2021年新课标（老高考）理数复习练习课件：§10.2　双曲线.pptx

1、考点考点1 1 双曲线的定义和标准方程双曲线的定义和标准方程 1.(2020浙江,8,4分)已知点O(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点P满足|PA|-|PB|=2,且P为函数y=3图象上 的点,则|OP|=( ) A. B. C. D. 2 4-x 22 2 4 10 5 710 答案答案 D 由双曲线定义可知,点P在以A,B为焦点,实轴长为2的双曲线的右支上,设P(x,y),则x2- =1(x1),将y=3代入可得x2=,y2=3(x2-1)=,|OP|=,故选D. 2 3 y 2 4-x 13 4 27 4 22 xy10 2.(2020天津,7,5分)设双曲线C的方程为-=1

2、(a0,b0),过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线 为l.若C的一条渐近线与l平行,另一条渐近线与l垂直,则双曲线C的方程为( ) A.-=1 B.x2-=1 C.-y2=1 D.x2-y2=1 2 2 x a 2 2 y b 2 4 x 2 4 y 2 4 y 2 4 x 答案答案 D 由题意知双曲线的两条渐近线互相垂直,双曲线C为等轴双曲线,渐近线的斜率分别 为1和-1,直线l与一条渐近线平行,抛物线y2=4x的焦点为(1,0),=-1,即b=1.双曲线C的方程 为x2-y2=1.故选D. -0 0-1 b 3.(2017天津,5,5分)已知双曲线-=1(a0,b0)的左焦点为F

3、,离心率为.若经过F和P(0,4)两点 的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为( ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 2 2 x a 2 2 y b 2 2 4 x 2 4 y 2 8 x 2 8 y 2 4 x 2 8 y 2 8 x 2 4 y 答案答案 B 由离心率为可知a=b,c=a,所以F(-a,0),由题意可知kPF=1,所以 a=4,解得a=2,所以双曲线的方程为-=1,故选B. 222 4-0 0-(- 2 )a 4 2a 22 2 8 x 2 8 y 4.(2016课标,5,5分)已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的 取值范

4、围是( ) A.(-1,3) B.(-1,) C.(0,3) D.(0,) 2 2 x mn 2 2 3- y m n 33 答案答案 A 原方程表示双曲线,且焦距为4, 或 由得m2=1,n(-1,3).无解.故选A. 2 2 22 0, 3-0, 3-4, mn m n mnm n 2 2 22 0, 3-0, -(3- )-()4, mn m n m nmn 方法优化方法优化 由题意可知(m2+n)(3m2-n)0,所以-m2n0,且3m2-n0, 所以m2+n+3m2-n=22,解得m2=1,所以n(-1,3). (2016天津,6,5分)已知双曲线-=1(b0),以原点为圆心,双曲线

5、的实半轴长为半径长的圆与双 曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为( ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 2 4 x 2 2 y b 2 4 x 2 3 4 y 2 4 x 2 4 3 y 2 4 x 2 4 y 2 4 x 2 12 y 以下为教师用书专用 答案答案 D 设A(x0,y0),不妨令其在第一象限, 由题意得 可得=,=, 结合2x0 2y0=2b,可得b2=12. 所以双曲线的方程为-=1.故选D. 222 00 00 2 , , 2 xy b yx 2 0 x 2 16 4b 2 0 y 2 4 b 2 16 4

6、b 2 2 4 4 b b 2 4 x 2 12 y 考点考点2 2 双曲线的几何性质双曲线的几何性质 1.(2020课标,8,5分)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:-=1(a0,b0)的两条渐近线分别交 于D,E两点.若ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为( ) A.4 B.8 C.16 D.32 2 2 x a 2 2 y b 答案答案 B 直线x=a与双曲线C的两条渐近线y=x分别交于D、E两点,则|DE|=|yD-yE|=2b,所以S ODE= a 2b=ab,即ab=8. 所以c2=a2+b22ab=16(当且仅当a=b时取等号),即cmin=4,所以双曲线的焦距2c的最小值

7、为8,故选B. b a 1 2 2.(2020课标,11,5分)设双曲线C:-=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为.P是C 上一点,且F1PF2P.若PF1F2的面积为4,则a=( ) A.1 B.2 C.4 D.8 2 2 x a 2 2 y b 5 答案答案 A 设|PF1|=r1,|PF2|=r2, 则|r1-r2|=2a,+-2r1r2=4a2. 由于F1PF2P,则+=4c2, 4c2-2r1r2=4a2,r1r2=2b2. =r1r2=2b2=b2=4, e=,解得a2=1,即a=1.故选A. 2 1 r 2 2 r 2 1 r 2 2 r 1 2 PF F S

8、 1 2 1 2 2 2 1 b a 2 4 1 a 5 3.(2018课标,5,5分)双曲线-=1(a0,b0)的离心率为,则其渐近线方程为( ) A.y=x B.y=x C.y=x D.y=x 2 2 x a 2 2 y b 3 23 2 2 3 2 答案答案 A 本题主要考查双曲线的几何性质. e=,=, 双曲线的渐近线方程为y=x=x.故选A. 3 b a 2-1 e3-12 b a 2 4.(2017课标,9,5分)若双曲线C:-=1(a0,b0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为 2,则C的离心率为( ) A.2 B. C. D. 2 2 x a 2 2 y b

9、32 2 3 3 答案答案 A 本题主要考查双曲线的方程和性质,直线与圆的位置关系. 由题意可知圆的圆心为(2,0),半径为2.因为双曲线-=1的渐近线方程为y=x,即bxay=0,且 双曲线的一条渐近线与圆相交所得的弦长为2,所以=,所以=.故离心率e= =2.选A. 2 2 x a 2 2 y b b a 22 |2 | b ab 22 2 -1 b a 3 2 2 1 b a 5.(2019课标,10,5分)双曲线C:-=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若| PO|=|PF|,则PFO的面积为( ) A. B. C.2 D.3 2 4 x 2 2 y 3 2 4 3

10、 2 2 22 答案答案 A 由双曲线的方程为-=1,知a=2,b=,故c=,渐近线的方程为y=x. 不妨设点P在第一象限,作PQOF于Q,如图, |PO|=|PF|,Q为OF的中点,|OQ|=. 令POF=,由tan =得|PQ|=|OQ|tan =. 2 4 x 2 2 y 2 22 ab6 2 2 6 2 2 2 6 2 2 2 3 2 PFO的面积S=|OF| |PQ|=.故选A. 1 2 1 2 6 3 2 3 2 4 6.(2018课标,11,5分)已知双曲线C:-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条 渐近线的交点分别为M,N.若OMN为直角三角形,则|MN

11、|=( ) A. B.3 C.2 D.4 2 3 x 3 2 3 答案答案 B 本题主要考查双曲线的几何性质. 由双曲线C:-y2=1可知其渐近线方程为y=x,MOx=30,MON=60,不妨设OMN=90 ,则易知焦点F到渐近线的距离为b,即|MF|=b=1,又知|OF|=c=2, |OM|=,则在RtOMN中,|MN|=|OM| tanMON=3.故选B. 2 3 x3 3 3 7.(2016课标,11,5分)已知F1,F2是双曲线E:-=1的左,右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin MF2F1=,则E的离心率为( ) A. B. C. D.2 2 2 x a 2 2 y b 1

12、3 2 3 2 3 答案答案 A 本题考查双曲线的几何性质;考查了学生的运算求解能力;考查了数学运算的核心素 养. 解法一:由MF1x轴,可得M,|MF1|=. 由sinMF2F1=,可得cosMF2F1=, 又tanMF2F1=,=,b2=ac, c2=a2+b2b2=c2-a2,c2-a2-ac=0e2-e-1=0,又e1,e=.故选A. 解法二:由MF1x轴,得M,|MF1|=,由双曲线的定义可得|MF2|=2a+|MF1|=2a+,又sin MF2F1=a2=b2a=b,e=.故选A. 2 - , b c a 2 b a 1 3 2 1 1- 3 2 2 3 1 12 | | MF F

13、F 2 2 b a c 2 2 b a c 1 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 - , b c a 2 b a 2 b a 1 2 | | MF MF 2 2 2 b a b a a 1 3 22 2 ab a 2 8.(2020江苏,6,5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-=1(a0)的一条渐近线方程为y=x, 则该双曲线的离心率是 . 2 2 x a 2 5 y5 2 答案答案 3 2 解析解析 双曲线-=1(a0)的渐近线方程为y=x,=,a=2,则离心率e= =. 2 2 x a 2 5 y5 a 5 a 5 2 2 2 1 b a 5 1 4 3 2 9.(20

14、20课标,15,5分)已知F为双曲线C:-=1(a0,b0)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点, 且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为 . 2 2 x a 2 2 y b 答案答案 2 解析解析 点B为双曲线的通径位于第一象限的端点,其坐标为,点A的坐标为(a,0),AB的斜率 为3, =3,即=e+1=3,e=2. 2 , b c a 2 - b a c a 22 - ( - ) c a a c a ca a 10.(2020北京,12,5分)已知双曲线C:-=1,则C的右焦点的坐标为 ;C的焦点到其渐近 线的距离是 . 2 6 x 2 3 y 答案答案 (3,0); 3

15、解析解析 由双曲线的方程-=1,得a2=6,b2=3,故c2=9,C的右焦点的坐标为(3,0),易知渐近线方程 为y=x,双曲线的右焦点(3,0)到一条渐近线x-y=0的距离d=. 2 6 x 2 3 y 2 2 2 2 3 2 2 1 1 2 3 11.(2019江苏,7,5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2-=1(b0)经过点(3,4),则该双曲线的渐 近线方程是 . 2 2 y b 答案答案 y=x 2 解析解析 本题主要考查双曲线渐近线方程,考查了运算求解能力,考查的核心素养是数学运算. 由双曲线x2-=1(b0)经过点(3,4),得9-=1, 解得b=,又b0,所以b=, 易

16、知双曲线的焦点在x轴上, 故双曲线的渐近线方程为y=x=x. 2 2 y b 2 16 b 22 b a 2 12.(2017课标,15,5分)已知双曲线C:-=1(a0,b0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A, 圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若MAN=60,则C的离心率为 . 2 2 x a 2 2 y b 答案答案 2 3 3 解析解析 本题考查双曲线的几何性质和圆的性质. 不妨设点M、N在渐近线y=x上,如图,AMN为等边三角形,且|AM|=b, 则A点到渐近线y=x的距离为b,又将y=x变形为一般形式为bx-ay=0,则A(a,0)到渐近线bx-ay= 0的距离d=

17、,所以=b,即=,所以双曲线离心率e=. b a b a 3 2 b a 22 |ba ab |ab c |ab c 3 2 a c 3 2 c a 2 3 3 13.(2018北京,14,5分)已知椭圆M:+=1(ab0),双曲线N:-=1.若双曲线N的两条渐近线与 椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为 ; 双曲线N的离心率为 . 2 2 x a 2 2 y b 2 2 x m 2 2 y n 答案答案 -1;2 3 解析解析 本题考查椭圆与双曲线的几何性质. 解法一:如图是一个正六边形,A,B,C,D是双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点,F1,F

18、2为椭圆M 的两个焦点. 直线AC是双曲线N的一条渐近线,且其方程为y=x, =.设m=k,则n=k, 则双曲线N的离心率e2=2. 3 n m 33 22 ( 3 )kk k 连接F1C,在正六边形ABF2CDF1中,可得F1CF2=90,CF1F2=30. 设椭圆的焦距为2c,则|CF2|=c,|CF1|=c,再由椭圆的定义得|CF1|+|CF2|=2a,即(+1)c=2a,椭圆M 的离心率e1=-1. 解法二:双曲线N的离心率同解法一.由题意可得C点坐标为,代入椭圆M的方程,并结合a,b, c的关系, 联立得方程组 解得=-1. 33 c a 2 31 2( 3-1) ( 31)( 3-

19、1) 3 3 , 22 c c 2 2 22 222 3 2 2 1, -, c c ab a bc c a 331 c a 舍去 14.(2019课标,16,5分)已知双曲线C:-=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2,过F1的直线 与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若=,=0,则C的离心率为 . 2 2 x a 2 2 y b 1 F AAB 1 FB 2 F B 答案答案 2 解析解析 双曲线-=1(a0,b0)的渐近线方程为y=x, =0,F1BF2B, 点B在O:x2+y2=c2上,如图所示, 2 2 x a 2 2 y b b a 1 FB 2 F B 不妨设点B在第一象

20、限,由得点B(a,b),=,点A为线段F1B的中点,A, 将其代入y=-x得=.解得c=2a,故e=2. 222 222 , , , 0 b yx a xyc abc x 1 F AAB - , 22 a c b b a2 b - b a - 2 a cc a 思路分析思路分析 利用=0得出点B在O:x2+y2=c2上,结合点B在渐近线上求得点B的坐标,进而利 用=得点A的坐标,由点A在另一条渐近线上可得a与c的关系,从而求得离心率. 1 FB 2 F B 1 F AAB 疑难突破疑难突破 求点B的坐标是难点,垂直关系可以与圆联系,也可以转化为直角三角形,求边的关系. 一题多解一题多解 一题多

21、解一:如图,由=知A为线段F1B的中点,O为线段F1F2的中点,OAF2B, =0,F1BF2B, OAF1A且F1OA=OF2B, BOF2=AOF1,BOF2=OF2B, 又易知|OB|=|OF2|=c,OBF2为正三角形, 1 F AAB 1 FB 2 F B 可知=tan 60=,e=2. 一题多解二:如图,设AOy=,则BOy=,=,A为线段F1B的中点, 又O为线段F1F2的中点,OABF2,OBF2=2. 过B作BHOF2,垂足为H, 则BHy轴,则有OBH=,HBF2=, 易得OBHF2BH,|OB|=|BF2|, b a 3 c a 2 2 1 b a 1 F AAB =0,

22、BF1BF2,又O为F1F2的中点, |OB|=|OF2|=c,OBF2为正三角形. BOF2=60,则=tan 60=, e=2. 2 F B 1 FB b a 3 c a 2 2 1 b a 一题多解三:由题意知BF1F2为直角三角形.同上可得OBF2为正三角形,过B作BMOF2,过F2作 F2NOB,如图,易知|NF2|=b,|ON|=a, =2|ON| |NF2|=ab, |BM|=, 由面积相等知|OF2| |BM|=|OB| |NF2|c=c b2a=ce=2. 2 OBF S 1 2 2 2 2 | OBF S OF 2ab c 2ab c 1.(2019浙江,2,4分)渐近线方

23、程为xy=0的双曲线的离心率是( ) A. B.1 C. D.2 2 2 2 以下为教师用书专用 答案答案 C 本题考查双曲线的渐近线、离心率;考查学生的运算求解的能力;体现了数学运算的核 心素养. 渐近线方程为y=x,a=b,c=a,e=,故选C. 2 c a 2 解题关键解题关键 正确理解双曲线方程与渐近线方程的关系,从而得出a与c的关系. 2.(2018浙江,2,4分)双曲线-y2=1的焦点坐标是( ) A.(-,0),(,0) B.(-2,0),(2,0) C.(0,-),(0,) D.(0,-2),(0,2) 2 3 x 22 22 答案答案 B 本题考查双曲线的标准方程和几何性质.

24、 a2=3,b2=1,c=2.又焦点在x轴上,双曲线的焦点坐标为(-2,0),(2,0). 22 ab 易错警示易错警示 求双曲线焦点坐标的易错点: (1)焦点在x轴上还是y轴上,容易判断错误; (2)双曲线与椭圆的标准方程中a,b,c的关系式容易混淆. 3.(2016浙江,7,5分)已知椭圆C1:+y2=1(m1)与双曲线C2:-y2=1(n0)的焦点重合,e1,e2分别为C1, C2的离心率,则( ) A.mn且e1e21 B.mn且e1e21 C.m1 D.mn且e1e21,=1,即e1e21.结合图形易知mn,故选A. 2-1 m 2-1 m m 2 1n 2 1n n 2 1 e 2

25、 2 e 22 22 (-1)(1)mn mn 22 22 (-1) (-2) m mm 2 1 e 2 2 e 2 2-1 t t 思路分析思路分析 根据焦点相同可得m2与n2之间的关系,然后建立关于m的关系式,最后判定范围即 可. 2 1 e 2 2 e 4.(2015课标,5,5分)已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若0, 则y0的取值范围是( ) A. B. C. D. 2 2 x 1 MF 2 MF 33 -, 33 33 -, 66 2 2 2 2 -, 33 2 3 2 3 -, 33 答案答案 A 不妨令F1为双曲线的左焦点,则F2为

26、右焦点,由题意可知a2=2,b2=1,c2=3.F1(-,0),F2 (,0),则=(-x0) (-x0)+(-y0) (-y0)=+-3. 又知-=1,=2+2,=3-10. -y0,故选A. 3 3 1 MF 2 MF33 2 0 x 2 0 y 2 0 2 x 2 0 y 2 0 x 2 0 y 1 MF 2 MF 2 0 y 3 3 3 3 思路分析思路分析 由双曲线方程求出F1,F2的坐标,利用数量积的坐标运算表示出,利用M在双曲 线上得=2+2,从而将转化为仅含y0的式子,由0即可解得y0的取值范围. 1 MF 2 MF 2 0 x 2 0 y 1 MF 2 MF 1 MF 2 M

27、F 解题关键解题关键 依据0,b0),则A(-a,0),B(a,0),不妨设点M在第一象限内, 则易得M(2a,a),又M点在双曲线E上,于是-=1,可得b2=a2,e=. 2 2 x a 2 2 y b 3 2 2 (2 )a a 2 2 ( 3 )a b 2 2 1 b a 2 思路分析思路分析 设出双曲线方程,依据题意,求出点M的一个坐标,代入双曲线方程,得到关于a、b的方 程,进而可得出双曲线E的离心率. 6.(2017山东,14,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1(a0,b0)的右支与焦点为F的抛物 线x2=2py(p0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则

28、该双曲线的渐近线方程为 . 2 2 x a 2 2 y b 答案答案 y=x 2 2 解析解析 本题考查双曲线、抛物线的基础知识,考查运算求解能力和方程的思想方法. 设A(x1,y1),B(x2,y2).因为4|OF|=|AF|+|BF|,所以4=y1+y2+,即y1+y2=p.由消去x,得a2 y2-2pb2y+a2b2=0,所以y1+y2=.由可得=,故双曲线的渐近线方程为y=x. 2 p 2 p 2 p 2 22 22 2, -1 xpy xy ab 2 2 2pb a b a 2 2 2 2 思路分析思路分析 由抛物线的定义和|AF|+|BF|=4|OF|可得y1+y2的值(用p表示)

29、.再联立双曲线和抛物线的 方程,消去x得关于y的一元二次方程,由根与系数的关系得y1+y2.从而得的值,近而得渐近线方程. b a 解题关键解题关键 求渐近线方程的关键是求的值,利用题中条件建立等量关系是突破口,注意到|AF|、| BF|为焦半径,因此应利用焦半径公式求解.又A、B为两曲线的交点,因此应联立它们的方程求解. 这样利用y1+y2这个整体来建立等量关系便可求解. b a 7.(2018江苏,8,5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-=1(a0,b0)的右焦点F(c,0)到一条渐 近线的距离为c,则其离心率的值是 . 2 2 x a 2 2 y b 3 2 答案答案 2 解析解析

30、 本题考查双曲线的性质. 双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0,则F(c,0)到这条渐近线的距离为=c,b=c, b2=c2,又b2=c2-a2,c2=4a2,e=2. 22 | (- ) bc ba 3 2 3 2 3 4 c a 方法点拨方法点拨 焦点到渐近线的距离为b,可作为二级结论记忆,运用该方法直接得b=c,可简化解题 步骤. 3 2 8.(2017北京,9,5分)若双曲线x2-=1的离心率为,则实数m= . 2 y m 3 答案答案 2 解析解析 本题考查双曲线的性质. 由题意知,a2=1,b2=m.e=,m=2. c a 2 2 1 b a 1 1 m 3 9.(2017江苏,

31、8,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于 点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是 . 2 3 x 答案答案 2 3 解析解析 本题考查双曲线的性质及应用. 由-y2=1得右准线方程为x=,渐近线方程为y=x,|F1F2|=4,不妨设P在x轴上方,则P,Q ,=24=2. 2 3 x3 2 3 3 33 , 22 33 ,- 22 12 F PF Q S四边形 1 2 3 2 3 10.(2016江苏,3,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1的焦距是 . 2 7 x 2 3 y 答案答案 2 10 解析解析 本题考查双曲线的

32、几何性质. 由-=1,得a2=7,b2=3,所以c2=10,所以c=,所以2c=2. 2 7 x 2 3 y 1010 11.(2016北京,13,5分)双曲线-=1(a0,b0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线, 点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a= . 2 2 x a 2 2 y b 答案答案 2 解析解析 本题考查双曲线的几何性质. 由OA、OC所在的直线为渐近线,且OAOC,知两条渐近线的夹角为90,从而双曲线为等轴双曲 线,则其方程为x2-y2=a2.OB是正方形的对角线,且点B是双曲线的焦点,则c=2,根据c2=2a2可得a=2. 2 12.(2

33、016山东,13,5分)已知双曲线E:-=1(a0,b0).若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中 点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是 . 2 2 x a 2 2 y b 答案答案 2 解析解析 本题考查双曲线的几何性质;考查了学生的运算求解能力和数形结合思想;考查了数学运 算的核心素养. 由已知得|AB|=|CD|=,|BC|=|AD|=|F1F2|=2c.因为2|AB|=3|BC|,所以=6c,又b2=c2-a2,所以2e2-3e-2 =0,解得e=2或e=-(舍去). 2 2b a 2 4b a 1 2 考点考点1 1 双曲线的定义和标准方程双曲线的定义和

34、标准方程 A A组组 考点基础题组考点基础题组 1.(2020安徽安庆二模,10)点F1、F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点,直线4x-y-12=0与该双曲线 交于两点P,Q,则|F1P|+|F1Q|-|PQ|=( ) A.4 B.4 C.2 D.2 2 8 y 22 答案答案 B 本题主要考查双曲线的定义,直线与双曲线的位置关系.考查学生对双曲线定义的理解 和应用,考查学生的运算求解能力. 因为双曲线x2-=1的右焦点是F2(3,0),所以直线4x-y-12=0经过点F2(3,0),又知P,Q两点在右支上,于 是由双曲线定义可知,|F1P|+|F1Q|-|PQ|=|F1P|-|F2P|+

35、|F1Q|-|F2Q|=2a+2a=4.故选B. 2 8 y 2.(2020河南六市4月联考,10)已知P为圆C:(x-5)2+y2=36上任意一点,A(-5,0),若线段PA的垂直平分线 交直线PC于点Q,则Q点的轨迹方程为( ) A.+=1 B.-=1 C.-=1(x0) 2 9 x 2 16 y 2 9 x 2 16 y 2 9 x 2 16 y 2 9 x 2 16 y 答案答案 B 连接QA,如图所示, 图1 图2 点Q在线段PA的垂直平分线上,|QA|=|QP|,|QA|-|QC|=|QP|-|QC|=|PC|=6,又A(-5,0),C(5,0),| AC|=10,|QA|-|QC

36、|=610,点Q的轨迹是以A,C为焦点,且2a=6,2c=10的双曲线的右支(如图1所示). 当点P在圆C上运动时,点Q在y轴左侧也满足题意,即|QC|-|QA|=|QC|-|QP|=|PC|=60,b0)的左、右焦点分别为F1、F2,点M 在双曲线的右支上,点N为F2M的中点,O为坐标原点,|ON|-|NF2|=2b,ONF2=60,F1MF2的面积为2 ,则该双曲线的方程为( ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 2 2 x a 2 2 y b 3 2 4 x 2 2 y 2 4 x 2 4 y 2 8 x 2 2 y 2 8 x 2 4 y 答案答案 C 本题主要考查双曲线

37、的标准方程,双曲线的定义,焦点三角形的性质,以及余弦定理的应 用,考查的核心素养为数学运算和逻辑推理. 由于N为MF2的中点,O为F1F2的中点,所以ONMF1,且|ON|=|MF1|,故F1MF2=60,|ON|-|NF2|= (| MF1|-|MF2|)=a,故a=2b,设双曲线的焦距为2c,在MF1F2中,由余弦定理可得4c2=|MF1|2+|MF2|2-2|MF1| | MF2| cos 60=+|MF1| |MF2|=4a2+|MF1| |MF2|,|MF1| |MF2|=4c2-4a2=4b2,F1MF2的面积 为|MF1| |MF2| sin 60=b2=2,b2=2,a2=4b

38、2=8,则双曲线的方程为-=1.故选C. 1 2 1 2 2 12 (|-|)MFMF 1 2 33 2 8 x 2 2 y 小题巧解小题巧解 由于N为MF2的中点,O为F1F2的中点,所以ONMF1,且|ON|=|MF1|,故F1MF2=60,|ON| -|NF2|=(|MF1|-|MF2|)=a,故a=2b;利用焦点三角形的性质可知,=b2,由已 知可得=2,所以b2=2,又a=2b,所以a2=8,由此可得双曲线的方程为-=1,故选C. 1 2 1 2 1 2 MF F S 2 12 tan 2 b FMF 2 tan30? b 3 1 2 MF F S3 2 8 x 2 2 y 4.(2

39、019河南洛阳尖子生第二次联考,4)经过点(2,1),且渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切的双曲线的标准 方程为( ) A.-=1 B.-y2=1 C.-=1 D.-=1 2 11 3 x 2 11 y 2 2 x 2 11 3 y 2 11 x 2 11 y 2 11 3 x 答案答案 A 设双曲线的渐近线方程为y=kx,即kx-y=0,由渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切可得圆心(0,2)到 渐近线的距离等于半径1,由点到直线的距离公式可得=1,解得k=.因为双曲线经过点(2, 1),所以双曲线的焦点在x轴上,可设双曲线的方程为-=1(a0,b0),将(2,1)代入可得-=1, 由得故

40、所求双曲线的标准方程为-=1.故选A. 2 |0-2| 1 k k 3 2 2 x a 2 2 y b 2 4 a 2 1 b 22 41 -1, 3 ab b a 2 2 11, 3 11, a b 2 11 3 x 2 11 y 一题多解一题多解 设双曲线的方程为mx2-ny2=1(mn0),将(2,1)代入方程可得,4m-n=1.双曲线的渐近线 方程为y=x,圆x2+(y-2)2=1的圆心为(0,2),半径为1,由渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切,可得=1, 即=3,由可得m=,n=,所以该双曲线的标准方程为-=1,故选A. m n 2 1 m n m n 3 11 1 11 2 1

41、1 3 x 2 11 y 5.(2019豫东豫北十所名校第五次联考,15)已知双曲线E:-=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F 1,F2,过点F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A,B两点.若ABF2的内切圆与边AB,BF2,AF2分 别相切于点M,N,P,且AP的长为4,则a的值为 . 2 2 x a 2 2 y b 答案答案 2 解析解析 由题意知|BM|=|BN|,|F2P|=|F2N|,|AM|=|AP|,则|BF1|-|BF2|=|MF1|-|NF2|=2a,又|AF2|-|AF1|=2a,则|AF 1|=|AF2|-2a,所以|BF1|-|BF2|=|MA|+|AF1|-|N

42、F2|=|MA|+|AP|+|PF2|-2a-|NF2|=8-2a=2a,所以a=2. 考点考点2 2 双曲线的几何性质双曲线的几何性质 1.(2020河南开封二模,8)关于渐近线方程为xy=0的双曲线有下述四个结论:实轴长与虚轴长相 等,离心率是,过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长与实轴长相等,顶点到 渐近线与焦点到渐近线的距离的比值为.其中所有正确结论的编号是( ) A. B. C. D. 2 2 答案答案 C 本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质,相似三角形的性质,考查的核心素养为逻 辑推理,直观想象,数学运算. 依题意,不妨设渐近线方程为xy=0的双曲线方程为x2-y2=(

43、0),因此实轴长与虚轴长均为2, 所以正确;由于实轴长与虚轴长相等,所以离心率为,所以正确;过焦点且与实轴垂直的直线 被双曲线截得的线段长为2,而双曲线的实轴长也为2,所以正确;由相似三角形可知,顶点 到渐近线与焦点到渐近线的距离的比值为=,所以错误.综上可知,正确结论的编号为 ,故选C. | | 2 | | | | a c 2 2 2.(2020四川成都二诊,9) 如图,双曲线C:-=1(a0,b0)的左,右焦点分别是F1(-c,0),F2(c,0),直线y=与双曲线C的两条 渐近线分别相交于A,B两点.若BF1F2=,则双曲线C的离心率为( ) A.2 B. C. D. 2 2 x a 2

44、 2 y b2 bc a 3 4 2 3 2 2 3 3 答案答案 A 双曲线的一条渐近线OB的方程为y=-x,令-x=,得x=-,因为F1(-c,0),所以B为线段 OF1垂直平分线上的点,所以OF1B为等腰三角形,又BF1F2=,所以OF1B为等边三角形,所以 =tan=,所以离心率e=2,故选A. b a b a2 bc a2 c 3 b a 3 3 2 2 1 b a 2 1( 3) 3.(2020吉林梅河口五中4月月考,9) 如图,已知双曲线C:-=1(a0,b0)的左,右焦点分别为F1,F2,过F2的直线l与双曲线C的左,右两 支交于点B,A,若ABF1为正三角形,则双曲线C的渐近

45、线方程为( ) A.y=x B.y=x 2 2 x a 2 2 y b 23 C.y=x D.y=x 3 3 6 答案答案 D 本题主要考查双曲线的定义,余弦定理的应用以及双曲线的几何性质,考查运算求解能 力和数形结合思想. 根据双曲线定义,知|BF2|-|BF1|=2a,因为ABF1为正三角形,所以|AB|=|BF1|,所以|AF2|=2a,又|AF1|-|AF2 |=2a,所以|AF1|=4a,在AF1F2中,由余弦定理,得|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1| |AF2| cosF1AF2=16a2+4a2 -16a2 cos 120=28a2=4c2,所以c2=7a2

46、a2+b2=7a2=,所以双曲线的渐近线方程为y=x,故选 D. b a 66 4.(2020赣南五校联考,9)圆C:x2+y2-10y+16=0上有且仅有两点到双曲线-=1(a0,b0)的一条渐 近线的距离为1,则该双曲线离心率的取值范围是( ) A.(,) B. C. D.(,+1) 2 2 x a 2 2 y b 25 5 5 , 3 2 5 5 , 4 2 52 答案答案 C 本题主要考查圆上的点到直线的距离,双曲线的渐近线,双曲线的离心率等基础知识,考 查转化与化归思想,数形结合思想的应用,考查的核心素养为数学运算,直观想象,逻辑推理. 由已知可得双曲线-=1的一条渐近线为bx-ay

47、=0,圆C:x2+y2-10y+16=0的圆心为(0,5),半径为3, 因为圆C上有且仅有两点到直线bx-ay=0的距离为1,所以圆心(0,5)到直线bx-ay=0的距离d的范围为 2d4,即24,而a2+b2=c2,所以24,即e0,b0)的左、右焦点,P是双曲线C 右支上一点,若|PF1|+|PF2|=4a,且F1PF2=60,则双曲线C的渐近线方程是( ) A.xy=0 B.2xy=0 C.x2y=0 D.2xy=0 2 2 x a 2 2 y b 37 33 答案答案 C F1,F2是双曲线的左、右焦点,点P在双曲线的右支上,由双曲线定义可得|PF1|-|PF2|= 2a,又知|PF1|+|PF2|=4a,|PF1|=3a,|PF2|=a.在PF1F2中