2021新高考数学复习练习课件：§6.2　等比数列.pptx

1、考点考点1 等比数列及其前等比数列及其前n项和项和 1.(2020课标理,6,5分)数列an中,a1=2,am+n=aman.若ak+1+ak+2+ak+10=215-25,则k=( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案答案 C 由am+n=aman,令m=1可得an+1=a1an=2an,数列an是公比为2的等比数列,an=22n-1=2n,则 ak+1+ak+2+ak+10=2k+1+2k+2+2k+10=2k+11-2k+1=215-25,k=4.故选C. 110 2(1-2 ) 1-2 k 2.(2020课标文,6,5分)记Sn为等比数列an的前n项和.若a5-a3=12,a6-a

2、4=24,则=( ) A.2n-1 B.2-21-n C.2-2n-1 D.21-n-1 n n S a 答案答案 B 设等比数列an的公比为q,则=q=2,=2-21-n.故选B. 64 53 - - a a a a 53 53 - - aq aq a a 24 12 n n S a 1 -1 1 (1-2 ) 1-2 2 n n a a 3.(2018北京,文5,理4,5分)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出 半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得 到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频

3、率的比都等于.若第 一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为( ) A.f B.f C.f D.f 12 2 3 2 23 2 512 2 712 2 答案答案 D 本题主要考查等比数列的概念和通项公式及等比数列的实际应用. 由题意知,十三个单音的频率构成首项为f,公比为的等比数列,设该等比数列为an,则a8=a1q7,即 a8=f,故选D. 12 2 712 2 4.(2019课标,文6,理5,5分)已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3= ( ) A.16 B.8 C.4 D.2 答案答案 C 解法一:设等比数列an的公比为q(q0),则由前4项和为

4、15,且a5=3a3+4a1,有 a3=q2=4,故选C.解法二:设等比数列an的公比为q.由题意知,an 0,q0.由a5=3a3+4a1得a1q4=3a1q2+4a1,q2=4,q=2.由S4=15,解得a1=1.a3=a1q2=4,故选C. 23 1111 42 111 15, 34 , aa qa qa q a qa qa 1 1, 2, a q 4 1(1-2 ) 1-2 a 5.(2019课标文,14,5分)记Sn为等比数列an的前n项和.若a1=1,S3=,则S4= . 3 4 答案答案 设公比为q(q0),则S3=a1+a2+a3=1+q+q2=,解得q=-,a4=a1q3=-

5、,S4=S3+a4=-=. 5 8 3 4 1 2 1 8 3 4 1 8 5 8 6.(2017北京理,10,5分)若等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则= . 2 2 a b 答案答案 1 解析解析 本题考查等差数列、等比数列的基础知识,考查运算求解能力. 设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q. a1=b1=-1,a4=b4=8, a2=2,b2=2.=1. 3 -1 38, -18, d q 3, -2. d q 2 2 a b 2 2 7.(2017江苏,9,5分)等比数列an的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3=,S6=,则a8= .

6、7 4 63 4 答案答案 32 解析解析 设等比数列an的公比为q. 当q=1时,S3=3a1,S6=6a1=2S3,不符合题意, q1,由题设可得解得 a8=a1q7=27=32. 3 1 6 1 (1-)7 , 1-4 (1-)63 , 1-4 aq q aq q 1 1 , 4 2, a q 1 4 8.(2019上海,8,5分)已知数列an的前n项和为Sn,且满足Sn+an=2,则S5= . 答案答案 31 16 解析解析 n=1时,S1+a1=2,a1=1. n2时,由Sn+an=2得Sn-1+an-1=2, 两式相减得an=an-1(n2), an是以1为首项,为公比的等比数列,

7、 S5=. 1 2 1 2 5 1 11- 2 1 1- 2 31 16 9.(2020新高考,18,12分)已知公比大于1的等比数列an满足a2+a4=20,a3=8. (1)求an的通项公式; (2)(新高考)记bm为an在区间(0,m(mN*)中的项的个数,求数列bm的前100项和S100. (新高考)求a1a2-a2a3+(-1)n-1anan+1. 解析解析 (1)设an的公比为q.由题设得a1q+a1q3=20,a1q2=8. 解得q1=(舍去),q2=2.由题设得a1=2. 所以an的通项公式为an=2n. (2)(新高考)由题设及(1)知b1=0,且当2nm0,且b1+b2=6

8、b3,求q的值及数列an的通项公式; (2)若bn为等差数列,公差d0,证明:c1+c2+c3+cn0得bn+10,因此c1+c2+c3+cnn+2,故bn=3n-1-n-2,n3. 设数列bn的前n项和为Tn,则T1=2,T2=3. 当n3时,Tn=3+-=, 当n=2时,T2也适合上式, 所以Tn= 12 21 4, 21, aa aa 1 2 1, 3. a a 2 1 a a 3 1 -2 9(1-3) 1-3 n (7)( -2) 2 nn 2 3 -511 2 n nn n2 * 2,1, 3 -n -511, 2,N . 2 n n nn 易错警示易错警示 (1)当n2时,得出a

9、n+1=3an,要注意a1与a2是否满足此关系式. (2)在去掉绝对值时,要考虑n=1,2时的情形.在求和过程中,要注意项数,最后Tn要分段写出. 1.(2020课标文,10,5分)设an是等比数列,且a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,则a6+a7+a8=( ) A.12 B.24 C.30 D.32 考点考点2 等比数列的性质及应用等比数列的性质及应用 答案答案 D 设等比数列an的公比为q, 故a2+a3+a4=q(a1+a2+a3), 又a2+a3+a4=2,a1+a2+a3=1,q=2, a6+a7+a8=q5(a1+a2+a3)=25=32,故选D. 2.(2019课标理,

10、14,5分)记Sn为等比数列an的前n项和.若a1=,=a6,则S5= . 1 3 2 4 a 答案答案 121 3 解析解析 设an的公比为q,由=a6,得=a4 q2,又a40,a4=q2.又a4=a1 q3,a1 q3=q2,又a1=,q=3. 由等比数列前n项和公式得S5=. 2 4 a 2 4 a 1 3 5 1 (1-3 ) 3 1-3 121 3 一题多解一题多解 在等比数列中,由=a6,得q6=q5a1,又a1=,所以q=3,则S5=. 2 4 a 2 1 a 1 3 5 1 (1-3 ) 3 1-3 121 3 3.(2016课标理,15,5分)设等比数列an满足a1+a3=

11、10,a2+a4=5,则a1a2an的最大值为 . 答案答案 64 解析解析 设an的公比为q,于是a1(1+q2)=10,a1(q+q3)=5,联立,解得a1=8,q=, an=24-n,a1a2an=23+2+1+(4-n)=26=64.a1a2an的最大值为64. 1 2 2 17 -2 2 2 nn 2 1749 - ( - ) 228 2 n 1.(2018浙江,10,4分)已知a1,a2,a3,a4成等比数列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a11,则( ) A.a1a3,a2a3,a2a4 C.a1a4 D.a1a3,a2a4 以下为教师用书专用 答案答案

12、B 解法一:因为ln xx-1(x0), 所以a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)a1+a2+a3-1, 所以a4-1,又a11,所以等比数列的公比q1,所以ln(a1+a2+a3)0, 与ln(a1+a2+a3)=a1+a2+a3+a40矛盾, 所以-1q0,a2-a4=a1q(1-q2)a3,a21,所以等比数列的公比q1,所以ln(a1+a2+a3)0 与ln(a1+a2+a3)=a1+a2+a3+a40矛盾, 所以-1q0,a2-a4=a1q(1-q2)a3,a20,nN*. (1)若2a2,a3,a2+2成等差数列,求数列an的通项公式; (2)设双曲线x2-=1的离心率

13、为en,且e2=,证明:e1+e2+en. 2 2 n y a 5 3 -1 4 -3 3 nn n 解析解析 (1)由题Sn+1=qSn+1可知, 当n2时,Sn=qSn-1+1,两式相减可得an+1=qan,即an从第二项开始是公比为q的等比数列,当n=1时, 代入可得a1+a2=qa1+1,所以a2=q,即an是公比为q的等比数列. 根据2a2,a3,a2+2成等差数列,可得2a2+a2+2=3a2+2=2a3,即2q2-3q-2=0,解得q=2或q=-,由q0可知,q=2, 所以an=2n-1,nN*.(6分) (2)证明:由双曲线的性质可知,en=,由(1)可得,an是首项为1,公比

14、为q的等比数列, 故e2=,即q=,所以an是首项为1,公比为的等比数列,则通项公式为an=(n N*),所以en=,则e1+e2+en1+=,原 式得证.(12分) 1 2 22 1 1 n a 2 1 n a 2 2 1a 2 1q 5 3 4 3 4 3 -1 4 3 n 2 -2 4 1 3 n 2 -2 4 3 n -1 4 3 n 4 3 2 4 3 -1 4 3 n 4 1- 3 4 1- 3 n -1 4 -3 3 nn n 考点考点1 等比数列及其前等比数列及其前n项和项和 A A组组 考点基础题组考点基础题组 1.(2020福建泉州适应性线上测试,7)已知an是公差为3的等

15、差数列.若a1,a2,a4成等比数列,则an的 前10项和S10=( ) A.165 B.138 C.60 D.30 答案答案 A 由a1,a2,a4成等比数列得=a1a4,即(a1+3)2=a1 (a1+9),解得a1=3,则S10=10a1+d=103+4 53=165.故选A. 2 2 a 10 9 2 解题指导解题指导 仔细运算,不要出现计算错误,本题属容易题. 2.(2019湖南郴州一模,6)在数列an中,满足a1=2,=an-1 an+1(n2,nN*),Sn为an的前n项和,若a6=6 4,则S7的值为( ) A.126 B.256 C.255 D.254 2 n a 答案答案

16、D 数列an中,满足=an-1an+1(n2),则数列an为等比数列,设其公比为q,由a1=2,a6=64,得q 5= =32,则q=2,则S7=28-2=254,故选D. 2 n a 6 1 a a 7 1(1-2 ) 1-2 a 3.(2019湖北荆州3月联考,4)已知数列an为等差数列,且,2,成等比数列,则an的前6项的和为 ( ) A.15 B. C.6 D.3 1 2a 6 2a 21 2 答案答案 C 由,2,成等比数列,可得4=,即a1+a6=2,又数列an为等差数列,所以an 前6项的和为6(a1+a6)=6.故选C. 1 2a 6 2a 1 2a 6 2a 16 2a a

17、1 2 4.(2018山东省实验中学诊断测试,7)中国古代数学名著九章算术中有这样一个问题:今有牛、 马、羊食人苗,苗主责之粟五斗,羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问 各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说: “我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此 比例偿还,他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人应偿还a升,b升,c升,1斗为10升,则下列判断 正确的是( ) A.a,b,c依次成公比为2的等比数列,且a= B.a,b,c依次成公比为2的等比数列,且c= C.a,b,c

18、依次成公比为的等比数列,且a= D.a,b,c依次成公比为的等比数列,且c= 50 7 50 7 1 2 50 7 1 2 50 7 答案答案 D 由题意可知b=a,c=b,=,=.a、b、c成等比数列且公比为.1斗=10升, 5斗=50升,a+b+c=50,又易知a=4c,b=2c,4c+2c+c=50,7c=50,c=,故选D. 1 2 1 2 b a 1 2 c b 1 2 1 2 50 7 5.(2020山东聊城模拟)已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=2an-a1(nN*),数列bn满足b1=6,bn=Sn+ +4(nN*). (1)求数列an的通项公式; (2)记数列的前n项和为

19、Tn,证明:Tn. 1 n a 1 n b 1 2 解析解析 (1)已知Sn=2an-a1, 当n2时,Sn-1=2an-1-a1, 两式相减得an=2an-1,n2,由题bn=Sn+4, 令n=1,得6=a1+4,解得a1=1, 所以数列an是公比为2,首项为1的等比数列, 所以an的通项公式为an=2n-1. (2)证明:由Sn=2an-a1=2n-1,得bn=2n+3, 则=-, 所以Tn=+=-0)石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知 丙衰分得80石,乙、丁衰分所得的和为164石,则“衰分比”与m的值分别为( ) A.20%;369 B.80%;369 C.40%;360 D.

20、60%;365 B B组组 专题综合题组专题综合题组 (时间:60分钟 分值:85分) 一、单项选择题(每小题5分,共15分) 答案答案 A 设“衰分比”为a(0a0. a1=2,且a1a5=64,4q4=64,解得q=2,则an=2n,可得数列即为数列, =-, 数列的前n项和是-+-+-=1-,故选A. 1 (-1)(-1) n nn a aa 1 2 (2 -1)(2-1) n nn 1 2 (2 -1)(2-1) n nn 1 2 -1 n1 1 2-1 n 1 (-1)(-1) n nn a aa 1 2-1 2 1 2 -1 2 1 2 -1 3 1 2 -1 1 2 -1 n1

21、1 2-1 n1 1 2-1 n 思路分析思路分析 运用等比数列的通项公式,解方程求得公比q,可得数列an的通项公式为an=2n,从而得 =-,裂项相消求和即可. 1 2 (2 -1)(2-1) n nn 1 2 -1 n1 1 2-1 n 3.(2020山东济宁一中质量检测,6)已知正项等比数列an满足:a2a8=16a5,a3+a5=20,若存在两项am,an 使得=32,则+的最小值为( ) A. B. C. D. mn a a 1 m 4 n 3 4 9 10 3 2 9 5 答案答案 A 设公比为q,q0.因为数列an是正项等比数列,所以a2a8=16a5,所以a5=16, 又a3+

22、a5=20,所以a3=4, 所以q=2,则a1=1,所以an=a1qn-1=2n-1. 因为=32,所以2m-12n-1=210,即m+n=12, 所以+=(m+n)= =(m,nN*),当且仅当n=2m,即m=4,n=8时,“=”成立,所以+的最小值为. 2 5 a mn a a 1 m 4 n 1 12 14 mn 1 12 4 5 nm mn 1 12 4 52 nm mn 3 4 1 m 4 n 3 4 思路分析思路分析 本题首先可以通过等比数列的相关性质以及a2a8=16a5,a3+a5=20求出数列an的通项公 式,然后通过=32得出m+n=12,最后将+转化为(m+n),利用基本

23、不等式即可得 出结果. mn a a 1 m 4 n 1 12 14 mn 4.(2020山东青岛三模,10)在悠久灿烂的中国古代文化中,数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩.张 丘建算经是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一,大约创作于公元五世纪.书中有 如下问题:“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月织九匹三丈,问日益几何?”其大意为:“有 一女子擅长织布,织布的速度一天比一天快,从第二天起,每天比前一天多织相同数量的布,第一天 织5尺,一个月共织了九匹三丈,问从第二天起,每天比前一天多织多少尺布?”已知1匹=4丈,1丈=1 0尺,若这一个月有30天,记该女子这一个月中的第n天所织布

24、的尺数为an,bn=,对于数列an,bn, 下列选项中正确的为( ) A.b10=8b5 B.bn是等比数列 C.a1b30=105 D.= 2 n a 357 246 aaa aaa 209 193 二、多项选择题(共5分) 答案答案 BD 由题意知an为等差数列,a1=5,S30=390,设公差为d,则S30=305+d,d=.对 于B,bn中,=2d,故bn为等比数列,故B正确.对于A,=25d=8,故A错误.对于C, a1b30=532=532216105,故C错误.对于D,=,故D正确. 30 29 2 16 29 1n n b b 1 2 2 n n a a 1- 2 nn aa

25、10 5 b b 80 29 2 16 29 29 2 357 246 aaa aaa 5 4 a a 209 193 5.(2020福建泉州适应性线上测试,14)已知数列an的各项均为正数,且=6an+an+1(nN*),则 = . 2 1n n a a 47 25 aa aa 三、填空题(共5分) 答案答案 9 解析 由=6an+an+1可得-an+1an-6=0,即(an+1-3an)(an+1+2an)=0,因为an0,所以an+1=3an,所以an 是公比为3的等比数列,所以=q2=9. 2 1n n a a 2 1n a 2 n a 47 25 aa aa 22 25 25 a q

26、a q aa 6.(2020山东济宁二中月考,20)已知an是递增的等差数列,且a2,a4是方程x2-5x+6=0的根,数列bn的 前n项和为Sn,且Sn=2bn-2(nN*). (1)求数列an,bn的通项公式; (2)若cn=an bn(nN*),求数列cn的前n项和Tn. 四、解答题(共60分) 解析解析 (1)易得方程x2-5x+6=0的两根为2,3, 则由题意,得a2=2,a4=3.设等差数列an的公差为d, 则a4-a2=2d,d=.从而a2=a1+d=2,a1=. 数列an的通项公式为an=+(n-1)=+1. Sn=2bn-2, 当n2时,Sn-1=2bn-1-2, -得,bn

27、=Sn-Sn-1=(2bn-2)-(2bn-1-2)=2bn-2bn-1, bn=2bn-1(n2). 又b1=S1=2b1-2,b1=2. bn是以2为首项,2为公比的等比数列, bn=22n-1=2n. (2)由题意及(1)得cn=2n=(n+2)2n-1, Tn=(1+2)20+(2+2)21+(3+2)22+(n+1)2n-2+(n+2)2n-1, 即Tn=320+421+522+(n+1)2n-2+(n+2)2n-1, 2Tn=321+422+523+(n+1)2n-1+(n+2)2n, 1 2 3 2 3 2 1 22 n 1 2 n -得-Tn=3+21+22+23+2n-2+2

28、n-1-(n+2)2n, -Tn=3+-(n+2)2n=1-(n+1)2n, Tn=(n+1)2n-1. -1 2(1-2) 1-2 n 7.(2020山东菏泽一中2月自测,18)设数列an的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1-2Sn=1,nN*. (1)证明:Sn+1为等比数列,求出an的通项公式; (2)若bn=,求bn的前n项和Tn,并判断是否存在正整数n使得Tn 2n-1=n+50成立.若存在,求出所有n的 值;若不存在,说明理由. n n a 解析解析 (1)Sn+1-2Sn=1,Sn+1+1=2(Sn+1),nN*, Sn+1为等比数列,且公比为2, 又S1+1=2, Sn+1

29、=2n,Sn=2n-1,当n2时,Sn-1=2n-1-1, 则an=Sn-Sn-1=2n-1,a1=1也满足此式, an=2n-1,nN*. (2)由(1)得bn=, 则Tn=+,Tn=+,两式相减得:Tn=+-=2-,Tn=4- , 代入Tn 2n-1=n+50得2n-n-26=0. 令f(x)=2x-x-26(x1),则f (x)=2xln 2-10在x1,+)上恒成立, f(x)=2x-x-26在x1,+)上为增函数, 又有f(5) f(4)cn,当n3时,cn+1cn, 即c1c2c4c5, 所以存在k=3,使得对任意nN*,anbnakbk恒成立. 1 2 3 n 2 3 n 5-2

30、 3 n2 3 n 方法总结方法总结 等差、等比数列的常用公式: (1)等差数列: 递推关系式:an+1-an=d,常用于等差数列的证明. 通项公式:an=a1+(n-1)d. 前n项和公式:Sn=na1+d. (2)等比数列: 递推关系式:=q(q0),常用于等比数列的证明. 通项公式:an=a1 qn-1. 前n项和公式:Sn= (3)在证明a,b,c成等差、等比数列时,还可以利用等差中项:=b或等比中项:a c=b2来证明. 1 () 2 n aa n( -1) 2 n n 1n n a a 1 1 (1), (1-) (1). 1- n na q aq q q 2 ac 9.(2020

31、北京东城二模,17)已知an为等比数列,其前n项和为Sn,且满足a3=1,S3=3a2+1,bn为等差数 列,其前n项和为Tn.如图 ,Tn的图象经过A,B两个点. (1)求Sn; (2)若存在正整数n,使得bnSn,求n的最小值. 从图,图,图中选择一个适当的条件,补充在上面问题中并作答. 图 图 图 解析解析 (1)设等比数列an的公比为q.由S3=3a2+1,a3=1,得a1=2a2,故q=. 又因为a3=a1q2,所以a1=4, 所以Sn=8=8-23-n. (2)设等差数列bn的公差为d. 由题图知:T1=b1=1,T3=-3,可判断d0,故数列bn是递减数列.而Sn是递增数列,且b

32、1Sn”. 由题图知:T1=b1=1,T3=6,可判断d0,故数列bn是递增数列. 由题图知:T1=b1=-3,T3=0,可判断d0,故数列bn是递增数列. 所以选择题图均满足“存在正整数n,使得bnSn”. 若选择题图,则T1=b1=1,T3=6,可得d=1,所以bn=n. 当n=1,2,3,4,5,6,7时,bnSn不成立, 当n=8时,b8=8,S8=8-23-8,即S8Sn成立的正整数n的最小值为8. 若选择题图,则T1=b1=-3,T3=0,可得d=3, 2 1 a a 1 2 1 4 1- 2 1 1- 2 n 1 1- 2n 所以bn=3n-6. 当n=1,2,3,4时,bnSn

33、不成立, 当n=5时,b5=9,S5=8-23-5,即S5Sn成立的正整数n的最小值为5. 10.(2020江苏常熟3月“线上教育”学习情况调查,19)构造数组,规则如下:第一组是两个1,即(1,1), 第二组是(1,2a,1),第三组是(1,a(1+2a),2a,a(2a+1),1),在每一组的相邻两个数之间插入这两个 数的和的a倍得到下一组,其中a(0,1).设第n组中有an个数,且这an个数的和为Sn(nN*). (1)直接写出an+1与an的关系式,并求an和Sn; (2)已知a=,bn=Tn是数列bn的前n项和,Hn是数列Tn的前n项和.若对任意nN*,H 2n-1 ,求所有满足条件

34、的正整数k的值. 1 2 1 1 -, -1 1 , -1 n n n a n S 为奇数 为偶数 -6-2 | 44 kk xx 解析解析 (1)a1=2,an+1=2an-1,nN*, an+1-1=2(an-1),a1-1=10, an-1是等比数列,首项为1,公比为2,an=2n-1+1. S1=2,Sn+1=Sn+2a(Sn-1),nN*, Sn+1-1=(2a+1)(Sn-1),S1-1=10, Sn-1是等比数列,首项为1,公比为2a+1, Sn=(2a+1)n-1+1. (2)b n=Tn= H2n-1=T1+T2+T3+T4+T2n-2+T2n-1=-=-=-, 因为1-1,

35、所以-H2n-1-. 因为对任意的nN*,H2n-1, 则, -1 1 -, 2 1 , 2 n n n n 为奇数 为偶数 1 -, 2 0, n n n 为奇数 为偶数 1 2 3 1 2 5 1 2 2 -3 1 2 n2 -1 1 2 n 11 1- 24 1 1- 4 n 2 3 1 1- 4n 3 4 1 4n 2 3 1 2 -6-2 | 44 kk xx 21 -,- 32 -6-2 | 44 kk xx 所以解得02,3q-15, 从而m-kN*, 当m-k=1时,q=(舍去);当m-k=2时,q=, q2,q=; 当m-k3时,记f(q)=qx-3q+1(x3,xN*,q2

36、), 则f(q)0.证明如下: f (q)=xqx-1-3323-1-30, f(q)f(2)=2x-50,3q-1qm-k. 综上,q=. 1 2 35 2 35 2 35 2 命题说明命题说明 本题考查等比数列的通项公式及性质,形式新颖,从一个新的视角理解新的等式,拓展 了视野. 3.(2020 5 3原创题)数列an满足a1=7,且当n2时,总有an=an-1+成立(其中,为常数). (1)试写出,满足的关系式,使得数列an-3是等比数列; (2)记bn=,Sn为数列bn的前n项和,若=2,=-3,不等式SnK恒成立,求K的取值范围. 222 3 log (-3) log (-3) nn

37、 aa 解析解析 (1)由题意知,对任意n2,an=an-1+, 若an-3是等比数列,则必存在q0,对任意n2,有an-3=q(an-1-3),整理得an=qan-1+3-3q, 由得消去q,得3+=3(1且0). (2)显然=2,=-3满足(1)中求得的关系式, 此时an-3是以7-3=4为首项,2为公比的等比数列, 故an-3=42n-1,所以an=2n+1+3, 则bn=, 因此Sn=b1+b2+bn=+=+-=- ,显然Sn是递增数列,因此,当nN*时,Sn,因为SnK恒成立,故K. , 3-3 , q q 13 22 3 log 2log 2 nn 3 (1)(3)nn 3 2 2

38、 (1)(3)nn 3 2 11 - 13nn 3 2 1 1 - 2 4 1 1 - 3 5 11 - 13nn 3 2 1 2 1 3 1 2n 1 3n 5 4 3 2(2)n 3 2(3)n 3 5 , 8 4 5 4 命题说明命题说明 本题重点考查等比数列的定义、裂项相消求和以及不等式恒成立问题.本题第(1)问是 第(2)问的铺垫.完成本题的训练,有助于提高学生数学抽象、数学运算的核心素养,并深化学生对 等比数列定义的认识. 易错警示易错警示 熟练把握等比数列的定义,准确掌握裂项相消求和法是解答此题的基础,不等式恒成立 问题转化为最值(范围)问题是基本处理手段,取值端点是容易出错的点.