2021新高考数学复习练习课件：§7.3　基本不等式.pptx

1、考点考点 基本不等式基本不等式 1.(2020江苏,12,5分)已知5x2y2+y4=1(x,yR),则x2+y2的最小值是 . 答案答案 4 5 解析解析 由5x2y2+y4=1知y0,x2=,x2+y2=+y2=+2=,当且仅当= ,即y2=,x2=时取“=”.故x2+y2的最小值为. 4 2 1- 5 y y 4 2 1- 5 y y 4 2 14 5 y y 2 1 5y 2 4 5 y4 25 4 5 2 1 5y 2 4 5 y1 2 3 10 4 5 解题关键解题关键 由已知条件,把其中的一个字母用另一个字母表示出来,再代入所求最值的式子中,达 到消元的目的,这是解本题的第一个关

2、键;把所求的式子整理成能用基本不等式求最值的形式是 第二个关键;最后要检验一下是否满足等号成立的条件,这是第三个关键. 2.(2020天津,14,5分)已知a0,b0,且ab=1,则+的最小值为 . 1 2a 1 2b 8 ab 答案答案 4 解析解析 +=+=+2=4, 当且仅当=,即(a+b)2=16,也即a+b=4时取等号. 又ab=1,或时取等号, +的最小值为4. 1 2a 1 2b 8 ab2 ab ab 8 ab2 ab8 ab 8 2 ab ab 2 ab8 ab 23, 2- 3 a b 2- 3, 23 a b 1 2a 1 2b 8 ab 3.(2019上海,7,5分)若

3、x,yR+,且+2y=3,则的最大值为 . 1 x y x 答案答案 9 8 解析解析 本题主要考查函数的最值,考查学生的逻辑推理能力及运算求解能力. x0,=3-2y,3-2y0,y0,0y0,y0,x+2y=5,则的最小值为 . (1)(21)xy xy 答案答案 4 3 解析解析 本题主要考查利用基本不等式求最值;通过不等式的应用考查学生推理论证能力及运算求 解能力;体现了逻辑推理与数学运算的核心素养. x+2y=5,x0,y0, =2+2=4,当且仅当即 或时,原式取得最小值4. (1)(21)xy xy 221xyxy xy 26xy xy xy 6 xy 6 2 xy xy 3 2

4、5, 6 2, xy xy xy 3, 1 x y 2, 3 2 x y 3 5.(2018天津,文13,理13,5分)已知a,bR,且a-3b+6=0,则2a+的最小值为 . 1 8b 答案答案 1 4 解析解析 本题主要考查运用基本不等式求最值. a-3b+6=0, a-3b=-6, 2a+=2a+2-3b2=2=2=. 当且仅当2a=2-3b, 即a=-3,b=1时,2a+取得最小值,为. 1 8b -3 22 ab -3 2a b-6 2 1 4 1 8b 1 4 6.(2017江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储 费用为4x万

5、元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是 . 答案答案 30 解析解析 本题考查基本不等式及其应用. 设总费用为y万元,则y=6+4x=4240. 当且仅当x=,即x=30时,等号成立. 600 x 900 x x 900 x 7.(2019江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+(x0)上的一个动点,则点P到直线x+y =0的距离的最小值是 4 x 答案答案 4 解析解析 设P,x00,则点P到直线x+y=0的距离d=4,当且仅当x0= ,即x0=时取“=”.故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4. 00 0 4 ,x x x 00 0 4 2 xx x 2

6、 0 0 2 x x 0 2 x 2 一题多解一题多解 当点P到直线x+y=0的距离最小时,在点P处的切线与直线x+y=0平行. 设P,x00,易知y=1-, 令1-=-1,得=2.x00,x0=,P(,3). 此时点P到直线x+y=0的距离为=4. 故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4. 00 0 4 ,x x x 2 4 x 2 0 4 x 2 0 x222 | 23 2| 2 8.(2017天津,文13,理12,5分)若a,bR,ab0,则的最小值为 . 44 41ab ab 答案答案 4 解析解析 本题考查基本不等式的应用. a4+4b42a2 2b2=4a2b2(当且仅当a2=2

7、b2时“=”成立), =4ab+, ab0,4ab+2=4当且仅当4ab=时“=”成立, 故当且仅当时,取得最小值4. 44 41ab ab 22 41a b ab 1 ab 1 ab 1 4ab ab 1 ab 22 2, 1 4 ab ab ab 44 41ab ab 1.(2017天津文,12,5分)若直线+=1(a0,b0)过点(1,2),则2a+b的最小值为 . x a y b 以下为教师用书专用 答案答案 8 解析解析 由题设可得+=1,a0,b0, 2a+b=(2a+b)=2+24+2=8. 故2a+b的最小值为8. 1 a 2 b 12 ab b a 4a b 4ba ab 4

8、 ,2, ba ba ab 当且仅当即时 等号成立 2.(2019天津文,13,5分)设x0,y0,x+2y=4,则的最小值为 . (1)(21)xy xy 答案答案 9 2 解析解析 本题主要考查基本不等式的运用.考查学生对基本不等式及其简单变形使用条件的掌握程 度,以及学生的推理、运算能力. =2+. x0,y0,4=x+2y2,解得00,y0,且+=1,则x+y的最小值 为( ) A.12 B.16 C.20 D.24 1 x 9 y 答案答案 B 解法一:由题意得x+y=(x+y)=1+910+2=16, 当且仅当x=4,y=12时取“=”.故选B. 解法二:由+=1得9x+y-xy=

9、0,即(x-1)(y-9)=9,又x1,y9,x+y=(x-1)+(y-9)+102+10 =16,当且仅当x=4,y=12时,取“=”.故选B. 19 xy y x 9x y 9yx xy 1 x 9 y ( -1)( -9)xy 3.(2020河北衡水中学第九次调研,6)设m,n为正数,且m+n=2,则+的最小值为( ) A. B. C. D. 1 1m 3 2 n n 3 2 5 3 7 4 9 5 答案答案 D 本题主要考查了根据基本不等式求最值,解题关键是灵活使用基本不等式,注意要验证 等号是否成立,考查了分析能力和数学运算的核心素养. 解法一:当m+n=2时,+=+1 =+1=+1

10、, (m+1)(n+2)=, 当且仅当m+1=n+2,即m=,n=时取等号, +. 解法二:当m+n=2时,m+1+n+2=5,=1, 因此+=+1=+1 =(m+1)+(n+2)+1=2+1+1=+1=,当且仅 当=,即m=,n=时取等号,+.故选D. 1 1m 3 2 n n 1 1m 1 2n 3 (1)(2) mn mn 5 (1)(2)mn 2 12 2 mn 25 4 3 2 1 2 1 1m 3 2 n n 9 5 12 5 mn 1 1m 3 2 n n 1 1m 1 2n 12 5 mn 11 12mn 1 5 11 12mn 1 5 2 1 n m 1 2 m n 1 5

11、21 22 12 nm mn 4 5 9 5 2 1 n m 1 2 m n 3 2 1 2 1 1m 3 2 n n 9 5 思路分析思路分析 解法一:根据m+n=2,化简+=+1,根据基本不等式,即可求得答案. 解法二:运用“1”的代换,配凑出符合基本不等式的形式,利用基本不等式求最值,注意检验等号 成立的条件. 1 1m 3 2 n n 5 (1)(2)mn 4.(2019福建厦门3月联考,9)对任意m,nR+,都有m2-amn+2n20,则实数a的最大值为( ) A. B.2 C.4 D. 22 9 2 答案答案 B 对任意m,nR+,都有m2-amn+2n20,m2+2n2amn,即

12、a=+恒成立, +2=2,当且仅当=时取等号,a2,故a的最大值为2,故选B. 22 2mn mn m n 2n m m n 2n m 2mn nm 2 m n 2n m 22 1.(2019福建龙岩教学质量检查,7)已知x0,y0,且+=,则x+y的最小值为( ) A.3 B.5 C.7 D.9 1 1x 1 y 1 2 B B组组 专题综合题组专题综合题组 (时间:30分钟 分值:45分) 一、单项选择题(每小题5分,共25分) 答案答案 C 因为+=,所以+=1, 因为x0,所以x+10, 又因为y0, 所以x+y=(x+1)+y-1=(x+1)+y-1 =+32+3=7, 当且仅当即x

13、=3,y=4时等号成立, 所以x+y的最小值为7,故选C. 1 1x 1 y 1 2 2 1x 2 y 22 1xy 22(1) 1 yx xy 22(1) 1 yx xy 111 , 12 22(1) 1 xy yx xy 2.(2020海南海口四中月考)若a0,b0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx在x=1处有极值,则+的最小值为 ( ) A. B. C. D. 4 a 1 b 4 9 4 3 3 2 2 3 答案答案 C 因为函数f(x)=4x3-ax2-2bx在x=1处有极值,所以f (1)=12-2a-2b=0,即a+b=6,则+=(a+ b)=当且仅当=,即a=2b=4时取“

14、=”.故选C. 4 a 1 b 1 6 41 ab 1 6 4 5 ab ba 54 6 3 2 a b 4b a 3.(2020福建泉州测试,6)若x0,y0,且+=1,则x+2y的最小值是( ) A.10 B.4 C.8 D.6 2 x 1 y 答案答案 C 因为x+2y=(x+2y)=4+8,当且仅当x=2y,即时取等号,所以x+2y的最 小值为8. 21 xy 4y x x y 4, 2 x y 方法总结方法总结 已知+=c,求mx+ny(a、b、c、m、n0)的最小值的处理方法:利用+=1,得到mx +ny=(mx+ny),展开后利用基本不等式求解,注意取等号的条件. a x b y

15、 a cx b cy ab cxcy 4.(2020山东肥城一中模拟,8)点M(x,y)在曲线C:x2-4x+y2-21=0上运动,t=x2+y2+12x-12y-150-a,且t的最 大值为b,若a,bR+,则+的最小值为( ) A.2 B.1 C. D.2 1 1a 1 b 22 答案答案 B 曲线C的方程可整理为(x-2)2+y2=25,则曲线C表示圆心为(2,0),半径为5的圆.t=x2+y2+12x- 12y-150-a=(x+6)2+(y-6)2-222-a,设d=,则d表示圆上的点到(-6,6)的距离,则dmax= +5=15,tmax=152-222-a=b,整理得a+1+b=

16、4,+=(a+1+b)= , 又+2=2当且仅当=,即a=1,b=2时取等号, +4=1,即+的最小值为1. 22 (6)( -6)xy 22 (26)(0-6) 1 1a 1 b 1 4 11 1ab 1 4 1 11 1 ba ab 1 b a 1a b 1 1 ba ab 1 b a 1a b 1 1a 1 b 1 4 1 1a 1 b 思路分析思路分析 首先可确定曲线C表示圆心为(2,0),半径为5的圆;令d=,则t=d2-222-a;d的 最大值为半径与圆心到点(-6,6)的距离之和,利用两点间距离公式求得dmax,代入t中利用最大值为b 可求得a+1+b=4,将+转化为(a+1+b

17、),利用基本不等式求得结果. 22 (6)( -6)xy 1 1a 1 b 1 4 11 1ab 解后反思解后反思 本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题,解题关键是掌握圆上的点到定点距 离的最值的求解方法,从而可得到a,b之间的关系,进而配凑出符合基本不等式的形式. 5.(2019广东惠州三调,10)在ABC中,点D是AC上一点,且=4,P为BD上一点,向量=+ (0,0),则+的最小值为( ) A.16 B.8 C.4 D.2 ACADAPAB AC 4 1 答案答案 A 由题意可知,=+4,又B,P,D共线,所以由三点共线的充分必要条件可得+4= 1,又因为0,0,所以+= (+4)

18、=8+8+2=16,当且仅当=,=时等 号成立,故+的最小值为16.故选A. APABAD 4 1 41 16 16 1 2 1 8 4 1 6.(2020山东百师联盟测试三,11)下列四个函数中,最小值不为4的是( ) A.y=+ B.y=+ C.y=sin x+(x(0,) D.y=ex+ ln 3 x12 ln x 2 1x 2 4 1x 4 sin x 4 ex 二、多项选择题(共5分) 答案答案 AC A中ln xa,可得x-a0,则x-a+2=4,当且仅当x-a=2,即x=a+2时,上式取得最小值4,则5-a 4,可得a1,则a的最小值为1. 4 - x a 4 - x a 4 -

19、 x a 4 ( - ) - x a x a 1.(2020 5 3原创题)已知二次不等式ax2+2x+b0的解集为,则s=a2+b2-2(a+b)的最小值 为( ) A.2-4 B.2+4 C.4-4 D.4+4 2 2 |-x x a 2222 答案答案 C 由于二次不等式ax2+2x+b0的解集为,则 得ab=2,且a0,b0. s=a2+b2-2(a+b)=(a+b)2-2(a+b)-2ab=(a+b-1)2-5. 因为a+b2=2,所以s4-4, 当且仅当a=b=时,等号成立.故选C. 2 2 |-x x a 2 0, (2 2) -40, a ab ab22 2 命题说明命题说明

20、本题考查不等式的解集与方程根的关系,同时也考查了利用基本不等式求最值.本题设 计重点是将不等式的解法与基本不等式求最值结合,涉及三个“二次”有机结合,考查运算求解能 力及转化与化归的数学思想方法,属于中等题. 2.(2020 5 3原创题)已知正实数a,b满足a+2b=1,且ab2a+b+2恒成立,则的取值范围为 . 答案答案 (-,13+4 10 解析解析 由题意可得恒成立,故的最小值,因为= =+=(a+2b)=5+8+13+2=13+4(当且仅当=时等号成 立), 故的取值范围为(-,13+4. 22ab ab 22ab ab 22ab ab 224abab ab 45ab ab 4 b

21、 5 a 45 ba 4a b 10b a 410ab ba 10 4a b 10b a 10 命题说明命题说明 本题以不等式恒成立问题为载体,着重考查利用基本不等式求最值,学生完成本题,需 要运用逻辑推理、数学运算等核心素养;通过本题的训练,学生可以体会到转化与化归思想在解 题中的应用. 3.(2020 5 3原创题)已知实数x,y满足4x2+y2+xy=1,则4x2+y2的最大值为 . 答案答案 4 3 解析解析 由题意可得4x2+y2=. (1)当x=0时,4x2+y2=1. (2)当x0时,4x2+y2=1-.设=k,则4x2+y2=1- . 当k=0时,1-=1; 当k0时,1-1;

22、 当k0时,1-=1-=1+1+=(当且仅当k=-2时等号成立). 综上可得,4x2+y2的最大值为. 22 22 4 4 xy xyxy 22 22 4 4 xy xyxy 2 2 y y 22 22 4 4 xy xyxy 2 2 2 2 4 4 y x yy xx 2 2 2 2 4- 4 yyy xxx yy xx 2 2 4 y x yy xx y x 2 4 k kk 2 4 k kk 2 4 k kk 2 4 k kk 1 4 1k k 1 4 -(- )-1k k 1 4 2-(- )-1k k 4 3 4 3 命题说明命题说明 本题是利用基本不等式求最值的问题,需要学生通过代

23、换的思想转化所求式子,在转化 中要注意变量的范围,运用基本不等式求最值时,一定要注意“一正、二定、三相等”,考查了逻 辑推理、数学运算等核心素养;通过本题的训练,学生可以体会到转化与化归思想在解题中的应用. 4.(2020 5 3原创题)已知函数f(x)=, f+f+f=(a+b)(a,b均为正实 数),则ab的最大值为 . 21 2 -1 x x 1 2 019 2 2 019 2 018 2 019 1 009 2 答案答案 4 解析解析 f(x)=, f(x)+f(1-x)=+=2, f+f+f =+=1 0092=(a+b), a+b=4,又a,b均为正实数,ab=4, 当且仅当a=b

24、=2时取等号.故ab的最大值为4. 21 2 -1 x x 21 2 -1 x x 2(1- )1 2(1- )-1 x x 1 2 019 2 2 019 2 018 2 019 12 018 2 0192 019 ff 22 017 2 0192 019 ff 1 0091 010 2 0192 019 ff 1 009 2 2 2 ab 命题说明命题说明 本题主要考查利用基本不等式求最值.本题设计重点是基本不等式与函数结合,试题强 调综合性.学生根据题目条件利用倒序相加法求出a+b=4是利用基本不等式求最值的关键,解题时 要注意应用基本不等式的三个前提条件. 素养解读素养解读 本题通过基本不等式及其应用考查学生的数学运算和逻辑推理的核心素养. 第八章 立体几何