2021新高考数学复习练习课件：§2.3　二次函数与幂函数.pptx

1、考点考点1 二次函数二次函数 1.(2019浙江,16,4分)已知aR,函数f(x)=ax3-x.若存在tR,使得|f(t+2)-f(t)|,则实数a的最大值是 . 2 3 答案答案 4 3 解析解析 本题考查绝对值不等式的解法及二次函数的最值等相关知识;以三次函数为背景,对不等 式化简变形,考查学生运算求解能力,将不等式有解问题转化为函数值域(最值)问题,考查学生的化 归与转化思想、数形结合思想;突出考查了数学运算的核心素养. |f(t+2)-f(t)|a(t+2)3-(t+2)-(at3-t)|6at2+12at+8a-2|3at2+6at+4a-1|-3at2+6 at+4a-1a(3t

2、2+6t+4),3t2+6t+4=3(t+1)2+11,若存在tR,使不等式成立,则需a0, 故a(3t2+6t+4)a,+),只需a,+)即可,01),函数y=3x2的图象交AB于点Q,函数y= 的图象交BC于点P,则当|AQ|+|CP|最小时,a的值为 . 1 -2 x 答案答案 3 解析解析 依题意得Q,P,则|AQ|+|CP|=+=+,记=t(t1), f(t)=|AQ|+|CP|,则 f(t)=+,所以f(t)=+2,当且仅当=,即t2=时取等号,此时a=. , 3 a a 1 , a a 3 a1 a3 a1 a a 3 t1 t 3 t1 t 1 33 t1 t 33 3.(20

3、18天津文,14,5分)已知aR,函数f(x)=若对任意x-3,+), f(x)|x|恒成立, 则a的取值范围是 . 2 2 2-2,0, -2 -2 ,0. xxax xxa x 答案答案 1 ,2 8 解析解析 当x-3,0时,因为f(x)|x|恒成立,所以x2+2x+a-2-x,参变量分离得a-x2-3x+2,令y=-x2-3 x+2=-+,所以当x=0或x=-3时,y取得最小值,为2,所以a2. 当x(0,+)时,因为f(x)|x|恒成立,所以-x2+2x-2ax,参变量分离得a-x2+x,令y=-x2+x= -+,所以当x=时,y取得最大值,为, 所以a.由可得a2. 2 3 2 x

4、 17 4 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 - 2 x 1 8 1 2 1 8 1 8 1 8 方法技巧方法技巧 用分离参变量法求解不等式恒成立问题的技巧. 4.(2018天津理,14,5分)已知a0,函数f(x)=若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异 的实数解,则a的取值范围是 . 2 2 2,0, -2-2 ,0. xaxa x xaxax 答案答案 (4,8) 解析解析 本题主要考查函数零点的应用,利用零点个数求参数的取值范围,考查的核心素养是直观想 象和逻辑推理. 当x0时,由x2+2ax+a=ax,得a=-x2-ax;当x0时,由-x2+2ax-2a=ax,得2a

5、=-x2+ax.令g(x)=作 2 2 -,0, -,0. x ax x xax x 出直线y=a,y=2a,函数g(x)的图象如图所示,g(x)的最大值为-+=,由图象可知,若f(x)=ax恰有2 个互异的实数解,则a2a,解得4a0,若a-a20,则必有a2-2a0,无解; 若a-a2=0,则必有a2-2a=0,无解; 若a-a20,则必有a2-2a0,解得4a8. 综上,4a0恒成立,函 数y=2x的值域中没有0,故A不符合题意;y=,其值域为0,+),符合题意.故选B. 1 2 xx 2.(2018上海,7,5分)已知-2,-1,-,1,2,3.若幂函数f(x)=x为奇函数,且在(0,

6、+)上递减,则= . 1 2 1 2 答案答案 -1 解析解析 本题主要考查幂函数的图象和性质.幂函数f(x)=x为奇函数,可取-1,1,3,又f(x)=x在(0, +)上递减,0,则幂函数的图象过原点,并且在区间0,+)上为增函数; 如果0,则幂函数的图象在区间(0,+)上为减函数; 当为奇数时,幂函数为奇函数;当为偶数时,幂函数为偶函数. (2016课标,文7,理6,5分)已知a=,b=,c=2,则( ) A.bac B.abc C.bca D.cab 4 3 2 2 3 3 1 3 5 以下为教师用书专用 答案答案 A a=,c=2=,而函数y=在(0,+)上单调递增,所以,即bac,故

7、选A. 4 3 2 2 3 4 1 3 5 2 3 5 2 3 x 2 3 3 2 3 4 2 3 5 方法总结方法总结 指数式比较大小的问题往往利用函数的性质及图象来解决. 考点考点1 二次函数二次函数 A A组组 考点基础题组考点基础题组 1.(2018湖北荆州模拟,8)二次函数f(x)满足f(x+2)=f(-x+2), f(0)=3, f(2)=1,若在0,m上有最大值3,最 小值1,则m的取值范围是( ) A.(0,+) B.2,+) C.(0,2 D.2,4 答案答案 D 二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),其图象的对称轴是x=2,又f(0)=3,f(4)=3,又f(2)

8、f (0),f(x)的图象开口向上,f(0)=3, f(2)=1, f(4)=3, f(x)在0,m上的最大值为3,最小值为1,由二次 函数的性质知2m4.故选D. 2.(2019广东珠海模拟,6)已知函数y=x2-4x+5在闭区间0,m上有最大值5,最小值1,则m的取值范围是 ( ) A.0,1 B.1,2 C.0,2 D.2,4 答案答案 D 设y=f(x)=x2-4x+5.函数y=f(x)=x2-4x+5在闭区间0,m上有最大值5,最小值1, f(x)的图象 的对称轴方程为x=2, f(2)=4-8+5=1, f(0)=f(4)=5,2m4.m的取值范围是2,4.故选D. 3.(2020

9、湖南炎陵一中仿真考试)已知f(x)=为奇函数,则g(x)=x2+ax+b的单调递增区间为 . 2 -1 1- xa x 答案答案 1 -, 2 解析解析 易知函数f(x)的定义域为(-1,1).因为f(x)为奇函数,所以f(0)=0,所以a-1=0,即a=1.所以g(x)=x2+ x+b, 该二次函数图象的开口向上,对称轴为直线x=-, 所以g(x)的单调递增区间是. 1 2 1 -, 2 1.(2019湖北荆门一模,4改编)已知点在幂函数f(x)的图象上,则f(x)是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.定义域每个区间内的减函数 D.定义域每个区间内的增函数 1 2, 2 考点考点2 幂函数幂

10、函数 答案答案 A 设幂函数y=f(x)=x,把代入函数解析式中,得2=,解得=-1,幂函数f(x)=x-1,x(- ,0)(0,+),f(x)是定义域上的奇函数,且在定义域的每个区间内是单调减函数.故选A. 1 2, 2 1 2 2.(2020湘赣皖十五校第一次联考)设a=ln,b=-,c=lo2,则( ) A.cba B.acb C.cab D.bac 1 2 1 -2 5 1 3 g 答案答案 B -a=ln 2,-b=,-c=log32,log32ln 21,0=,所以-b-c-a,所以acb. 1 -2 5 1 2 1 -2 5 1 -2 4 1 2 3.(2020广东揭阳三中第一次

11、月考,7)如图的曲线是幂函数y=xn在第一象限内的图象.已知n分别取 2,四个值,与曲线C1,C2,C3,C4相应的n依次为( ) A.2,-,-2 B.2,-2,- C.-,-2,2, D.-2,-,2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 答案答案 A 根据幂函数的图象与性质,得在直线x=1的右侧越远离x轴的曲线,指数越大,所以与曲线 C1,C2,C3,C4相应的n依次为2,-,-2.故选A. 1 2 1 2 B B组组 专题综合题组专题综合题组 (时间:45分钟 分值:60分) 一、单项选择题(每小题5分,共35分) 1.(2020湖北武汉3月质量检测)

12、已知a=0.80.4,b=0.40.8,c=log84,则( ) A.abc B.acb C.cab D.bc0.80.80.81=0.0.40.8,log84=,acb.故选D. 2 3 4 9 4 10 1 2 4 2 3 2.(2020百校联盟普通高中教育教学质量监测,7)已知函数f(x)=lo(x2-ax+a)在上为减函数, 则实数a的取值范围是( ) A.(-,1 B. C. D. 1 2 g 1 , 2 1 -,1 2 1 -,1 2 1 -, 2 答案答案 B y=lox在(0,+)上为减函数, y=x2-ax+a在上为增函数,且y0, -,且-a+a0, a1,且a-,a. 1

13、 2 g 1 , 2 - 2 a1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 -,1 2 3.(2020湖北黄冈模拟)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则( ) A.abc B.acb C.cab D.bca 答案答案 B a=log20.220=1,0c=0.20.30.20=1,acbc B.acb C.cab D.cba 2 3 1 3 2 3 1 2 答案答案 D a=1,b=1,ca,cb,又因为幂函数y=为增函数,ba, cba,故选D. 2 3 1 3 2 3 1 2 2 3 x 5.(2020辽宁葫芦岛兴城高级中学模拟)已知函数g(x)是R上的奇函数.当xf(x

14、),则实数x的取值范围为( ) A.(-1,2) B.(1,2) C.(-2,-1) D.(-2,1) 2 -,0, ( ),0. x x g x x 答案答案 D 当x0时,-xx,即x2+x-20,解得-2xf(x2-2x+2)成立的 x的取值范围是( ) A.(1,2) B.(-,1)(2,+) C.(-,1) D.(2,+) 答案答案 A 因为 f(x)是R上的奇函数且在0,+)上是增函数,所以函数f(x)在(-,0上也是增函数, 则函数在R上为增函数. f(x)f(x2-2x+2)xx2-2x+2x2-3x+20,解得1xx2-2x+2,由此 解得x的取值范围即可得答案. 方法点拨方

15、法点拨 利用函数单调性解函数不等式的关键是利用函数的单调性脱去函数符号“f ”,变函 数不等式为一般不等式,去掉“f ”时,要注意f(x)的定义域限制. 7.(2019辽宁部分重点高中联考,8)函数y=1-|x-x2|的图象大致是( ) 答案答案 C 当x=-1时,y=1-|-1-1|=-1,所以排除A,D,当x=2时,y=1-|2-4|=-1,所以排除B,综上,选C. 8.(2020广东揭阳三中第一次月考,14)已知幂函数y=f(x)的图象过点,则log2 f(2)的值为 . 12 , 22 二、填空题(每小题5分,共15分) 答案答案 1 2 解析解析 设幂函数的解析式为y=f(x)=x,

16、 由题意得=,=,f(x)=, f(2)=,log2 f(2)=. 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 x 1 2 2 1 2 9.(2020上海复兴高级中学期中,12)对于问题:当x0时,均有(a-1)x-1(x2-ax-1)0,求实数 a的所有 可能值.几位同学提供了自己的想法. 甲:解含参不等式,其解集包含正实数集; 乙:研究函数y=(a-1)x-1(x2-ax-1); 丙:分别研究两个函数y1=(a-1)x-1与y2=x2-ax-1; 丁:尝试能否参变量分离研究最值问题. 你可以选择其中某位同学的想法,也可以用自己的想法,可以得出正确的答案答案为 . 答案答案 3 2 解析

17、解析 可以选择丙同学的想法. 对于函数y1=(a-1)x-1, 当a-10时,由于当x=0时,y1=-1, 因此y10,(a-1)x-1(x2-ax-1)0恒成立,则y2=x2-ax-1在(0,+)上亦恒小于或等于0,显然不可能成立; 当a-10时,对于函数y1=(a-1)x-1,在上y10恒成立; 若x0,(a-1)x-1(x2-ax-1)0恒成立, 因此y2=x2-ax-1在上y20, 即当x=时,y2=0,即-a-1=0,2a2-3a=0,a=或a=0(舍去). 检验:当a=时,原不等式可化为x2-x-10,即(x-2)(2x2-3x-2)0,(x-2)2(2x+1)0, 又x0,(x-

18、2)20恒成立,因此a=时,符合题意. 当a-1=0时,易知不符合题意. 1 0, -1a 1 , -1a 1 0, -1a 1 , -1a 1 -1a 2 1 ( -1)a 1 -1a 3 2 3 2 1 -1 2 x 3 2 3 2 10.(2020山东潍坊临朐模拟,14)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x),且x(0,2)时, f(x)=x2+ 1,则f(7)= . 答案答案 -2 解析解析 本题考查了函数的奇偶性及周期性. f(x+4)=f(x),4是函数f(x)的周期, f(7)=f(4+3)=f(3)=f3+(-4)=f(-1), 又f(x)为奇函数,f(-1)

19、=-f(1), x(0,2)时, f(x)=x2+1,f(1)=2, f(7)=-f(1)=-2. 11.(2020山西平遥中学第一次月考,18)已知二次函数f(x)满足f(x)=f(-4-x), f(0)=3,若x1,x2是f(x)的两个 零点,且|x1-x2|=2. (1)求f(x)的解析式; (2)若x0,求g(x)=的最大值. ( ) x f x 解析解析 (1)二次函数满足f(x)=f(-4-x), f(x)的图象的对称轴为直线x=-2, x1,x2是f(x)的两个零点,且|x1-x2|=2, 或 设f(x)=a(x+3)(x+1)(a0). 由f(0)=3a=3得a=1,f(x)=

20、x2+4x+3. (2)由(1)得g(x)=(x0), x0,=1-,当且仅当x=,即x=时等号成立.g(x)的最大值是1-. 1 2 -3, -1 x x 1 2 -1, -3. x x ( ) x f x 2 43 x xx 1 3 4x x 1 3 4x x 1 42 3 3 2 3 x 3 3 2 三、解答题(共10分) 1.(多选题)(2020 5 3原创题)若函数y=x2-4x-4在区间0,a)上既有最大值又有最小值,则正整数a的值 可能是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案答案 BC 令y=f(x)=x2-4x-4=(x-2)2-8,作出函数y=f(x)的部分图象,如图,

21、 f(0)=f(4)=-4, f(x)min=f(2)=-8. 因为函数在区间0,a)上既有最大值又有最小值,所以区间0,a)必须包含2,且f(a)-4,所以2a4. 结合选项可知选BC. 素养解读素养解读 利用函数图象讨论函数性质是基本的研究方法,本题以熟悉的二次函数为背景,通过限 制自变量的取值范围,形成一个隐含陷阱,要求答题者深刻理解最值取得的条件,重点考查逻辑推 理和数学抽象的核心素养. 命题说明命题说明 开口向上的抛物线在开区间上有最小值,就是定义域包含了顶点的横坐标;有最大值, 则定义域的开区间端点处的函数值必不超过闭区间端点处的函数值.此题背景熟悉,难度不大,但 对答题者的逻辑思

22、维能力有较高要求. 2.(2020 5 3原创题)若幂函数f(x)=x(R)满足(+1) f(x)=f(ex),则关于函数f(x)的性质正确的判断是 ( ) A.f(x)的图象关于直线x=-1对称 B.f(x)是周期函数 C.f(x)的图象关于点(0,1)对称 D.f(x)是单调函数 答案答案 C (+1)f(x)=f(ex), (+1)x=ex,即e=+1. 令g()=e-1,则g()=e-1,令g()=0,得=0. 当(-,0)时,g()0,g()单调递增. g()min=g(0)=0,方程e=+1有唯一解=0,f(x)=x0=1(x0), f(x)的图象不关于直线x=-1对称, f(x)

23、不是周期函数, f(x)无单调性, f(x)的图象关于点(0,1)对称.故选C. 命题说明命题说明 本题以幂函数为载体考查了函数的奇偶性、对称性、周期性、单调性以及指数运 算、导数应用.引导学生发现和提出问题,建立和求解模型,检验和完善模型,分析和解决问题,培养 数学核心素养,认识数学知识间的联系. 3.(2020 5 3原创题)已知函数f(x)=g(x)=16|f(x)| (2|f(x)|-m)+m2+4m-5. (1)求函数f(x)的值域; (2)若函数g(x)有3个零点,求m的取值范围. 2 -( -1) ,1, -1 ,1, 1 xx x x x 解析解析 (1)当x(-,1时,f(x

24、)=-(x-1)2在(-,1内是增函数,且f(1)=0,f(x)(-,0. 当x(1,+)时, f(x)=1-是增函数,且f(1)=0, f(x)1,f(x)(0,1).综上, f(x)的值域是(-,1). (2)令t=|f(x)|,则h(t)=32t2-16mt+m2+4m-5,y=|f(x)|的图象如图所示, 要使函数g(x)有3个零点,只要32t2-16mt+m2+4m-5=0的两根t1,t2满足0t11t2或t1=0t21. 结合函数图象可知或或 -1 1 x x 2 1x (0)0, (1)0 h h 12 (1)0, 12 h tt 12 (0)0, 01. h tt 即或或 解得3m9或m=1. 2 2 4 -50, -12270 mm mm 2-12 270, 12 2 mm m 2 4 -50, 01, 2 mm m 命题说明命题说明 本题以二次函数与反比例形式的函数构成的分段函数为背景,考查函数图象与性质、 图象变换以及数形结合思想、转化与化归思想、数学抽象、逻辑推理,需要读懂数学符号与数学 图形等数学语言. 方法技巧方法技巧 遇到复合函数的零点个数问题,一般先采用换元法(整体思想与化简),转化为基本函数 模型的问题,然后借助函数图象,找到复合函数、中间元及自变量间的对应关系求解.