2021年新课标（老高考）文数复习练习课件：7.3　基本不等式.pptx

1、考点考点 基本不等式基本不等式 1.(2020江苏,12,5分)已知5x2y2+y4=1(x,yR),则x2+y2的最小值是 . 答案答案 4 5 解析解析 由5x2y2+y4=1知y0,x2=,x2+y2=+y2=+2=,当且仅当= ,即y2=,x2=时取“=”.故x2+y2的最小值为. 4 2 1- 5 y y 4 2 1- 5 y y 4 2 14 5 y y 2 1 5y 2 4 5 y4 25 4 5 2 1 5y 2 4 5 y1 2 3 10 4 5 解题关键解题关键 由已知条件,把其中的一个字母用另一个字母表示出来,再代入所求最值的式子中,达 到消元的目的,这是解本题的第一个关

2、键;把所求的式子整理成能用基本不等式求最值的形式是 第二个关键;最后要检验一下是否满足等号成立的条件,这是第三个关键. 2.(2020天津,14,5分)已知a0,b0,且ab=1,则+的最小值为 . 1 2a 1 2b 8 ab 答案答案 4 解析解析 +=+=+2=4, 当且仅当=,即(a+b)2=16,也即a+b=4时取等号. 又ab=1,或时取等号, +的最小值为4. 1 2a 1 2b 8 ab2 ab ab 8 ab2 ab8 ab 8 2 ab ab 2 ab8 ab 23, 2- 3 a b 2- 3, 23 a b 1 2a 1 2b 8 ab 3.(2017山东,12,5分)

3、若直线+=1(a0,b0)过点(1,2),则2a+b的最小值为 . x a y b 答案答案 8 解析解析 由题设可得+=1,a0,b0, 2a+b=(2a+b)=2+24+2=8当且仅当=,即b=2a时,等号成立. 故2a+b的最小值为8. 1 a 2 b 12 ab b a 4a b 4ba ab b a 4a b 4.(2018天津,13,5分)已知a,bR,且a-3b+6=0,则2a+的最小值为 . 1 8b 答案答案 1 4 解析解析 本题主要考查运用基本不等式求最值. a-3b+6=0,a-3b=-6, 2a+=2a+2-3b2=2=2=. 当且仅当2a=2-3b,即a=-3,b=

4、1时,2a+取得最小值,为. 1 8b -3 22 ab -3 2a b-6 2 1 4 1 8b 1 4 5.(2019上海,7,5分)若x,yR+,且+2y=3,则的最大值为 . 1 x y x 答案答案 9 8 解析解析 x,yR+,则3=+2y2, ,即, 当且仅当=2y=, 即x=,y=时,取最大值,为. 1 x 1 2y x 2y x 9 4 y x 9 8 1 x 3 2 2 3 3 4 y x 9 8 一题多解一题多解 x0,=3-2y,3-2y0,y0, 0y0,b0)中“=”成立的条件是a=b. (2)本题是求取最值时变量x的值,不要混同于求最值. ab 7.(2019天津

5、,13,5分)设x0,y0,x+2y=4,则的最小值为 . (1)(21)xy xy 答案答案 9 2 解析解析 本题主要考查基本不等式的运用.考查学生对基本不等式及其简单变形使用条件的掌握程 度,以及学生的推理、运算能力. =2+. x0,y0,4=x+2y2,解得00)上的一个动点,则点P到直线x+y =0的距离的最小值是 . 4 x 答案答案 4 解析解析 本题通过曲线y=x+(x0)上的动点到直线的最小距离考查点到直线的距离公式、基本不 等式等有关知识,利用点到直线的距离公式变形考查学生的运算求解能力,体现了从几何关系到代 数关系的直观想象和数学运算的核心素养. 设P,x00,则点P到

6、直线x+y=0的距离d=4,当且仅当x0=,即x0 =时取“=”. 故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4. 4 x 00 0 4 ,x x x 00 0 4 2 xx x 2 0 0 2 x x 0 2 x 2 一题多解一题多解 当点P到直线x+y=0的距离最小时,在点P处的切线与直线x+y=0平行. 设P,x00,易知y=1-, 令1-=-1,得=2. x00,x0=,P(,3). 此时点P到直线x+y=0的距离为=4. 故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4. 00 0 4 ,x x x 2 4 x 2 0 4 x 2 0 x 222 | 23 2| 2 9.(2017天津,13,5

7、分)若a,bR,ab0,则的最小值为 . 44 41ab ab 答案答案 4 解析解析 本题考查基本不等式的应用. a4+4b42a2 2b2=4a2b2(当且仅当a2=2b2时“=”成立), =4ab+, ab0,4ab+2=4当且仅当4ab=时“=”成立, 故当且仅当时,的最小值为4. 44 41ab ab 22 41a b ab 1 ab 1 ab 1 4ab ab 1 ab 22 2, 1 4 ab ab ab 44 41ab ab 1.(2018江苏,13,5分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ABC=120,ABC的平分线交AC 于点D,且BD=1,则4a+c的最

8、小值为 . 以下为教师用书专用 答案答案 9 解析解析 本题考查基本不等式及其应用. 依题意画出图形,如图所示. 易知SABD+SBCD=SABC, 即csin 60+asin 60=acsin 120, a+c=ac,+=1, 4a+c=(4a+c)=5+9,当且仅当=,即a=,c=3时取“=”. 1 2 1 2 1 2 1 a 1 c 11 ac c a 4a c c a 4a c 3 2 一题多解一题多解 另解一:作DECB交AB于E,BD为ABC的平分线, =,DECB,=, =,=.=+. =, 1=+2| |,1=,ac=a+c,+=1, 4a+c=(4a+c)=5+9,当且仅当=

9、,即a=,c=3时取“=”. 另解二:以B为原点,BD所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系, BA BC AD DC c a AD AC AE AB DE BC c ac BE a ac BAED c ac BCBD a ac BA c ac BC 2 BD 2 ac BABC acac 2 a BA ac 2 c BC ac a ac c ac BABC 1 - 2 2 2 () () ac ac 1 a 1 c 11 ac c a 4a c c a 4a c 3 2 则D(1,0).AB=c,BC=a,A,C. A,D,C三点共线, +c=0, ac=a+c,+=1, 4a+c=(4

10、a+c)=5+9,当且仅当=,即a=,c=3时取“=”. 3 , 22 c c 3 ,- 22 a a ADDC 1- 2 c 3 - 2 a 3 2 -1 2 a 1 a 1 c 11 ac c a 4a c c a 4a c 3 2 2.(2015重庆,14,5分)设a,b0,a+b=5,则+的最大值为 . 1a3b 答案答案 3 2 解析解析 解法一:令t=+, 则t2=(+)2=a+1+b+3+29+a+1+b+3=18,当且仅当=, 即a=,b=时,等号成立.即t的最大值为3. 解法二:设=m,=n,则m,n均大于零, 因为m2+n22mn,所以2(m2+n2)(m+n)2, 所以m

11、+n, 所以+=3, 当且仅当=, 即a=,b=时,“=”成立, 所以所求最大值为3. 1a3b 1a3b1a3b1a3b 7 2 3 2 2 1a3b 2 22 mn 1a3b213ab 2 1a3b 7 2 3 2 2 考点考点 基本不等式基本不等式 A A组组 考点基础题组考点基础题组 1.(2020辽宁辽阳一模,8)若log2x+log4y=1,则x2+y的最小值为( ) A.2 B.2 C.4 D.2 32 答案答案 C 因为log2x+log4y=log4x2+log4y=log4(x2y)=1, 所以x2y=4(x0,y0),则x2+y2=4,当且仅当x2=y=2时等号成立,即x

12、2+y的最小值为4.故选C. 2 x y 2.(2018山西第一次模拟,5)若P为圆x2+y2=1上的一个动点,且A(-1,0),B(1,0),则|PA|+|PB|的最大值为 ( ) A.2 B.2 C.4 D.4 22 答案答案 B 由题意知APB=90,|PA|2+|PB|2=4, =2(当且仅当|PA|=|PB|时取等号), |PA|+|PB|2,|PA|+|PB|的最大值为2.故选B. 2 | | 2 PAPB 22 | 2 PAPB 22 3.(2019安徽宣城第二次调研,9)已知双曲线-=1(m0,n0)和椭圆+=1有相同的焦点,则 +的最小值为( ) A.2 B.3 C.4 D.

13、5 2 x m 2 y n 2 5 x 2 2 y 4 m 1 n 答案答案 B 双曲线-=1(m0,n0)和椭圆+=1有相同的焦点, m+n=5-2=3.m0,n0,+=(m+n)=3, 当且仅当=,即m=2n=2时,等号成立,+的最小值为3.故选B. 2 x m 2 y n 2 5 x 2 2 y 4 m 1 n 1 3 41 mn 1 3 4 5 nm mn 1 3 4 52 n m mn 4n m m n 4 m 1 n 4.(2020陕西铜川二模,14)曲线f(x)=x3-(x0)上一动点P(x0, f(x0)处的切线斜率的最小值为 . 1 x 答案答案 2 3 解析解析 本题考查导

14、数的几何意义,及基本不等式同时考查学生的数学运算能力和转化思想的应用. 属于基础题. f (x)=3x2+,x0,3x2+2=2.故答案为2. 2 1 x 2 1 x 2 2 1 3x x 3 2 2 1 3x x 当且仅当时取等号3 5.(2020辽宁葫芦岛一模,15)已知a,bR,且a-2b+4=0,则3a+的最小值为 . 1 9b 答案答案 2 9 解析解析 a-2b+4=0,a-2b=-4. 3a+=3a+3-2b2=2=(当且仅当a=-2b=-2时取等号).故答案为. 1 9b -2 33 ab -4 3 2 9 2 9 6.(2019江西吉安期末,16)已知函数f(x)=,则f(x

15、)的最大值为 . 2 sin sin2 x x 答案答案 1 解析解析 设t=sin x+2,则t1,3,则sin2x=(t-2)2,则g(t)=t+-4(1t3),由“对勾函数”的性质 可得g(t)在1,2)上为减函数,在(2,3上为增函数,又g(1)=1,g(3)=,所以g(t)max=g(1)=1.即f(x)的最大值 为1. 2 ( -2)t t 4 t 1 3 一、选择题(每小题5分,共35分) B B组组 专题综合题组专题综合题组 (时间：40分钟 分值：45分) 1.(2020陕西咸阳一模,8)已知x+2y=xy(x0,y0),则2x+y的最小值为( ) A.10 B.9 C.8

16、D.7 答案答案 B 由x+2y=xy(x0,y0),可得+=1, 则2x+y=(2x+y)=5+5+4=9, 当且仅当=且+=1,即x=3,y=3时取等号,此时取得最小值9.故选B. 1 y 2 x 12 yx 2x y 2y x 2x y 2y x 1 y 2 x 2.(2020河南省实验中学二测,11)已知函数f(x)=x+,g(x)=2x+a,若x1,x22,3,使得f(x1) g(x2),则实数a的取值范围是( ) A.a1 B.a1 C.a0 D.a0 4 x 1 ,3 2 答案答案 C 本题考查不等式恒成立问题解法(注意运用转化思想),考查基本不等式和指数函数的 单调性,考查运算

17、能力和逻辑推理能力. x1,x22,3,使得f(x1)g(x2), 等价为f(x1)ming(x2)min,f(x)=x+2=4,当且仅当x=2时等号成立,由g(x)=2x+a在2,3上递增,可 得g(x)的最小值为g(2)=4+a,则4+a4,即a0,故选C. 1 ,3 2 4 x 4 x x 3.(2020陕西西安西工大附中一模,8)几何原本卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成 为后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多的代数的公理或定理都能够通过图形 实现证明,也称之为无字证明.现有如图所示的图形,点F在半圆O上,点C在直径AB上,且OFAB,设 AC=a,BC=b,

18、则该图形可以完成的无字证明为( ) A.(a0,b0) B.a2+b22ab(a0,b0) C.(a0,b0) D.(a0,b0) 2 ab ab 2ab ab ab 2 ab 22 2 ab 答案答案 D 由图形可知OF=AB=(a+b),OC=,在RtOCF中,由勾股定理可得 CF=,CFOF,(a+b)(a0,b0).故选D. 1 2 1 2 1 ()- 2 ab b 1 ( - ) 2 a b 22 - 22 aba b 22 1 () 2 ab 22 1 () 2 ab 1 2 4.(2020广西桂林、崇左、贺州3月模拟,11)已知函数f(x)=|ln x|,若0ab,且f(a)=f

19、(b),则2a+b的取值 范围是( ) A.3,+) B.(3,+) C.2,+) D.(2,+) 22 答案答案 C 本题考查函数与方程的关系,需熟练掌握数形结合的思想方法、对数的性质和基本不 等式的性质.考查数学运算能力、逻辑推理能力. f(x)=|ln x|=画出图象. 0ab且f(a)=f(b),0a10,即a=,b=时取等号. 2a+b的取值范围是2,+).故选C. -ln ,01, ln ,1, xx x x 2ab2 2 2 2 2 5.(2020四川巴中第一次诊断,10)函数f(x)、g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数,且f(x)+2g(x)= ex,若关于x的方程f(2

20、x)-mg(x)=0在区间(0,2内有解,则实数m的最小值为( ) A.4 B.4 C.8 D.8 22 答案答案 B f(x)+2g(x)=ex,f(-x)+2g(-x)=e-x, 又函数f(x)、g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数, f(x)-2g(x)=e-x,f(x)=,g(x)=, f(2x)-mg(x)=0在(0,2内有解, m=在(0,2内有解, 令t=ex-e-x,则00,b0,若不等式+恒成立,则m的最大值为 ( ) A.9 B.12 C.18 D.24 3 a 1 b3 m ab 答案答案 B 因为a0,b0, 所以由不等式+恒成立得m(a+3b)=6+恒成立. 因为

21、+2=6,当且仅当a=3b时等号成立, 所以6+12, 所以m12,即m的最大值为12. 故选B. 3 a 1 b3 m ab 31 ab 9b a a b 9b a a b 9b a ab 9b a a b 7.(2019晋冀鲁豫名校期末联考,10)已知函数f(x)=x2ex,若a0,b0,p=f,q=f,r=f(ab), 则( ) A.qrp B.qpr C.rpq D.rqp 22 2 ab 2 2 ab 答案答案 D 因为-=-=0, 所以,又(a0,b0),所以ab,易知函数f(x)=x2ex在区间(0,+)上 单调递增,所以f(ab)ff,即rqp. 22 2 ab 2 2 ab

22、22 22 4 ab 22 2 4 abab 2 ( - ) 4 a b 22 2 ab 2 2 ab 2 ab ab 2 2 ab 2 2 ab 22 2 ab 二、填空题(每小题5分,共10分) 8.(2020陕西汉中一模,16)已知函数f(x)=loga(x+3)-1(a0且a1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx +ny+4=0上,其中mn0,则+的最小值为 . 1 1m 2 n 答案答案 4 3 解析解析 本题考查了基本不等式及其应用,函数图象过定点问题和利用基本不等式求最值,考查了转 化思想和数学运算能力、逻辑推理能力. 由f(x)=loga(x+3)-1知, f(x)的图象过定点

23、A(-2,-1). 因为点A在直线mx+ny+4=0上,所以2m+n=4, 又mn0,所以m0,n0, 所以+= =+2=, 当且仅当=,即m=,n=3时取等号, 所以+的最小值为. 1 1m 2 n 12 1mn 1 36 mn 2 36(1) n m 2(1) 3 m n 2 3 2(1) 6(1)3 nm mn 4 3 6(1) n m 2(1) 3 m n 1 2 1 1m 2 n 4 3 9.(2019西藏拉萨中学高三月考,14)设a、b、c均为正实数,若a+b+c=1,则+ . 1 a 1 b 1 c 答案答案 9 解析解析 a、b、c均为正实数,a+b+c=1, +=(a+b+c

24、)=3+3+2+2+2=9,当且仅当a=b=c=时,取 等号. 1 a 1 b 1 c 111 abc ba ab ac ca cb bc 1 3 1.(2020 5 3原创题)已知二次不等式ax2+2x+b0的解集为,则s=a2+b2-2(a+b)的最小值 为( ) A.2-4 B.2+4 C.4-4 D.4+4 2 2 |-x x a 22 22 答案答案 C 由于二次不等式ax2+2x+b0的解集为,所以 得ab=2,且a0,b0. s=a2+b2-2(a+b)=(a+b)2-2(a+b)-2ab=(a+b-1)2-5. 因为a+b2=2,所以s4-4,当且仅当a=b=时,等号成立.故选

25、C. 2 2 |-x x a 2 0, (2 2) -40, a ab ab222 命题说明命题说明 本题考查不等式的解集与方程根的关系,同时也考查了利用基本不等式求最值.本题设 计重点是将不等式的解法与利用基本不等式求最值结合,涉及三个“二次”的有机结合,考查运算 求解能力及转化与化归的数学思想方法,属于中等题. 素养解读素养解读 本题通过不等式的性质、解法及求最值考查学生的数学运算和逻辑推理的核心素养, 渗透了化归思想、变式思想. 2.(2020 5 3原创题)已知正实数a,b满足a+2b=1,且ab2a+b+2恒成立,则的取值范围为 . 答案答案 (-,13+4 10 解析解析 由题意可

26、得恒成立,故的最小值.因为= =+=(a+2b)=5+8+13+2=13+4(当且仅当=时等号成 立), 故的取值范围为(-,13+4. 22ab ab 22ab ab 22ab ab 224abab ab 45ab ab 4 b 5 a 45 ba 4a b 10b a 410ab ba 10 4a b 10b a 10 命题说明命题说明 本题以不等式恒成立问题为载体,着重考查利用基本不等式求最值,学生完成本题,需 要运用逻辑推理、数学运算等核心素养;通过本题的训练,学生可以体会到转化与化归思想在解 题中的应用. 3.(2020 5 3原创题)已知实数x,y满足4x2+y2+xy=1,则4x

27、2+y2的最大值为 . 答案答案 4 3 解析解析 由题意可得4x2+y2=1-xy=(4-4xy)=4+2(-2x)y4+(-2x)2+y2=4+(4x2+y2),当且仅当y= -2x时等号成立,4x2+y2,4x2+y2的最大值为. 1 4 1 4 1 4 1 4 4 3 4 3 命题说明命题说明 本题是利用基本不等式求最值的问题,需要学生通过代换的思想转化所求式子,在转化 中要注意变量的范围,运用基本不等式求最值时,一定要注意“一正、二定、三相等”,考查了逻 辑推理、数学运算等核心素养;通过本题的训练,学生可以体会到转化与化归思想在解题中的应 用. 方法点拨方法点拨 1.掌握a2+b22

28、ab(a,bR)的重要变形:+2(a,b同号),ab(a,bR); (a,bR)等. b a a b 2 2 ab 2 2 ab 22 2 ab 2.为满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件,往往需要“拆”“拼”“凑”. 4.(2020 5 3原创题)已知函数f(x)=, f+f+f=(a+b)(a,b均为正实 数),则ab的最大值为 . 21 2 -1 x x 1 2 019 2 2 019 2 018 2 019 1 009 2 答案答案 4 解析解析 f(x)=, f(x)+f(1-x)=+=2, f+f+f =+=1 0092=(a+b), a+b=4,又a,b均为正实数, 则ab=

29、4,当且仅当a=b=2时取等号. 故ab的最大值为4. 21 2 -1 x x 21 2 -1 x x 2(1- )1 2(1- )-1 x x 1 2 019 2 2 019 2 018 2 019 12 018 2 0192 019 ff 22 017 2 0192 019 ff 1 0091 010 2 0192 019 ff 1 009 2 2 2 ab 命题说明命题说明 本题主要考查利用基本不等式求最值.本题设计重点是基本不等式与函数结合,试题强 调综合性.学生根据题目条件将首尾等距的项组合再相加,求出a+b=4是利用基本不等式求最值的 关键,解题时要注意应用基本不等式的三个前提条件.