2021年新课标（老高考）文数复习练习课件：5.2　平面向量的数量积及其应用.pptx

1、考点考点1 1 平面向量的数量积平面向量的数量积 1.(2020课标,5,5分)已知单位向量a,b的夹角为60,则在下列向量中,与b垂直的是( ) A.a+2b B.2a+b C.a-2b D.2a-b 答案答案 D 要判断A、B、C、D四个选项中的向量哪个与b垂直,只需判断这四个向量哪个与b的 数量积为零即可. A.(a+2b) b=a b+2b2=|a|b|cos 60+2|b|2=11cos 60+212=0. B.(2a+b) b=2a b+b2=2|a|b|cos 60+|b|2=211cos 60+12=20. C.(a-2b) b=a b-2b2=|a|b|cos 60-2|b|

2、2=11cos 60-212=-0. D.(2a-b) b=2a b-b2=2|a|b|cos 60-|b|2=211cos 60-12=0.故选D. 5 2 3 2 2.(2019课标,3,5分)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=( ) A. B.2 C.5 D.50 22 答案答案 A 本题主要考查平面向量的坐标运算以及向量模的计算;考查数学运算的核心素养. a=(2,3),b=(3,2),a-b=(-1,1),|a-b|=,故选A. 22 (-1)12 一题多解一题多解 a=(2,3),b=(3,2),|a|2=13,|b|2=13,a b=12,则|a-b|=.故选

3、 A. 22 -2aa bb13-2 12132 3.(2018课标,4,5分)已知向量a,b满足|a|=1,a b=-1,则a (2a-b)=( ) A.4 B.3 C.2 D.0 答案答案 B 本题考查数量积的定义和运算. a (2a-b)=2|a|2-a b=212-(-1)=3.故选B. 4.(2016课标,3,5分)已知向量=,=,则ABC=( ) A.30 B.45 C.60 D.120 BA 13 , 22 BC 3 1 , 22 答案答案 A cosABC=,所以ABC=30,故选A. | BA BC BA BC 3 2 5.(2017北京,7,5分)设m,n为非零向量,则“存

4、在负数,使得m=n”是“m n0”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案答案 A 由存在负数,使得m=n,可得m、n共线且反向,夹角为180,则m n=-|m|n|0,故充分性成 立.由m n0可得m,n的夹角为钝角或180,故必要性不成立.故选A. 6.(2018天津,8,5分)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,MON=120,=2,=2,则 的值为( ) A.-15 B.-9 C.-6 D.0 BMMACNNA BCOM 答案答案 C 本题考查向量的运算. 解法一:连接OA.=-=3-3=3(-)-3(-)=3(-)

5、, =3(-)=3(-|2)=3(21cos 120-12)=3(-2)=-6.故选C. 解法二:在ABC中,不妨设A=90,取特殊情况ONAC,以A为坐标原点,AB,AC所在直线分别为x 轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系, 因为MON=120,ON=2,OM=1, 所以O,C,M,B. 故=-=-6.故选C. BCACABANAMONOAOMOAONOM BCOMONOMOMONOMOM 3 2, 2 3 3 0, 2 5 ,0 2 15 ,0 2 BCOM 15 3 3 -, 22 13 ,- 22 15 4 9 4 7.(2020课标,14,5分)设向量a=(1,-1),b=(m+1

6、,2m-4),若ab,则m= . 答案答案 5 解析解析 由ab得a b=0,即m+1-(2m-4)=0,解得m=5. 8.(2019课标,13,5分)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则cos= . 答案答案 - 2 10 解析解析 由题意知cos=-. | | | a b a b 2222 2 (-8)2 6 22(-8)6 2 10 9.(2019天津,14,5分)在四边形ABCD中,ADBC,AB=2,AD=5,A=30,点E在线段CB的延长线 上,且AE=BE,则= . 3 BD AE 答案答案 -1 解析解析 本题主要考查平面几何知识的应用、解三角形、向量的坐标运算及数量积

7、的求解;考查学 生数形结合思想的应用以及运算求解能力;通过向量的不同表现形式更全面考查了学生逻辑推 理、直观想象及数学运算的核心素养. 解法一:BAD=30,ADBC, ABE=30, 又EA=EB,EAB=30, 在EAB中,AB=2, EA=EB=2. 以A为坐标原点,直线AD为x轴建立如图所示的平面直角坐标系. 3 则A(0,0),D(5,0),E(1,),B(3,), =(2,-),=(1,), =(2,-) (1,)=-1. 解法二:同解法一,求出EB=EA=2, 以,为一组基底, 则=-,=+=-, =(-) =-+- =52-12-25=-1. 33 BD3AE3 BD AE33

8、 ABAD BDADABAEABBEAB 2 5 AD BD AEADAB 2 - 5 ABAD ADAB 2 AB 2 5 ABAD 2 5 2 AD 7 5 3 3 2 2 5 10.(2016江苏,13,5分)如图,在ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,=4, =-1,则的值是 . BACABF CFBECE 答案答案 7 8 解析解析 解法一:(坐标法) 建立直角坐标系, 设D(0,0),A(3b,3c),B(-a,0),C(a,0),E(2b,2c),F(b,c),则 =(-a-3b,-3c),=(a-3b,-3c),=9b2+9c2-a2=4,=(-a-b,-c

9、),=(a-b,-c),= =b2+c2-a2=-1,=(-a-2b,-2c),=(a-2b,-2c),=4b2+4c2-a2, 由得b2+c2=,a2=, 所以=-=. 解法二:先证明一个三角形中与中点有关的向量公式. =(+) (+)=(+) (-)=|2-|2, =(+) (+)=(+) (-)=|2-|2=|2-|2,= =(+) (+)=(+) (-)=|2-|2=|2-|2,设|=m,|=n,由题意 可得 解得m2=,n2=, ABACBACAABACFBFCBFCFFB FCEBECBECEEBEC 222 222 99-4, -1, bc a bc a 5 8 13 8 BEC

10、E 4 5 8 13 8 7 8 BACAABACADDBADDCADDBADDBADDB BFCFFBFCFDDBFDDCFDDBFD DBFDDB 1 9 ADDBBECEEB ECEDDBEDDCEDDBED DBEDDB 4 9 ADDBADBD 22 2 2 -4, -1, 9 m n m n 45 8 13 8 所以=m2-n2=-=. BECE 4 9 4 9 45 8 13 8 7 8 1.(2016天津,7,5分)已知ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延 长到点F,使得DE=2EF,则的值为( ) A.- B. C. D. AFBC 5

11、 8 1 8 1 4 11 8 以下为教师用书专用 答案答案 B 建立如图所示的平面直角坐标系. 则B,C,A,所以=(1,0). 易知DE=AC,FEC=ACE=60,则EF=AC=, 所以点F的坐标为,所以=, 所以= (1,0)=.故选B. 1 -,0 2 1 ,0 2 3 0, 2 BC 1 2 1 4 1 4 13 ,- 88 AF 15 3 ,- 88 AFBC 15 3 ,- 88 1 8 一题多解一题多解 设=a,=b,则=a b=11cos 60=,=(b-a),=(b-a), =+=-a+(b-a)=-a+b, =-a b+b2=-+=,故选B. BABCBABC 1 2

12、DE 1 2 AC 1 2 DF 3 2 DE 3 4 AFADDF 1 2 3 4 5 4 3 4 AFBC 5 4 3 4 5 8 3 4 1 8 2.(2015课标,4,5分)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b) a=( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 答案答案 C 因为2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(2,-2)+(-1,2)=(1,0),所以(2a+b) a=(1,0) (1,-1)=11+0(-1)=1.故 选C. 3.(2014课标,4,5分)设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a b=( ) A.1 B.2 C.3 D.5 106 答案

13、答案 A 解法一:|a+b|=,a2+2a b+b2=10. 又|a-b|=,a2-2a b+b2=6. -,得4a b=4,即a b=1,故选A. 解法二:记m=a+b,n=a-b,则|m|=,|n|=,且a=(m+n),b=(m-n),则a b=(m+n) (m-n)=(|m|2-|n|2)=1. 10 6 106 1 2 1 2 1 4 1 4 4.(2014大纲全国,6,5分)已知a、b为单位向量,其夹角为60,则(2a-b) b=( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 答案答案 B (2a-b) b=2a b-|b|2=211cos 60-12=0,故选B. 5.(2016北京,9

14、,5分)已知向量a=(1,),b=(,1),则a与b夹角的大小为 . 33 答案答案 6 解析解析 cos=, =,即a与b夹角的大小为. | | | a b a b 133 1 22 3 2 6 6 6.(2015浙江,13,4分)已知e1,e2是平面单位向量,且e1 e2=.若平面向量b满足b e1=b e2=1,则|b|= . 1 2 答案答案 2 3 3 解析解析 令e1与e2的夹角为,e1 e2=|e1| |e2|cos =cos =,又0180,=60.因为b (e1-e2)=0,所 以b与e1、e2的夹角均为30,从而|b|=. 1 2 1 cos30? 2 3 3 7.(201

15、5湖北,11,5分)已知向量,|=3,则= . OAABOAOA OB 答案答案 9 解析解析 =+,|=3,= (+)=+=32+0=9. OBOAABOAABOAOA OBOAOAAB 2 OAOAAB 考点考点2 2 数量积的综合应用数量积的综合应用 1.(2020课标,6,5分)在平面内,A,B是两个定点,C是动点.若=1,则点C的轨迹为( ) A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.直线 ACBC 答案答案 A 不妨以AB所在直线为x轴,AB的中点为原点,建立平面直角坐标系, 设C(x,y),A(-c,0),B(c,0),c0,则=(x+c,y),=(x-c,y), 由=1,得(x+c)(

16、x-c)+y y=1,即x2+y2=c2+10, 点C的轨迹为圆.故选A. ACBC ACBC 2.(2020新高考,7,5分)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则的取值范围是 ( ) A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-2,4) D.(-4,6) AP AB 答案答案 A 如图,过点P作PP1直线AB于P1,过点C作CC1直线AB于C1, 过点F作FF1直线AB于F1,=| | cosPAB,当PAB为锐角时,| cosPAB=|, 当PAB为钝角时,| cosPAB=-|,所以当点P与C重合时,最大,此时=| |=6,当点P与F重合时,最小,此时=-|=-2,又因为点

17、P是正六边形ABCDEF内的 一点,所以-26.故选A. AP ABAPABAP 1 AP AP 1 APAP ABAP AB 1 ACAB AP ABAP AB 1 AFAB AP AB 3.(2017浙江,10,4分)如图,已知平面四边形ABCD,ABBC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O. 记I1=,I2=,I3=,则( ) A.I1I2I3 B.I1I3I2 C.I3I1I2 D.I2I10,nm. 从而DBC45,又BCO=45,BOC为锐角. 从而AOB为钝角.故I10,I30. 又OAOC,OB1),=-2(21), 22 22 ( -2)4, ( -2)9,

18、mn mn 5 4 ODOBOCOA 从而I3=12=12I1,又121,I10,I30,I3I1,I3I1I2.故选C. OC ODOA OB 4.(2018浙江,9,4分)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为,向量b满足b2-4e b+3=0,则|a-b|的最小值是( ) A.-1 B.+1 C.2 D.2- 3 333 答案答案 A 设=a,=b,=e,以O为原点,的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系,则E(1, 0).不妨设A点在第一象限,a与e的夹角为,点A在从原点出发,倾斜角为,且在第一象限内的 射线上.设B(x,y),由b2-4e b+3=0,得x2+

19、y2-4x+3=0,即(x-2)2+y2=1,即点B在圆(x-2)2+y2=1上运动.而=a- b,|a-b|的最小值即为点B到射线OA的距离的最小值,即为圆心(2,0)到射线y=x(x0)的距离减 去圆的半径,所以|a-b|min=-1.选A. OAOBOEOE 3 3 BA 3 3 一题多解一题多解 将b2-4e b+3=0转化为b2-4e b+3e2=0, 即(b-e) (b-3e)=0,(b-e)(b-3e). 设=e,=a,=b,=3e,=2e,则, 点B在以M为圆心,1为半径的圆上运动,如图. |a-b|=|,|a-b|的最小值即为点B到射线OA的距离的最小值,即为圆心M到射线OA

20、的距离减去 圆的半径. |=2,AOM=,|a-b|min=2sin-1=-1. OEOAOBONOMEBNB BA OM 3 3 3 5.(2020江苏,13,5分)在ABC中,AB=4,AC=3,BAC=90,D在边BC上,延长AD到P,使得AP=9,若 =m+(m为常数),则CD的长度是 . PA PB 3 - 2 m PC 答案答案 或0 18 5 解析解析 建系如图, 设P(x,y),则=(-x,-y),=(4-x,-y),=(-x,3-y), =m+, 解得 又AP=9,(8m)2+(9-6m)2=81, PAPBPC PAPB 3 - 2 m PC 3 -(4- )-(- ),

21、2 3 -(- )-(3- ), 2 xmxmx ym ymy 8 , 9-6 , xm ym m=0或m=,P(0,9)或P, 直线PA的方程为x=0或y=x, 当直线PA的方程为y=x时, 又直线BC的方程为+=1, 故由解得即D, CD=. 当直线PA的方程为x=0时,CD=0. 综上,CD=或0. 27 25 216 63 , 2525 7 24 7 24 4 x 3 y 7 , 24 1, 43 yx xy 72 , 25 21 , 25 x y 72 21 , 25 25 22 7221 -3 2525 18 5 18 5 6.(2020北京,13,5分)已知正方形ABCD的边长为

22、2,点P满足=(+),则|= ; = . AP 1 2 ABACPDPB PD 答案答案 ;-1 5 解析解析 如图,在正方形ABCD中,由=(+)得点P为BC的中点,|=,= ( +)=+=11cos 180=-1. AP 1 2 ABACPD5PBPDPBPC CDPBPCPBCDPBPC 一题多解一题多解 =(+),P为BC的中点.以A为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,由题 意知A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),P(2,1), |=,=(0,-1),=(-2,1),=(0,-1) (-2,1)=-1. AP 1 2 ABAC PD 22 (2-0)(1-2)5P

23、BPDPBPD 7.(2020浙江,17,4分)已知平面单位向量e1,e2,满足|2e1-e2|.设a=e1+e2,b=3e1+e2,向量a,b的夹角为 ,则cos2的最小值是 . 2 答案答案 28 29 解析解析 由题可知 从而 由可得代入可得a2, 从而cos =2=2=22,所以cos2,故cos2的最小值为. 12 12 , 3 aee bee 1 2 - , 2 3 - , 2 b a e a b e - 1, 2 3 - 1, 2 3 -5 2 2 b a a b ba | - |2, |3 - |2, |3 -5 |2 2 b a a b ba 22 22 22 -24, 9-

24、64, 25-3098, aa bb aa bb aa bb 2 22 2, 43, a ba ba 7 2 | | | a b a b 2 2 | | | a a b | | | | a b 2 2 | | 43| | a a 2 1 4 3 | | a 7 29 28 29 28 29 8.(2020天津,15,5分)如图,在四边形ABCD中,B=60,AB=3,BC=6,且=,=-,则实数 的值为 ,若M,N是线段BC上的动点,且|=1,则的最小值为 . ADBCADAB 3 2 MNDMDN 答案答案 ; 1 6 13 2 解析解析 以B为原点,BC所在直线为x轴,过B且垂直于BC的直

25、线为y轴建立平面直角坐标系,如图所 示, 则B(0,0),A,C(6,0),则=(6,0)=(6,0),=, =6+0=-9=-,=. =(1,0),D,不妨设M(x,0),N(x+1,0),且x0,5, 3 3 3 , 22 ADBCAB 33 3 -,- 22 ADAB 3 - 2 3 3 - 2 3 2 1 6 AD 5 3 3 , 22 =,=. =+=x2-4x+=(x-2)2+,当且仅当x=2时,取最小值. DM 53 3 -,- 22 x DN 33 3 -,- 22 x DMDN 5 - 2 x 3 - 2 x 2 3 3 2 15 4 27 4 13 2 DMDN 13 2

26、9.(2017课标,13,5分)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m= . 答案答案 7 解析解析 本题考查向量数量积的坐标运算. a=(-1,2),b=(m,1), a+b=(m-1,3),又(a+b)a, (a+b) a=-(m-1)+6=0,解得m=7. 10.(2016课标,13,5分)设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且ab,则x= . 答案答案 - 2 3 解析解析 因为ab,所以a b=0,即x+2(x+1)=0,解得x=-. 2 3 11.(2019北京,9,5分)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且ab,则m= . 答案答案 8

27、 解析解析 本题考查两向量垂直的充要条件和向量的坐标运算,考查了方程的思想方法. ab,a b=(-4,3) (6,m)=-24+3m=0,m=8. 12.(2018北京,9,5分)设向量a=(1,0),b=(-1,m).若a(ma-b),则m= . 答案答案 -1 解析解析 本题主要考查平面向量数量积的坐标运算. a=(1,0),b=(-1,m),a2=1,a b=-1, 由a(ma-b)得a (ma-b)=0,即ma2-a b=0, 即m-(-1)=0,m=-1. 13.(2017天津,14,5分)在ABC中,A=60,AB=3,AC=2.若=2,=-(R),且 =-4,则的值为 . BD

28、DCAEACABADAE 答案答案 3 11 解析解析 本题主要考查平面向量的线性运算以及数量积运算. 由=2得=+, 所以= (-)=-+-, 又=32cos 60=3,=9,=4, 所以=-3+-2=-5=-4,解得=. BDDCAD 1 3 AB 2 3 AC ADAE 12 33 ABAC ACAB 1 3 ABAC 1 3 2 AB 2 3 2 AC 2 3 ABAC ABAC 2 AB 2 AC ADAE 8 3 11 3 3 11 思路分析思路分析 根据=2得=+,利用=-4以及向量的数量积建立关于的方 程,从而求得的值. BDDCAD 1 3 AB 2 3 ACADAE 一题多

29、解一题多解 以A为原点,AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,如图,因为AB=3,AC=2,BAC=6 0,所以B(3,0),C(1,),又=2,所以D,所以=,而=-=(1,)-(3, 0)=(-3,),因此=(-3)+=-5=-4,解得=. 3BDDC 5 2 3 , 33 AD 5 2 3 , 33 AEACAB3 3ADAE 5 3 2 3 3 3 11 3 3 11 14.(2019江苏,12,5分)如图,在ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若 =6,则的值是 . AB ACAOEC AB AC 答案答案 3 解析解析 过D作DFEC,交AB

30、于F. D为BC的中点,F为BE的中点, 又BE=2EA,EF=EA, 又DFEO,AO=AD, =(+)=(+). =(+) =. =6, =-+, 1 2 AO 1 2 AD 1 2 1 2 ABAC 1 4 ABAC AOEC 1 4 ABAC 1 - 3 ACAB 1 4 22 21 - 33 ACAB ACAB ABACAOEC ABAC 3 2 2 AC 1 2 2 ABABAC =3,|=|,=. 2 AB 2 ACAB3AC AB AC 3 一题多解一题多解 由于题目中对BAC没有限制,所以不妨设BAC=90, AB=c,AC=b,建立如图所示的平面直角坐标系. 则E,D, 易

31、得lAD:y=x,lEC:+=1, 联立得解得则O. 由=6得6=0, c2=3b2,c=b,=. 0, 3 c , 2 2 b c c b x b 3 y c , 1, 3 c yx b xy c b , 4 , 4 b x c y , 4 4 b c ABACAOEC, 4 4 b c ,- 3 c b 3 AB AC 3 15.(2018上海,8,5分)在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0)、B(2,0),E、F是y轴上的两个动点,且| =2,则的最小值为 . EF AE BF 答案答案 -3 解析解析 设E(0,m),F(0,n),又A(-1,0),B(2,0), =(1,m),=(

32、-2,n). =-2+mn,又知|=2,|m-n|=2. 当m=n+2时,=mn-2=(n+2)n-2=n2+2n-2=(n+1)2-3. 当n=-1,即E(0,1),F(0,-1)时,取得最小值-3. 当m=n-2时,=mn-2=(n-2)n-2=n2-2n-2=(n-1)2-3. 当n=1,即E(0,-1),F(0,1)时,取得最小值-3. 综上可知,的最小值为-3. AEBF AE BFEF AE BF AE BF AE BF AE BF AE BF 16.(2017北京,12,5分)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则的最大值为 . AOAP 答案答案

33、6 解析解析 解法一:表示在方向上的投影与|的乘积,当P在B点时,有最大值,此 时=23=6. 解法二:设P(x,y),则=(2,0) (x+2,y)=2x+4,由题意知-1x1,x=1时,取最大值6, 的最大值为6. AOAPAPAOAOAOAP AOAP AOAPAOAP AOAP 17.(2016浙江,15,4分)已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,a b=1.若e为平面单位向量,则|a e|+|b e|的最大值 是 . 答案答案 7 解析解析 由a b=1,|a|=1,|b|=2可得向量a与b的夹角为60,建立平面直角坐标系,不妨设a=(1,0),b=(1, ),e=(cos

34、,sin ),则|a e|+|b e|=|cos |+|cos +sin |cos |+|cos |+|sin |=2|cos |+|sin | ,所以|a e|+|b e|的最大值是. 3333 77 1.(2015陕西,8,5分)对任意平面向量a,b,下列关系式中的是( ) A.|a b|a|b| B.|a-b|a|-|b| C.(a+b)2=|a+b|2 D.(a+b) (a-b)=a2-b2 不恒成立 以下为教师用书专用 答案答案 B 设向量a,b的夹角为,因为a b=|a|b| cos ,所以|a b|=|a|b|cos |a|b|,A成立;由向量的运 算律易知C,D成立.故选B.

35、2.(2017课标,13,5分)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且ab,则m= . 答案答案 2 解析解析 ab,a b=0,又a=(-2,3),b=(3,m),-6+3m=0,解得m=2. 3.(2016山东,13,5分)已知向量a=(1,-1),b=(6,-4).若a(ta+b),则实数t的值为 . 答案答案 -5 解析解析 因为a(ta+b),所以a (ta+b)=0,即ta2+a b=0,又因为a=(1,-1),b=(6,-4),所以|a|=,a b=16+(- 1)(-4)=10,因此可得2t+10=0,解得t=-5. 2 方法总结方法总结 正确利用两向量垂直的充要条件是构

36、造关于t的方程的前提.两非零向量a=(x1,y1)与b= (x2,y2)垂直的充要条件为x1x2+y1y2=0. 4.(2013课标,13,5分)已知两个单位向量a,b的夹角为60,c=ta+(1-t)b.若b c=0,则t= . 答案答案 2 解析解析 解法一:b c=b ta+(1-t)b=ta b+(1-t)b2 =t|a|b|cos 60+(1-t)|b|2=+1-t=1-. 由b c=0,得1-=0,所以t=2. 解法二:由题意作=a,=b,且=60,|=|=1.设=c,由c=ta+(1-t)b及b c=0,得C在 BA的延长线上,且BOC=90,所以A为BC的中点,即a=b+c,即

37、c=2a+(1-2)b,所以t=2. 2 t 2 t 2 t OAOBOA OBOAOBOC 1 2 1 2 考点考点1 1 平面向量的数量积平面向量的数量积 A A组组 考点基础题组考点基础题组 1.(2020云南昆明5月三诊,4)已知向量a=(1,1),b=(2,4),则(a-b) a=( ) A.-14 B.-4 C.4 D.14 答案答案 B a=(1,1),b=(2,4),a-b=(-1,-3), (a-b) a=-1-3=-4.故选B. 2.(2020安徽滁州4月模拟,8)已知平面向量a、b,满足|a|=|b|=1,若(2a-b) b=0,则向量a、b的夹角为 ( ) A.30 B

38、.45 C.60 D.120 答案答案 C 由(2a-b) b=0,可得a b=b2=,设向量a、b的夹角为, 则cos =,又0,所以向量a、b的夹角为60,故选C. 1 2 1 2 | | | a b a b 1 2 3.(2019河南安阳二模,7)如图所示,直角梯形ABCD中,ABCD,ABAD,AB=AD=4,CD=8.若=-7 ,3=,则=( ) A.11 B.10 C.-10 D.-11 CE DEBFFCAFBE 答案答案 D 以A为坐标原点,建立直角坐标系如图. 则A(0,0),B(4,0),E(1,4),F(5,1),所以=(5,1),=(-3,4),则=-15+4=-11.

39、故选D. AFBEAFBE 4.(2020四川宜宾二诊,15)在ABC中,已知AB=3,AC=2,P是边BC的垂直平分线上的一点,则 = . BCAP 答案答案 - 5 2 解析解析 取BC的中点D,由条件得= (+)=+=(-)(+)+0= (-)=(22-32)=-. BCAPBCADDPBCADBCDPACAB 1 2 ACAB 1 2 2 AC 2 AB 1 2 5 2 5.(2019江西临川九校3月联考,13)已知平面向量a=(2m-1,2),b=(-2,3m-2),且ab,则|2a-3b|= . 答案答案 65 解析解析 ab,a b=-2(2m-1)+2(3m-2)=0,解得m=

40、1, a=(1,2),b=(-2,1),2a-3b=(2,4)-(-6,3)=(8,1), |2a-3b|=. 64165 考点考点2 2 数量积的综合应用数量积的综合应用 1.(2020山西太原一模,4)已知平面向量a=(4,-2),b=(1,-3),若a+b与b垂直,则=( ) A.-2 B.2 C.-1 D.1 答案答案 C a=(4,-2),b=(1,-3),a+b与b垂直,(a+b) b=a b+b2=4+6+10=0,解得=-1,故选C. 2.(2020江西4月模拟,7)设x,yR,a=(x,1),b=(2,y),c=(-2,2),且ac,bc,则|2a+3b-c|=( ) A.2

41、 B. C.12 D.2 342610 答案答案 A 因为ac,所以a c=-2x+2=0,解得x=1,则a=(1,1), 因为bc,所以4+2y=0,解得y=-2,则b=(2,-2). 所以2a+3b-c=(10,-6),则|2a+3b-c|=2.故选A. 34 3.(2020四川德阳二诊,9)平行四边形ABCD中,已知AB=4,AD=3,点E、F分别满足=2,=, 且=-6.则向量在上的投影为( ) A.2 B.-2 C. D.- AEEDDFFC AFBEADAB 3 2 3 2 答案答案 C 本题考查向量的数量积和投影的综合应用,考查数学运算的核心素养,考查学生的转化 思想和数形结合思

42、想. 如图,AB=4,AD=3,点E、F分别满足=2,=, AE=2,DE=1,DF=FC=2. =-6=(+) (+)=-=32-3 4cosDAB-42,cosDAB=.向量在上的投影为|cosDAB=3=.故选C. AEEDDFFC AFBEADDFBAAE 1 2 ADAB 2 - 3 ABAD 2 3 2 AD 2 3 ABAD 1 2 2 AB 2 3 2 3 1 2 1 2 ADABAD 1 2 3 2 4.(2019安徽蚌埠一模,6)设向量a=(m,0),b=(1,1),且|b|2=|a|2-|a-b|2,则m等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案答案 B a=(m,

43、0),|a|2=m2.b=(1,1),|b|2=2.a-b=(m-1,-1),|a-b|2=(m-1)2+1, 2=m2-(m-1)2-1,解得m=2.故选B. 5.(2019山西吕梁四月模拟,7)如图,|=2,|=,|=4,与的夹角为135,若=+4 ,则=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 OAOB2OCOAOBOCOA OB 答案答案 B |=2,|=,与的夹角为135, =2=-2,=+4, =2+16+8, 16=42+162+8(-2),=2.故选B. OAOB2OAOB OA OB2 2 - 2 OCOAOB 2 OC 2 OA 2 OBOA OB 6.(2020云南4月联考

44、,16)已知平行四边形ABCD的面积为9,BAD=,E为线段BC的中点.若F 为线段DE上一点,且=+,则|的最小值为 . 3 2 3 AFAB 5 6 ADAF 答案答案 5 解析解析 如图,连接AE,E为线段BC的中点, =+=(+)-+=+,且E,F,D三点共线, +-=1,解得=,=+. 平行四边形ABCD的面积为9,BAD=, |sin=|=9, |=18, =+|cos=+-52|-5=5,当且仅当| |=|,即|=|=3时取等号. AFAB 5 6 ADABBE 2 AD 5 6 ADAE 5 - 6 2 AD 5 6 2 1 3 AF 1 3 AB 5 6 AD 3 2 3 A

45、BAD 2 3 3 2 ABAD3 ABAD 2 AF 1 9 2 AB 25 36 2 AD 5 9 ABAD 2 3 2 1 | 3 AB 2 5 | 6 AD 1 3 5 6 ABAD 1 3 AB 5 6 ADAB 5 2 AD5 |的最小值为. AF5 思路分析思路分析 可画出图形,连接AE,根据条件可得出=+,然后根据E,F,D三点共线求 出=,从而得出=+,由已知可得出|=18,遇模想平方,结合不等式可得出| 的最小值. AFAE 5 - 6 2 AD 1 3 AF 1 3 AB 5 6 ADABADAF 7.(2019河南郑州一模,13)已知e1,e2为单位向量且夹角为,设a=

46、3e1+2e2,b=3e2,则a在b方向上的投 影为 . 2 3 答案答案 1 2 解析解析 根据题意得,a b=9e1 e2+6=911+6=-+6=,又|b|=3,a在b方向上的投影为 =. 2 2 e 1 - 2 9 2 3 2| | a b b 3 2 3 1 2 一、选择题(每小题5分,共15分) B B组组 专题综合题组专题综合题组 (时间：40分钟 分值：45分) 1.(2020河南新乡一中二模,3)已知向量a=(0,2),b=(2,x),且a与b的夹角为,则x=( ) A.-2 B.2 C.1 D.-1 3 3 答案答案 B 本题考查数量积的应用.考查数学运算的核心素养和方程思想. 向量a=(0,2),b=(2