2021新高考数学复习练习课件：§10.2　双曲线.pptx

1、考点考点1 双曲线的定义和标准方程双曲线的定义和标准方程 1.(2020浙江,8,4分)已知点O(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点P满足|PA|-|PB|=2,且P为函数y=3图象上 的点,则|OP|=( ) A. B. C. D. 2 4-x 22 2 4 10 5 710 答案答案 D 由双曲线定义可知,点P在以A,B为焦点,实轴长为2的双曲线的右支上, 设P(x,y),则x2-=1(x1), 将y=3代入可得x2=, y2=3(x2-1)=, |OP|=, 故选D. 2 3 y 2 4-x 13 4 27 4 22 xy10 2.(2020天津,7,5分)设双曲线C的方程为-

2、=1(a0,b0),过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线 为l.若C的一条渐近线与l平行,另一条渐近线与l垂直,则双曲线C的方程为 ( ) A.-=1 B.x2-=1 C.-y2=1 D.x2-y2=1 2 2 x a 2 2 y b 2 4 x 2 4 y 2 4 y 2 4 x 答案答案 D 由题意知双曲线的两条渐近线互相垂直,双曲线C为等轴双曲线,渐近线的斜率分别 为1和-1,直线l与一条渐近线平行,抛物线y2=4x的焦点为(1,0),=-1,即b=1.双曲线C的方程 为x2-y2=1.故选D. -0 0-1 b 3.(2018浙江,2,4分)双曲线-y2=1的焦点坐标是( )

3、A.(-,0),(,0) B.(-2,0),(2,0) C.(0,-),(0,) D.(0,-2),(0,2) 2 3 x 22 22 答案答案 B 本题考查双曲线的标准方程和几何性质. a2=3,b2=1,c=2.又焦点在x轴上,双曲线的焦点坐标为(-2,0),(2,0). 22 ab 易错警示易错警示 求双曲线焦点坐标的易错点: (1)焦点在x轴上还是y轴上,容易判断错误; (2)双曲线与椭圆的标准方程中a,b,c的关系式容易混淆. 4.(2019课标文,10,5分)已知F是双曲线C:-=1的一个焦点,点P在C上,O为坐标原点.若|OP|=| OF|,则OPF的面积为( ) A. B. C

4、. D. 2 4 x 2 5 y 3 2 5 2 7 2 9 2 答案答案 B 本题主要考查双曲线的定义和标准方程,考查数形结合思想及数学运算的核心素养. 如图,记双曲线的右焦点为F,设左焦点为F,连接PF, 由题意得F(3,0),F(-3,0), |OP|=|OF|=|FF|=3, FPF=90,设|PF|=m,|PF|=n, 则故mn=10. SOPF=SPFF=m n=,故选B. 1 2 22 -4, 36, m n mn 222 -( - ) 2 mnm n 1 2 1 4 5 2 解题关键解题关键 由于题中条件只涉及一个焦点F,故合理作图标出左、右两焦点F、F,并将双曲线的 定义作为

5、已知条件直接应用是解决本题的关键,利用平面几何知识发现FPF=90也是解决本题 的关键. 5.(2017天津理,5,5分)已知双曲线-=1(a0,b0)的左焦点为F,离心率为.若经过F和P(0,4)两 点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为( ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 2 2 x a 2 2 y b 2 2 4 x 2 4 y 2 8 x 2 8 y 2 4 x 2 8 y 2 8 x 2 4 y 答案答案 B 由离心率为可知a=b,c=a,所以F(-a,0),由题意可知kPF=1,所以 a=4,解得a=2,所以双曲线的方程为-=1,故选B. 222 4-

6、0 0-(- 2 )a 4 2a 22 2 8 x 2 8 y 方法总结方法总结 求双曲线的方程的常用方法:(1)待定系数法:设出所求双曲线的方程,根据题意构造关 于参数a,b的方程组,从而解方程组求出参数a和b的值;(2)定义法:根据题意得到动点所满足的关系 式,结合双曲线的定义求出动点所满足的轨迹方程. 6.(2016北京文,12,5分)已知双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(,0),则 a= ;b= . 2 2 x a 2 2 y b 5 答案答案 1;2 解析解析 本题考查双曲线的标准方程与几何性质;考查了学生的运算求解能力;体现了数学运算的 核心素养.

7、由题意可知双曲线焦点在x轴上,故渐近线方程为y=x,又一条渐近线为2x+y=0,即y=-2x,=2, 即b=2a. 又该双曲线的一个焦点为(,0),c=. 由a2+b2=c2可得a2+(2a)2=5, 解得a=1,b=2. b a b a 55 思路分析思路分析 利用所给条件得c=,b=2a,结合a2+b2=c2解关于a的方程即可. 5 1.(2017天津文,5,5分)已知双曲线-=1(a0,b0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上, OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为( ) A.-=1 B.-=1 C.-y2=1 D.x2-=1 2 2 x a 2 2 y b 2

8、4 x 2 12 y 2 12 x 2 4 y 2 3 x 2 3 y 以下为教师用书专用 答案答案 D 不妨设点A在第一象限,由题意可知c=2,点A的坐标为(1,),所以=,又c2=a2+b2,所以 a2=1,b2=3,故所求双曲线的方程为x2-=1,故选D. 3 b a 3 2 3 y 方法总结方法总结 求双曲线方程的常用方法:(1)待定系数法:设出所求双曲线的方程,根据题意构造关 于a,b的方程组,从而求得a,b,写出双曲线的方程;(2)定义法:根据题意得到动点所满足的关系式,结 合双曲线的定义求出动点所满足的轨迹方程. 2.(2016天津文,4,5分)已知双曲线-=1(a0,b0)的焦

9、距为2,且双曲线的一条渐近线与直线2 x+y=0垂直,则双曲线的方程为( ) A.-y2=1 B.x2-=1 C.-=1 D.-=1 2 2 x a 2 2 y b 5 2 4 x 2 4 y 2 3 20 x 2 3 5 y 2 3 5 x 2 3 20 y 答案答案 A 由题意可得解得a=2,b=1,所以双曲线的方程为-y2=1,故选A. 22 1 , 2 5, 0,0, b a ab ab 2 4 x 易错警示易错警示 容易把双曲线标准方程中a,b,c的关系与椭圆标准方程中a,b,c的关系混淆,这是失分的 主要原因. 3.(2016浙江文,13,4分)设双曲线x2-=1的左、右焦点分别为

10、F1、F2.若点P在双曲线上,且F1PF2 为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是 . 2 3 y 答案答案 (2,8) 7 解析解析 本题考查双曲线的定义与几何性质. PF1F2为锐角三角形,不妨设P在第一象限,P点在P1与P2之间运动(如图). 当P在P1点处时,F1P1F2=90, =|F1F2| |=|P1F1| |P1F2|. 由|P1F1|2+|P1F2|2=|F1F2|2,|P1F1|-|P1F2|=2, 得|P1F1| |P1F2|=6, 此时|PF1|+|PF2|=2. 当P在P2点处时,P2F2F1=90, =2,易知=3,此时|PF1|+|PF2|=2|PF2

11、|+2=8, 当PF1F2为锐角三角形时,|PF1|+|PF2|(2,8). 1 1 2 PF F S 1 2 1 P y 1 2 7 2 P x 2 P y 7 解后反思解后反思 (1)一般涉及焦点三角形,优先考虑双曲线的定义和正、余弦定理解决;(2)本题的处理 还用到了极端思想. 1.(2020课标,文9,理8,5分)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:-=1(a0,b0)的两条渐近线 分别交于D,E两点.若ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为( ) A.4 B.8 C.16 D.32 2 2 x a 2 2 y b 考点考点2 双曲线的几何性质双曲线的几何性质 答案答案 B 直线x=

12、a与双曲线C的两条渐近线y=x分别交于D、E两点,则|DE|=|yD-yE|=2b,所以S ODE= a 2b=ab,即ab=8. 所以c2=a2+b22ab=16(当且仅当a=b时取等号),即cmin=4, 所以双曲线的焦距2c的最小值为8,故选B. b a 1 2 2.(2020课标理,11,5分)设双曲线C:-=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为.P 是C上一点,且F1PF2P.若PF1F2的面积为4,则a=( ) A.1 B.2 C.4 D.8 2 2 x a 2 2 y b 5 答案答案 A 设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则|r1-r2|=2a,+-2r1

13、r2=4a2. 由于F1PF2P,则+=4c2, 4c2-2r1r2=4a2, r1r2=2b2. =r1r2=2b2=b2=4, e=,解得a2=1,即a=1.故选A. 2 1 r 2 2 r 2 1 r 2 2 r 1 2 PF F S 1 2 1 2 2 2 1 b a 2 4 1 a 5 3.(2020课标文,11,5分)设F1,F2是双曲线C:x2-=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2, 则PF1F2的面积为( ) A. B.3 C. D.2 2 3 y 7 2 5 2 答案答案 B 由题易知a=1,b=,c=2,又|OP|=2,PF1F2为直角三角形,易知|PF1

14、|-|PF2|=2,| PF1|2+|PF2|2-2|PF1| |PF2|=4,又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=16,|PF1| |PF2|=6,=|PF1| |PF2|= 3,故选B. 3 16-4 2 1 2 PF F S 1 2 4.(2019课标文,10,5分)双曲线C:-=1(a0,b0)的一条渐近线的倾斜角为130,则C的离心率 为( ) A.2sin 40 B.2cos 40 C. D. 2 2 x a 2 2 y b 1 sin50? 1 cos50? 答案答案 D 本题主要考查双曲线的几何性质,同角三角函数的基本关系式及诱导公式;考查考生的 运算求解能力

15、和逻辑思维能力. 由双曲线C:-=1(a0,b0)可知渐近线方程为y=x,由题意知-=tan 130, 又tan 130=-tan 50,=tan 50, 双曲线的离心率e=,故选D. 2 2 x a 2 2 y b b a b a b a c a 2 1tan 50? 2 2 sin 50? 1 cos 50? 2 1 cos 50? 1 cos50? 方法总结方法总结 求双曲线-=1(a0,b0)的离心率的常见方法: (1)定义法:e=;(2)公式法:e=(为渐近线的倾斜角);(3)方程思想:利用题中条 件得出关于a,b,c的方程,利用b2=c2-a2转化为关于a,c的方程,最后利用e=转

16、化为关于e的方程,从而 得出离心率e. 2 2 x a 2 2 y b 2 2 c a c a 2 2 1 b a 2 1tan c a 5.(2019天津,文5,理5,5分)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.若l与双曲线-=1(a0,b0)的两 条渐近线分别交于点A和点B,且|AB|=4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为( ) A. B. C.2 D. 2 2 x a 2 2 y b 235 答案答案 D 本题主要考查双曲线的离心率,抛物线焦点坐标与准线方程,通过圆锥曲线的性质考查 学生的运算求解能力,渗透了数学运算的核心素养. 如图,由题意可知抛物线的焦点为F(1,0),准线

17、方程为x=-1, |AB|=4|OF|=4,A(-1,2),又点A在直线y=-x上, 2=- (-1),=2, 双曲线的离心率e=.故选D. b a b a b a 2 2 1 b a 145 6.(2019浙江,2,4分)渐近线方程为xy=0的双曲线的离心率是( ) A. B.1 C. D.2 2 2 2 答案答案 C 本题考查双曲线的渐近线、离心率;考查学生的运算求解能力;体现了数学运算的核心 素养. 渐近线方程为y=x,a=b, c=a,e=,故选C. 2 c a 2 7.(2019北京文,5,5分)已知双曲线-y2=1(a0)的离心率是,则a=( ) A. B.4 C.2 D. 2 2

18、 x a 5 6 1 2 答案答案 D 本题主要考查双曲线的几何性质,考查学生的运算求解能力以及方程的思想,体现了数 学运算的核心素养. 由题意得e=,又a2+b2=c2,=e2-1=4, b2=1,a2=.a0,a=. c a 5 2 2 b a 22 2 -c a a 1 4 1 2 易错警示易错警示 把双曲线的离心率错认为e=而出错. 2 2 1- b a 8.(2018课标文,6,5分)双曲线-=1(a0,b0)的离心率为,则其渐近线方程为( ) A.y=x B.y=x C.y=x D.y=x 2 2 x a 2 2 y b 3 23 2 2 3 2 答案答案 A 本题主要考查双曲线的

19、几何性质. =, 双曲线的渐近线方程为y=x.故选A. b a 2-1 e3-12 2 9.(2018课标理,11,5分)设F1、F2是双曲线C:-=1(a0,b0)的左、右焦点,O是坐标原点.过F2 作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=|OP|,则C的离心率为( ) A. B.2 C. D. 2 2 x a 2 2 y b 6 532 答案答案 C 本题考查双曲线的几何性质. 点F2(c,0)到渐近线y=x的距离|PF2|=b(b0),而|OF2|=c,所以在RtOPF2中,由勾股定理 可得|OP|=a,所以|PF1|=|OP|=a. 在RtOPF2中,cosPF2O=, 在F1

20、F2P中, cosPF2O=, 所以=3b2=4c2-6a2,则有3(c2-a2)=4c2-6a2,解得=(负值舍去),即e=.故选C. b a 2 -0 1 bc a b a 22 -c b66 2 2 | | PF OF b c 222 2121 212 | -| 2| PFFFPF PFFF 222 4-6 22 bca bc b c 222 4-6 4 bca bc c a 33 方法总结方法总结 一、求双曲线的离心率的值(或取值范围) 一般有两种方法: (1)利用定义和几何性质; (2)利用方程,代点或与直线联立求解. 最终都是得到a,b,c的齐次式,结合a,b,c三者的关系求解.

21、二、对于三角形的中线问题,也可以利用平行四边形中的结论(对角线的平方和等于四边平方和), 所以该题在已知 |PF1|=a,|PF2|=b,|OP|=a,|F1F2|=2c后,可用平行四边形的对角线的平方和等于四边的平方和,有 (2a)2+(2c)2=2(a)2+b2,所以2a2+2c2=6a2+c2-a2,从而c2=3a2,故e=. 6 63 10.(2019课标理,10,5分)双曲线C:-=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点. 若|PO|=|PF|,则PFO的面积为( ) A. B. C.2 D.3 2 4 x 2 2 y 3 2 4 3 2 2 22 答案答案 A 本题考

22、查双曲线的标准方程和几何性质,通过双曲线的渐近线考查了数形结合的思想 方法.考查的核心素养是数学运算. 由双曲线的方程为-=1,知a=2,b=,故c=,渐近线的方程为y=x. 不妨设点P在第一象限,作PQOF于Q,如图, |PO|=|PF|, Q为OF的中点, 2 4 x 2 2 y 2 22 ab6 2 2 |OQ|=. 令POF=,由tan =得|PQ|=|OQ|tan =. PFO的面积S=|OF| |PQ|=.故选A. 6 2 2 2 6 2 2 2 3 2 1 2 1 2 6 3 2 3 2 4 11.(2020江苏,6,5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-=1(a0)的一条渐

23、近线方程为y=x, 则该双曲线的离心率是 . 2 2 x a 2 5 y5 2 答案答案 3 2 解析解析 双曲线-=1(a0)的渐近线方程为y=x,=,a=2,则离心率e= =. 2 2 x a 2 5 y5 a 5 a 5 2 2 2 1 b a 5 1 4 3 2 12.(2020课标理,15,5分)已知F为双曲线C:-=1(a0,b0)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的 点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为 . 2 2 x a 2 2 y b 答案答案 2 解析解析 点B为双曲线的通径位于第一象限的端点,其坐标为,点A的坐标为(a,0),AB的斜率 为3, =3,即

24、=e+1=3,e=2. 2 , b c a 2 - b a c a 22 - ( - ) c a a c a ca a 13.(2020课标文,14,5分)设双曲线C:-=1(a0,b0)的一条渐近线为y=x,则C的离心率为 . 2 2 x a 2 2 y b 2 答案答案 3 解析解析 双曲线C:-=1(a0,b0)的一条渐近线为y=x,=,双曲线C的离心率为= =. 2 2 x a 2 2 y b 2 b a 2 c a 2 2 1 b a 3 14.(2020北京,12,5分)已知双曲线C:-=1,则C的右焦点的坐标为 ;C的焦点到其渐近 线的距离是 . 2 6 x 2 3 y 答案答案

25、 (3,0); 3 解析解析 由双曲线的方程-=1,得a2=6,b2=3,故c2=9,C的右焦点的坐标为(3,0),易知渐近线方程 为y=x,双曲线的右焦点(3,0)到一条渐近线x-y=0的距离d=. 2 6 x 2 3 y 2 2 2 2 3 2 2 1 1 2 3 15.(2019课标理,16,5分)已知双曲线C:-=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2,过F1的直 线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若=,=0,则C的离心率为 . 2 2 x a 2 2 y b 1 F AAB 1 FB 2 F B 答案答案 2 解析解析 本题考查双曲线的性质,平面向量的线性运算,平面向量数量

26、积的性质等知识;考查学生的 推理论证能力、运算求解能力及应用意识;考查的核心素养是逻辑推理和数学运算. 双曲线-=1(a0,b0)的渐近线方程为y=x, =0,F1BF2B, 点B在O:x2+y2=c2上,如图所示, 不妨设点B在第一象限,由得点B(a,b), =,点A为线段F1B的中点, 2 2 x a 2 2 y b b a 1 FB 2 F B 222 222 , , , 0 b yx a xyc abc x 1 F AAB A,将其代入y=-x得=.解得c=2a,故e=2. - , 22 a c b b a2 b - b a - 2 a c c a 思路分析思路分析 利用=0得出点B在

27、O:x2+y2=c2上,结合点B在渐近线上求得点B的坐标,进而利 用=得点A的坐标,由点A在另一条渐近线上可得a与c的关系,从而求得离心率. 1 FB 2 F B 1 F AAB 一题多解一题多解 一题多解一:如图,由=知A为线段F1B的中点, O为线段F1F2的中点,OAF2B, =0,F1BF2B, OAF1A且F1OA=OF2B, BOF2=AOF1,BOF2=OF2B, 又易知|OB|=|OF2|=c,OBF2为正三角形, 1 F AAB 1 FB 2 F B 可知=tan 60=,e=2. 一题多解二:如图,设AOy=,则BOy=, =,A为线段F1B的中点, 又O为线段F1F2的中

28、点, OABF2,OBF2=2. 过B作BHOF2,垂足为H, b a 3 c a 2 2 1 b a 1 F AAB 则BHy轴,则有OBH=, HBF2=, 易得OBHF2BH,|OB|=|BF2|, =0,BF1BF2,又O为F1F2的中点, |OB|=|OF2|=c,OBF2为正三角形. BOF2=60,则=tan 60=, e=2. 2 F B 1 FB b a 3 c a 2 2 1 b a 16.(2018北京理,14,5分)已知椭圆M:+=1(ab0),双曲线N:-=1.若双曲线N的两条渐近线 与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为 ;双

29、曲线N的离心率为 . 2 2 x a 2 2 y b 2 2 x m 2 2 y n 答案答案 -1;2 3 解析解析 本题考查椭圆与双曲线的几何性质. 解法一:下图是一个正六边形,A,B,C,D是双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点,F1,F2为椭圆M 的两个焦点. 直线AC是双曲线N的一条渐近线, 且其方程为y=x, =. 设m=k,则n=k, 则双曲线N的离心率e2=2. 连接F1C,在正六边形ABF2CDF1中,可得F1CF2=90,CF1F2=30. 设椭圆的焦距为2c,则|CF2|=c,|CF1|=c,再由椭圆的定义得|CF1|+|CF2|=2a, 3 n m 3 3 22 (

30、3 )kk k 3 即(+1)c=2a, 椭圆M的离心率e1=-1. 解法二:双曲线N的离心率同解法一.由题意可得C点坐标为,代入椭圆M的方程,并结合a,b, c的关系, 联立得方程组 解得=-1. 3 c a 2 31 2( 3-1) ( 31)( 3-1) 3 , 22 c c 2 2 22 222 3 2 2 1, -, c c ab a bc c a 331 c a 舍去 17.(2017课标理,15,5分)已知双曲线C:-=1(a0,b0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆 A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若MAN=60,则C的离心率为 . 2 2 x a 2 2

31、y b 答案答案 2 3 3 解析解析 不妨设点M、N在渐近线y=x上,如图,AMN为等边三角形,且|AM|=b, 则A点到渐近线y=x的距离为b,将y=x变形为一般形式为bx-ay=0,则A(a,0)到渐近线bx-ay=0 的距离d=,所以=b,即=, 所以双曲线离心率e=. b a b a 3 2 b a 22 |ba ab |ab c |ab c 3 2 a c 3 2 c a 2 3 3 1.(2018课标文,10,5分)已知双曲线C:-=1(a0,b0)的离心率为,则点(4,0)到C的渐近线的 距离为( ) A. B.2 C. D.2 2 2 x a 2 2 y b 2 2 3 2

32、2 2 以下为教师用书专用 答案答案 D e=,且a0,b0,=1,C的渐近线方程为y=x, 点(4,0)到C的渐近线的距离为=2. c a 2 1 b a 2 b a |4| 2 2 2.(2017课标文,5,5分)若a1,则双曲线-y2=1的离心率的取值范围是( ) A.(,+) B.(,2) C.(1,) D.(1,2) 2 2 x a 222 答案答案 C 由题意知e=,因为a1,所以e1,所以1e,故选C. c a 2 1 1 a 22 3.(2017课标文,5,5分)已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐 标是(1,3),则APF的面积为(

33、) A. B. C. D. 2 3 y 1 3 1 2 2 3 3 2 答案答案 D 易知F(2,0),不妨取P点在x轴上方,如图. PFx轴,P(2,3),|PF|=3,又A(1,3),|AP|=1,APPF,SAPF=31=.故选D. 1 2 3 2 4.(2016课标理,5,5分)已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是( ) A.(-1,3) B.(-1,) C.(0,3) D.(0,) 2 2 x mn 2 2 3- y m n 33 答案答案 A 原方程表示双曲线,且焦距为4, 或 由得m2=1,n(-1,3).无解.故选A. 2 2 22 0,

34、3-0, 3-4, mn m n mnm n 2 2 22 0, 3-0, -(3- )-()4, mn m n m nmn 解后反思解后反思 对于方程mx2+ny2=1,若表示椭圆,则m、n均为正数且mn;若表示双曲线,则m n0,所以-m2n0,且3m2-n0, 所以m2+n+3m2-n=22,解得m2=1,所以n(-1,3). 5.(2017课标理,9,5分)若双曲线C:-=1(a0,b0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长 为2,则C的离心率为( ) A.2 B. C. D. 2 2 x a 2 2 y b 32 2 3 3 答案答案 A 本题主要考查双曲线的方程和性质

35、,直线与圆的位置关系. 由题意可知圆的圆心为(2,0),半径为2.因为双曲线-=1的渐近线方程为y=x,即bxay=0,且 双曲线的一条渐近线与圆相交所得的弦长为2,所以=,所以=.故离心率e= =2.选A. 2 2 x a 2 2 y b b a 22 |2 | b ab 22 2 -1 b a 3 2 2 1 b a 6.(2016浙江理,7,5分)已知椭圆C1:+y2=1(m1)与双曲线C2:-y2=1(n0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2 的离心率,则( ) A.mn且e1e21 B.mn且e1e21 C.m1 D.mn且e1e21,=1,即e1e21.结合图形易知mn,故选A

36、. 2-1 m 2-1 m m 2 1n 2 1n n 2 1 e 2 2 e 22 22 (-1)(1)mn mn 22 22 (-1) (-2) m mm 2 1 e 2 2 e 2 2-1 t t 思路分析思路分析 根据焦点相同可得m2与n2之间的关系,然后建立关于m的关系式,最后判定范围即 可. 2 1 e 2 2 e 7.(2016课标理,11,5分)已知F1,F2是双曲线E:-=1的左,右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin MF2F1=,则E的离心率为( ) A. B. C. D.2 2 2 x a 2 2 y b 1 3 2 3 2 3 答案答案 A 本题考查双曲线的几何

37、性质;考查了学生的运算求解能力;考查了数学运算的核心素 养. 解法一:由MF1x轴,可得M,|MF1|=. 由sinMF2F1=,可得cosMF2F1=, 又tanMF2F1=,=,b2=ac,c2=a2+b2b2=c2-a2,c2-a2-ac=0e2-e-1= 0,又e1,e=.故选A. 解法二:由MF1x轴,得M,|MF1|=,由双曲线的定义可得|MF2|=2a+|MF1|=2a+,又sin MF2F1=a2=b2a=b,e=.故选A. 2 - , b c a 2 b a 1 3 2 1 1- 3 2 2 3 1 12 | | MF FF 2 2 b a c 2 2 b a c 1 3 2

38、 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 - , b c a 2 b a 2 b a 1 2 | | MF MF 2 2 2 b a b a a 1 3 22 2 ab a 2 解题思路解题思路 解法一是利用三角函数的知识求出tanMF2F1,得到关于a,b,c的一个等式,并结合c2=a2 +b2,最后求出e;解法二是先由双曲线的定义得出|MF2|,再由sinMF2F1=,得到关于a,b的一个等式, 最后求出e. 1 3 8.(2018北京文,12,5分)若双曲线-=1(a0)的离心率为,则a= . 2 2 x a 2 4 y5 2 答案答案 4 解析解析 本题主要考查双曲线的标准方程和性质.

39、 由题意知c=,e=,又a0,a=4. 2 4a c a 2 4a a 5 2 方法总结方法总结 求双曲线的离心率的常用方法: (1)求得a,c的值,直接代入e=求解. (2)列出关于a,b,c的齐次方程,然后根据c2=a2+b2消去b,从而转化为关于e的方程,进而求解. c a 9.(2016江苏,3,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1的焦距是 . 2 7 x 2 3 y 答案答案 2 10 解析解析 本题考查双曲线的几何性质. 由-=1,得a2=7,b2=3,所以c2=10,所以c=,所以2c=2. 2 7 x 2 3 y 1010 10.(2017课标文,14,5分)双曲线-=

40、1(a0)的一条渐近线方程为y=x,则a= . 2 2 x a 2 9 y3 5 答案答案 5 解析解析 本题考查了双曲线的渐近线方程. 由题意可得=,所以a=5. 3 a 3 5 11.(2018江苏,8,5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-=1(a0,b0)的右焦点F(c,0)到一条 渐近线的距离为c,则其离心率的值是 . 2 2 x a 答案答案 2 解析解析 本题考查双曲线的性质. 双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0,则F(c,0)到这条渐近线的距离为=c,b=c, b2=c2,又b2=c2-a2,c2=4a2,e=2. 方法点拨方法点拨 焦点到渐近线的距离为b,可作为二级结

41、论记忆,运用该方法直接得b=c,可简化解题 步骤. 3 2 3 2 12.(2017江苏,8,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交 于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是 . 2 3 x 答案答案 2 3 解析解析 本题考查双曲线的性质及应用. 由-y2=1得右准线方程为x=, 渐近线方程为y=x,|F1F2|=4, 不妨设P在x轴上方,则P,Q, =24=2. 2 3 x3 2 3 3 33 , 22 33 ,- 22 12 F PF Q S四边形 1 2 3 2 3 13.(2016山东,文14,理13,5分)已知双曲线E:-

42、=1(a0,b0).若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB, CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是 . 答案答案 2 解析解析 本题考查双曲线的几何性质;考查了学生的运算求解能力和数形结合思想;考查了数学运 算的核心素养. 由已知得|AB|=|CD|=,|BC|=|AD|=|F1F2|=2c.因为2|AB|=3|BC|,所以=6c,又b2=c2-a2,所以2e2-3e-2 =0,解得e=2或e=-(舍去). 2 2b a 2 4b a 1 2 14.(2016北京理,13,5分)双曲线-=1(a0,b0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直 线,点B为该双

43、曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a= . 2 2 x a 答案答案 2 解析解析 本题考查双曲线的几何性质. 由OA、OC所在的直线为渐近线,且OAOC,知两条渐近线的夹角为90,从而双曲线为等轴双曲 线,则其方程为x2-y2=a2.OB是正方形的对角线,且点B是双曲线的焦点,则c=2,根据c2=2a2可得a=2. 2 2 y b 2 15.(2019江苏,7,5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2-=1(b0)经过点(3,4),则该双曲线的渐 近线方程是 . 2 2 y b 答案答案 y=x 2 解析解析 本题主要考查双曲线渐近线方程,考查了运算求解能力,考查的核心素养是数学

44、运算. 由双曲线x2-=1(b0)经过点(3,4),得9-=1,解得b=,又b0,所以b=,易知双曲线的焦点在x 轴上,故双曲线的渐近线方程为y=x=x. 2 2 y b 2 16 b 22 b a 2 考点考点1 双曲线的定义和标准方程双曲线的定义和标准方程 A A组组 考点基础题组考点基础题组 1.(2020山东百师联盟测试五,5)已知圆C1:(x-4)2+y2=25,圆C2:(x+4)2+y2=1,动圆M与C1,C2都外切,则动 圆圆心M的轨迹方程为( ) A.-=1(x0) C.-=1(x0) 2 12 y 2 4 x 2 12 y 2 3 x 2 5 y 2 3 x 2 5 y 答案

45、答案 A 设动圆M的半径为r,由题意知,|MC1|=r+5,|MC2|=r+1,则|MC1|-|MC2|=4|C1C2|=8,所以M点 的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线的左支,且a=2,c=4,则b2=12,则动圆圆心M的轨迹方程为-=1 (x0),3x+2y=0可化为y=-x,则=,解得 m=. 1 m 3 2 1 m 3 2 4 9 2.(2020河北辛集中学第一次月考,5)已知双曲线C:-=1(a0,b0)的渐近线经过圆E:x2+y2-2x+4 y=0的圆心,则双曲线C的离心率为( ) A. B. C.2 D. 2 2 x a 2 2 y b 5 5 2 2 答案答案 A x2+y2-

46、2x+4y=0的圆心为(1,-2),由题意得=2,双曲线的离心率e=,故选 A. b a c a 2 1 b a 5 4 9 9 4 2 3 3.(2020湖南长沙明德中学月考,10)已知双曲线-=1(a0,b0)的左,右焦点分别为F1,F2,M为双 曲线上一点,若cosF1MF2=,|MF1|=2|MF2|,则此双曲线的渐近线方程为( ) A.y=x B.y=x C.y=x D.y=2x 2 2 x a 2 2 y b 1 4 3 3 3 答案答案 A 由题意,得|MF1|-|MF2|=2a, 又|MF1|=2|MF2|, |MF1|=4a,|MF2|=2a, cosF1MF2=, 化简得c2=4a2,即a2+b2=4a2,b2=3a2, 又a0,b0,=, 此双曲线的渐近线方程为y=x,故选A. 222 164-4 2 42 aac aa 1 4 b a 3 3 4.(2020河北衡水中学第九次调研,10)已知双曲线C:-=1(a0,b0),点P(x0,y0)是直线bx-ay+4a=0 上任意一点,若圆(x-x0)2+(y-y0)2=1与双曲线C的右支没有公共点,则双曲线离心率的取值范围是 ( ) A.(1,2 B.(1,4 C.2,+) D.4,+) 2 2 x a 2 2 y b 答案答案 B 由题意,双曲线C:-=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=x