2021新高考数学复习练习课件：§2.4　指数函数与对数函数.pptx

1、考点考点1 指数式与对数式指数式与对数式 1.(2020课标文,8,5分)设alog34=2,则4-a=( ) A. B. C. D. 1 16 1 9 1 8 1 6 答案答案 B alog34=2,a=2log43=log23,4-a=,故选B. 2 -log 3 4 2 -2log 3 2 2 1 log 9 2 1 9 2.(2020课标文,10,5分)设a=log32,b=log53,c=,则( ) A.acb B.abc C.bca D.cab 2 3 答案答案 A 因为a=log32=log3log5=c,所以acb.故选A. 3 8 3 9 2 3 3 27 3 25 2 3

2、3.(2020天津,6,5分)设a=30.7,b=,c=log0.70.8,则a,b,c的大小关系为( ) A.abc B.bac C.bca D.ca0)单调递减,可知a=30.730=1,b=30.830.7=a,c= log0.70.8log0.70.7=1,即c1a2b B.ab2 D.ab2 答案答案 B 2a+log2a=22b+log2b22b+log2(2b), 令f(x)=2x+log2x,则f(a)f(2b), 又易知f(x)在(0,+)上单调递增, 所以a2b,故选B. 5.(2020课标理,12,5分)已知5584,13485.设a=log53,b=log85,c=lo

3、g138,则( ) A.abc B.bac C.bca D.cab 答案答案 A a=log53(0,1),b=log85(0,1),则=log53 log58=1,a b. 又13485,1351385,两边同取以13为底的对数得log13135,c. 又5584,85585,两边同取以8为底的对数得log8(855)log885,即log85,bba,故选A. a b 5 8 log 3 log 5 2 55 log 3log 8 2 2 5 log 24 2 4 5 4 5 4 5 4 5 6.(2018上海,11,5分)已知常数a0,函数f(x)=的图象经过点P、Q,若2p+q=36p

4、q,则a = . 2 2 x x ax 6 , 5 p 1 ,- 5 q 答案答案 6 解析解析 根据题意, f(p)+f(q)=-=1,即+=1,去分母化简得,2p+q=a2pq,又2p+q=36pq,a 2=36,a0,a=6. 6 5 1 5 2 2 p p ap 2 2 q q aq 7.(2016浙江理,12,6分)已知ab1.若logab+logba=,ab=ba,则a= ,b= . 5 2 答案答案 4;2 解析解析 令logab=t,ab1,0t1, 由logab+logba=得,t+=, 解得t=或t=2(舍去),即logab=,b=,又ab=ba, =()a,即=,亦即=,

5、解得a=4,b=2. 5 2 1 t 5 2 1 2 1 2 a a aa a a 2 a aa 2 a 1.(2019天津文,5,5分)已知a=log27,b=log38,c=0.30.2,则a,b,c的大小关系为( ) A.cba B.abc C.bca D.cab 考点考点2 指数函数与对数函数指数函数与对数函数 答案答案 A 本题考查指数函数与对数函数的图象和性质;通过对对数式的估算或适当“缩放”考 查学生的直观想象与逻辑推理的核心素养. 显然c=0.30.2(0,1).因为log33log38log39,所以1blog24=2,所以a2. 故cba.选A. 2.(2019天津理,6,

6、5分)已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c的大小关系为( ) A.acb B.abc C.bca D.cab 答案答案 A 本题主要通过指数、对数大小比较来考查指数函数与对数函数的图象和性质,考查学 生逻辑推理能力、运算求解能力以及综合运用数学知识灵活解决问题的能力. 因为a=log52log0.50.5=1,c=0.50.2=,0.50.21,所以acbc B.bac C.cba D.cab 1 2 g 1 3 答案答案 D 本题主要考查对数的大小比较. 由已知得c=log23,log23log2e1,b=ln 2ab,故选D. 方法总结方法总结 比较对

7、数的大小 若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进 行分类讨论.若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较. 4.(2020课标,文12,理11,5分)若2x-2y0 B.ln(y-x+1)0 D.ln|x-y|0 答案答案 A 因为2x-2y3-x-3-y,所以2x-3-x0,所以f(x)在R上为增函数. 由2x-3-x2y-3-y得x1,所以ln(y-x+1)0,故选A. 5.(2018课标理,12,5分)设a=log0.20.3,b=log20.3,则( ) A.a+bab0 B.aba+b0 C.a+b0ab D.ab0l

8、og0.21=0,b=log20.3log21=0,ab0,排除C. 0log0.20.3log0.20.2=1,log20.3log20.5=-1,即0a1,b-1,a+b0,排除D. =log20.2,b-=log20.3-log20.2=log21,b1+aba+b,排除A.故选B. 解法二:易知0a1,b-1,ab0,a+b0, +=log0.30.2+log0.32=log0.30.41,即ab,aba+b0.故选B. b a 2 0.2 log 0.3 log0.3 lg0.2 lg2 b a 3 2 b a 1 a 1 b ab ab 方法总结方法总结 比较代数式大小的常用方法:

9、 (1)作差法:其基本步骤为作差、变形、判断符号、得出结论.用作差法比较大小的关键是判断差 的正负.变形常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等方法. (2)作商法:即通过判断商与1的大小关系,得出结论.要特别注意当商与1的大小确定后,必须对商式 分子、分母的正负进行判断,这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤. (3)单调性法:利用有关函数的单调性比较大小. (4)特值验证法:对于一些给出取值范围的题目,可采用特值验证法比较大小. 6.(2017天津理,6,5分)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a

10、, b,c的大小关系为( ) A.abc B.cba C.bac D.bc0时, f(x)f(0)=0,当x1x20时, f(x1)f(x2)0,x1 f(x1)x2 f(x2),g(x)在 (0,+)上单调递增,且g(x)=xf(x)是偶函数,a=g(-log25.1)=g(log25.1).2log25.13,120.82,由g(x)在 (0,+)上单调递增,得g(20.8)g(log25.1)g(3),bac,故选C. 解题关键解题关键 本题的解题关键是得出g(x)的奇偶性和单调性.将自变量转化到同一单调区间是比较 函数值大小的常用方法. 7.(2017课标文,9,5分)已知函数f(x)

11、=ln x+ln(2-x),则( ) A. f(x)在(0,2)单调递增 B. f(x)在(0,2)单调递减 C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称 D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称 答案答案 C 本题考查函数的图象与性质. 函数f(x)=ln x+ln(2-x)=lnx(2-x),其中0x0可得x4或x0,a0. 当a=0时, f(x)=ex是增函数,满足题意,故a0. 易错警示易错警示 当f (x)0时, f(x)为增函数,而当f(x)为增函数时, f (x)0恒成立,不能漏掉等于0,但要检 验f (x)=0时得到的参数a是否满足题意. 1.(2016浙江文,5,5分)已知a,

12、b0且a1,b1.若logab1,则 ( ) A.(a-1)(b-1)0 C.(b-1)(b-a)0 以下为教师用书专用 答案答案 D 解法一:logab1=logaa,当a1时,ba1; 当0a1时,0bab0,0c1,则( ) A.logaclogbc B.logcalogcb C.accb 答案答案 B 0cb1时,logaclogbc,A项错误; 0cb0, logcalogcb,B项正确; 0cb0,acbc,C项错误; 0cb0,cab1,0c1,则( ) A.acbc B.abcbac C.alogbcblogac D.logacb1,0cbc,A错; 0c1,-1c-1ac-1

13、,又ab0,ab bc-1ab ac-1,即abcbac,B错; 易知y=logcx是减函数,0logcblogca,logbclogac,D错; 由logbclogac-logac0,又ab10,-alogbc-blogac0,alogbc0; (2)若关于x的方程f(x)-log2(a-4)x+2a-5=0的解集中恰好有一个元素,求a的取值范围; (3)设a0,若对任意t,函数f(x)在区间t,t+1上的最大值与最小值的差不超过1,求a的取值范 围. 1 a x 1 ,1 2 解析解析 (1)由log20,得+51,解得x(0,+). (2)由f(x)-log2(a-4)x+2a-5=0,

14、 得+a=(a-4)x+2a-5,即(a-4)x2+(a-5)x-1=0, 当a=4时,的解为x=-1,经检验,满足题意. 当a4时,的解为x1=,x2=-1. 若x1=x2=-1,则a=3,经检验,满足题意. 若x1x2,则a3且a4, 若x1是原方程的解,则+a=2a-40,即a2; 若x2是原方程的解,则+a0,即a1. 要使原方程有且只有一解,则a(1,2. 综上,a的取值范围为(1,23,4. (3)由复合函数单调性的判定方法,易知f(x)=log2在区间t,t+1上递减. 1 5 x 1 x 1 - ,- 4 1 x 1 -4a 1 1 x 2 1 x 1 a x 所以f(x)ma

15、x-f(x)min=f(t)-f(t+1)=log21, 即00,t,可整理得at2+(a+1)t-10. 而函数y=at2+(a+1)t-1在区间上单调递增,t=时,y有最小值a-,由a-0,得a.故a的 取值范围为. 1 1 1 a t a t 1 1 1 a t a t 1 ,1 2 1 ,1 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 2 3 2 , 3 考点考点1 指数式与对数式指数式与对数式 A A组组 考点基础题组考点基础题组 1.(2020湖南衡阳一模)已知f(x)是定义域为R的偶函数,且在(-,0)上单调递增,若a=f(lo3),b=f(2-1. 2),c=f ,则a、b、c

16、的大小关系为( ) A.acb B.bca C.bac D.abc 1 2 g 1 2 答案答案 B 函数y=f(x)为偶函数,且在区间(-,0)上单调递增,该函数在区间(0,+)上单调递减.lo 3log22=1;指数函数y=2x为增函数,则02-1.22-120,即02-1.21,02-1.2ca. 1 2 g 1 2 g 1 2 g 1 2 1 2 命题意图命题意图 本题考查利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小,同时也考查了利用中间值法 比较指数式和对数式的大小,涉及指数函数与对数函数的单调性,考查分析问题和解决问题的能 力,属于中档题. 2.(2020普通高等学校招生全国统一考试考

17、前演练)若a=,b=log23,c=log46,则a,b,c的大小关系是 ( ) A.abc B.acb C.cba D.bca 2 2 3 答案答案 B 因为a=(0,1),b,c(1,+),又c=log46=log2log23=b,所以ac0),则y=t2-3t+3=+,其图象的对称轴为直线t=. 当x2,4时,t4,16,此时y7,211,不满足题意; 当x(-,0时,t(0,1,此时y1,3),不满足题意; 当x(0,12,4时,t(1,24,16,此时y7,211,不满足题意; 当x(-,01,2时,t(0,12,4,此时y1,7,满足题意.故选D. 2 3 - 2 t 3 4 3

18、2 3 ,1 4 4.(2018湖南益阳4月调研,13)已知函数f(x)=(aR)的图象关于点对称,则a= . 2 12 x x a 1 0, 2 答案答案 1 解析解析 由已知,得f(x)+f(-x)=1,即+=1,整理得(a-1)22x+(a-1) 2x+1=0,所以当a-1=0,即a =1时,等式成立. 2 12 x x a - - 2 12 x x a 1.(2020河北邯郸检测,3)已知a=ln 3,b=log3e,c=log32,则( ) A.abc B.cba C.bac D.bcln e=1,c=log32log3elog33=1,所以cb0,即0得x0,故正确,错误;y=x+

19、在(0,1)上单调递减,故f(x)在(0,1) 上单调递增,故正确.x+2,lo-1,故错误,故选C. 1 x 2 1x x 1 x 1 x 1 2 g 1 x x 方法总结方法总结 研究复合函数y=loga f(x)的单调性(最值)时,应先研究其定义域,结合函数u=f(x)及y=lo gau的单调性(最值)确定函数y=loga f(x)的单调性(最值)(其中a0,且a1). 5.(2019湖北黄冈元月调研,10)函数f(x)的定义域为D,若满足f(x)在D内是单调函数;存在a,b D,使f(x)在a,b上的值域为,那么就称y=f(x)为“半保值函数”,若函数f(x)=loga(ax+t2)(

20、a0且a 1)是“半保值函数”,则t的取值范围为( ) A. B. C. D. , 2 2 a b 1 0, 4 1 -,0 2 1 0, 2 1 0, 2 1 1 -, 2 2 答案答案 B 函数f(x)=loga(ax+t2)(a0且a1)是“半保值函数”,且定义域为R,当a1时,z=ax+t2在R上 递增,y=logaz在(0,+)上递增,可得f(x)为R上的增函数;当0a0,即有u2-u+t2=0有两个不同的正实数根, 可得1-4t20,且t20, 解得t.故选B. 1 2 1 2x a 1 2x a 1 2x a 1 -,0 2 1 0, 2 6.(2020山东夏季高考模拟,8)若a

21、bc1且aclogbclogca B.logcblogbalogac C.logbclogablogca D.logbalogcblogac 答案答案 B 解法一(特殊值法):取a=8,b=4,c=, 则logab=log84=,logbc=log4=,logca=lo8=6,故A、C不正确;logcb=lo4=4,logba=log4 8=,logac=log8=,故B正确,D不正确,故选B. 解法二:由于abc1,所以logablogaa=1,logbclogcc=1,从而A、C不正确.ab1, logbalogbb=1,又ac1,logac1logac.logcb-logba=-=. 由

22、已知得b2ac1,lg b2lg a+lg c,2lg blg a+lg c, (lg b)2-lg a lg c-lg a lg c=0,即0,logcblogba,从而B正确, D不正确. 2 2 2 log 4 log 8 2 3 2 1 4 2 g 2 g 3 2 2 1 6 lg lg b c lg lg a b 2 (lg ) -lglg lglg bac bc 2 lglg 2 ac 2 (lg -lg ) 4 ac 2 (lg ) -lglg lglg bac bc 1.(2020山东济宁一中质量检测,3)若ab,则( ) A.ln(a-b)0 B.3a0 D.|a|b| B

23、B组组 专题综合题组专题综合题组 (时间:30分钟 分值:35分) 一、单项选择题(每小题5分,共30分) 答案答案 C 由函数y=ln x的图象(图略)知,当0a-b1时,ln(a-b)b时,3a3b,故B不正确;因为函数y=x3在R上单调递增,所以当ab时,a3b3,即a3-b30, 故C正确;当ba0时,|a|b|,故D不正确.故选C. 2.(2020湖南长沙第一中学4月第七次大联考)如果函数f(x)的图象与函数g(x)=ex的图象关于直线y= x对称,则f(4x-x2)的单调递增区间为( ) A.(0,+) B.(2,+) C.(0,2) D.(2,4) 答案答案 C 由题意知, f(

24、x)=ln x,故f(4x-x2)=ln(4x-x2),由定义域及复合函数单调性知选C. 3.(2020湖南炎陵一中仿真考试)已知a=log23,b=,c=log47,则( ) A.bca B.acb C.cab D.ba1,0b=1,因为3,所以a=log23log2 =c,故acb.故选A. 0.2 1 3 2 2 log 7 log 4 2 log 7 2 77 7 4.(2018山东潍坊一模,6)若函数f(x)=ax-a-x(a0且a1)在R上为减函数,则函数y=loga(|x|-1)的图象可 以是( ) 答案答案 D 因为函数f(x)=ax-a-x(a0且a1)在R上为减函数,所以0

25、a1或x1时,函数y=loga(|x|-1)=loga(x-1)的图象可 以通过函数y=logax的图象向右平移1个单位得到,故选D. 方法点拨方法点拨 利用函数的奇偶性和单调性,对数函数的图象特征以及图象平移的规律进行求解. 5.(2019河北省级示范性高中联合体3月联考,6)若函数f(x)=1+|x|+x3,则f(lg 2)+f+f(lg 5)+f =( ) A.2 B.4 C.6 D.8 1 lg 2 1 lg 5 答案答案 C f(x)=1+|x|+x3,f(-x)+f(x)=2+2|x|. lg=-lg 2,lg=-lg 5, f(lg 2)+f+f(lg 5)+f=22+2(lg

26、2+lg 5)=6,故选C. 1 2 1 5 1 lg 2 1 lg 5 6.(2019湖南长沙一模,10)设平行于x轴的直线l分别与函数y=2x和y=2x+1的图象相交于点A,B,若函数 y=2x的图象上存在点C,使得ABC为等边三角形,则这样的直线l( ) A.不存在 B.有且只有一条 C.至少有两条 D.有无数条 答案答案 B 过C作CDAB于D,根据题意,设直线l的方程为y=m,则A(log2m,m),B(log2m-1,m),AB=1,设 C(x,2x),ABC是等边三角形,CD=,m-2x=, x=log2,又x=(log2m+log2m-1)=log2m-, log2=log2m

27、-=log2,m-=, 解得m=,故符合条件的直线l有且只有1条.故选B. 3 2 3 2 3 - 2 m 1 2 1 2 3 - 2 m 1 22 m3 22 m 2 36 2 思路分析思路分析 设直线AB的方程为y=m,根据ABC是等边三角形求m的值,得出结论. 7.(2020福建泉州3月适应性测试,14)已知a=,b=(e2,c=loge,e为自然对数的底数,则a,b,c的大小 关系为 . 1 3 1 6 ) 二、填空题(共5分) 答案答案 abc 解析解析 因为b=(e2=,a=,所以ab1,又c=logebc. 1 6 ) 1 3 e 1 3 方法总结方法总结 指数式比较大小的方法

28、指数式比较大小一般要先将指数式转化为同底指数式或者是同次指数式的形式.若化为同底指数 式,则直接利用指数函数的单调性比较大小;若化为同次指数式,则一般要作出不同底的指数函数 的图象来比较. 1.(2020 5 3原创题)设f(x)= (1)判断函数f(x)的单调性,求出函数图象的对称中心; (2)若x0时, f(x)是增函数; x0时, f (x)=e-x0,故f(x)在(-,0上是增函数, 又f(0)=1=e0=2-,f(x)在R上是增函数. f(-x)= x0时, f(-x)+f(x)=2-ex+ex=2; x0时, f(-x)+f(x)=e-x+2-=2, f(x)+f(-x)=2,即f

29、(x)的图象关于点(0,1)中心对称. (2)由f(x-a)+f(x+ln x2)2得f(x+ln x2)2-f(x-a), 即f(x+ln x2)f(a-x),故x+ln x2a-x,a2x+ln x2, 令g(x)=2x+ln x2,则ag(x)max. x0时,g(x)=2x+2ln(-x),则g(x)=2, 当x(-1,0)时,g(x)0,g(x)单调递增, g(x)max=g(-1)=-2,a-2. 0 1 e - 2-e ,0, e ,0, x x x x 1 ex 1 1 x 综上,a-2,+). 命题说明命题说明 本题以分段函数为载体隐性地考查了指数函数的对称性、单调性,指、对

30、数运算以及 导数的应用.引导学生学会函数性质、会画函数图象,用数形结合法解决问题,培养并提升数学核 心素养. 技巧点拨技巧点拨 抽象不等式转化为具体不等式,先利用对称性把不等式整理为f(m)f(n)(或f(m)0,且a1)与对数函数y=logax(a0,且a 1)的图象关于直线y=x对称;而所有偶函数的图象都关于y轴对称.现在我们定义:如果函数y=f(x) 的图象关于直线y=x对称,即已知函数f(x)的定义域为D,xD,若y=f(x),x=f(y)也成立,则称函数f(x) 为“自反函数”.显然斜率为-1的一次函数f(x)=-x+b都是“自反函数”,它们都是单调递减的函数. 你认为是否还存在其他

31、的“自反函数”?如果有,请举例说明,并对该“自反函数”的基本性质提 出一些猜想;如果没有,请说明理由. 解析解析 有.举例如下:根据“自反函数”的定义,函数f(x)=(k0)是“自反函数”. “自反函数”f(x)=(k0)的定义域、值域均为(-,0)(0,+).当k0时, f(x)=在区间(-,0),(0, +)上为减函数;当k0时, f(x)=在区间(-,0),(0,+)上为增函数;f(x)=(k0)是奇函数,但不是 周期函数. k x k x k x k x k x 命题说明命题说明 这是一个开放性试题.通过对“两曲线关于直线对称”联想“曲线是轴对称图形”,并 利用其新定义一类函数.正确理解题意,在已经学习过的函数中寻找到符合要求的函数,再思考函 数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等. 素养解读素养解读 本题以熟悉的“轴对称”为背景,通过利用函数图象为轴对称图形(关于直线对称),形 成一个新定义,要求答题者准确理解新定义,并在个人的知识储备中选择熟悉的函数,对其函数性 质进行正确的表述.重点考查逻辑推理和直观想象的核心素养,对数学建模的核心素养也有一定要 求,要求答题者能从数学角度发现、分析、解决问题.