2021年新课标（老高考）文数复习练习课件：2.2　函数的基本性质.pptx

1、考点考点1 1 函数的单调性与最值函数的单调性与最值 1.(2019北京,3,5分)下列函数中,在区间(0,+)上单调递增的是( ) A.y= B.y=2-x C.y=lox D.y= 1 2 x 1 2 g 1 x 答案答案 A 本题主要考查指数函数、对数函数、幂函数的单调性,考查数形结合的思想.考查的核 心素养是直观想象. A选项,0,所以幂函数y=在(0,+)上单调递增. B选项,指数函数y=2-x=在(0,+)上单调递减. C选项,因为00可得x4或x-2, 所以x(-,-2)(4,+),令u=x2-2x-8, 则u=x2-2x-8在x(-,-2)上单调递减, 在x(4,+)上单调递增

2、. 又因为y=ln u在u(0,+)上单调递增, 所以y=ln(x2-2x-8)在x(4,+)上单调递增.故选D. 易错警示易错警示 本题易忽略定义域而错选C. 方法总结方法总结 复合函数的单调性遵循同增异减的原则. 3.(2016北京,10,5分)函数f(x)=(x2)的最大值为 . -1 x x 答案答案 2 解析解析 f (x)=,当x2时, f (x)0恒成立, f(x)在2,+)上单调递减, f(x)在2,+)上的最大值为f(2)=2. 2 -1 ( -1)x 一题多解一题多解 解法一:f(x)=1+, f(x)的图象是将y=的图象向右平移1个单位,再向上平移1个单位得到的.y=在2

3、,+)上单调 递减,f(x)在2,+)上单调递减,故f(x)在2,+)上的最大值为f(2)=2. 解法二:由题意可得 f(x)=1+.x2,x-11,01,11+2,即12. 故f(x)在2,+)上的最大值为2. -1 x x -1 1 -1 x x 1 -1x 1 x 1 x 1 -1x 1 -1x 1 -1x-1 x x 1.(2016北京,4,5分)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是( ) A.y= B.y=cos x C.y=ln(x+1) D.y=2-x 1 1-x 以下为教师用书专用 答案答案 D 选项A中,y=的图象是将y=-的图象向右平移1个单位得到的,故y=在(-1

4、,1) 上为增函数,不符合题意;选项B中,y=cos x在(-1,0)上为增函数,在(0,1)上为减函数,不符合题意;选项 C中,y=ln(x+1)的图象是将y=ln x的图象向左平移1个单位得到的,故y=ln(x+1)在(-1,1)上为增函数, 不符合题意;选项D中,y=2-x=是实数集R上的减函数,当然在区间(-1,1)上也为减函数,故选项D 符合题意. 1 1-x 1 -( -1)x 1 x 1 1-x 1 2 x 2.(2016浙江,7,5分)已知函数f(x)满足: f(x)|x|且f(x)2x,xR.( ) A.若f(a)|b|,则ab B.若f(a)2b,则ab C.若f(a)|b

5、|,则ab D.若f(a)2b,则ab 答案答案 B 依题意得f(a)2a,若f(a)2b,则2af(a)2b,2a2b,又y=2x是R上的增函数,ab.故选B. 3.(2017浙江,17,4分)已知aR,函数f(x)=+a在区间1,4上的最大值是5,则a的取值范围是 . 4 -xa x 答案答案 9 - , 2 4 x 2 4 x 2 2 -4x x 解析解析 本题考查函数的单调性,函数在闭区间上的最值的求法,考查分类讨论思想. 设g(x)=x+-a,x1,4,g(x)=1-=,易知g(x)在1,2上为减函数,在2,4上为增函数,g(2)=4-a,g (1)=g(4)=5-a. (1)当a4

6、时,|g(x)|max=5-a,f(x)max=|g(x)|max+a=5.a4符合题意. (2)当4a5时,|g(x)|max=maxa-4,5-a= 当a5时, f(x)max=a-4+a=5a=(舍去), 当4a时, f(x)max=5-a+a=5,45时,|g(x)|max=a-4,f(x)max=a-4+a=5a=(舍去). 综上,实数a的取值范围为. 9 -4,5, 2 9 5- ,4. 2 aa aa 9 2 9 2 9 2 9 2 9 2 9 - , 2 考点考点2 2 函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性 1.(2020新高考,8,5分)若定义在R的奇函数f(x)在(-,

7、0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)0的x的 取值范围是( ) A.-1,13,+) B.-3,-10,1 C.-1,01,+) D.-1,01,3 答案答案 D f(x)是定义在R上的奇函数,f(x-1)的图象关于点(1,0)中心对称,又f(x)在(-,0)上 单调递减,f(x-1)在(-,1)上单调递减,在(1,+)上也单调递减,且过(-1,0)和(3,0),f(x-1)的大致图象 如图: 当-1x0时,f(x-1)0,xf(x-1)0;当1x3时,f(x-1)0,xf(x-1)0. 综上,满足xf(x-1)0的x的取值范围是-1,01,3.故选D. 2.(2019课标,6,

8、5分)设f(x)为奇函数,且当x0时, f(x)=ex-1,则当x0时, f(x)=( ) A.e-x-1 B.e-x+1 C.-e-x-1 D.-e-x+1 答案答案 D 当x0,则f(-x)=e-x-1, 又f(x)是奇函数,f(x)=-f(-x)=-(e-x-1)=-e-x+1.故选D. 小题巧解小题巧解 特值法.令x=-1,则f(-1)=-f(1)=-(e1-1)=-e+1,结合选项知,只有D正确. 3.(2016山东理,9,5分)已知函数f(x)的定义域为R.当x 时, f=f.则f(6)=( ) A.-2 B.-1 C.0 D.2 1 2 1 2 x 1 - 2 x 答案答案 D

9、当x时,由f=f可得f(x)=f(x+1),所以f(6)=f(1),而f(1)=-f(-1), f(-1)=(-1)3-1=-2, 所以f(6)=f(1)=2,故选D. 1 2 1 2 x 1 - 2 x 4.(2019课标,12,5分)设f(x)是定义域为R的偶函数,且在(0,+)单调递减,则( ) A. f f()f() B. f f()f() C. f()f()f D. f()f()f 3 1 log 4 3 -2 2 2 -3 2 3 1 log 4 2 -3 2 3 -2 2 3 -2 2 2 -3 2 3 1 log 4 2 -3 2 3 -2 2 3 1 log 4 答案答案 C

10、 本题主要考查函数的奇偶性、单调性,对数与对数函数、指数与指数函数等知识,考查 学生的运算能力,考查了转化与化归的思想以及数形结合思想,体现了数学运算的核心素养. f(x)是定义域为R的偶函数,f(-x)=f(x).f=f(-log34)=f(log34). log34log33=1,且10, log340.f(x)在(0,+)上单调递减, f()f()f(log34)=f.故选C. 3 1 log 4 2 -3 2 3 -2 2 2 -3 2 3 -2 2 3 -2 2 2 -3 2 3 1 log 4 难点突破难点突破 同底指数幂比较大小,通常借助相应指数函数的单调性比较大小;指数幂与对数

11、比较 大小,可考虑引入中间值,如0,1等. 5.(2020江苏,7,5分)已知y=f(x)是奇函数,当x0时, f(x)=,则f(-8)的值是 . 2 3 x 答案答案 -4 解析解析 由函数f(x)是奇函数得f(-8)=-f(8)=-=-(23=-4. 2 3 8 2 3 ) 6.(2017课标,14,5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x(-,0)时, f(x)=2x3+x2,则f(2)= . 答案答案 12 解析解析 本题主要考查运用函数的奇偶性求函数值. 由题意可知f(2)=-f(-2),x(-,0)时, f(x)=2x3+x2,f(2)=-f(-2)=-2(-8)+4=-(

12、-12)=12. 7.(2019上海,6,4分)已知函数f(x)的周期为1,且当 0x1时, f(x)=log2x,则f= . 3 2 答案答案 -1 解析解析 本题主要考查函数的周期及函数求值问题,以对数函数为依托,考查学生的运算求解能力. 由已知f(x)的周期为1,当0 f(-),则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 2 1 - , 2 1 - , 2 3 , 2 1 3 , 2 2 3 , 2 以下为教师用书专用 答案答案 C f(x)是偶函数且在(-,0)上单调递增, f(x)在(0,+)上单调递减,且f(-)=f(),原不等式可化为f(2|a-1|)f().故有2|a-1|

13、,即|a-1| ,解得af()转 化为2|a-1|,解该不等式即可. 222 2 2.(2014课标,5,5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中 正确的是( ) A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 答案答案 C 解法一:由题意可得f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x), 从而可得: f(-x)g(-x)=-f(x)g(x), f(x)g(x)是奇函数; |f(-x)|g(-x)=|f(x)|g(x),|f(x)|g(x)是偶函数; f(

14、-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|, f(x)|g(x)|是奇函数; |f(-x)g(-x)|=|f(x)g(x)|,|f(x)g(x)|是偶函数.故选C. 解法二:可以利用满足题设条件的具体函数进行判断.例如f(x)是奇函数,可取f(x)=x,g(x)是偶函数, 可取g(x)=x2,从而, f(x)g(x)=x3,是奇函数;|f(x)|g(x)=|x| x2,是偶函数; f(x)|g(x)|=x3,是奇函数;|f(x)g(x)|=|x| x2,是偶函数.故选C. 3.(2017山东,14,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x-3,0时, f(

15、x)=6-x,则 f(919)= . 答案答案 6 解析解析 本题考查函数的奇偶性与周期性. 由f(x+4)=f(x-2)得f(x+6)=f(x), 故f(x)是周期为6的函数. 所以f(919)=f(6153+1)=f(1). 因为f(x)为R上的偶函数,所以f(1)=f(-1). 又x-3,0时, f(x)=6-x,所以f(-1)=6-(-1)=6. 从而f(1)=6,故f(919)=6. 方法小结方法小结 函数周期性的判断: 一般地,若f(x+T)=f(x),则|T|为函数的一个周期; 若f(x+T)=-f(x),则2|T|为函数的一个周期; 若f(x+T)=(f(x)0),则2|T|为

16、函数的一个周期. 1 ( )f x 4.(2016四川,14,5分)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0x1时, f(x)=4x,则f+f(2)= . 5 - 2 答案答案 -2 解析解析 f(x)是定义在R上的奇函数,f(0)=0, 又f(x)的周期为2,f(2)=0, 又f=f=-f=-=-2, f+f(2)=-2. 5 - 2 1 - 2 1 2 1 2 4 5 - 2 疑难突破疑难突破 奇函数中若x=0有定义,则f(0)=0. 5.(2016江苏,11,5分)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间-1,1)上, f(x)=其中 aR.若f=f,则f(5a)的值是

17、. ,-10, 2 - ,01, 5 xax xx 5 - 2 9 2 答案答案 - 2 5 解析解析 f(x)是周期为2的函数,f=f=f, f=f=f, 又f=f, f=f,即-+a=,解得a=, 则f(5a)=f(3)=f(4-1)=f(-1)=-1+=-. 5 - 2 1 -2- 2 1 - 2 9 2 1 4 2 1 2 5 - 2 9 2 1 - 2 1 2 1 2 1 10 3 5 3 5 2 5 6.(2014课标,15,5分)偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称, f(3)=3,则f(-1)= . 答案答案 3 解析解析 函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称, f(

18、2-x)=f(2+x)对任意x恒成立, 令x=1,得f(1)=f(3)=3, f(x)是偶函数, f(-1)=f(1)=3. 7.(2017上海春,21,14分)已知函数f(x)=log2. (1)解方程f(x)=1; (2)设x(-1,1),a(1,+),证明:(-1,1),且f-f(x)=-f; (3)设数列xn中,x1(-1,1),xn+1=(-1)n+1,nN*,求x1的取值范围,使得x3xn对任意nN*成立. 1 1- x x -1 - ax a x -1 - ax a x 1 a 3-1 3- n n x x 解析解析 (1)f(x)=log2=1,=2,解得x=. (2)证明:令

19、g(x)=-a+, a(1,+),g(x)在(-1,1)上是增函数, 又g(-1)=-1,g(1)=1, -1g(x)1,即(-1,1). f(x)-f=log2-log2=log2-log2 =log2=log2, f=log2=log2, f=f(x)-f,f-f(x)=-f. (3)f(x)的定义域为(-1,1), 1 1- x x 1 1- x x 1 3 -1 - ax a x 2 1- - a x a - -1 1 a a -1 -1 a a -1 - ax a x 1 a 1 1- x x 1 1 1 1- a a 1 1- x x 1 -1 a a 1-1 1-1 xa xa

20、- -1 - -1 axa x a x ax -1 - ax a x -1 1 - -1 1- - ax a x ax a x -1 - -1 a xax a x ax -1 - ax a x 1 a -1 - ax a x 1 a f(-x)=log2=-log2=-f(x),f(x)是奇函数. xn+1=(-1)n+1,xn+1= 当n为奇数时, f(xn+1)=f=f(xn)-f=f(xn)-1, f(xn+1)=f(xn)-1; 当n为偶数时, f(xn+1)=f=-f=1-f(xn), f(xn+1)=1-f(xn). f(x2)=f(x1)-1, f(x3)=1-f(x2)=2-f

21、(x1), f(x4)=f(x3)-1=1-f(x1), f(x5)=1-f(x4)=f(x1), f(x6)=f(x5)-1=f(x1)-1, f(xn)=f(xn+4),nN*. 设h(x)=-1-, 易知h(x)在(-1,1)上是增函数, 1- 1 x x 1 1- x x 3-1 3- n n x x 3-1, , 3- 3-1 -,. 3- n n n n x n x x n x 为奇数 为偶数 3-1 3- n n x x 1 3 3-1 - 3- n n x x 3-1 3- n n x x 1 1- x x 2 -1x f(x)=log2=log2h(x)在(-1,1)上是增函

22、数. x3xn对任意nN*成立,f(x3)f(xn)恒成立, 即 解得f(x1)1,即log21, 02,解得-10的是( ) A. f(x)=x-1 B. f(x)=log2|x| C. f(x)=cos x D. f(x)=2x+1 21 21 ()- ( ) - f xf x x x 答案答案 B 由题知:图象关于y轴对称,则f(x)为偶函数, x1,x2(0,+)(x1x2),0, 则f(x)在(0,+)上为增函数. A选项: f(x)=x-1, f(x)为奇函数,故A错误. B选项: f(x)=log2|x|, f(x)为偶函数,且在区间(0,+)上为增函数,故B正确. C选项: f

23、(x)=cos x, f(x)为偶函数,且在区间(0,+)上不单调,故C错误. D选项: f(x)=2x+1, f(x)为非奇非偶函数,故D错误. 故选B. 21 21 ()- ( ) - f xf x x x 3.(2019吉林长春质量监测(二),4)下列函数中,在(0,+)内单调递减的是( ) A.y=22-x B.y= C.y=lo D.y=-x2+2x+a -1 1 x x 1 2 g 1 x 答案答案 A 解法一:对于选项A,令t=2-x,因为函数t=2-x在(0,+)上单调递减,所以t(-,2).又因为y =2t是(-,2)上的增函数,所以y=22-x在(0,+)上单调递减,满足题

24、意. 对于选项B,因为y=1+,令t=,因为函数t=是(0,+)上的增函数,所以函数t=是(-1, +)上的增函数,所以函数y=是(0,+)上的增函数,不满足题意. 对于选项C,因为函数t=是(0,+)上的减函数,函数y=lot是(0,+)上的减函数,所以y=lo在 (0,+)上单调递增,不满足题意. 对于选项D,因为函数y=-x2+2x+a的图象的对称轴为直线x=1,所以函数y=-x2+2x+a在(0,1)上单调递 增,在(1,+)上单调递减,不满足题意. 故选A. 解法二:作四个函数的图象(图略),根据图象判断选项A符合题意. -1 1 x x -2 1x -2 x -2 x -2 1x

25、-1 1 x x 1 x 1 2 g 1 2 g 1 x 4.(2019西藏拉萨中学第一次月考,11)函数f(x)=lo(x2-4)的单调递增区间为( ) A.(-,-2) B.(2,+) C.(-,0) D.(0,+) 1 2 g 答案答案 A 由x2-40,得x2,所以函数f(x)的定义域为x|x2. 令t=x2-4,易知t在(-,-2)上单调递减, 由复合函数的单调性知函数f(x)=lo(x2-4)的单调递增区间为(-,-2).故选A. 1 2 g 5.(2019河南郑州第二次质量检测,7)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学 王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为

26、设xR,用x表示不超过x的最大整数,则y=x称 为高斯函数.例如:-2.1=-3,3.1=3,已知函数f(x)=,则函数y=f(x)的值域为( ) A.0,1,2,3 B.0,1,2 C.1,2,3 D.1,2 23 21 x x 答案答案 D f(x)=1+, 2x0,1+2x1,01, 则02,11+3,即1f(x)3, 当1f(x)2时,f(x)=1,当2f(x)0,且a1)为偶函数,函数f(x)=ax-a-x为奇函数; 函数f(x)=(a0且a1)为奇函数; 函数f(x)=loga(a0且a1)为奇函数. - - - xx xx a a aa 2 2 -1 1 x x a a -b x

27、 bx 2.(2020西藏山南二中一模,6)已知函数f(x+1)是偶函数,当x(1,+)时,函数f(x)单调递减,设a=f ,b=f(3),c=f(0),则a、b、c的大小关系为( ) A.bac B.cba C.bca D.abc 1 - 2 答案答案 A 本题考查利用函数奇偶性、对称性和单调性比较函数值的大小,考查数形结合思想、 分类讨论思想的运用,考查逻辑推理能力和数学运算能力. f(x+1)为偶函数,f(x+1)的图象关于y轴对称, f(x)的图象关于直线x=1对称. x(1,+)时, f(x)单调递减, x(-,1)时, f(x)单调递增, 又f(3)=f(-1)且-1-0, f(-

28、1)ff(0),即ba0的解集为 . 答案答案 1 , 3 解析解析 f(-x)=e-x-ex=-(ex-e-x)=-f(x),则函数f(x)是奇函数, 又易证在定义域R上, f(x)是增函数,则不等式f(2x+1)+f(x-2)0等价于f(2x+1)-f(x-2)=f(-x+2), 则2x+1-x+2,即x,故不等式的解集为. 1 3 1 , 3 一、选择题(每小题5分,共25分) B B组组 专题综合题组专题综合题组 (时间：40分钟 分值：45分) 1.(2020海南第一次联考,3)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=ax-a-x+2(a0且a 1),若

29、g(2)=a,则函数f(x2+2x)的单调递增区间为( ) A.(-1,1) B.(-,1) C.(1,+) D.(-1,+) 答案答案 D 依题意有f(x)+g(x)=ax-a-x+2, f(-x)+g(-x)=a-x-ax+2=-f(x)+g(x), -得f(x)=ax-a-x,所以g(x)=2,又因为g(2)=a, 所以a=2,所以f(x)=2x-2-x, f(x)在R上单调递增, 所以函数f(x2+2x)的单调递增区间为(-1,+). 故选D. 2.(2020皖江名校联盟第五次联考,7)已知f(x)是偶函数,且x0时, f(x)=-x2,若a=f(lg 5),b=f,c=f ,则a,b

30、,c的大小关系是( ) A.cab B.bca C.abc D.ac0时, f(x)=-x2,所以f(x)在(0,+)上单调递减,又ln 71lg 5lg =,b=f,c=f=f=f(ln 7), 故ca0,有0,设a=f(),b=f(-2),c=f(3),则( ) A.abc B.bca C.acb D.cb0,有0, 所以函数f(x)在区间(0,+)上是增函数, 因为23,所以f()f(2)f(3), 即f()f(-2)f(3),所以ab11的解集为 ( ) A.(-1,0) B.(-1,0)(0,1) C.(-1,0)(0,+) D.(-1,0)(1,+) 3 -1 x m5 2 答案答

31、案 A 由f(x)=-的图象关于点(0,2)对称,得f(-1)+f(1)=-+-=4, 解得m=-9,所以f(x)11即-11. 整理得03x1,解得-1x0,则实数a的取值范围为 . 2 log,4, 2-3,4, x x axx 12 12 ( )- () - f xf x x x 答案答案 5 0, 8 解析解析 由题意,函数f(x)=在R上单调递增,解得0a.故实数a的取值范围 是. 2 log,4, 2-3,4 x x axx 20, 8 -32, a a 5 8 5 0, 8 方法总结方法总结 解决分段函数的单调性问题时,应高度关注: 对变量所在区间的讨论; 保证各段上同增(减)时

32、,要注意端点处函数值的大小关系; 弄清最终结果是取并集还是取交集. 7.(2020江西九江十校4月模拟,15)已知f(x)为偶函数,当0 x5的解集为 . 答案答案 (-8,-3)(3,8) 解析解析 当0 x5,可得2x8,解得x3,此时3x5,解得x8,此时4x5在x0,+)上的解集为(3,8). 由于函数f(x)为偶函数,因此f(x)5的解集为(-8,-3)(3,8). 8.(2020四川达州二诊,14)函数f(x)=+1,若f(-t)=1.2,则f(t)= . 1 1-2 22 x x 答案答案 0.8 解析解析 根据题意, f(x)=+1=+1,则f(-x)=+1=-+1,则有f(x

33、)+f(-x)=2, 若f(-t)=1.2,则f(t)=2-1.2=0.8. .思路分析 根据题意,由函数的解析式变形可得f(x)=+1,求出f(-x)的解析式,相加可得f(x) +f(-x)=2,据此分析可得答案. 1 1-2 22 x x 1 2 1-2 21 x x 1 2 - - 1-2 21 x x 1 2 1-2 21 x x 1 2 1-2 21 x x 9.(2020陕西榆林三模,16)定义在R上的偶函数y=f(x)满足f(x+2)=-f(x),当x0,1)时, f(x)=1-x2,有以下 4个结论:2是y=f(x)的一个周期;f(1)=0;函数y=f(x-1)是奇函数;函数y

34、=f(x+1)在(1,2)上递增. 则这4个结论中正确的是 . 答案答案 解析解析 本题考查函数的奇偶性、对称性、周期性,函数的平移变换等,熟练掌握函数的性质是解题 的关键,考查学生的推理论证能力和逻辑推理能力. f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x),4是函数y=f(x)的一个周期,y=f(x)是偶函数,f(x+2)=-f(x)=- f(-x),函数y=f(x)的图象关于点(1,0)对称,由于当x0,1)时, f(x)=1-x2,于是可作出如下的函数图象: 由图可知,错误,正确. 方法总结方法总结 函数的奇偶性体现的是一种对称关系,而函数的单调性体现的是函数值随自变

35、量的变 化而变化的规律.因此在解题时,往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调 性,即实现区间的转换,再利用单调性解决相关问题. 1.(2020 5 3原创题)已知1x5,则下列函数中,最小值为4的是( ) A.y=4x+ B.y=x+ C.y=-x2+2x+3 D.y=5+ln x- 1 x 4 1x 1 x 答案答案 D 函数y=4x+在1,5上递增,所以4x+5,A不符合题意; 因为x1,所以y=x+=x+1+-14-1=3(当且仅当x=1时取等号),故其最小值不为4,B不符合 题意; y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,其最大值为4(当x=1时取得),最小值是f(5

36、)=-12,C不符合题意; 易知函数y=5+ln x-在(0,+)上递增,所以在区间1,5上也是增函数,其最小值为f(1)=5+ln 1-=4, 符合题意.故选D. 1 x 1 x 4 1x 4 1x 1 x 1 1 命题说明命题说明 本题考查利用基本不等式或函数单调性求函数的最值.A选项考查符题者对函数单调 性的理解;B选项提升运算要求;C选项考查答题者结合图象解题的能力;D选项考查答题者对基本 函数单调性的了解. 2.(2020 5 3原创题)设函数f(x)=e1-|x|+,若f(ax)f(x2+1),则a的取值范围是( ) A.(-,2 B.(-, C.-2,2 D.-, 2 2 2-

37、1 x x 2 22 答案答案 C f(x)的定义域为(-,+). f(-x)=e1-|-x|+=e1-|x|+=f(x), f(x)为偶函数, 当x0时, f(x)=e1-x+-1, y=e1-x,y=-1在0,+)内均为减函数, f(x)在0,+)内为减函数, f(x)为偶函数,f(x)在(-,0内为增函数, 由f(ax)f(x2+1),得|ax|x2+1,当x=0时,aR; 当x0时,|a|+|x|,即|a|2,-2a2.综上,a-2,2. 2 2 2-(- ) 1(- ) x x 2 2 2- 1 x x 2 3 1x 2 3 1x 1 | | x 命题说明命题说明 本题是函数基本性质

38、的综合问题,要求学生理解研究对象,合理运算,掌握函数性质.本 题考查了数学抽象、数学运算以及逻辑推理的核心素养.通过本题的训练,学生能够更进一步明白 函数问题研究的方向及要点. 技巧点拨技巧点拨 当函数解析式未知或已知但比较复杂时,将函数值的大小关系转化为自变量的大小关 系,是化抽象为具体与化繁为简的具体体现,但一定要注意自变量必须在同一个单调区间内,为达 到这一点,偶函数的性质f(-x)=f(x)=f(|x|)的灵活应用很关键. 3.(2020 5 3原创题)给出关于函数f(x)的一些限制条件:在(0,+)上单调递减;在(-,0)上单调 递增;是奇函数;是偶函数;f(0)=0.在这些条件中,

39、选择必需的条件,补充在下面问题中,并解决 这个问题.定义在R上的函数f(x), (填写你选定条件的序号),且f(-1)=0.求不等式f(x-1)0的 解集. 解析解析 由题意易知条件和最好只选择一个,否则可能产生矛盾;条件和最好也只选择一 个,否则f(x)就变成恒等于0的常数函数,失去研究价值. 选择条件.由f(x)是定义在R上的奇函数,可知f(0)=0,且f(x)在关于原点对称的区间上的单调性 一致,且f(1)=-f(-1)=0,因为f(x)在(0,+)上单调递减,所以,当0x1或x0,当x1或-1x 0时, f(x)0.f(x-1)00x-11或x-1-1,即1x2或x0的解集为(-,0)

40、(1,2). 选择条件.因为f(x)在(0,+)上单调递减,且f(x)是偶函数,所以f(x)在(-,0)上单调递增,注意 到f(-1)=0,所以f(x-1)0f(x-1)f(-1)f(|x-1|)f(|-1|)|x-1|10x0 的解集为(0,1)(1,2). 选择其他条件组合的解法类似. 如果同时选择条件.易知f(x)=0恒成立,不等式f(x-1)0的解集为空集. 命题说明命题说明 开放式问题,选择并不唯一,让答题者综合运用自己所学知识去探究、发现,合理选择, 淘汰不必要的条件,构建一个方便解决的问题.条件中,二选一是常规的选择(本题不能不选,否 则f(1)的值不能确定),也一样,但条件不同,并不是多余条件.选择的条件不同,问题的难度也 不同,如选择奇函数,则只需两个条件,但解答相对复杂一点;选择偶函数,则需要选择条件,解答 却更简单.可以检测答题者对数学元素的敏感性.