高中数学圆中巧用几何意义求最值.doc

1、 1 圆中巧用几何意义求最值圆中巧用几何意义求最值 在圆中，有几种利用几何意义求最值的类型，没有这种意识，将无从下手，并且这类题 目充分体现了数形结合的思想，容易考到，因此值得我们归纳总结一下。 一、一、利用直线的斜率利用直线的斜率 例例 1.如果实数 x、y 满足等式 2 2 23xy，求 y x 的最大值。 分析：分析： y x 可视为圆上的点, x y与原点所确定直线的斜率，即求斜率的最大值。 解：解： y x 可视为圆上的点, x y与原点所确定直线的斜率，由图可知，当相切时斜率最大或 最小。设切线的方程为ykx，即0kxy， 2 2 23xy表示圆心为2,0，半径 为3的圆。 2 2

2、0 3 1 k k ，解得3k 。故 y x 的最大值为3。 变式：变式：已知实数yx,满足1 22 yx，求 1 2 x y 的取值范围 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 解：解：令 ( 2) , ( 1) y k x 则k可看作圆1 22 yx上的动点到点( 1, 2) 的连线的斜率，而相 切时的斜率为 3 4 ， 23 14 y x 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 二、二、利用两点间的

3、距离公式利用两点间的距离公式 例例 2.如果实数 x、y 满足等式 2 2 23xy，求 22 xy的最大值。 分析：分析： 22 xy表示圆上的点, x y与原点间距离的平方，圆心和原点所确定直线与圆的两 交点到原点的距离分别为距离的最小值和最大值。 解： 22 xy表示点, x y与原点间距离的平方。因为圆心到原点的距离为 2，故圆上的点 到原点的距离的最大值为23， 22 xy的最大值为 2 2374 3。 变式：变式：已知 xy10，那么 （x2）2（y3）2的最小值是_ 解析解析：答案为 2 2 （x2） 2（y3）2表示点(x，y)与点(2，3)之间的距离， 又点(x，y)在直线

4、xy10 上，故最小值为点(2，3)到直线 xy10 的距离，即 d|231| 2 2 2. 三、利用直线在利用直线在 y 轴上的截距轴上的截距 例例 3.如果实数 x、y 满足等式 2 2 23xy，求yx的最大值。 分析分析：设yxb，则yx为直线yxb在在 y 轴上的截距。当直线yxb与圆相 2 切时，截距分别取得最小值和最大值。 解：解：设yxb，则yx为直线yxb在在 y 轴上的截距。当直线yxb与圆相切 时，截距分别取得最小值和最大值。 22 20 3,26 11 b b 。故yx的最大值为 62。 变式：变式：若 x，y 满足(x1)2(y2)24，则 2xy 的最大值和最小值分别为_和 _x2y2的最大值和最小值分别是_和_ 解析解析：答案为 2 5 2 5 52 52 以上三种类型是由式子的几何意义求最值主要类型，但解法特殊，故容易遗忘，不好理 解，故要真正掌握好，还需多下功夫！