析解析 (1)由题设知f(x)= y=f(x)的图象如图所示. (2)函数y=f(x)的图象向左平移1个单位长度后得到函数y=f(x+1)的图象. 1 - -3,- , 3 1 5 -1,-1, 3 3,1. xx xx xx y=f(x)的图象与y=f(x+1)的图象的交点坐标为. 由图象可知当且仅当xf(x+1)的解集为 . 711 -,- 66 7 6 7 - ,- 6 2.(2020课标
2、,23,10分)已知函数f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|. (1)当a=2时,求不等式f(x)4的解集; (2)若f(x)4,求a的取值范围. 解析解析 (1)当a=2时, f(x)= 因此,不等式f(x)4的解集为. (2)因为f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|a2-2a+1|=(a-1)2, 故当(a-1)24,即|a-1|2时, f(x)4. 所以当a3或a-1时, f(x)4. 当-1a3时, f(a2)=|a2-2a+1|=(a-1)24. 所以a的取值范围是(-,-13,+). 7-2 ,3, 1,34, 2 -7,4. x x x xx 311 22 x xx 或
3、3.(2020江苏,21C,10分)设xR,解不等式2|x+1|+|x|0时,原不等式可化为2x+2+x4,解得0x; 当-1x0时,原不等式可化为2x+2-x4,解得-1x0; 当x-1时,原不等式可化为-2x-2-x4,解得-2x-1. 综上,原不等式的解集为. 2 3 2 -2 3 xx 4.(2019课标,23,10分)已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a). (1)当a=1时,求不等式f(x)0的解集; (2)若x(-,1)时, f(x)0,求a的取值范围. 解析解析 本题考查不等式的基本性质,绝对值不等式的求解,以及含有参数的绝对值不等式恒成立问 题.通过对绝对值不等式的
4、分类讨论考查学生的化归与转化的能力,体现了逻辑推理的核心素养. (1)当a=1时, f(x)=|x-1|x+|x-2|(x-1). 当x1时, f(x)=-2(x-1)20;当x1时, f(x)0. 所以,不等式f(x)0的解集为(-,1). (2)因为f(a)=0,所以a1, 当a1,x(-,1)时, f(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1)1的解集; (2)若x(0,1)时不等式f(x)x成立,求a的取值范围. 解析解析 (1)当a=1时, f(x)=|x+1|-|x-1|, 即f(x)= 故不等式f(x)1的解集为. (2)当x(0,1)时|x+1|-|ax-
5、1|x成立等价于当x(0,1)时|ax-1|0,则|ax-1|1的解集为, 所以1,故0a恒成 立af(x)min,当f(x)存在最大值时, f(x)f(x)max. 6.(2018课标,23,10分)设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|. (1)当a=1时,求不等式f(x)0的解集; (2)若f(x)1,求a的取值范围. 解析解析 (1)当a=1时, f(x)= 可得f(x)0的解集为x|-2x3. (2)f(x)1等价于|x+a|+|x-2|4. 而|x+a|+|x-2|a+2|,且当x=2时等号成立. 故f(x)1等价于|a+2|4. 由|a+2|4可得a-6或a2. 所以a的取值
6、范围是(-,-62,+). 24,-1, 2,-12, -26,2. xx x xx 7.(2018课标,23,10分)设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|. (1)画出y=f(x)的图象; (2)当x0,+)时, f(x)ax+b,求a+b的最小值. 解析解析 (1)f(x)= y=f(x)的图象如图所示. (2)由(1)知,y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a 3且b2时, f(x)ax+b在0,+)成立,因此a+b的最小值为5. 1 -3 ,-, 2 1 2,-1, 2 3 ,1. x x xx x x 易错警示易错警示 对“零点分
7、段法”的理解不到位 若不等式含有两个或两个以上的绝对值并含有未知数,通常先把每个绝对值内代数式等于零时的 未知数的值求出(即零点),然后将这些零点标在数轴上,此时数轴被零点分成了若干段(区间),在每 一段区间里,每一个绝对值符号内的代数式的符号确定,此时利用绝对值的定义可以去掉绝对值符号. 8.(2017课标,23,10分)已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)g(x)的解集; (2)若不等式f(x)g(x)的解集包含-1,1,求a的取值范围. 解析解析 本题考查含绝对值不等式的求解问题. (1)当a=1时,不等式f(x)g(
8、x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-40. 当x1时,式化为x2+x-40, 从而1x.所以f(x)g(x)的解集为. (2)当x-1,1时,g(x)=2.所以f(x)g(x)的解集包含-1,1,等价于当x-1,1时f(x)2. 又f(x)在-1,1的最小值必为f(-1)与f(1)之一, 所以f(-1)2且f(1)2,得-1a1.所以a的取值范围为-1,1. -117 2 -117 -1 2 xx 方法总结方法总结 含绝对值不等式的求解. 1.含绝对值的函数即为一个分段函数,一般采用去绝对值分段讨论、分段求解的方法来解决.例如 第(1)问中将自变量分为x1三段求解,最后求并集. 2.不
9、等式恒成立问题可转化为求解函数的最值问题. 9.(2017课标,23,10分)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|. (1)求不等式f(x)1的解集; (2)若不等式f(x)x2-x+m的解集非空,求m的取值范围. 解析解析 (1)f(x)= 当x2时,由f(x)1解得x2. 所以f(x)1的解集为x|x1. (2)由f(x)x2-x+m得m|x+1|-|x-2|-x2+x.而 |x+1|-|x-2|-x2+x|x|+1+|x|-2-x2+|x| =-+, 且当x=时,|x+1|-|x-2|-x2+x=.故m的取值范围为. -3,-1, 2 -1,-12, 3,2. x xx x 2 3
10、| |- 2 x 5 4 5 4 3 2 5 4 5 - , 4 10.(2016课标,24,10分)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|. (1)画出y=f(x)的图象; (2)求不等式|f(x)|1的解集. 解析解析 (1)f(x)=(4分) y=f(x)的图象如图所示. (6分) (2)由f(x)的表达式及图象知,当f(x)=1时,可得x=1或x=3; 当f(x)=-1时,可得x=或x=5,(8分) 故f(x)1的解集为x|1x3; f(x)1的解集为.(10分) 1 |135 3 x xxx 或或 1.(2017上海春,2,4分)不等式|x-1|3的解集为 . 以下为教师用书专用
11、 答案答案 (-2,4) 解析解析 由题意得-3x-13,解得-2x4. 2.(2019上海,3,4分)不等式|x+1|5的解集为 . 答案答案 (-6,4) 解析解析 |x+1|5-5x+15-6x2. 解析解析 本小题主要考查解不等式等基础知识,考查运算求解和推理论证能力. 当x2,解得x2,即x时,原不等式可化为x+2x-12,解得x1. 综上,原不等式的解集为. 1 3 1 2 1 2 1 |-1 3 x xx 或 4.(2018江苏,21D,10分)若x,y,z为实数,且x+2y+2z=6,求x2+y2+z2的最小值. 解析解析 本题主要考查柯西不等式等基础知识,考查推理论证能力.
12、由柯西不等式,得(x2+y2+z2)(12+22+22)(x+2y+2z)2, 因为x+2y+2z=6,所以x2+y2+z24, 当且仅当=时等号成立, 此时x=,y=,z=. 所以x2+y2+z2的最小值为4. 1 x 2 y 2 z 2 3 4 3 4 3 思路分析思路分析 本题是柯西不等式的基本应用. 根据(+)(+)(a1b1+a2b2+a3b3)2来构造(x2+y2+z2)(12+22+22)(x+2y+2z)2,合理而自然. 2 1 a 2 2 a 2 3 a 2 1 b 2 2 b 2 3 b 5.(2016课标,24,10分)已知函数f(x)=|2x-a|+a. (1)当a=2
13、时,求不等式f(x)6的解集; (2)设函数g(x)=|2x-1|.当xR时, f(x)+g(x)3,求a的取值范围. 解析解析 (1)当a=2时, f(x)=|2x-2|+2. 解不等式|2x-2|+26得-1x3. 因此f(x)6的解集为x|-1x3.(5分) (2)当xR时, f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a, 当x=时等号成立, 所以当xR时, f(x)+g(x)3等价于|1-a|+a3.(7分) 当a1时,等价于1-a+a3,无解. 当a1时,等价于a-1+a3,解得a2. 所以a的取值范围是2,+).(10分) 1 2 方法
14、总结方法总结 含有绝对值的不等式恒成立问题主要有两种解决方法:一是利用|ab|a|+|b|;二是利 用数形结合的思想方法. 6.(2015课标,24,10分)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a0. (1)当a=1时,求不等式f(x)1的解集; (2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围. 解析解析 (1)解法一:当a=1时, f(x)1化为|x+1|-2|x-1|-10. 当x-1时,不等式化为x-40,无解; 当-1x0,解得x0,解得1x1的解集为.(5分) 2 3 2 |2 3 xx 解法二:当a=1时, f(x)= 画出f(x)的图象(如图所示),根
15、据图象可得不等式f(x)1的解集为.(5分) (2)由题设可得, f(x)= -3,-1, 3 -1,-11, -3,1. xx xx xx 2 |2 3 xx -1-2 ,-1, 31-2 ,-1, -12 ,. xa x xaxa xa xa 所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A,B(2a+1,0),C(a,a+1),ABC的 面积为(a+1)2. 由题设得(a+1)26,故a2. 所以a的取值范围为(2,+).(10分) 2 -1,0 3 a 2 3 2 3 7.(2013课标,24,10分)已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (1)当
16、a=-2时,求不等式f(x)-1,且当x时, f(x)g(x),求a的取值范围. 1 -, 2 2 a 解析解析 (1)当a=-2时,不等式f(x)g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-30. 设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,则 y= 其图象如图所示. 从图象可知,当且仅当x(0,2)时,y0. 所以原不等式的解集是x|0x2. 解法二:当a=-2时,不等式f(x)g(x)化为|2x-1|+|2x-2|x+3,即|2x-1|+|2x-2|-x-30. 等价于或或 1 -5 , 2 1 - -2,1, 2 3 -6,1. x x xx xx 1 , 2 -50 x x 1 1
17、, 2 - -20 x x 1, 3 -60, x x 解得0x或x1或1x2, 所以原不等式的解集是x|0x2. (2)当x时, f(x)=1+a. 不等式f(x)g(x)化为1+ax+3. 所以xa-2对x都成立. 故-a-2,即a.从而a的取值范围是. 1 2 1 2 1 -, 2 2 a 1 -, 2 2 a 2 a4 3 4 -1, 3 考点考点2 2 不等式的证明不等式的证明 1.(2020课标,23,10分)设a,b,cR,a+b+c=0,abc=1. (1)证明:ab+bc+ca0; (2)用maxa,b,c表示a,b,c中的最大值,证明:maxa,b,c. 3 4 证明证明
18、(1)由题设可知,a,b,c均不为零,所以ab+bc+ca=(a+b+c)2-(a2+b2+c2)=-(a2+b2+c2)0,b0,c0,b0,a3+b3=2.证明: (1)(a+b)(a5+b5)4; (2)a+b2. 证明证明 本题考查不等式的证明. (1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6 =(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)24. (2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 =2+3ab(a+b)2+ (a+b)=2+, 所以(a+b)38, 因此a+b2. 2 3() 4 ab 3 3() 4 ab 4.(2019课
19、标,23,10分)已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明: (1)+a2+b2+c2; (2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)324. 1 a 1 b 1 c 证明证明 本题考查了学生的推理论证能力;考查的核心素养是逻辑推理. (1)因为a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ac,又abc=1,故有a2+b2+c2ab+bc+ca=+. 所以+a2+b2+c2. (2)因为a,b,c为正数且abc=1,故有 (a+b)3+(b+c)3+(c+a)33 =3(a+b)(b+c)(a+c) 3(2)(2)(2)=24. 所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)324. ab
20、bcca abc 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 333 3 () () ()abbcac abbcac 思路分析思路分析 (1)利用重要不等式可得a2+b2+c2ab+bc+ca,再由abc=1可得=+,从而 得证. (2)由基本不等式的推广可证得结论. abbcca abc 1 a 1 b 1 c 5.(2019课标,23,10分)设x,y,zR,且x+y+z=1. (1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值; (2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2成立,证明:a-3或a-1. 1 3 解析解析 (1)由于(x-1)+(y+1)+(z+1)2 =(x
21、-1)2+(y+1)2+(z+1)2+2(x-1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x-1) 3(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2, 故由已知得(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2, 当且仅当x=,y=-,z=-时等号成立. 所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为. 4 3 5 3 1 3 1 3 4 3 (2)证明:由于(x-2)+(y-1)+(z-a)2 =(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2+2(x-2)(y-1)+(y-1)(z-a)+(z-a)(x-2)3(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2, 故由已知得(x-2)2+(y-1)2+(z-
22、a)2,当且仅当x=,y=,z=时等号成立. 因此(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2的最小值为. 由题设知,解得a-3或a-1. 2 (2) 3 a4- 3 a1- 3 a2 -2 3 a 2 (2) 3 a 2 (2) 3 a1 3 难点突破难点突破 (1)考虑到x+y+z=1,(x-1)+(y+1)+(z+1)=(x+y+z)+1=2,将x-1,y+1,z+1分别看作三个整体,转 化为已知三数之和为定值,求它们平方和最小值的问题.和的平方与平方和之间存在等量关系(a+b +c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,借助基本不等式可消去乘积,得到(a+b+c)23(a2+b2+
23、c2). (2)只需证明(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2min, 求(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2min的方法同第(1)问. 1 3 6.(2016课标,24,10分)已知函数f(x)=+,M为不等式f(x)2的解集. (1)求M; (2)证明:当a,bM时,|a+b|1+ab|. 1 - 2 x 1 2 x 解析解析 (1)f(x)=(2分) 当x-时,由f(x)2得-2x-1;(3分) 当-x时, f(x)2;(4分) 当x时,由f(x)2得2x2,解得x1,(5分) 所以f(x)2的解集M=x|-1x1.(6分) (2)证明:由(1)知,当a,bM时,-1a1,-1b1
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