2021年新课标（老高考）理数复习练习课件：§4.4　解三角形.pptx

1、考点考点1 1 正弦定理与余弦定理正弦定理与余弦定理 1.(2020课标,7,5分)在ABC中,cos C=,AC=4,BC=3,则cos B=( ) A. B. C. D. 2 3 1 9 1 3 1 2 2 3 答案答案 A 由cos C=得=, AB=3,cos B=,故选A. 222 - 2 ACBCAB AC BC 2 3 2 169- 2 4 3 AB 222 - 2 BABCAC BA BC 99-16 2 3 3 1 9 2.(2018课标,6,5分)在ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=( ) A.4 B. C. D.2 2 C5 5 230295 答案答案 A

2、本题考查二倍角公式和余弦定理. cos =,cos C=2cos2-1=2-1=-, 又BC=1,AC=5, AB= =4.故选A. 2 C5 52 C1 5 3 5 22-2 cosBCACBC ACC 3 125-2 1 5- 5 2 3.(2017山东,9,5分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+ 2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是( ) A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A 答案答案 A 本题考查三角函数公式的运用和正弦定理、余弦定理. 解法一:因为sin B(1+

3、2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C, 所以sin B+2sin Bcos C=sin Acos C+sin(A+C), 所以sin B+2sin Bcos C=sin Acos C+sin B, 即cos C(2sin B-sin A)=0, 所以cos C=0或2sin B=sin A,即C=90或2b=a, 又ABC为锐角三角形,所以0Cc2,故2b=a,故选A. 222 - 1 ab c ab 222 - 2 ab c ab 222 - 2 bc a bc 222 - 1 ab c ab 2b a 2 -1 b a 4.(2016课标,13,5分)ABC的内角A

4、,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b= . 4 5 5 13 答案答案 21 13 解析解析 由cos C=,0C,得sin C=. 由cos A=,0A,得sin A=. 所以sin B=sin-(A+C)=sin(A+C) =sin Acos C+sin Ccos A=, 根据正弦定理得b=. 5 13 12 13 4 5 3 5 63 65 sin sin aB A 21 13 5.(2018浙江,13,6分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60,则sin B= , c= . 7 答案答案 ;3 21 7 解析解

5、析 本题考查正弦定理、余弦定理. 由=得sin B=sin A=,由a2=b2+c2-2bccos A结合已知得c2-2c-3=0,解得c=3(舍负). sin a Asin b B b a 21 7 6.(2020北京,17,13分)在ABC中,a+b=11,再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知, 求: (1)a的值; (2)sin C和ABC的面积. 条件:c=7,cos A=-; 条件:cos A=,cos B=. 注:如果选择条件和条件分别解答,按第一个解答计分. 1 7 1 8 9 16 解析解析 若选条件: (1)a+b=11,b=11-a,已知c=7,cos A=-, 由余

6、弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得a2=(11-a)2+72-2(11-a)7,解得a=8. (2)cos A=-,sin A=. =,sin C=. 又b=11-a=11-8=3, SABC=bcsin A=37=6. 若选条件: (1)cos A=,sin A=. cos B=,sin B=. 由正弦定理=,得=,5a=6b, 又a+b=11,a=6. 1 7 1 - 7 1 7 2 1-cos A 4 3 7 sin a Asin c C sincA a 3 2 1 2 1 2 4 3 7 3 1 8 2 1-cos A 3 7 8 9 16 2 1-cos B 5 7 16

7、sin a Asin b B 3 7 8 a 5 7 16 b (2)由(1)可得b=11-a=5. sin C=sin-(A+B)=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=+=, SABC=absin C=65=. 3 7 8 9 16 1 8 5 7 16 7 4 1 2 1 2 7 4 15 7 4 7.(2020天津,16,14分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=2,b=5,c=. (1)求角C的大小; (2)求sin A的值; (3)求sin的值. 213 2 4 A 解析解析 (1)在ABC中,由余弦定理及a=2,b=5,c=,有co

8、s C=.又因为C(0,),所 以C=. (2)在ABC中,由正弦定理及C=,a=2,c=,可得sin A=. (3)由ac及sin A=,可得cos A=,进而sin 2A=2sin Acos A=,cos 2A=2cos2A-1= .所以, sin=sin 2Acos +cos 2Asin=+=. 213 222 - 2 ab c ab 2 2 4 4 213 sinaC c 2 13 13 2 13 13 2 1-sin A 3 13 13 12 13 5 13 2 4 A 4 4 12 13 2 2 5 13 2 2 17 2 26 8.(2019北京,15,13分)在ABC中,a=3

9、,b-c=2,cos B=-. (1)求b,c的值; (2)求sin(B-C)的值. 1 2 解析解析 (1)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B及已知,得 b2=32+c2-23c. 因为b=c+2,所以(c+2)2=32+c2-23c. 解得c=5.所以b=7. (2)由cos B=-得sin B=. 由正弦定理得sin C=sin B=. 在ABC中,B是钝角,所以C为锐角. 所以cos C=. 所以sin(B-C)=sin Bcos C-cos Bsin C=. 1 - 2 1 - 2 1 2 3 2 c b 5 3 14 2 1-sin C 11 14 4 3 7 9.(20

10、19天津,15,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4asin C. (1)求cos B的值; (2)求sin的值. 2 6 B 解析解析 本题主要考查同角三角函数的基本关系,两角和的正弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以 及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.体现了对数学运算这一核心素养的重视. (1)在ABC中,由正弦定理得bsin C=csin B, 又由3csin B=4asin C,得3bsin C=4asin C,即3b=4a,所以b=a.又因为b+c=2a,所以c=a.由余弦定理 的推论可得cos B=-. (2

11、)由(1)可得sin B=, 从而sin 2B=2sin Bcos B=-,cos 2B=cos2B-sin2B=-,故sin=sin 2Bcos+cos 2Bsin=- -=-. 4 3 2 3 222 - 2 ac b ac 222 416 - 99 2 2 3 aaa aa 1 4 2 1-cos B 15 4 15 8 7 8 2 6 B 6 6 15 8 3 2 7 8 1 2 3 57 16 思路分析思路分析 (1)由已知边角关系:3csin B=4asin C,正弦定理及b+c=2a把b,c用a表示,根据余弦定理即 可求出cos B. (2)由(1)利用同角三角函数基本关系式求出

12、sin B,再由二倍角公式求出sin 2B、cos 2B,代入两角和 的正弦公式即可求出sin的值. 2 6 B 10.(2018课标,17,12分)在平面四边形ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5. (1)求cosADB; (2)若DC=2,求BC. 2 解析解析 (1)在ABD中,由正弦定理得=. 由题设知,=,所以sinADB=. 由题设知,ADB0,所以cos B=2sin B0,从而cos B=.因此sin=cos B=. 2 2 3 222 - 2 ac b ac 2 3 222 (3 )-( 2) 2 3 cc cc 1 3 3 3 sin A a cos 2

13、B b sin a Asin b B cos 2 B b sinB b 4 5 2 5 5 2 B 2 5 5 13.(2019课标,18,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin=bsin A. (1)求B; (2)若ABC为锐角三角形,且c=1,求ABC面积的取值范围. 2 AC 解析解析 本题考查了正弦定理、二倍角公式、三角形面积公式以及学生对三角恒等变换的掌握情 况;考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力;考查了逻辑推理和数学运算的核心素养. (1)由题设及正弦定理得sin Asin=sin Bsin A. 因为sin A0,所以sin=sin B. 由A+B+

14、C=180,可得sin=cos, 故cos=2sincos. 因为cos0,故sin=,因此B=60. (2)由题设及(1)知ABC的面积SABC=a. 由正弦定理得a=+. 由于ABC为锐角三角形,故0A90,0C90. 由(1)知A+C=120,所以30C90,故a2,从而SABC. 2 AC 2 AC 2 AC 2 B 2 B 2 B 2 B 2 B 2 B1 2 3 4 sin sin cA C sin(120?- ) sin C C 3 2tanC 1 2 1 2 3 8 3 2 因此,ABC面积的取值范围是. 33 , 82 1.(2016天津,3,5分)在ABC中,若AB=,BC

15、=3,C=120,则AC=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 13 以下为教师用书专用 答案答案 A 在ABC中,设A,B,C所对的边分别为a,b,c,则由c2=a2+b2-2abcos C,得13=9+b2-23b ,即b2+3b-4=0,解得b=1(负值舍去),即AC=1.故选A. 1 - 2 2.(2016上海,9,4分)已知ABC的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于 . 答案答案 7 3 3 解析解析 由已知可设a=3,b=5,c=7.cos C=-,又0C0,sin C=, ABC的外接圆半径R=. 222 - 2 ab c ab 1 2 3 2 2sin c C

16、 7 3 3 3.(2017北京,15,13分)在ABC中,A=60,c=a. (1)求sin C的值; (2)若a=7,求ABC的面积. 3 7 解析解析 本题考查正、余弦定理的应用,考查三角形的面积公式. (1)在ABC中,因为A=60,c=a, 所以由正弦定理及已知得sin C=. (2)因为a=7,所以c=7=3. 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得72=b2+32-2b3, 解得b=8或b=-5(舍). 所以ABC的面积S=bcsin A=83=6. 3 7 sincA a 3 7 3 2 3 3 14 3 7 1 2 1 2 1 2 3 2 3 解后反思解后反思 根据所

17、给等式的结构特点,利用正弦定理将边的关系转化为角的关系是解题的关键.在 求解面积时,经常用余弦定理求出两边乘积. 4.(2016四川,17,12分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且+=. (1)证明:sin Asin B=sin C; (2)若b2+c2-a2=bc,求tan B. cos A a cosB b sinC c 6 5 解析解析 (1)证明:根据正弦定理, 可设=k(k0). 则a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C. 代入+=中,有+=,变形可得 sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B). 在ABC中,

18、由A+B+C=,得sin(A+B)=sin(-C)=sin C, 所以sin Asin B=sin C. (2)由已知b2+c2-a2=bc, 根据余弦定理的推论,有cos A=. 所以sin A=. 由(1)知,sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B, 所以sin B=cos B+sin B,故tan B=4. sin a Asin b Bsin c C cos A a cosB b sinC c cos sin A kA cos sin B kB sin sin C kC 6 5 222 - 2 bc a bc 3 5 2 1-cos A 4 5 4 5 4 5

19、3 5 sin cos B B 解后反思解后反思 通过本题发现:在等式中既有边长又有角的正、余弦时,往往想到应用正弦定理;出现 含有边长的平方及两边之积的等式,往往想到应用余弦定理. 5.(2016山东,16,12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2(tan A+tan B)=+. (1)证明:a+b=2c; (2)求cos C的最小值. tan cos A B tan cos B A 解析解析 (1)证明:由题意知2=+, 化简得2(sin Acos B+sin Bcos A)=sin A+sin B, 即2sin(A+B)=sin A+sin B. 因为A+B+C=,

20、 所以sin(A+B)=sin(-C)=sin C. 从而sin A+sin B=2sin C. 由正弦定理得a+b=2c. (2)由(1)知c=, 所以cos C=-, 当且仅当a=b时,等号成立.故cos C的最小值为. sinsin coscos AB AB sin coscos A AB sin coscos B AB 2 ab 222 - 2 ab c ab 2 22- 2 2 ab ab ab 3 8 ab ba 1 4 1 2 1 2 疑难突破疑难突破 利用切化弦将已知等式等价转化,最终转化为三角正弦之间的关系,从而结合正弦定理 得出三角形三边之间的关系. 6.(2016浙江,1

21、6,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B. (1)证明:A=2B; (2)若ABC的面积S=,求角A的大小. 2 4 a 解析解析 (1)证明:由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B, 故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B, 于是sin B=sin(A-B). 又A,B(0,),故0A-B, 所以,B=-(A-B)或B=A-B, 因此A=(舍去)或A=2B,所以,A=2B. (2)由S=得absin C=, 故有sin Bsin C=sin 2B=si

22、n Bcos B, 因为sin B0,所以sin C=cos B. 又B,C(0,),所以C=B. 当B+C=时,A=;当C-B=时,A=. 综上,A=或A=. 2 4 a1 2 2 4 a 1 2 2 2 2 2 4 2 4 思路分析思路分析 (1)由正弦定理及两角和的正弦公式将已知条件转化为A与B的三角函数关系,利 用A,B的范围及诱导公式得出A与B的关系;(2)利用三角形的面积公式将已知条件转化为C 与B的三角函数关系,再由B,C的范围及诱导公式求A的大小. 7.(2015课标,17,12分)ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,ABD面积是ADC面积的2倍. (1)求; (2)若A

23、D=1,DC=,求BD和AC的长. sin sin B C 2 2 解析解析 (1)SABD=AB ADsinBAD, SADC=AC ADsinCAD. 因为SABD=2SADC,BAD=CAD,所以AB=2AC. 由正弦定理可得=. (2)因为SABDSADC=BDDC,所以BD=. 在ABD和ADC中,由余弦定理知 AB2=AD2+BD2-2AD BDcosADB, AC2=AD2+DC2-2AD DCcosADC. 故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6. 由(1)知AB=2AC,所以AC=1. 1 2 1 2 sin sin B C AC AB 1 2 2 考点考点2 2

24、 解三角形及其应用解三角形及其应用 1.(2018课标,9,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC的面积为,则C= ( ) A. B. C. D. 222 - 4 ab c 2 3 4 6 答案答案 C 本题考查解三角形及其综合应用. 根据余弦定理得a2+b2-c2=2abcos C,因为SABC=,所以SABC=,又SABC=absin C,所 以tan C=1,因为C(0,),所以C=.故选C. 222 - 4 ab c2cos 4 abC1 2 4 2.(2016课标,8,5分)在ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cos A=( ) A. B. C.- D.-

25、 4 1 3 3 10 10 10 10 10 10 3 10 10 答案答案 C 解法一:过A作ADBC,垂足为D,由题意知AD=BD=BC,则CD=BC,AB=BC,AC= BC,在ABC中,由余弦定理的推论可知,cosBAC=-, 故选C. 1 3 2 3 2 3 5 3 222 - 2 ABACBC AB AC 222 25 - 99 25 2 33 BCBCBC BCBC 10 10 解法二:过A作ADBC,垂足为D,由题意知AD=BD=BC,则CD=BC,在RtADC中,AC=BC,则 sinDAC=,cosDAC=,又因为B=,所以cosBAC=cos=cosDAC cos- s

26、inDAC sin=-=-,故选C. 解法三:过A作ADBC,垂足为D,由题意知AD=BD=BC,则CD=BC,AB=BC,AC=BC,而 1 3 2 3 5 3 2 5 5 5 5 4 4 DAC 4 4 5 5 2 2 2 5 5 2 2 10 10 1 3 2 3 2 3 5 3 AB =(+) (+)=+=BC2-BC2=-BC2,所以cosBAC= =-,故选C. ACADDBADDC 2 ADADDCADDBDBDC 1 9 2 9 1 9 | AB AC AB AC 2 1 - 9 25 33 BC BCBC 10 10 3.(2020课标,16,5分)如图,在三棱锥P-ABC的

27、平面展开图中,AC=1,AB=AD=,ABAC,ABAD, CAE=30,则cosFCB= . 3 解析解析 将平面图形还原成三棱锥P-ABC(如图), 在PAB中,PAB=90,PA=,AB=,PB=, 在PAC中,PA=,AC=1,PAC=30, 由余弦定理得PC2=3+1-2 cos 30,PC=1, 在RtBAC中,易知BC=2, 在PCB中,由余弦定理的推论得cosPCB=-,即cosFCB=-. 336 3 3 14-6 2 1 2 1 4 1 4 答案答案 - 1 4 4.(2020新高考,15,5分)某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示.O为圆孔 及轮廓圆弧

28、AB所在圆的圆心,A是圆弧AB与直线AG的切点,B是圆弧AB与直线BC的切点,四边形 DEFG为矩形,BCDG,垂足为C,tanODC=,BHDG,EF=12 cm,DE=2 cm,A到直线DE和EF的 距离均为7 cm,圆孔半径为1 cm,则图中阴影部分的面积为 cm2. 3 5 答案答案 4+ 5 2 解析解析 如图,连接OA,过点A分别作AQDE,AKEF,垂足为Q,K,设AK与BH,DG分别交于点M,N,作 OPDG于点P,则AQ=AK=7 cm,DN=7 cm,DG=EF=12 cm,NG=5 cm,NK=DE=2 cm,AN= 5 cm,ANG为等腰直角三角形,GAN=45,OAG

29、=90,OAM=45,设AM=OM=x cm, 则PN=x cm,DP=(7-x)cm,tanODG=,OP=cm,AM+MN+NK=7 cm,即x+(7-x) +2=7,解得x=2,OA=2 cm,S阴影=(2)2+(2)2-=3+4-=cm2. 3 5 3 (7- ) 5 x 3 5 22 3 8 2 1 2 2 1 2 2 5 4 2 5.(2019浙江,14,6分)在ABC中,ABC=90,AB=4,BC=3,点D在线段AC上.若BDC=45,则BD= ,cosABD= . 答案答案 ; 12 2 5 7 2 10 解析解析 本题考查了两角差的余弦公式和正弦定理,通过解三角形考查了运算

30、求解能力,通过长度和 角度的计算体现了数学运算的核心素养. 在BDC中,BC=3,sinBCD=,BDC=45, 由正弦定理得=, 则BD=, 在ABD中,sinBAD=,cosBAD=,ADB=135, cosABD=cos180-(135+BAD)=cos(45-BAD)=cos 45cosBAD+sin 45sinBAD= =. 4 5 sin BD BCDsin BC BDC 4 3 5 2 2 12 2 5 3 5 4 5 2 2 43 55 7 2 10 6.(2020课标,17,12分)ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sin Bsin C. (1)求A; (2)若B

31、C=3,求ABC周长的最大值. 解析解析 (1)由正弦定理和已知条件得BC2-AC2-AB2=AC AB. 由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC ABcos A. 由得cos A=-.因为0A,所以A=. (2)由正弦定理及(1)得=2,从而AC=2sin B,AB=2sin(-A-B)=3cos B-sin B. 故BC+AC+AB=3+sin B+3cos B=3+2sin. 又0B,所以当B=时,ABC周长取得最大值3+2. 1 2 2 3 sin AC Bsin AB Csin BC A 3333 33 3 B 3 6 3 7.(2020新高考,17,10分)在ac=,csin

32、A=3,c=b这三个条件中任选一个,补充在下面问 题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由. 问题:是否存在ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin A=sin B,C=, ? 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 33 3 6 解析解析 方案一:选条件. 由C=和余弦定理得=. 由sin A=sin B及正弦定理得a=b. 于是=,由此可得b=c. 由ac=,解得a=,b=c=1. 因此,选条件时问题中的三角形存在,此时c=1. 方案二:选条件. 由C=和余弦定理得=. 由sin A=sin B及正弦定理得a=b. 于是=, 由此可

33、得b=c,B=C=,A=. 由csin A=3, 所以c=b=2,a=6. 因此,选条件时问题中的三角形存在,此时c=2. 6 222 - 2 ab c ab 3 2 33 222 2 3- 2 3 bb c b 3 2 33 6 222 - 2 ab c ab 3 2 33 222 2 3- 2 3 bb c b 3 2 6 2 3 3 3 方案三:选条件. 由C=和余弦定理得=. 由sin A=sin B及正弦定理得a=b. 于是=,由此可得b=c. 由c=b,与b=c矛盾. 因此,选条件时问题中的三角形不存在. 6 222 - 2 ab c ab 3 2 33 222 2 3- 2 3

34、bb c b 3 2 3 8.(2020浙江,18,14分)在锐角ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知2bsin A-a=0. (1)求角B的大小; (2)求cos A+cos B+cos C的取值范围. 3 解析解析 本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理等基础知识,同时考查数学运算等素养. (1)由正弦定理得2sin Bsin A=sin A, 故sin B=,由题意得B=. (2)由A+B+C=得C=-A, 由ABC是锐角三角形得A. 由cos C=cos=-cos A+sin A得cos A+cos B+cos C=sin A+cos A+=sin+ ,.故cos A+

35、cos B+cos C的取值范围是. 3 3 2 3 2 3 , 6 2 2 - 3 A 1 2 3 2 3 2 1 2 1 2 6 A 1 2 31 2 3 2 31 3 , 22 9.(2018北京,15,13分)在ABC中,a=7,b=8,cos B=-. (1)求A; (2)求AC边上的高. 1 7 解析解析 (1)在ABC中,因为cos B=-, 所以sin B=. 由正弦定理得sin A=. 由题设知B, 所以0A.所以A=. (2)在ABC中, 因为sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=, 所以AC边上的高为asin C=7=. 1 7 2 1

36、-cos B 4 3 7 sinaB b 3 2 2 2 3 3 3 14 3 3 14 3 3 2 方法总结方法总结 处理解三角形相关的综合题目时,首先要掌握正、余弦定理,其次结合图形分析哪些 边、角是已知的,哪些边、角是未知的,然后将方程转化为只含有边或角的方程,最后通过解方程 求出边或角. 10.(2017课标,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2. (1)求cos B; (2)若a+c=6,ABC的面积为2,求b. 2 B 解析解析 (1)由题设及A+B+C=得sin B=8sin2, 故sin B=4(1-cos B). 上式两

37、边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0, 解得cos B=1(舍去)或cos B=. (2)由cos B=得sin B=,故SABC=acsin B=ac. 又SABC=2,则ac=. 由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2=4.所以b=2. 2 B 15 17 15 17 8 17 1 2 4 17 17 2 17 2 15 1 17 解后反思解后反思 在余弦定理和三角形面积公式的运用过程中,要重视“整体运算”的技巧.如本题中b2 =a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)中的转

38、化就说明了这一点. 11.(2019课标,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C. (1)求A; (2)若a+b=2c,求sin C. 2 解析解析 (1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理得cos A= =.因为0A180,所以A=60. (2)由(1)知B=120-C,由题设及正弦定理得sin A+sin(120-C)=2sin C, 即+cos C+sin C=2sin C,可得cos(C+60)=-. 由于0C120,所以

39、sin(C+60)=, 故sin C=sin(C+60)-60=sin(C+60)cos 60-cos(C+60)sin 60=. 222 - 2 bc a bc 1 2 2 6 2 3 2 1 2 2 2 2 2 62 4 思路分析思路分析 (1)先借助正弦定理将角化为边,然后利用余弦定理求出角A的余弦值,进而得出角A.(2) 利用正弦定理将已知等式中的边化为角,利用三角恒等变换将原式化为含有角C的正弦、余弦的 等式,利用角度变换求出sin C. 1.(2017浙江,11,4分)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率,理论上能把的值 计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将

40、的值精确到小数点后七位,其结果领先世界 一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6,S6= . 以下为教师用书专用 答案答案 3 3 2 解析解析 本题考查圆内接正六边形面积的计算. S6=611sin 60=. 1 2 3 3 2 2.(2016天津,12,5分)如图,AB是圆的直径,弦CD与AB相交于点E,BE=2AE=2,BD=ED,则线段CE的长 为 . 答案答案 2 3 3 解析解析 连接AC,BC.由题可得DBA=DEB=AEC=ACE,所以AC=AE=1.在RtACB中,ACB =90,AC=1,AB=3,则cos A=.在ACE中,由余弦定理易得CE=. 1

41、 3 22 1 11 -2 1 1 3 2 3 3 3.(2017浙江,14,6分)已知ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则BDC 的面积是 ,cosBDC= . 答案答案 ; 15 2 10 4 解析解析 本题考查余弦定理,同角三角函数关系式,二倍角公式,三角形面积公式,考查运算求解能力. AB=AC=4,BC=2, cosABC=, ABC为三角形的内角, sinABC=, sinCBD=,故SCBD=22=. BD=BC=2,ABC=2BDC.又cosABC=, 2cos2BDC-1=,得cos2BDC=, 又BDC为锐角,cosBDC=. 2

42、22 - 2 ABBCAC AB BC 1 4 15 4 15 4 1 2 15 4 15 2 1 4 1 4 5 8 10 4 4.(2015课标,16,5分)在平面四边形ABCD中,A=B=C=75,BC=2,则AB的取值范围是 . 答案答案 (-,+) 6262 解析解析 依题意作出四边形ABCD,连接BD.令BD=x,AB=y,CDB=,CBD=.在BCD中,由正弦定 理得=.由题意可知,ADC=135,则ADB=135-.在ABD中,由正弦定理得= .所以=,即y=. 2 sinsin75? x sin75? x sin(135?- ) y sin(135?- ) y 2 sin 2

43、sin(135?- ) sin 2sin90?-( -45?) sin 2cos( -45?) sin 2(cossin ) sin 因为075,+75=180,所以30105, 当=90时,易得y=; 当90时,y=, 此时由300,tan B+tan C0,tan Btan C1, tan Atan Btan C= tan B tan C =, 令tan Btan C-1=t,则t0,tan Atan Btan C=22(2+2)=8,当且仅当t=,即tan Btan C=2时,取“=”.tan Atan Btan C的最小值为8. tantan 1-tantan BC BC tantan

44、 tantan-1 BC BC tantan tantan-1 BC BC tantan tantan-1 BC BC 2 2(tantan) tantan-1 BC BC 2 2(1)t t 1 2t t 1 t 方法总结方法总结 三角求值问题中,角的变换是重点,也是探求解题途径的切入点,把已知条件sin A=2sin Bsin C转化为sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bsin C,进而得到tan B+tan C=2tan Btan C,再把tan A用tan B、tan C表示出来,从而将tan Atan Btan C用含tan B、tan C的式子表示出来,这是解题

45、的关键. 6.(2017天津,15,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ab,a=5,c=6,sin B=. (1)求b和sin A的值; (2)求sin的值. 3 5 2 4 A 解析解析 本题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角的正弦、余弦公式,两角和的正弦公式以及 正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力. (1)在ABC中,因为ab,故由sin B=,可得cos B=.由已知及余弦定理,有b2=a2+c2-2accos B=13,所 以b=. 由正弦定理=,得sin A=. 所以,b的值为,sin A的值为. (2)由(1)及ac,得cos A=,

46、所以sin 2A=2sin Acos A=,cos 2A=1-2sin2A=-. 故sin=sin 2Acos+cos 2Asin=. 3 5 4 5 13 sin a Asin b B sinaB b 3 13 13 13 3 13 13 2 13 13 12 13 5 13 2 4 A 4 4 7 2 26 方法总结方法总结 1.利用正、余弦定理求边或角的步骤:(1)根据已知的边和角画出相应的图形,并在图中 标出;(2)结合图形选择用正弦定理或余弦定理求解;(3)在运算和求解过程中注意三角恒等变换和 三角形内角和定理的运用. 2.解决三角函数及解三角形问题的满分策略:(1)认真审题,把握变

47、形方向;(2)规范书写,合理选择公 式;(3)计算准确,注意符号. 7.(2016江苏,15,14分)在ABC中,AC=6,cos B=,C=. (1)求AB的长; (2)求cos的值. 4 5 4 - 6 A 解析解析 (1)因为cos B=,0B, 所以sin B=. 由正弦定理知=,所以AB=5. (2)在ABC中,A+B+C=,所以A=-(B+C), 于是cos A=-cos(B+C)=-cos=-cos Bcos+sin B sin, 又cos B=,sin B=,故cos A=-+=-. 因为0A,所以sin A=. 因此,cos=cos Acos+sin Asin=-+=. 4 5 2 1-cos B 2 4