2021新高考数学复习练习课件：§11.1　排列、组合.pptx

1、考点考点 排列、组合排列、组合 1.(2020新高考,6,5分)3名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作,每名大学生只去1个村,每个 村至少去1人,则不同的分配方案共有( ) A.4种 B.5种 C.6种 D.8种 答案答案 C 根据题意,可先将3名大学生分成2组,一组2人,一组1人,共有=3种分法,再将这两组分 配到2个山村,有=2种分法,故共有32=6种分法. 2 3 C 2 2 A 2.(2020新高考,3,5分)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安 排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有( ) A.120种 B.90种 C.60种

2、D.30种 答案答案 C 第一步:安排甲场馆的志愿者,则甲场馆的安排方法有=6种,第二步:安排乙场馆的志 愿者,则乙场馆的安排方法有=10种,第三步:安排丙场馆的志愿者,则丙场馆的安排方法有=1 种.所以共有6101=60种不同的安排方法.故选C. 1 6 C 2 5 C 3 3 C 3.(2017课标理,6,5分)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不 同的安排方式共有( ) A.12种 B.18种 C.24种 D.36种 答案 D 本题主要考查排列、组合. 第一步:将4项工作分成3组,共有种分法. 第二步:将3组工作分配给3名志愿者,共有种分配方法,故共有=

3、36种安排方式,故选D. 2 4 C 3 3 A 2 4 C 3 3 A 4.(2020课标理,14,5分)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小 区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有 种. 答案答案 36 解析解析 因为每个小区至少安排1名同学,所以4名同学的分组方案只能为1,1,2,所以不同的安排方法 共有=36种. 112 432 2 2 CCC A 3 3 A 5.(2018课标理,15,5分)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同 的选法共有 种.(用数字填写答案) 答案答案 16 解析解析 本题主要考查组合问题. 解

4、法一:从2位女生,4位男生中选3人,且至少有1位女生入选的情况有以下2种:2女1男:有=4 种选法;1女2男:有=12种选法,故至少有1位女生入选的选法有4+12=16种. 解法二:从2位女生,4位男生中选3人有=20种选法,其中选出的3人都是男生的选法有=4种,所 以至少有1位女生入选的选法有20-4=16种. 2 2 C 1 4 C 1 2 C 2 4 C 3 6 C 3 4 C 6.(2018浙江,16,4分)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成 个 没有重复数字的四位数.(用数字作答) 答案答案 1 260 解析解析 本题考查排列、组合及其运

5、用,考查分类讨论思想. 含有数字0的没有重复数字的四位数共有 =540个,不含有数字0的没有重复数字的四位 数共有=720个,故一共可以组成540+720=1 260个没有重复数字的四位数. 2 5 C 1 3 C 1 3 A 3 3 A 2 5 C 2 3 C 4 4 A 易错警示易错警示 数字排成数时,容易出错的地方: (1)数字是否可以重复; (2)数字0不能排首位. 7.(2017天津理,14,5分)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位 数,这样的四位数一共有 个.(用数字作答) 答案答案 1 080 解析解析 本题主要考查计数原理及排

6、列、组合的应用. (1)有一个数字是偶数的四位数有=960个. (2)没有偶数的四位数有=120个. 故这样的四位数一共有960+120=1 080个. 1 4 C 3 5 C 4 4 A 4 5 A 思路分析思路分析 分两种情况:有一个数字是偶数的四位数;没有偶数的四位数. 8.(2017浙江,16,4分)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队, 要求服务队中至少有1名女生,共有 种不同的选法.(用数字作答) 答案答案 660 解析解析 本题考查计数原理、排列、组合,排列数、组合数计算,利用间接法解决“至少”类问题, 考查推理运算能力. 从8人中选出4人,

7、且至少有1名女学生的选法种数为-=55.从4人中选出队长1人,副队长1人,普 通队员2人的选法为=12种. 故总共有5512=660种选法. 4 8 C 4 6 C 2 4 A 9.(2018江苏,23,10分)设nN*,对1,2,n的一个排列i1i2in,如果当sit,则称(is,it)是排列i1i2 in的一个逆序,排列i1i2in的所有逆序的总个数称为其逆序数,例如:对1,2,3的一个排列231,只有 两个逆序(2,1),(3,1),则排列231的逆序数为2.记fn(k)为1,2,n的所有排列中逆序数为k的全部排列 的个数. (1)求f3(2), f4(2)的值; (2)求fn(2)(n

8、5)的表达式(用n表示). 解析解析 本题主要考查计数原理、排列等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力. (1)记(abc)为排列abc的逆序数,对1,2,3的所有排列,有(123)=0,(132)=1,(213)=1,(231)=2,(312)= 2,(321)=3,所以f3(0)=1, f3(1)=f3(2)=2. 对1,2,3,4的排列,利用已有的1,2,3的排列,将数字4添加进去,4在新排列中的位置只能是最后三个位 置. 因此f4(2)=f3(2)+f3(1)+f3(0)=5. (2)对一般的n(n4)的情形,逆序数为0的排列只有一个:12n,所以fn(0)=1.逆序数为1的排列只

9、能 是将排列12n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列,所以fn(1)=n-1.为计算fn+1(2),当1,2,n 的排列及其逆序数确定后,将n+1添加进原排列,n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此, fn+1(2)=fn(2)+fn(1)+fn(0)=fn(2)+n. 当n5时, fn(2)=fn(2)-fn-1(2)+fn-1(2)-fn-2(2)+f5(2)-f4(2)+f4(2)=(n-1)+(n-2)+4+f4(2)=. 因此,当n5时, fn(2)=. 2- -2 2 n n 2- -2 2 n n 疑难突破疑难突破 要做好本题,关键是理解“逆序”“逆序数”“fn(k)

10、”的含义,不妨从比较小的1,2,3入 手去理解这几个概念,这样就能得到f3(2). f4(2)是指1,2,3,4这4个数中逆序数为2的全部排列的个数, 可以通过与f3(2), f3(1), f3(0)联系得到,4分别添加在f3(2)的排列中最后一个位置、f3(1)的排列中的倒 数第2个位置、 f3(0)的排列中的倒数第3个位置.有了上述的理解就能得到fn+1(2)与fn(2)、fn(1)、 fn (0)的关系:fn+1(2)=fn(2)+fn(1)+fn(0)=fn(2)+n,从而得到fn(2)(n5)的表达式. 1.(2016课标理,5,5分)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,

11、再一起到位于G处的老 年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( ) A.24 B.18 C.12 D.9 以下为教师用书专用 答案答案 B 本题考查计数原理的应用. 分两步:第一步,从EF,有6条可以选择的最短路径;第二步,从FG,有3条可以选择的最短路径.由 分步乘法计数原理可知有63=18条可以选择的最短路径.故选B. 2.(2016四川理,4,5分)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为( ) A.24 B.48 C.60 D.72 答案答案 D 本题考查排列、组合的应用. 奇数的个数为=72. 1 3 C 4 4 A 3.(2016课

12、标理,12,5分)定义“规范01数列”an如下:an共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任 意k2m,a1,a2,ak中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有( ) A.18个 B.16个 C.14个 D.12个 答案答案 C 本题考查组合数和计数原理的应用,考查分类讨论的数学思想. 当m=4时,数列an共有8项,其中4项为0,4项为1,要满足对任意k8,a1,a2,ak中0的个数不少于1的 个数,则必有a1=0,a8=1,a2可为0,也可为1.(1)当a2=0时,分以下3种情况:若a3=0,则a4,a5,a6,a7中任意一 个为0均可,则有=4种情况;若a3=1,

13、a4=0,则a5,a6,a7中任意一个为0均可,有=3种情况;若a3=1, a4=1,则a5必为0,a6,a7中任一个为0均可,有=2种情况;(2)当a2=1时,必有a3=0,分以下2种情况:若a4 =0,则a5,a6,a7中任一个为0均可,有=3种情况;若a4=1,则a5必为0,a6,a7中任一个为0均可,有=2种 情况.综上所述,不同的“规范01数列”共有4+3+2+3+2=14个,故选C. 1 4 C 1 3 C 1 2 C 1 3 C 1 2 C 解后反思解后反思 本题是“新定义”问题,理解“规范01数列”的定义是解题的关键,注意分类讨论时要 不重不漏. 4.(2016江苏,23,10

14、分)(1)求7-4的值; (2)设m,nN*,nm,求证: (m+1)+(m+2)+(m+3)+n+(n+1)=(m+1). 3 6 C 4 7 C Cm m1 Cm m2 Cm m-1 Cm n Cm n 2 2 Cm n 解析解析 (1)7-4=7-4=0. (2)证明:当n=m时,结论显然成立.当nm时,(k+1)=(m+1) =(m+1),k=m+1,m+2,n. 又因为+=, 所以(k+1)=(m+1)(-),k=m+1,m+2,n. 因此,(m+1)+(m+2)+(m+3)+(n+1) =(m+1)+(m+2)+(m+3)+(n+1) =(m+1)+(m+1)(-)+(-)+(-)

15、=(m+1). 3 6 C 4 7 C 6 5 4 3 2 1 76 5 4 4 3 2 1 Cm k (1)! ! ( - )! kk mk m (1)! (1)! (1)-(1)! k mkm 1 1 Cm k 1 1 Cm k 2 1 Cm k 2 2 Cm k Cm k 2 2 Cm k 2 1 Cm k Cm m1 Cm m2 Cm m Cm n Cm m1 Cm m2 Cm m Cm n 2 2 Cm m 2 3 Cm m 2 2 Cm m 2 4 Cm m 2 3 Cm m 2 2 Cm n 2 1 Cm n 2 2 Cm n 考点考点 排列、组合排列、组合 A A组组 考点基础

16、题组考点基础题组 1.(2020湖南长沙明德中学3月月考,7)现有10名学生排成一排,其中4名男生,6名女生,若有且只有3 名男生相邻排在一起,则不同的排法共有 种.( ) A. B. C. D. 2 6 A 2 7 A 3 4 A 2 7 A 3 3 A 2 6 A 2 7 A 3 4 A 6 6 A 2 7 A 答案答案 D 根据题意,分3步进行分析: 将4名男生分成1、3两组,有=4种分组方法,其中三人组三人之间的顺序有种排法; 将6名女生全排列,有种情况,排好后有7个空位; 将分好的2组男生安排到7个空位中,有种情况, 则不同的排法有 = 种. 3 4 C 3 3 A 6 6 A 2

17、7 A 3 4 C 3 3 A 6 6 A 2 7 A 3 4 A 6 6 A 2 7 A 2.(2019河北武邑中学3月月考,7)在高三下学期初,某校开展教师对学生的家庭学习问卷调查活动, 已知现有3名教师对4名学生进行家庭问卷调查,若这3名教师每名至少到一名学生家中进行问卷 调查,这4名学生的家庭都能且只能得到一名教师的问卷调查,那么不同的问卷调查方案的种数为 ( ) A.36 B.72 C.24 D.48 答案答案 A 根据题意,分2步进行分析:先把4名学生分成3组,其中1组2人,其余2组每组各1人,有 =6种分组方法;将分好的3组对应3名教师,有=6种情况,则一共有66=36种不同的问

18、卷 调查方案,故选A. 211 421 2 2 C C C A 3 3 A 3.(2020福建南平第一次质量检测,14)将5名志愿者分派到2个不同社区参加公益活动,要求每个社 区至少安排2人参加活动,则不同的分派方案共有 种.(用数字作答) 答案答案 20 解析解析 由已知得,首先把5名志愿者分成两组分别有2人、3人,然后再分派到2个不同社区,即 =102=20种. 2 5 C 3 3 C 2 2 A 思路分析思路分析 先对5人进行分组,然后再分配. 4.(2019湖北荆门调研,15)学校在高一年级开设选修课程,其中历史开设了三个不同的班,选课结束 后,有5名同学要求改修历史,但历史选修每班至

19、多可接收2名同学,那么安排好这5名同学的方案有 种.(用数字作答) 答案答案 90 解析解析 由已知可得,先将5名学生分成3组,有=15种分组方法,所以不同分法有15=90种. 122 542 2 2 C C C A 3 3 A 1.(2020广东广州番禺线上3月检测,10)中国古代“五行”学说认为:物质分“金、木、水、火、 土”五种属性,并认为:“金生水、水生木、木生火、火生土、土生金”.从五种不同属性的物质 中随机抽取2种,则抽到的两种物质不相生的概率为( ) A. B. C. D. 1 5 1 4 1 3 1 2 B B组组 专题综合题组专题综合题组 (时间:25分钟 分值:50分) 一

20、、单项选择题(每小题5分,共20分) 答案答案 D 从五种不同属性的物质中抽取2种共有=10种情况,抽到的两种物质不相生的情况有 5种,所以P=. 2 5 C 5 10 1 2 解题指导解题指导 由题意知相生的有5种,所以不相生的情况为10-5=5种. 2.(2020福建龙岩高中毕业班教学质量检查)从2名女同学和3名男同学中任选2人参加演讲比赛,则 选中的2人是1名男同学1名女同学的概率是( ) A. B. C. D. 1 5 2 5 3 5 4 5 答案答案 C 从中选2人有=10种,选中1名男同学1名女同学的情况有 =6种,P=.故选C. 2 5 C 1 2 C 1 3 C 6 10 3

21、5 3.(2020山东潍坊临朐模拟,8)现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色,要求有公共边 界的两块不能用同一种颜色,则不同的着色方法共有( ) A.24种 B.30种 C.36种 D.48种 答案答案 D 如图.依次涂1、2、3、4四个部分,则不同的着色方法有 = 124=48种,故选D. 1 4 C 1 3 C 1 2 C 1 2 C 解后反思解后反思 本题主要考查了分步计数原理,考查了逻辑推理能力. 4.(2020湘赣皖十五校第一次联考,4)自2019年12月以来,在湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病 例,研究表明,该新型冠状病毒具有很强的传染性,各级政府反应迅速,采取了有效的防

22、控阻击措施, 把疫情控制在最低范围之内,某社区按上级要求做好在鄂返乡人员体格检查登记,有3个不同的住 户属在鄂返乡住户,负责该小区体格检查的社区诊所共有4名医生,现要求这4名医生都要分配出 去,且每个住户家里都要有医生去检查登记,则不同的分配方案共有( ) A.12种 B.24种 C.36种 D.72种 答案答案 C 不同分配方案共有=36种. 2 4 C 3 3 A 5.(2020山东济宁一中质量检测,15)“中国梦”的英文翻译为“China Dream”,其中China又可以 简写为CN,从“CN Dream”中取6个不同的字母排成一排,含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同 排列共有 种

23、. 二、填空题(每小题5分,共30分) 答案答案 600 解析解析 根据题意,分2步进行分析:先从其他5个字母中任取4个,有=5种选法,再将“ea”看成一 个整体,与选出的4个字母全排列,有=120种情况,则不同的排列共有5120=600(种). 4 5 C 5 5 A 6.(2020普通高等学校招生全国统一模拟考试)五声音阶是中国古乐基本音阶,故有成语“五音不 全”.中国古乐中的五声音阶依次为:宫、商、角、徴、羽,如果把这五个音阶全用上,排成一个五 个音阶的音序,且要求宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧,可排成 种不同的音序. 答案答案 32 解析解析 若“角”在两端,则宫、羽两音阶一定在角

24、音阶同侧,此时有23 =24种; 若“角”在中间,则不可能出现宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧的情况; 若“角”在第二个或第四个位置上,则有2 =8种, 综上,共有24+8=32种. 2 2 A 2 2 A 2 2 A 2 2 A 思路分析思路分析 按照“角”的位置分类:分“角”在两端,在中间,以及在第二个或第四个位置上,即可 求出. 7.(2019河北衡水中学第一次摸底,15)由数字0,1组成的一串数字代码,其中恰好有7个1,3个0,则这 样的不同数字代码共有 个. 答案答案 120 解析解析 10个元素进行全排列共有种结果,在这些结果中有7个1,3个0,这样前面的全排列就出现 了重复,不

25、同的排列中每个排列出现了 次,得到不同的排列共有=120个. 10 10 A 7 7 A 3 3 A 10 10 73 73 A A A 8.(2020福建厦门3月线上质量检测,14)将2名教师,6名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参 加社会实践活动,每个小组由1名教师和3名学生组成,不同的安排方案总数为 . 答案答案 40 解析解析 由已知,分两步:第一步:分教师,有=2种: 第二步:分学生,有=20种, 所以一共有220=40种不同的方案. 2 2 A 3 6 C 3 3 C 9.(2020江苏常熟3月“线上教育”学习情况调查,14)有4件产品,其中1件是次品,其余为正品,从中 选取

26、两件检测,两件产品均为正品的概率是 . 答案答案 1 2 解析解析 选两件产品有=6种, 两件均为正品的结果有=3种, P=. 2 4 C 2 3 C 3 6 1 2 10.(2020南师附中期初检测,13)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,b是从1,2两个数中任取的一 个数,则关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0有实根的概率是 . 答案答案 5 8 解析解析 首先确定a,b取值共有=8种, 方程若有实根,则=4a2-4b20,a2b2, 当a=0时,b不存在; 当a=1时,b=1;当a=2时,b=1,2; 当a=3时,b=1,2,一元二次方程x2+2ax+b2=0有实根的结果

27、有5种.P=. 1 4 C 1 2 C 5 8 解题关键解题关键 找到使一元二次方程有实根的条件,根据条件得出情况数. 1.(2020 5 3原创题)设S=(a1,a2,a3,a4,a5,a6),T=(b1,b2,b3,b4,b5,b6),其中ai,bi=0或1,记d(S,T)表示S和T中相对 应的元素不同的个数,当d(S,T)=2,S=(1,1,1,0,0,0)时,满足条件的T有( ) A.20个 B.36个 C.24个 D.15个 答案答案 D (1)当b1,b2,b3中取2个0,b4=b5=b6=0时,满足d(S,T)=2,所以有=3种情形; (2)当b1=b2=b3=1,b4,b5,b

28、6中取2个1时,也满足d(S,T)=2,所以有=3种情形; (3)当b1,b2,b3中取1个0,b4,b5,b6中取1个1时,同样有d(S,T)=2,所以有=9种情形.综上,满足条件的T 一共有3+3+9=15个. 2 3 C 2 3 C 1 3 C 1 3 C 命题说明命题说明 本题以新符号、新定义为载体,考查分类计数原理、排列、组合等知识,考查分类讨论 的思想方法以及数学抽象、数学运算的核心素养. 2.(2020 5 3原创题)已知集合AB=a1,a2,a3,a4,记AB时,(A,B)与(B,A)视为不同的对,则这样的(A, B)对的个数为( ) A.54 B.72 C.81 D.90 答

29、案答案 C (1)当A=a1,a2,a3,a4时,集合B有24=16个,即a1,a2,a3,a4的任何一个子集均可以作为B,此 时有16种情况; (2)当A中有三个元素时,若A=a1,a2,a3,则B中必有a4,所以集合B可以由集合A的子集加上元素a4组 成,此时有23=8个,同理,当A=a1,a2,a4或A=a2,a3,a4或A=a1,a3,a4时,分别有8个,故共有84=32种情 况; (3)当A中有两个元素时,如A=a1,a2,则a3,a4B,因此B有22=4种情况,从而共有4=24种情况; (4)当A中有一个元素时,如A=a1,则a2,a3,a4B,因此B有21=2种情况,从而共有2=

30、8种情况; (5)若A=,则B=a1,a2,a3,a4,只有一种情况. 因此符合条件的(A,B)对共有16+32+24+8+1=81个. 2 4 C 1 4 C 方法总结方法总结 处理排列与组合问题时,一般思路是:明确要完成一件什么事(审题);是分步还是分类; 是有序还是无序.若是它们的综合问题,则先分类再分步,先组合后排列,先特殊再一般. 3.(2020 5 3原创题)已知三位数a1a2a3(其中a1,a2,a30,1,2,3,4,5,6,7,8,9)满足:a1a3,且a2-a36, 则这样的三位数的个数是 . 答案答案 170 解析解析 当a2=k(k2,3,4,5)时,a11,2,k-1

31、,共有(k-1)种选法,a30,1,2,k-1,共有k种选法,此 时共有k(k-1)=40个满足条件的三位数; 当a2=k(k6,7,8,9)时,a11,2,k-1,共有(k-1)种选法,a3k-5,k-2,k-1,共有5种选法,此时共 有5(k-1)=130个满足条件的三位数. 综上,共有170个满足条件的三位数. 5 2k 9 6k 命题说明命题说明 本题选择一类有限制的三位数的个数计算为切入点,考查学生两个计数原理的基本应 用,以及分类讨论的思想.解本题的关键点在于对a2的不同取值的分类讨论,注意a11,所以a22,这 也是一个易错点. 4.(2020 5 3原创题)有8个人站成前后两排

32、,每排4人,若甲、乙、丙三人满足:任意两人左右、前后 均不相邻,则不同的站法种数为 .(用数字作答) 答案答案 8 640 解析解析 由题意可知,甲、乙、丙三人恰有两人在同一排,所以分步分析: 第一步,将三人分成两组,有种分法; 第二步,将两组放入两排,有种方法; 第三步,将2人排入对应的排中,有6种方法; 第四步,将剩余1人排入另一排中,有种方法; 第五步,将除甲、乙、丙以外的5人排入对应的位置,有种不同的方法. 由分步乘法计数原理知,共有6=8 640种不同的站法. 2 3 C 2 2 A 1 2 A 5 5 A 2 3 C 2 2 A 1 2 A 5 5 A 命题说明命题说明 本题考查了分步乘法计数原理、不相邻问题.本题将通常排队中的不相邻问题,变为二 维矩阵中的不相邻问题,对学生有一定的挑战.注意到特殊元素个数多于排数,对元素合理分组是 解决该问题的一个突破口.