2021新高考数学二轮复习：专题突破练14　等差、等比数列的综合问题.docx

1、专题突破练专题突破练 14 等差、等比数列的综合问题等差、等比数列的综合问题 1.(2020 天津河东区一模,16)已知递增等差数列an,等比数列bn,数列cn,a1=c1=1,c4=9,a1,a2,a5成 等比数列,bn=an+cn,nN*. (1)求an,bn的通项公式; (2)求数列cn的前 n项和 Sn. 2.(2020 广东广州一模,理 17)记 Sn为数列an的前 n项和,2Sn-an= - (nN *). (1)求 an+an+1; (2)令 bn=an+2-an,证明数列bn是等比数列,并求其前 n项和 Tn. 3.(2020 山东济南一模,17)若数列an满足 =p(nN*,

2、p 为常数),则称数列an为等方差数 列,p为公方差. (1)已知数列cn,dn,xn,yn分别满足 cn=2 020,dn= ,xn=2n+1,yn=3n,从上述四个数列中找出 所有的等方差数列(不用证明); (2)若数列an是首项为 1,公方差为 2 的等方差数列,求数列 的前 n项和 Sn. 4.(2020 山东济宁 5月模拟,18)已知数列an为等差数列,且 a2=3,a4+a5+a6=0. (1)求数列an的通项公式及前 n 项和 Sn; (2)请你在数列an的前 4项中选出三项,组成公比的绝对值小于 1的等比数列bn的前 3 项,并记数 列bn的前 n项和为Tn.若对任意正整数 k

3、,m,n,不等式 SmTn+k恒成立,试求 k的最小值. 5.(2020 安徽合肥一中模拟,17)已知数列an满足 a1+2a2+3a3+nan= (2n-1) 3 n+1. (1)求an的通项公式; (2)若 bn= - ,证明:b1+b2+bn . 6.已知数列an,其前 n项和为 Sn= n 2+ n(nN *). (1)求 a1,a2; (2)求数列an的通项公式,并证明数列an是等差数列; (3)如果数列bn满足 an=log2bn,试证明数列bn是等比数列,并求其前 n项和 Tn. 7.已知数列an满足 (a1+2a2+2 n-1a n)=2 n+1(nN*). (1)求 a1,a

4、2和an的通项公式; (2)记数列an-kn的前 n 项和为 Sn,若 SnS4对任意的正整数 n恒成立,求实数 k的取值范围. 8.(2020 山东淄博一模,17)等差数列an(nN*)中,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数, 且其中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 5 8 2 第二行 4 3 12 第三行 16 6 9 (1)请选择一个可能的a1,a2,a3组合,并求数列an的通项公式; (2)记(1)中您选择的an的前 n项和为 Sn,判断是否存在正整数 k,使得 a1,ak,Sk+2成等比数列,若有,请求 出 k的值;若没有,请说明理由.

5、 专题突破练 14 等差、等比 数列的综合问题 1.解 (1)等差数列an的公差为 d,由已知,an=1+(n-1)d, =a1a5.解得 d=2或 0(舍),所以 an=2n-1,nN*. b1=a1+c1=2,则 bn=2qn-1. 又 b4=a4+c4=24-1+9=16,解得 q=2,所以 bn=2n. (2)cn=bn-an=2n-(2n-1),Sn=c1+c2+cn=2-1+22-3+2n-(2n-1)=2+22+2n- 1+3+(2n-1)= - - - =2n+1-2-n2,nN*. 2.解 (1)由 2Sn-an= - , 则 2Sn+1-an+1= , -可得 2an+1-

6、an+1+an= - =- ,所以 an+1+an=- (2)由(1)可知 an+1+an=- , 则 an+1+an+2=- -可得 an+2-an=- (- ) ,则 bn= ,nN *,且 bn+1= ,令 n=1,则 b1= 所以数列bn是首项为 ,公比为 的等比数列.所以 Tn= ( - ) - ( - ) ,nN *. 3.解 (1)由等方差的定义可知,cn,dn为等方差数列; (2)因为数列an是首项为 1,公方差为 2的等方差数列, 所以 =1+2(n-1)=2n-1,所以 Sn= - =n2. 4.解 (1)设数列an的公差为 d,由 得 即 解得 a1=4,d=-1.数列a

7、n的通项公式为 an=a1+(n-1)d=5-n. 前 n 项和 Sn=na1+ - d=4n+ - (-1)= - (2)由 an=5-n得,a1=4,a2=3,a3=2,a4=1,由题意知应取 b1=a1=4,b2=a3=2,b3=a4=1.所以 数列bn的公比 q= ,Tn= - - * -( ) + - =8( - ) 因为 nN*,所以 4Tn8. 又由(1)知 Sm= - (mN*),由此知,当 m=4,5 时,Sm取得最大值 10, 要使 SmTn+k恒成立,只须使 106, 又 k是正整数,则 k的最小值为 7. 5.(1)解 当 n=1 时,a1=1;当 n2 时,a1+2a

8、2+3a3+nan= (2n- 1) 3n+1,a1+2a2+3a3+(n-1)an-1= (2n-3) 3 n-1+1. 两式相减,得 an=3n-1, 综上可得 an=3n-1(nN*). (2)证明 由(1)可知,bn= - - - (nN *),故 b1+b2+bn + - ( - ) , 即 b1+b2+bn 6.解 (1)a1=S1=5,S2=a1+a2= 22+ 2=13,解得 a2=8. (2)当 n2时,an=Sn-Sn-1= n 2-(n-1)2+ n-(n-1) = (2n-1)+ =3n+2. 又 a1=5 满足 an=3n+2,所以 an=3n+2.因为 an+1-a

9、n=3(n+1)+2-(3n+2)=3,所以数列an 是以 5为首项,3 为公差的等差数列. (3)由已知得 bn= , - =23=8, 又 b1= =32,所以数列bn是以 32为首项,8为公比的等比数列. 所以 Tn= - - (8n-1). 7.解 (1)由题意得 a1+2a2+2n-1an=n 2n+1,所以 a1=122=4,a1+2a2=223,得 a2=6. 由 a1+2a2+2n-1an=n 2n+1, 所以 a1+2a2+2n-2an-1=(n-1) 2n(n2), 相减得 2n-1an=n 2n+1-(n-1) 2n,得 an=2n+2,当 n=1也满足上式. 所以an的

10、通项公式为 an=2n+2. (2)数列an-kn的通项公式为 an-kn=2n+2-kn=(2-k)n+2, 所以数列an-kn是以 4-k为首项,公差为 2-k的等差数列. 若 SnS4对任意的正整数 n 恒成立,等价于当 n=4 时,Sn取得最大值, 所以, - - - - 解得 k , 故实数 k的取值范围是* + 8.解 (1)由题意可知,有两种组合满足条件: a1=8,a2=12,a3=16,此时等差数列an的公差为 d=4, 所以其通项公式为 an=4n+4. a1=2,a2=4,a3=6,此时等差数列an的公差为 d=2, 所以其通项公式为 an=2n. (2)若选择,Sn=2n2+6n.则 Sk+2=2(k+2)2+6(k+2)=2k2+14k+20. 若 a1,ak,Sk+2成等比数列,则 =a1 Sk+2,即(4k+4)2=8(2k2+14k+20),化简得 5k+9=0, 此方程无正整数解,故不存在正整数 k,使 a1,ak,Sk+2成等比数列. 若选择,Sn=n2+n,则 Sk+2=(k+2)2+(k+2)=k2+5k+6, 若 a1,ak,Sk+2成等比数列,则 =a1 Sk+2, 即(2k)2=2(k2+5k+6),整理得 k2-5k-6=0,因为 k 为正整数,解得 k=6. 故存在正整数 k=6,使 a1,ak,Sk+2成等比数列.