2021新高考数学复习练习课件：§2.7　函数模型及综合应用.pptx

1、考点考点 函数模型及应用函数模型及应用 1.(2020课标,文4,理4,5分)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据 公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=,其 中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 193)( ) A.60 B.63 C.66 D.69 -0.23( -53) 1e t K 答案答案 C I(t*)=0.95K,整理可得=19,两边取自然对数得0.23(t*-53)=ln 193,解 得t*66,故选C. * -0.23( -53

2、) 1e t K * 0.23(-53) e t 2.(2020新高考,6,5分)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数 指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始 阶段,可以用指数模型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与 R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累 计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 20.69)( ) A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天 答案答案 B 因为

3、R0=3.28,T=6且R0=1+rT,所以指数增长率r=0.38,设累计感染病例增加1倍需要 的时间为t天,则I(t)=2I(0),即ert=2,即e0.38t=2,两边取自然对数得ln e0.38t=ln 2,即0.38t=ln 2,又ln 20.69, 所以t=1.8.故选B. 0-1 R T ln2 0.38 0.69 0.38 3.(2020北京,10,4分)2020年3月14日是全球首个国际圆周率日( Day).历史上,求圆周率的方法有 多种,与中国传统数学中的“割圆术”相似,数学家阿尔 卡西的方法是:当正整数n充分大时,计算 单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与

4、圆相切的正6n边形)的周长,将它们的算 术平均数作为2的近似值.按照阿尔 卡西的方法,的近似值的表达式是( ) A.3n B.6n C.3n D.6n 30?30? sintan nn 30?30? sintan nn 60?60? sintan nn 60?60? sintan nn A 4.(2019课标理,4,5分)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆, 我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探 测器的通讯联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行.L2点是平衡

5、点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1,月球质量为M2,地月距离 为R,L2点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r满足方程: +=(R+r). 设=.由于的值很小,因此在近似计算中33,则r的近似值为( ) A.R B.R C.R D.R 1 2 () M Rr 2 2 M r 1 3 M R r R 345 2 33 (1) 2 1 M M 2 1 2 M M 2 3 1 3M M 2 3 1 3 M M 答案答案 D 本题考查数学应用意识、运算求解能力以及方程思想;通过物理背景旨在考查数学建 模、逻辑推理和数学运算的核心素养.体现了试题的创新意识,激发了学生的爱国情怀

6、以及正确的 国家观. 将r= R代入方程可得+=(1+), 即+=(1+)M1,=,即=,33,r= R R.故选D. 1 2 () M RR 2 22 M R 1 2 M R 1 2 (1) M 2 2 M 232 2 (33 ) (1) 2 1 M M 2 1 M M 543 2 33 (1) 2 1 M M 2 3 1 3 M M 2 3 1 3 M M 5.(2019北京,文7,理6,5分)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与 亮度满足m2-m1=lg,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星 等是-1.45,则太

7、阳与天狼星的亮度的比值为 ( ) A.1010.1 B.10.1 C.lg 10.1 D.10-10.1 5 2 1 2 E E 答案答案 A 本题考查对数与对数函数;考查学生的数据处理能力和应用意识;考查的核心素养是数 学建模和数学运算. 依题意,得m1=-26.7,m2=-1.45,所以lg=-1.45-(-26.7)=25.25,所以lg=25.25=10.1,所以=101 0.1.故选A. 5 2 1 2 E E 1 2 E E 2 5 1 2 E E 审题指导审题指导 星等和亮度都可以描述天体的明暗程度,本题需要求的是两个天体的亮度的比值.题中 给出了两个天体的星等及星等与亮度比值的

8、关系,代入数据即可求解. 6.(2018浙江,11,6分)我国古代数学著作张邱建算经中记载百鸡问题:“今有鸡翁一,值钱五;鸡 母一,值钱三;鸡雏三,值钱一.凡百钱,买鸡百只,问鸡翁、母、雏各几何?”设鸡翁,鸡母,鸡雏个数分 别为x,y,z,则当z=81时,x= ,y= . 100, 1 53100, 3 xyz xyz 答案答案 8;11 解析解析 本题考查二元一次方程组的实际应用. 把z=81代入方程组,化简得解得 19, 5373, xy xy 8, 11. x y 7.(2020北京,15,5分)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未 达标的企业要限期整改.

9、设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用- 的大小评价 在a,b这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的 关系如图所示. 给出下列四个结论: 在t1,t2这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强; 在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强; ( )- ( ) - f b f a b a 在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标; 甲企业在0,t1,t1,t2,t2,t3这三段时间中,在0,t1的污水治理能力最强. 其中所有正确结论的序号是 . 答案答案 解析解析 设y=-,由已知条件可得甲、乙两个企业在t1,t2这段时间内污水治理能力强

10、弱的数 值计算式为-,由题图易知y甲y乙,即甲企业的污水治理能力比乙企业强,所以对; 由题意知在某一时刻企业污水治理能力的强弱由这一时刻的切线的斜率的绝对值表示,所以 对; 在t3时刻,由题图可知甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下,所以对; 由计算式-可知,甲企业在0,t1这段时间内污水治理能力最弱,所以错. ( )- ( ) - f b f a b a 21 21 ( )- ( ) - f tf t t t ( )- ( ) - f b f a b a 解题关键解题关键 正确理解题目所给的信息,并把信息翻译成数学问题是解决本题的第一个关键;理解 一段时间内企业污水治理能力的强弱的

11、计算式,并把这个计算式与函数图象在某点处切线的斜率 联系起来是正确解决本题的第二个关键. 解后反思解后反思 本题以环保部门要求相关企业加强污水处理,排放未达标的企业要限期整改这个情境 为载体,贴近生活,要求考生能够在短时间内审清题意,理清解决问题的思路,建立适当的数学模型 来解决问题,体现试题的教育价值.通过企业污水治理能力的强弱的计算式,考查学生的抽象概 括、直观想象、分析和解决具有实际意义问题的能力,同时考查了数形结合的思想. 思路分析思路分析 与函数和导数有关的实际应用问题,先把实际问题翻译成数学问题,再逐步对四个结论 去伪存真. 8.(2020江苏,17,14分)某地准备在山谷中建一座

12、桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底O在水 平线MN上,桥AB与MN平行,OO为铅垂线(O在AB上).经测量,左侧曲线AO上任一点D到MN的距离 h1(米)与D到OO的距离a(米)之间满足关系式h1=a2;右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(米)与 F到OO的距离b(米)之间满足关系式h2=-b3+6b.已知点B到OO的距离为40米. (1)求桥AB的长度; (2)计划在谷底两侧建造平行于OO的桥墩CD和EF,且CE为80米,其中C,E在AB上(不包括端点).桥 墩EF每米造价k(万元),桥墩CD每米造价k(万元)(k0),问OE为多少米时,桥墩CD与EF的总造价 最低? 1 40 1

13、 800 3 2 解析解析 本题主要考查函数的性质、用导数求最值、解方程等基础知识,考查直观想象和数学建模 及运用数学知识分析和解决实际问题的能力. (1)设AA1,BB1,CD1,EF1都与MN垂直,A1,B1,D1,F1是相应垂足.由条件知,当OB=40时, BB1=-403+640=160,则AA1=160. 由OA2=160,得OA=80. 所以AB=OA+OB=80+40=120(米). (2)以O为原点,OO所在直线为y轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示). 1 800 1 40 设F(x,y2),x(0,40), 则y2=-x3+6x, EF=160-y2=160+x3-6x.

14、 因为CE=80,所以OC=80-x. 设D(x-80,y1),则y1=(80-x)2, 所以CD=160-y1=160-(80-x)2=-x2+4x. 记桥墩CD和EF的总造价为f(x)万元, 则f(x)=k+k =k(0x40). f (x)=k=x(x-20),令f (x)=0,得x=20. 1 800 1 800 1 40 1 40 1 40 3 1 160-6 800 xx 3 2 2 1 -4 40 xx 32 13 -160 80080 xx 2 33 - 80040 xx 3 800 k x (0,20) 20 (20,40) f (x) - 0 + f(x) 极小值 所以当x

15、=20时,f(x)取得极小值,也是最小值. 答:(1)桥AB的长度为120米; (2)当OE为20米时,桥墩CD和EF的总造价最低. 9.(2018上海,19,14分)某群体的人均通勤时间是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均 用时,某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤,分析显示:当S中有x%(0x40,(2分) 当0x30时, f(x)=3040,不满足题意;(3分) 当30x40,化简得x2-65x+9000, 即(x-20)(x-45)0,x45或x20(舍),45x100.(5分) 综上,当45x100时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间.(6分) (2)由

16、题意得,g(x)=x% f(x)+(1-x%) 40,(7分) 当0x30时,g(x)=x% 30+(1-x%) 40=40-x, 由一次函数图象的性质可知,当0x30时,g(x)单调递减;(9分) 当30x0). 则年总产值为4k800(4sin cos +cos )+3k1 600(cos -sin cos )=8 000k(sin cos +cos ), .设f()=sin cos +cos ,. 则f ()=cos2-sin2-sin =-(2sin2+sin -1)=-(2sin -1)(sin +1),令f ()=0,得=, 当时, f ()0,所以f()为增函数; 当时, f (

17、)0),则3361=t 1080,361lg 3=lg t+80,3610.48=lg t+80,lg t=173.28-80= 93.28,t=1093.28.故选D. M N 361 80 3 10 2.(2016四川理,7,5分)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研 发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资 金开始超过200万元的年份是( ) (参考数据:lg 1.120.05,lg 1.30.11,lg 20.30) A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年 答案答案 B 设第

18、n(nN*)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元.根据题意得130(1+12%)n -1200, 则lg130(1+12%)n-1lg 200, lg 130+(n-1)lg 1.12lg 2+2, 2+lg 1.3+(n-1)lg 1.12lg 2+2, 0.11+(n-1)0.050.30,解得n, 又nN*,n5, 该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年.故选B. 24 5 考点考点 函数模型及应用函数模型及应用 (2020山东菏泽一中2月自测)2019年7月,中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录,标志着中华五 千年文明史得到国际社会认可,良渚古城遗址是人类

19、早期城市文明的范例,实证了中华五千年文明 史,考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本 中碳14的质量N随时间t(单位:年)的衰变规律满足N=N0(N0表示碳14原有的质量),则经过5 730 年后,碳14的质量变为原来的 ;经过测定,良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的 至,据此推测良渚古城存在的时期距今约在5 730年到 年之间.(参考数据:lg 20.30,lg 70.85,lg 30.48) - 5 730 2 t 3 7 1 2 A A组组 考点基础题组考点基础题组 答案答案 ;6 876 1 2 解析解析 N=N0 ,当t=5 730

20、时,N=N0 2-1=N0. 经过5 730年后,碳14的质量变为原来的, 由题意可知, 两边同时取以2为底的对数得,log2log2, =-1.2,t6 876, 推测良渚古城存在的时期距今约在5 730年到6 876年之间. - 5 730 2 t 1 2 1 2 - 5 730 2 t 3 7 - 5 730 2 t 3 7 - 5 730 t 3 lg 7 lg2 lg3-lg7 lg2 1.(2020河北保定一模)分子间作用力是只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力,在 一定条件下,两个原子接近,则彼此因静电作用产生极化,从而导致有相互作用力,称范德瓦尔斯相 互作用.今有两个

21、惰性气体原子,原子核正电荷的电荷量为q,这两个相距R的惰性气体原子组成体 系的能量中有静电相互作用能U,其计算式子为U=kcq2+-,其中,kc为静电 常量,x1、x2分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知R+x1-x2=R,R+x1=R ,R-x2=R,且(1+x)-11-x+x2,则U的近似值为( ) A. B.- C. D.- 1 R 12 1 -Rx x 1 1 Rx 2 1 -R x 12 - 1 x x R 1 1 x R 2 1- x R 2 12 3 kcq x x R 2 12 3 kcq x x R 2 12 3 2kcq x x R 2 12 3 2kcq

22、x x R B B组组 专题综合题组专题综合题组 (时间:30分钟 分值:45分) 一、单项选择题(每小题5分,共30分) 答案答案 D U=kcq2 =kcq2 1+1-+-1+-1- =-.故选D. 1212 1111 - -RRx xRxR x 1212 1111 - - 111- x xxxR RRR RRR 2 kcq R 12 -x x R 2 12 -x x R 1 x R 2 1 x R 2 x R 2 2 x R 2 12 3 2kcq x x R 2.(2020福建永安一中、漳平一中第一次联考,8)将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中,t分钟后甲桶 中剩余的水量符合指数衰减曲线

23、y=aent.假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m分钟甲桶 中的水只有升,则m的值为( ) A.5 B.8 C.9 D.10 4 a 答案答案 A 由已知得ae5n=,n=-ln 2. a=,-(m+5)ln 2=ln . -(m+5)=-2,m+5=10,m=5.故选A. 2 a1 5 1 - (5)ln2 5 e m 4 a1 5 1 4 1 5 3.(2020湖北随州3月调研,7)已知a=,b=,c=,其中e是自然对数的底数,则a,b,c的大小 关系是( ) A.abc B.cab C.cba D.ba0),则f (x)=, 设g(x)=-ln(x+1)(x0),则g(x)=-,

24、则g(x)0,g(x)在(0,+)上单调递减,g(x)g(0)=0, f (x)0,f(x)在(0,+)上单调递减, 又ln a=f,ln b=f,ln c=f(3),且ln aln c,即bac.故选B. 1 1 e 1 1 1 3 ln(1)x x 2 -ln(1) 1 x x x x 1 x x 2 (1) x x 1 e 1 1 1 e 4.(2020重庆属校(第八中学等)3月月考,7)函数f(x)=若关于x的方程f 2(x)-af(x)+a-a2=0有 四个不等的实数根,则a的取值范围是( ) A. B.(-,-1)1,+) C.(-,-1)1 D.(-1,0)1 1- ln(- )

25、(0), e(0). x x x xx 4 ,1 5 答案答案 D 当x0时, f (x)=e1-x(1-x),所以当0x0, f(x)单调递增;当x1时, f (x)0, f(x)单 调递减,且f(0)=0,当x+时, f(x)0,当x0时, f(x)单调递减,作出f(x)的大致图象如图所示: 令t=f(x),则由图可知当t=0或1时,方程t=f(x)有两个实数根,当t(0,1)时,方程t=f(x)有三个实数根;当t (-,0)(1,+)时,方程t=f(x)有一个实数根,所以关于x的方程f 2(x)-af(x)+a-a2=0有四个不等的实 数根等价于关于t的方程t2-at+a-a2=0有两个

26、实数根t1=0,t2=1或者t1(0,1),t2(-,0)(1,+),当t1= 0,t2=1时,解得a=1;当t1(0,1),t2(-,0)(1,+)时,(02-a0+a-a2)(12-a1+a-a2)0,解得-1a0.综上 所述,a(-1,0)1. 方法总结方法总结 解函数的综合应用问题的基本思路: (1)首先确定函数的定义域; (2)拆分或化简解析式; (3)确定函数的单调性、奇偶性、周期性; (4)引入导数、不等式等工具,运用数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想解决问题. 5.(2020福建泉州3月适应性线上测试,3)下图为服用同等剂量的三种新药后血药浓度(mg/mL)的变 化情况,

27、其中点Ai的横坐标表示服用第i种药后血药浓度达到峰值(最高浓度)时间,其他点的横坐标 分别表示服用三种新药后血药浓度首次降到峰值一半时所用的时间(单位:h),点Ai的纵坐标表示服 用第i种药后血药浓度的峰值(i=1,2,3).记Vi为服用第i种药后达到血药浓度峰值时,血药浓度提高的 平均速度,记Ti为服用第i种药后血药浓度从峰值首次降到峰值的一半所用的时间,则V1,V2,V3中最 小的,T1,T2,T3中最大的分别是( ) A.V2,T3 B.V2,T2 C.V1,T3 D.V1,T2 答案答案 B 设A1(x1,y1),则V1=,即直线OA1的斜率, 由题图可知,直线OA2的斜率最小,即V2

28、最小; 根据峰值的一半对应关系得三个点从左到右依次对应A1,A3,A2,在首次降到峰值一半时对应点不妨 记为B1,B3,B2, 由题图可知A2与B2经历的时间最长,所以T1,T2,T3中最大的是T2.故选B. 1 1 y x 6.(2020广东揭阳摸底,16)在三角形OAB中,M、N分别是边OA、OB的中点,点R在线段MN上(不含 端点),且=x+y,则代数式ln x+ey的最大值为( ) A.2- B.1- C.-1 D.-2 OROAOB e 2 2 e e 2 e 2 答案答案 D 因为点R、M、N共线,所以设=(01),则-=(-),即=(1-) +,又因为M、N分别是边OA、OB的中

29、点,所以=x+y=2x+2y,得2x=1-,2y= ,得y=-x,0x,则ln x+ey=ln x+-ex,令f(x)=ln x+-ex,0x,则f (x)=-e,令f (x)=0,得x=,当0 x0,当x时, f (x)0,f(x)在上单调递增,在上单调递减,f(x)max=f= -2,故选D. MRMNOROMONOMOR OMONOROAOBOMON 1 2 1 2 e 2 e 2 1 2 1 x 1 e 1 e 1 e 1 2 1 0, e 1 1 , e 2 1 e e 2 7.(2020山东菏泽一中2月自测)德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet,18051859)在数学领域成

30、就显 著,19世纪,狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”D(x)=其中R为实数集,Q为有理数集,则 关于函数D(x)有如下四个命题: 其中正确的命题是( ) A.函数D(x)是偶函数 B.x1,x2RQ,D(x1+x2)=D(x1)+D(x2)恒成立 C.任取一个不为零的有理数T,D(x+T)=D(x)对任意的xR恒成立 D.不存在三个点A(x1,D(x1),B(x2,D(x2),C(x3,D(x3),使得ABC为等腰直角三角形 R 1,Q, 0,Q, x x? 二、多项选择题(共5分) 答案答案 ACD 对于A,若xQ,则-xQ,满足D(x)=D(-x);若xRQ,则-xRQ,满足D(x)=D(

31、-x),故 函数D(x)为偶函数,选项A正确; 对于B,取x1=RQ,x2=-RQ,则D(x1+x2)=D(0)=1, D(x1)+D(x2)=0,故选项B错误; 对于C,若xQ,则x+TQ,满足D(x)=D(x+T);若xRQ,则x+TRQ,满足D(x)=D(x+T),故选项C正 确; 对于D,要为等腰直角三角形,只可能是如下四种情况: 直角顶点A在直线y=1上,斜边在x轴上,此时点B,点C的横坐标为无理数,则BC中点的横坐标也为 无理数,那么点A的横坐标也为无理数,这与点A的纵坐标为1矛盾,故不成立; 直角顶点A在直线y=1上,斜边不在x轴上,此时点B的横坐标为无理数,则点A的横坐标也应为

32、无理数, 这与点A的纵坐标为1矛盾,故不成立; 直角顶点A在x轴上,斜边在y=1上,此时点B,点C的横坐标为有理数,则BC中点的横坐标也为有理 数,那么点A的横坐标也应为有理数,这与点A的纵坐标为0矛盾,故不成立; 直角顶点A在x轴上,斜边不在y=1上,此时点A的横坐标为无理数,则点B的横坐标应为无理数,这 与点B的纵坐标为1矛盾,故不成立. 综上,不存在三个点A(x1,D(x1),B(x2,D(x2),C(x3, D(x3),使得ABC为等腰直角三角形,故选项D正确. 故选ACD. 8.(2019山东寿光现代中学10月月考,19)近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了 极大的方便

33、,某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元,根据行业规定,每个城市至少 要投资80万元,由前期市场调研可知:甲城市收益P(单位:万元)与投入a(单位:万元)满足P=4-6, 乙城市收益Q(单位:万元)与投入a(单位:万元)满足Q=设甲城市的投入为x(单位: 万元),两个城市的总收益为f(x)(单位:万元). (1)当投资甲城市128万元时,求此时公司总收益; (2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使公司总收益最大? 2a 1 2,80120, 4 32,120160, aa a 三、解答题(共10分) 解析解析 (1)当甲城市投资128万元时,乙城市投资112万元, 所以总收益

34、f(128)=4-6+112+2=88(万元). 答:此时公司总收益为88万元. (2)设甲城市投资x万元, 则乙城市投资(240-x)万元, 依题意得 解得80 x160, 当80 x120,120240-x160时, f(x)=4-6+32=4+260, 故f(x)的最大值为88万元. 答:当甲城市投资128万元,乙城市投资112万元时,总收益最大,且最大总收益为88万元. 1515 1.(2020 5 3原创题)人们用分贝(dB)来划分声音的等级,声音的等级d(x)(单位:dB)与声音强度x(单 位:W/m2)满足d(x)=9lg.一般两人小声交谈时,声音的等级约为54 dB,在有50人

35、的课堂上课 时,老师声音的等级约为63 dB,那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的 ( ) A.1倍 B.10倍 C.100倍 D.1 000倍 -13 1 10 x 答案答案 B 设老师上课时声音强度,一般两人小声交谈时声音强度分别为x1 W/m2,x2 W/m2, 根据题意得d(x1)=9lg=63,解得x1=10-6, d(x2)=9lg=54,解得x2=10-7,所以,=10, 因此,老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍,故选B. 1 -13 1 10 x 2 -13 1 10 x 1 2 x x 命题说明命题说明 本题以声音强度与声音等级的函数关

36、系为背景,考查对数函数、指数与对数运算.同时 也涉及了指数式与对数式的互化,引导学生学会用数学知识解释生活现象、自觉把数学运用到实 际生活中去,考查数学运算、数学建模的素养. 2.(2020 5 3原创题)为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律,统计显示,生 长4年的树高为米,如图所示的散点图记录了样本树的生长时间t(年)与树高y(米)之间的关系.请 你据此判断,在下列函数模型:y=2t-a;y=a+log2t;y=t+a;y=+a中(其中a为正的常实数),拟 合生长年数与树高的关系最好的是 (填写序号),估计该树生长8年后的树高为 . 7 3 1 2 t 答案答案 ;米

37、10 3 命题意图命题意图 在选择函数模型,解决实际问题的试题中,既要关注问题本身的属性,又要关注潜在的 数学属性. 树木生长有的先慢后快,有的先快后慢,但在一定年限之后几乎都是“蜗牛式增长”;高寒山区树 木普遍不高,生长也较缓慢;散点图走势既像直线,也不能排除对数型和抛物线型.单纯考虑其中一 个方面,不能对四个函数模型直接选定或排除. 解析解析 由题中散点图的走势,知模型不合适.曲线过点,则后三个模型的解析式分别为y= +log2t;y=t+;y=+,易知拟合最好的是.将t=8代入得8年后的树高为米. 7 4, 3 1 3 1 2 1 3 t 1 3 10 3 素养解读素养解读 重点考查数学

38、建模、数据分析与逻辑推理的核心素养. 3.(2020 5 3原创题)为了调控过高的猪肉价格,在春节前,某市从2020年1月1日起一直从外地引进生 猪进入本市市场销售,过了一段时间,通过市场调查,发现近期猪肉的价格f(t)(单位:元/kg)与时间t(t 表示距春节的天数,单位:天,t(0,9)的数据如下表: (1)根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述猪肉价格f(t)与时间t的变化关系:f(t)=at+b, f(t)= , f(t)=at2+bt+c, f(t)=a+b, f(t)=aet+b, f(t)=aln t+b,其中a0,并求出此函数; (2)为了控制猪肉的价格,不使猪肉的价格过高

39、,经过市场调研,引入一控制函数h(t)=et-(8-2)t+60,t 0,称为控制系数,求证:当-1+ln 2时, f(t)-1+ln 2知g(ln 2)0, t (0,ln 2) ln 2 (ln 2,9 G(t) - 0 + g(t) 极小值 k t t 81970, 16445, 54, abc abc abc g(t)0,则g(t)在区间(0,9上为增函数, 于是有g(t)g(0), 而g(0)=0,故g(t)0, 即当-1+ln 2且t0时,ett2-2t+1,即f(t)h(t). 解题关键解题关键 依据题中表格(函数列表法表示),结合预选函数的性质选择恰当函数模型是解题的基 础,借助导数工具是解题的关键.