2021年新课标（老高考）文数复习练习课件：10.2　双曲线及其性质.pptx

1、考点考点1 1 双曲线的定义和标准方程双曲线的定义和标准方程 1.(2020浙江,8,4分)已知点O(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点P满足|PA|-|PB|=2,且P为函数y=3图象上 的点,则|OP|=( ) A. B. C. D. 2 4-x 22 2 4 10 5 710 答案答案 D 由双曲线定义可知,点P在以A,B为焦点,实轴长为2的双曲线的右支上,设P(x,y),则x2- =1(x1),将y=3代入可得x2=,y2=3(x2-1)=,|OP|=,故选D. 2 3 y 2 4-x 13 4 27 4 22 xy10 2.(2020天津,7,5分)设双曲线C的方程为-=1

2、(a0,b0),过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线 为l.若C的一条渐近线与l平行,另一条渐近线与l垂直,则双曲线C的方程为( ) A.-=1 B.x2-=1 C.-y2=1 D.x2-y2=1 2 2 x a 2 2 y b 2 4 x 2 4 y 2 4 y 2 4 x 答案答案 D 由题意知双曲线的两条渐近线互相垂直,双曲线C为等轴双曲线,渐近线的斜率分别 为1和-1,直线l与一条渐近线平行,抛物线y2=4x的焦点为(1,0),=-1,即b=1.双曲线C的方程 为x2-y2=1.故选D. -0 0-1 b 3.(2017天津,5,5分)已知双曲线-=1(a0,b0)的右焦点为F

3、,点A在双曲线的渐近线上,OAF 是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为( ) A.-=1 B.-=1 C.-y2=1 D.x2-=1 2 2 x a 2 2 y b 2 4 x 2 12 y 2 12 x 2 4 y 2 3 x 2 3 y 答案答案 D 不妨设点A在第一象限,由题意可知c=2,点A的坐标为(1,),所以=,又c2=a2+b2,所以 a2=1,b2=3,故所求双曲线的方程为x2-=1,故选D. 3 b a 3 2 3 y 方法总结方法总结 求双曲线方程的常用方法:(1)待定系数法:设出所求双曲线的方程,根据题意构造关 于a,b的方程组,从而求得a,b,写出双曲线

4、的方程;(2)定义法:根据题意得到动点所满足的关系式,结 合双曲线的定义求出动点所满足的轨迹方程. 4.(2019课标,10,5分)已知F是双曲线C:-=1的一个焦点,点P在C上,O为坐标原点.若|OP|=|OF |,则OPF的面积为( ) A. B. C. D. 2 4 x 2 5 y 3 2 5 2 7 2 9 2 答案答案 B 本题主要考查双曲线的定义和标准方程,考查数形结合思想及数学运算的核心素养. 如图,记双曲线的右焦点为F,设左焦点为F,连接PF,PF, 由题意得F(3,0),F(-3,0), |OP|=|OF|=|FF|=3, FPF=90,设|PF|=m,|PF|=n, 则故m

5、n=10. SOPF=SPFF=m n=,故选B. 1 2 22 -4, 36, m n mn 222 -( - ) 2 mnm n 1 2 1 4 5 2 小题巧解小题巧解 双曲线焦点三角形的面积公式为S=(其中F1PF2=),利用该面积公式,可快速求 得OPF的面积. 2 tan 2 b 5.(2016北京,12,5分)已知双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(,0),则a = ;b= . 2 2 x a 2 2 y b 5 答案答案 1;2 解析解析 本题考查双曲线的标准方程与几何性质;考查了学生的运算求解能力;体现了数学运算的 核心素养. 由题意可知双曲线焦

6、点在x轴上, 故渐近线方程为y=x, 又一条渐近线为2x+y=0,即y=-2x, =2,即b=2a. 又该双曲线的一个焦点为(,0), c=. 由a2+b2=c2可得a2+(2a)2=5, 解得a=1,b=2. b a b a 5 5 (2016天津,4,5分)已知双曲线-=1(a0,b0)的焦距为2,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y =0垂直,则双曲线的方程为( ) A.-y2=1 B.x2-=1 C.-=1 D.-=1 2 2 x a 2 2 y b 5 2 4 x 2 4 y 2 3 20 x 2 3 5 y 2 3 5 x 2 3 20 y 以下为教师用书专用 答案答案 A 由题意可

7、得解得a=2,b=1,所以双曲线的方程为-y2=1,故选A. 22 1 , 2 5, 0,0, b a ab ab 2 4 x 易错警示易错警示 容易把双曲线标准方程中a,b,c的关系与椭圆标准方程中a,b,c的关系混淆,这是失分的 主要原因. 考点考点2 2 双曲线的几何性质双曲线的几何性质 1.(2020课标,11,5分)设F1,F2是双曲线C:x2-=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则 PF1F2的面积为( ) A. B.3 C. D.2 2 3 y 7 2 5 2 答案答案 B 由题易知a=1,b=,c=2, 又|OP|=2,PF1F2为直角三角形, 易知|PF1

8、|-|PF2|=2, |PF1|2+|PF2|2-2|PF1| |PF2|=4, 又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=16, |PF1| |PF2|=6, =|PF1| |PF2|=3,故选B. 3 16-4 2 1 2 PF F S 1 2 2.(2020课标,9,5分)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:-=1(a0,b0)的两条渐近线分别交 于D,E两点.若ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为( ) A.4 B.8 C.16 D.32 2 2 x a 2 2 y b 答案答案 B 直线x=a与双曲线的两条渐近线y=x分别交于D、E两点,则|DE|=|yD-yE|=2

9、b,所以SODE = a 2b=ab,即ab=8. 所以c2=a2+b22ab=16(当且仅当a=b时取等号),即cmin=4, 所以双曲线的焦距2c的最小值为8,故选B. b a 1 2 3.(2019浙江,2,4分)渐近线方程为xy=0的双曲线的离心率是( ) A. B.1 C. D.2 2 2 2 答案答案 C 本题考查双曲线的渐近线、离心率;考查学生的运算求解的能力;体现了数学运算的核 心素养. 渐近线方程为y=x,a=b, c=a,e=,故选C. 2 c a 2 4.(2019北京,5,5分)已知双曲线-y2=1(a0)的离心率是,则a=( ) A. B.4 C.2 D. 2 2 x

10、 a 5 6 1 2 答案答案 D 本题主要考查双曲线的几何性质,考查学生的运算求解能力以及方程的思想,体现了数 学运算的核心素养. 由题意得e=,又a2+b2=c2, =e2-1=4, b2=1,a2=.a0,a=. c a 5 2 2 b a 22 2 -c a a 1 4 1 2 易错警示易错警示 把双曲线的离心率错认为e=而出错. 2 2 1- b a 5.(2018课标,6,5分)双曲线-=1(a0,b0)的离心率为,则其渐近线方程为( ) A.y=x B.y=x C.y=x D.y=x 2 2 x a 2 2 y b 3 23 2 2 3 2 答案答案 A 本题主要考查双曲线的几何

11、性质. =, 双曲线的渐近线方程为y=x. 故选A. b a 2-1 e3-12 2 6.(2018课标,10,5分)已知双曲线C:-=1(a0,b0)的离心率为,则点(4,0)到C的渐近线的距 离为( ) A. B.2 C. D.2 2 2 x a 2 2 y b 2 2 3 2 2 2 答案答案 D 本题考查双曲线的几何性质及点到直线的距离公式. e=,且a0,b0,=1, C的渐近线方程为y=x, 点(4,0)到C的渐近线的距离为=2. c a 2 1 b a 2 b a |4| 2 2 7.(2017课标,5,5分)若a1,则双曲线-y2=1的离心率的取值范围是( ) A.(,+) B

12、.(,2) C.(1,) D.(1,2) 2 2 x a 22 2 答案答案 C 本题考查双曲线的方程和性质. 由题意知e=,因为a1,所以e1,所以1e0,b0)的两条渐 近线分别交于点A和点B,且|AB|=4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为( ) A. B. C.2 D. 2 2 x a 2 2 y b 235 答案答案 D 本题主要考查双曲线的离心率,抛物线焦点坐标与准线方程,通过圆锥曲线的性质考查 学生的运算求解能力,渗透了数学运算的核心素养. 如图,由题意可知抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1, |AB|=4|OF|=4,A(-1,2),又点A在直线y=-x上,

13、2=- (-1),=2, 双曲线的离心率e=.故选D. b a b a b a 2 2 1 b a 145 10.(2019课标,10,5分)双曲线C:-=1(a0,b0)的一条渐近线的倾斜角为130,则C的离心率 为( ) A.2sin 40 B.2cos 40 2 2 x a 2 2 y b 方法总结方法总结 求双曲线-=1(a0,b0)的离心率的常见方法: (1)定义法:e=;(2)公式法:e=(为渐近线的倾斜角);(3)方程思想:利用题中条 件得出关于a,b,c的方程,利用b2=c2-a2转化为关于a,c的方程,最后利用e=转化为关于e的方程,从而 得出离心率e. 2 2 x a 2

14、2 y b 2 2 c a c a 2 2 1 b a 2 1tan c a 答案答案 D 由双曲线C:-=1(a0,b0)可知渐近线方程为y=x, 由题意知-=tan 130, 又tan 130=-tan 50,=tan 50, 双曲线的离心率e= ,故选D. 2 2 x a 2 2 y b b a b a b a c a 2 2 1 b a 11.(2020江苏,6,5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-=1(a0)的一条渐近线方程为y=x, 则该双曲线的离心率是 . 2 2 x a 2 5 y5 2 答案答案 3 2 解析解析 双曲线-=1(a0)的渐近线方程为y=x,=,a=2,则

15、离心率e= =. 2 2 x a 2 5 y5 a 5 a 5 2 2 2 1 b a 5 1 4 3 2 12.(2020课标,14,5分)设双曲线C:-=1(a0,b0)的一条渐近线为y=x,则C的离心率为 . 2 2 x a 2 2 y b 2 答案答案 3 解析解析 双曲线C:-=1(a0,b0)的一条渐近线为y=x,=,双曲线C的离心率为= =. 2 2 x a 2 2 y b 2 b a 2 c a 2 2 1 b a 3 13.(2020北京,12,5分)已知双曲线C:-=1,则C的右焦点的坐标为 ;C的焦点到其渐近 线的距离是 . 2 6 x 2 3 y 答案答案 (3,0);

16、 3 解析解析 由双曲线的方程-=1,得a2=6,b2=3,故c2=9,C的右焦点的坐标为(3,0),易知渐近线方程 为y=x,双曲线的右焦点(3,0)到一条渐近线x-y=0的距离d=. 2 6 x 2 3 y 2 2 2 2 3 2 2 1 1 2 3 14.(2018北京,12,5分)若双曲线-=1(a0)的离心率为,则a= . 2 2 x a 2 4 y5 2 答案答案 4 解析解析 本题主要考查双曲线的标准方程和性质. 由题意知c=, e=,又a0, a=4. 2 4a c a 2 4a a 5 2 15.(2017课标,14,5分)双曲线-=1(a0)的一条渐近线方程为y=x,则a=

17、 . 2 2 x a 2 9 y3 5 答案答案 5 解析解析 本题考查了双曲线的渐近线方程. 由题意可得=, 所以a=5. 3 a 3 5 16.(2018江苏,8,5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-=1(a0,b0)的右焦点F(c,0)到一条 渐近线的距离为c,则其离心率的值是 . 2 2 x a 2 2 y b 3 2 答案答案 2 解析解析 本题考查双曲线的性质. 双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0,则F(c,0)到这条渐近线的距离为=c,b=c, b2=c2,又b2=c2-a2,c2=4a2,e=2. 22 | (- ) bc ba 3 2 3 2 3 4 c a 17.

18、(2019江苏,7,5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2-=1(b0)经过点(3,4),则该双曲线的渐 近线方程是 . 2 2 y b 答案答案 y=x 2 解析解析 本题主要考查双曲线渐近线方程,考查了运算求解能力,考查的核心素养是数学运算. 由双曲线x2-=1(b0)经过点(3,4),得9-=1, 解得b=,又b0,所以b=, 易知双曲线的焦点在x轴上, 故双曲线的渐近线方程为y=x=x. 2 2 y b 2 16 b 22 b a 2 1.(2018浙江,2,4分)双曲线-y2=1的焦点坐标是( ) A.(-,0),(,0) B.(-2,0),(2,0) C.(0,-),(0,)

19、 D.(0,-2),(0,2) 2 3 x 22 22 以下为教师用书专用 答案答案 B 本题考查双曲线的标准方程和几何性质. a2=3,b2=1,c=2.又焦点在x轴上,双曲线的焦点坐标为(-2,0),(2,0). 22 ab 易错警示易错警示 求双曲线焦点坐标的易错点: (1)焦点在x轴上还是y轴上,容易判断错误; (2)双曲线与椭圆的标准方程中a,b,c的关系式容易混淆. 2.(2017北京,10,5分)若双曲线x2-=1的离心率为,则实数m= . 2 y m 3 答案答案 2 解析解析 本题考查双曲线的性质. 由题意知,a2=1,b2=m. e=,m=2. c a 2 2 1 b a

20、1 1 m 3 3.(2016江苏,3,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1的焦距是 . 2 7 x 2 3 y 答案答案 2 10 解析解析 本题考查双曲线的几何性质. 由-=1,得a2=7,b2=3, 所以c2=10,所以c=, 所以2c=2. 2 7 x 2 3 y 10 10 4.(2016山东,14,5分)已知双曲线E:-=1(a0,b0).若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中 点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是 . 2 2 x a 2 2 y b 答案答案 2 解析解析 本题考查双曲线的几何性质;考查了学生的运算求解能力和数形结合思想;考查

21、了数学运 算的核心素养. 由已知得|AB|=|CD|=,|BC|=|AD|=|F1F2|=2c. 因为2|AB|=3|BC|, 所以=6c, 又b2=c2-a2, 所以2e2-3e-2=0, 解得e=2或e=-(舍去). 2 2b a 2 4b a 1 2 5.(2015湖北,9,5分)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(ab)同时增加m(m0)个单 位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则( ) A.对任意的a,b,e1b时,e1e2;当ae2 C.对任意的a,b,e1e2 D.当ab时,e1e2;当ab时,e1b时,1,e2e1; 当ab时,1,e20,b0)的右焦点是F,

22、左、右顶点分别是A1,A2,过F作A1A2的 垂线与双曲线交于B,C两点.若A1BA2C,则该双曲线的渐近线的斜率为( ) A. B. C.1 D. 2 2 x a 2 2 y b 1 2 2 2 2 答案答案 C 不妨令B在x轴上方,因为BC过右焦点F(c,0),且垂直于x轴,所以可求得B,C两点的坐标分 别为,又A1,A2的坐标分别为(-a,0),(a,0), 所以=,=, 因为A1BA2C,所以=0, 即(c+a)(c-a)-=0,即c2-a2-=0,所以b2-=0, 故=1,即=1,又双曲线的渐近线的斜率为,故该双曲线的渐近线的斜率为1.故选C. 2 , b c a 2 ,- b c

23、a 1 AB 2 , b ca a 2 A C 2 - ,- b c a a 1 AB 2 A C 2 b a 2 b a 4 2 b a 4 2 b a 2 2 b a b a b a 考点考点1 1 双曲线的定义和标准方程双曲线的定义和标准方程 A A组组 考点基础题组考点基础题组 1.(2020山西晋城一模,10)已知双曲线C:-=1(a0,b0)的两个顶点分别为A1(-a,0),A2(a,0),P,Q的 坐标分别为(0,b),(0,-b),且四边形A1PA2Q的面积为2,四边形A1PA2Q内切圆的周长为,则C的 方程为( ) A.-y2=1 B.x2-=1或-y2=1 C.-=1 D.

24、x2-=1或-=1 2 2 x a 2 2 y b 2 2 6 3 2 2 x 2 2 y 2 2 x 2 4 x 2 2 y 2 2 y 2 4 x 2 2 y 答案答案 B 双曲线C:-=1(a0,b0)的两个顶点分别为A1(-a,0),A2(a,0),P,Q的坐标分别为(0,b), (0,-b),且四边形A1PA2Q的面积为2, 可得22ab=2,ab=, 直线A2P的方程为bx+ay=ab, 四边形A1PA2Q内切圆的周长为, 又内切圆的半径为=, 所以=,解得c=,所以a2+b2=3, 解得a=,b=1或a=1,b=, 所以双曲线方程为x2-=1或-y2=1.故选B. 2 2 x a

25、 2 2 y b 2 1 2 22 2 6 3 22 ab ab ab c 2ab c 2 6 3 3 22 2 2 y 2 2 x 2.(2020广西一模,10)已知双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2且斜率为-的 直线与双曲线在第一象限的交点为A,且=0,若a=-1,则F2的坐标为( ) A.(1,0) B.(,0) C.(2,0) D.(+1,0) 2 2 x a 2 2 y b 3 1 AF 2 AF3 33 答案答案 C 因为=0,所以AF1AF2, 又因为=-,所以AF1F2=,则AF1=c,AF2=c. 根据双曲线的定义可得c-c=2a, 则c=2, 则

26、F2的坐标为(2,0).故选C. 1 AF 2 AF 2 AF k3 6 3 3 2( 3-1) 3-1 解题关键解题关键 运用平面几何知识得到AF1AF2,AF1F2=,进而根据双曲线的定义可得c-c=2a, 代入a的值即可. 6 3 3.(2020安徽淮南一模,11)已知双曲线-=1(b0)的左、右焦点分别为F1、F2,过点F2的直线交 双曲线右支于A、B两点,若ABF1是等腰三角形,且A=120,则ABF1的周长为( ) A.+8 B.4(-1) C.+8 D.2(-2) 2 4 x 2 2 y b 16 3 3 2 4 3 3 3 答案答案 A 本题考查了双曲线的标准方程及其性质、等腰

27、三角形的性质,考查了推理能力与计算 能力,考查的核心素养是直观想象和数学运算. 由双曲线-=1(b0),可得a=2, 如图所示,设|AF2|=m,|BF2|=n. 2 4 x 2 2 y b 可得|AF1|=4+m,|BF1|=4+n. 4+m=m+n,解得n=4. 作ADBF1,垂足为D,则D为线段BF1的中点,F1AD=60, |DF1|=(4+m), (4+m)2=4+n, 即(4+m)=4+n. 又n=4,代入解得m=-4. ABF1的周长=4+m+m+n+4+n=8+2(m+n)=8+.故选A. 3 2 3 2 3 8 3 3 16 3 3 4.(2019青海西宁四中二模,10)双曲

28、线-=1的左、右焦点分别为F1,F2,在左支上过点F1的弦AB 的长为5,那么ABF2的周长是( ) A.12 B.16 C.21 D.26 2 16 x 2 9 y 答案答案 D 依题意知|AF2|-|AF1|=2a=8,|BF2|-|BF1|=2a=8, (|AF2|-|AF1|)+(|BF2|-|BF1|)=16, 又|AB|=5, |AF2|+|BF2|=16+(|AF1|+|BF1|)=16+|AB|=16+5=21. |AF2|+|BF2|+|AB|=21+5=26. 即ABF2的周长是26.故选D. 5.(2018甘肃兰州第二次实战考试,10)已知点A(-1,0),B(1,0)为

29、双曲线-=1(a0,b0)的左,右顶 点,点M在双曲线右支上,ABM为等腰三角形,且顶角为120,则该双曲线的方程为 ( ) A.x2-=1 B.x2-y2=1 C.x2-=1 D.x2-=1 2 2 x a 2 2 y b 2 4 y 2 3 y 2 2 y 答案答案 B 如图,由点M在双曲线右支上,ABM为等腰三角形,且顶角为120,得|AB|=|BM|,ABM= 120,过点M作MNx轴,垂足为N,则NBM=60,如图所示. 在RtBNM中,|BM|=|AB|=2a,NBM=60,则|BN|=2acos 60=a,|MN|=2asin 60=a,即M(2a,a),代 入双曲线方程得4-=

30、1,即b2=a2. 点A(-1,0),B(1,0)为双曲线的左,右顶点,a=b=1,双曲线的方程为x2-y2=1,故选B. 33 2 2 3a b 6.(2019云南玉溪一中调研五,12)设双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,若点P在双曲线的右 支上,且F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围为( ) A.(3,8) B.(3,8 C.(2,8 D.(2,8) 2 3 y 77 答案答案 D F1PF2为锐角三角形,不妨设点P在第一象限,P在P1与P2之间运动(如图), 当P在P1点处时,F1P1F2=90, 设P1(,), =|F1F2| |=|P1F1| |P1

31、F2|, 由|P1F1|2+|P1F2|2=|F1F2|2,|P1F1|-|P1F2|=2, 得|P1F1| |P1F2|=6.此时|PF1|+|PF2|=2. 当P在P2点处时,P2F2F1=90,设P2(,),则=2,代入双曲线方程可得=3, 此时|PF1|+|PF2|=2|PF2|+2=8,所以当PF1F2为锐角三角形时,|PF1|+|PF2|(2,8). 1 P x 1 P y 1 1 2 PF F S 1 2 1 P y 1 2 7 2 P x 2 P y 2 P x 2 P y 7 考点考点2 2 双曲线的几何性质双曲线的几何性质 1.(2020河南安阳一模,8)已知双曲线C:-=

32、1(a0,b0)的右焦点为F,过右顶点A且与x轴垂直的 直线交双曲线的一条渐近线于M点,MF的中点恰好在双曲线C上,则C的离心率为( ) A.-1 B. C. D. 2 2 x a 2 2 y b 5235 答案答案 A 本题主要考查双曲线的几何性质,考查了方程思想,体现了数学运算的核心素养. 双曲线C:-=1(a0,b0)的右顶点为A(a,0),右焦点为F(c,0),故M所在直线为x=a,不妨设M(a,b), 则MF的中点坐标为. 代入双曲线方程可得-=1, =,e2+2e-4=0, e=-1(负值舍去).故选A. 2 2 x a 2 2 y b , 22 ac b 2 2 2 ac a 2

33、 2 2 b b 2 2 () 4 ac a 5 4 5 2.(2020河南南阳一中、信阳、漯河、平顶山一中四校3月模拟,10)已知F1,F2是双曲线-=1(a 0,b0)的左、右焦点,点A是双曲线上第二象限内一点,且直线AF1与双曲线的一条渐近线y=x平 行,AF1F2的周长为9a,则该双曲线的离心率为( ) A.2 B. C.3 D.2 2 2 x a 2 2 y b b a 53 答案答案 A 本题考查双曲线的性质,直线与双曲线的位置关系,考查转化思想以及计算能力,考查直 观想象、数学运算的核心素养. 由题意知,|AF2|-|AF1|=2a,|AF2|+|AF1|=9a-2c, 解得|A

34、F2|=,|AF1|=. 因为直线AF1与双曲线的一条渐近线y=x平行, 所以tanAF1F2=,即cosAF1F2=, 所以cosAF1F2=, 化简,得c2+2ac-8a2=0,即e2+2e-8=0,解得e=2.故选A. 11 -2 2 ac7 -2 2 ac b a b a a c a c 222 12 1 |4-| 2| 2 AFcAF AFc 3.(2019黑龙江齐齐哈尔二模,9)已知双曲线-=1(a0,b0)的焦距为4,且两条渐近线互相垂 直,则该双曲线的实轴长为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 2 2 x a 2 2 y b 2 答案答案 B 因为双曲线-=1(a0,b0)

35、的两条渐近线为y=x,且两条渐近线互相垂直,所以- =-1,得a=b, 因为双曲线的焦距为4,所以c=2, 由c2=a2+b2可知2a2=8,所以a=2,所以实轴长为2a=4.故选B. 2 2 x a 2 2 y b b a 2 b a 22 4.(2018内蒙古呼和浩特第一次质量普查)已知F2、F1是双曲线-=1(a0,b0)的上、下两个焦 点,过F1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B,A,若ABF2为等边三角形,则双曲线的渐近线方 程为( ) A.y=x B.y=x C.y=x D.y=x 2 2 y a 2 2 x b 2 2 2 6 6 6 答案答案 D 根据双曲线的定义,可得|BF

36、1|-|BF2|=2a,ABF2为等边三角形,|BF2|=|AB|,|BF1|-|AB| =|AF1|=2a,又|AF2|-|AF1|=2a,|AF2|=|AF1|+2a=4a,在AF1F2中,|AF1|=2a,|AF2|=4a,F1AF2=120, =|AF1|2+|AF2|2-2|AF1| |AF2|cos 120,即4c2=4a2+16a2-22a4a=28a2,亦即c2=7a2,则b= =a,由此可得双曲线C的渐近线方程为y=x.故选D. 2 12 |FF 1 - 2 22 -c a 2 6a6 6 6 5.(2019广西柳州一模,11)已知双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点为F1

37、、F2,双曲线上的点P满 足4|+|3|恒成立,则双曲线的离心率的取值范围是( ) A. B. C. D. 2 2 x a 2 2 y b 1 PF 2 PF 12 FF 3 1, 2 3 , 2 4 1, 3 4 , 3 答案答案 C OP是F1PF2的边F1F2的中线, +=2. 4|+|3|, 8|3|, 又|a,|=2c, 8a6c,e=, 又e1,10,b0)的一条 渐近线的距离为1,则该双曲线的渐近线方程为( ) A.4x3y=0 B.3x4y=0 C.9x16y=0 D.16x9y=0 11 4 2 2 x a 2 2 y b 答案答案 B 圆C:x2+y2-5y-=0可化为x2

38、+=9, 圆C:x2+y2-5y-=0上有且仅有三点到双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线的距离为1, 圆心到双曲线渐近线的距离等于2, 由对称性不妨取双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线为bx-ay=0, =2,即9a2=16b2,解得3a=4b. 双曲线的渐近线方程是3x4y=0.故选B. 11 4 2 5 - 2 y 11 4 2 2 x a 2 2 y b 2 2 x a 2 2 y b 22 5 2 a ab 2.(2020吉林二模,12)已知双曲线C:-=1(a0,b0)的焦点为F1(-3,0),F2(3,0),过F2作直线l与双曲 线C的右支交于点A,B两点.若|BF2|=4

39、|AF2|,|AF1|=|AB|,则C的方程是( ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 2 2 x a 2 2 y b 2 3 x 2 6 y 2 5 x 2 4 y 2 6 x 2 3 y 2 4 x 2 5 y 答案答案 B 本题考查双曲线方程的求法,考查直线与双曲线位置关系的应用,考查计算能力,考查的 核心素养是直观想象和数学运算. |BF2|=4|AF2|,|AF1|=|AB|,且|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a, 设|AF2|=n,则|BF2|=4n, |AF1|=|AF2|+|BF2|=5n,可得n=a, |BF1|=4a,|AF1|=a,|

40、BF2|=2a,|AF2|=, 在AF1F2中,cosAF2F1=, 在BF1F2中,cosBF2F1=, 而cosBF2F1+cosAF2F1=0, +=0, 又c2=9,解得a2=5,b2=c2-a2=4, 双曲线C的方程为-=1.故选B. 1 2 5 22 a 222 2121 212 | -| 2| AFFFAF AFFF 222 2121 212 | -| 2| BFFFBF BFFF 22 2 5 (2 ) - 22 2 aa c a 222 (2 )4-(4 ) 2 aca a 2 5 x 2 4 y 3.(2020江西名师联盟一模,11)已知双曲线C:x2-=1,过点P(0,4

41、)的直线l交双曲线C于M,N两点,交x 轴于点Q(点Q与双曲线C的顶点不重合),当=1=2(1,20),且1+2=-时,点Q的坐标 为( ) A. B. C. D. 2 3 y PQQMQN 32 7 4 ,0 3 4 ,0 3 2 ,0 3 2 ,0 3 答案答案 A 由题意知直线l的斜率k存在且不等于零, 由题意设l的方程为y=kx+4,M(x1,y1),N(x2,y2), 则Q. 又=1,=1, 故得 M(x1,y1)在双曲线C上, -1=0, 整理得16+321+(16-k2)-k2=0, 同理得16+322+(16-k2)-k2=0. 若16-k2=0,则直线l过双曲线C的顶点,不合

42、题意,16-k20, 1,2是方程16+32x+(16-k2)x2-k2=0的两根, 4 -,0 k PQQM 4 -,-4 k 11 4 ,xy k 11 11 44 -, -4, x kk y 1 1 1 1 44 -, 4 -, x kk y 2 16 k 2 1 1 1 2 1 16 3 2 1 16 3 2 2 16 3 16 3 1+2=-, k2=9,此时0, k=3,点Q的坐标为.故选A. 2 32 -16k 32 7 4 ,0 3 思路分析思路分析 由题意设直线l的方程及M,N的坐标,可得Q的坐标,由=1=2(1,20)表示M, N的坐标,进而可得1,2是方程16+32x+(

43、16-k2)x2-k2=0的两根,求出两根之和,再由已知可得k的值, 进而得出Q的坐标. PQQMQN 16 3 4.(2019宁夏石嘴山三中一模,10)已知F1,F2分别为双曲线E:-=1(a0,b0)的左,右焦点.过右焦 点F2的直线l:x+y=c在第一象限内与双曲线E的渐近线交于点P,与y轴正半轴交于点Q,且点P为QF2 的中点,QF1F2的面积为4,则双曲线E的方程为( ) A.-y2=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 2 2 x a 2 2 y b 2 2 x 2 2 x 2 2 y 2 4 x 2 4 y 2 4 x 2 3 y 答案答案 B 双曲线E:-=1(a0,b0)的

44、一条渐近线方程为y=x, 代入直线x+y=c,可得P,且Q(0,c),F2(c,0), 由点P为QF2的中点,可得c=,可得a=b, QF1F2的面积为4, 即 2c c=4, 解得c=2,故a=b=, 则双曲线的方程为-=1.故选B. 2 2 x a 2 2 y b b a , acbc ab ab 2ac ab 2bc ab 1 2 2 2 2 x 2 2 y 5.(2019 5 3原创预测卷一,11)已知双曲线-=1(a0,b0)的左焦点为F,右顶点为A,虚轴上方的 端点为B,若该双曲线的离心率为方程t2-t-1=0的一个根,则ABF的最大角的度数为( ) A.75 B.90 C.120

45、 D.150 2 2 x a 2 2 y b 答案答案 B 由题意知F(-c,0)(c0),B(0,b)(b0),A(a,0)(a0),则|AF|=a+c,|AB|=c,|BF|=, 由方程t2-t-1=0的根为t=,知=, 因为a2+b2=c2, 所以=,所以=,即b2=ac. 因为|AF|2=(a+c)2=a2+2ac+c2=a2+2b2+c2=b2+2c2=|AB|2+|BF|2,所以ABF=90, 所以ABF的最大角为90. 22 ab 22 bc 15 2 c a 51 2 22 2 ab a 35 2 2 2 b a 15 2 c a 6.(2019江西南昌NCS20190607项

46、目一模,11)过双曲线-=1(a0,b0)的左焦点F1作圆x2+y2=a2 的切线交双曲线的右支于点P,且切点为T,已知O为坐标原点,M为线段PF1的中点(点M在切点T的 右侧),若OTM的周长为4a,则双曲线的渐近线方程为( ) A.y=x B.y=x C.y=x D.y=x 2 2 x a 2 2 y b 3 4 4 3 3 5 5 3 答案答案 B 连接PF2,由题意知OTF1T, 在RtOTF1中,|F1T|=b. M为线段F1P的中点,O为F1F2的中点, |OM|=|PF2|, |MO|-|MT|=|PF2|-=(|PF2|-|PF1|)+b =(-2a)+b=b-a. 又|MO|+|MT|+|TO|=4a, 即|MO|+|MT|=3a, |MO|=,|MT|=, 在RtOMT中,由勾股定理可得a2+=,即=, 渐近线方程为y=x.故选B. 22 1 -OFOT 22 -c a 1 2 1 2 11 1 |-| 2 PFFT 1 2 1 2 2 2 ba4 - 2 a b 2 4 - 2 a b 2 2 2 ba b a 4 3 4 3 7.(2019贵州37校联考,12)已知点F2为双曲线C:-=1(a0,b0)的右焦点,直线