贵州省贵阳为明国际学校2021届高三上学期10月期中考试数学（理）试卷 （含答案）.pdf

1、 数学（ 理科） 答案详解 【 解析】 本题考查集合的基本运算 ， 则 ， ， 故选 【 解析】 本题考查复数的运算、 纯虚数的定义 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ， 因为 是纯虚数， 所以 ， 解得 ， 则 ， 故选 【 解析】 本题考查分层抽样原理的应用 根据分层抽 样的原理知， 应抽取教师人数为 ， 应抽取 后勤服务人员的人数为 ， 所以抽 取的教师比后勤服务人员多 （ 人） ， 故选 【 一题多解】 也可以先计算出抽样比： 在 人中选出 人， 抽样比为 ， 故应抽取教师人数为 ， 应抽取后勤服务人员的人数为（ ） 抽取的教师比后勤服务人员多 （ 人） ， 故选 【 解析】 本

2、题考查程序框图 程序在运行过程中， 各 变量的值变化如下表： 是否继续 循环前? 第一次是 第二次是 第三次 是 第四次 否 由表可得当 时， ， 此时应该结束循环体， 输 出 的值为 ， 所以判断框内应该填入的条件为 ？ ， 故选 【 解析】 本题考查三角函数的化简求值、 同角三角 函数 的 基 本 关 系 ， ， 故选 【 解析】 本题考查等差数列的求和公式、 等差数列的 性质 （ ） ， ， （ ） ， ， 故选 【 解析】 本题考查平面向量的数量积与坐标运算 （ ， ） ，（ ， ） ，（ ， ） ， （ ， ） ， 当 与 垂直时， （ ） （ ） （ ） ， 解得 ， 故选 【 解

3、析】 本题考查空间几何体的面积公式、 基本不等 式， 考查运算求解能力、 空间想象能力 设长和宽分别 为 ， ， 则该垃圾桶的体积为 () ， 当且仅当 时取等号， 此时所需耗费铁皮 的面积为 （ 平方米） ， 故 选 【 解析】 本题考查正弦函数的周期公式、 对称中心与 对称轴、 函数最值及值域的求解， 考查逻辑推理和数学 运算的核心素养 （ ） () ， （ ） 的一 个周期 ， 故 正确； 由正弦函数的性质可知， 当 时， () () ， 由 对称性质可知 （ ） 的图象关于点 ， () 对称， 故 正确； 由正弦函数在对称轴处取得最值可知， 当 时， () () ， 故 正确； ， ，

4、 () 槡 ， 故 错误， 故选 【 解析】 本题考查点与线的对称关系及直线的方 程， 考查数学运算的核心素养、 化归与转化的思想、 数形 结合的思想 如图所示， 点 （ ， ） 关于直线 ： 的对称点为点 （ ， ） ， 可得直线 的方 数学（ 理科） 答 程为 ， 从而可得直线 与直线 的交 点坐标为 ， () ， 即 点 坐标为 ， () 时， 最小， 故选 【 方法技巧】 当对称直线的斜率为 时， 我们可以直 接将点坐标代入， 求对称点 将 （ ， ） 的横坐 标 代入 ： ， 得 ， 将纵坐标 代入， 得 ， 故对称点坐标为 （ ， ） 【 解析】 本题考查三棱锥的外接球的体积的计算

5、， 考查运算求解能力 在三棱锥 中， 槡 ， ， 可将此三棱锥放在 长方体 内， 如图所示 设 ， ， ， 则 ， ， ， 将上述三个等式相 加得 （ ） ， 则 设三棱 锥 的外接球直径为 ， 则（ ） ， ， 槡 因此该三棱锥外接球的体积 为 槡 () 槡 ， 故选 【 一题多解】 设 ， 槡 ， 则四面体 的外接球直径为 （ 槡 ） 槡 槡 ， 槡 ， 则该三棱锥外接球的体积为 槡 ， 故选 【 解析】 本题考查函数的奇偶性与周期性的应用、 对 数的运算性质 根据题意， 函数 （ ） 满足 （ ） （ ） ， 则函数 （ ） 是 周 期 为 的 周 期 函 数， （ ） ， 则 （ ）

6、（ ） 又由函数 （ ） 为奇函数， 则 （ ） () 又 （ ， ） 时， （ ） ， 则 () ， 则有 （ ） () ， 故选 【 解析】 本题考查二项式定理的应用、 二项展开 式的通项公式， 考查运算求解能力、 数学运算核心素 养 二 项 式 槡 () 的 展 开 式 的 通 项 公 式 为 ， 令 ， 解得 ， 可得展 开式中常数项是 ， 可得 【 方法技巧】 在二项展开式的通项公式中， 令 的幂指 数等于 ， 求出 的值， 代入即可求得 的值 【 解析】 本题考查函数的导数的应用、 函数零点定 理的应用 函数 （ ） ， 可得 （ ） ， 当 （ ， ） 时， （ ） ， 函数 （

7、 ） 是减 函数， 且 () ， （ ） ， 所以当 （ ， ） 时， 函数 （ ） 的零点个数 为 【 一题多解】 借助图象， 找函数 与 的交点， 由于 在 （ ， ） 时单调递减， 故 只有一个交点， 所以函数 （ ） 的零点 个数为 （ ， 【 解析】 本题考查椭圆的方程和性质、 向量数 量积的坐标表示、 二次函数的性质， 考查运算求解能 力 由题意可设 （ ， ） ， （ ， ） ， 且 由 （ ， ） ， 得 （ ， ） （ ， ） () 曲线 可化为 ， 故 ， 可得 ， ， 由于直线斜率存在， 故等于 时不符合题意， 故 的取值范围是（ ， 【 解析】 本题考查数列的综合应用、

8、 等比数列 的求和公式， 考查运算求解能力、 分类与整合的思想 ， 为奇数， ， 为偶数 （ ） ， 当 数学（ 理科） 答 时， ， 解得 ， 当 时， ， 可得 （ ） （ ） 若 为偶数时， ， 即有 ； 若 为奇数（ ） 时， （ ） ， 可得 ， 即 有 () 【 名师指导】 本题考查概率的求解、 离散型随机变量的 分布列及数学期望， 考查逻辑推理、 数学运算、 数学抽 象和数据分析的核心素养 （） 由表格得学生喜欢文艺、 人文社科、 科学技术和 动漫类书籍的概率分别为 ， ， ， ， 利用独立 重复实验的概率的乘法求解即可； （） 由题意可知 ， () ， 然后求出分布列和期望即可

9、 解： （） 由表格得学生喜欢文艺、 人文社科、 科学技术 和动漫类书籍的概率分别为 ， ， ， （ 分） 设 为三人中喜欢文艺类书籍的人数， 为喜欢动 漫类书籍的人数， 事件 为“ 三人中喜欢文艺类书籍 的人数多于动漫类书籍人数” ， 则 （ ） （ ） （ ） （ 且 ） () () ( ) （ 分） （） 由题意可知 ， () ， 则 （ ） () ， （ ） ( ) ， （ ） () ， （ ） () ，（ 分） 故 的分布列为 （ 分） （ ） （ 分） 【 一题多解】 此处 ， () ， 也 可 直 接 使 用 （ ） 计算期望 【 名师指导】 本题考查余弦定理、 三角形的面积公式

10、、 三角函数的恒等变换公式的运用， 考查直观想象、 数 学运算的核心素养 （） 运用两角和的正弦公式、 同角三角函数的基本关 系， 计算即可得到所求； （） 由三角形的面积公式、 余 弦定理， 结合基本不等式， 即可得到所求最大值 解： （） 由已知 （ ） 及 ， 得 （ ） ，（ 分） 即 ， ， 化简得 ， 即 ，（ 分） 又 （ ，） ， （ 分） （） 的面积为 槡 （ 分） 由已知及余弦定理可得 （ 槡 ） ， （ 分） 槡 ， 当且仅当 时， 等号成立，（ 分） 槡 槡 槡 （ 槡 ） ，（ 分） 即 面积的最大值为 （ 槡 ） （ 分） 【 名师指导】 本题考查利用空间向量的夹

11、角公式求解 二面角的平面角、 平面与平面垂直的判定定理， 考查 空间想象能力、 运算求解能力、 数学建模核心素养 （） 证明 ， 然后结合已知条件， 即可证明 平面 ， 进而得到 平面 ， 即可 得证平面 平面 ； （） 建立空间直角 坐标系， 分别求出平面 、 平面 的法向量， 利用空间向量的夹角公式求解二面角 的 余弦值 解： （） 证明： ， 平面 平面 ， 平面 平面 ， 平面 ， 又 ， （ 分） ， 平面 （ 分） ， 平面 数学（ 理科） 答 又 平面 ， 平面 平面 （ 分） （） 已知三棱柱 的侧面 与底 面 垂直， 侧棱与底面所在平面成 角， ， （ 分） 在平面 内， 以

12、 为坐标原点， 过点 作 的垂线， 记为 轴， 分别以 ， 所在直线为 轴和 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 （ ， ，槡 ） ， （ ， ， ） ， （ ， ， ） ， （ ， ， ） ， （ 分） 由 ， 得 （ ， ，槡 ） （ 分） 设平面 、 平面 的法向量分别为 （ ， ， ） ， （ ， ， ） ， （ ， ，槡 ） ， （ ， ，槡 ） ， （ ， ，槡 ） ， （ ， ，槡 ） ， （ 分） 由 ， 得 槡 ， 槡 ， 取 槡 ， 则 （ ， ，槡 ） 由 ， 得 槡 ， 槡 ， 取 槡 ， 则 （ ， ，槡 ） ， （ 分） 槡 ， 则二面角 的余弦值为槡 （ 分

13、） 【 名师指导】 本题考查函数的导数的应用、 函数的极值 以及函数的最值的求法， 考查化归与转化思想以及运 算求解能力 （） 求出函数的导数， 利用函数的极值求出 ， 然后 求出函数的解析式， 通过导函数的正负， 求解函数的 单调区间； （） 构造新函数并求解导函数， 判断函数 的单调区间以及极值， 进而求解即可 解： （ ） （ ） ， 由题设知， （ ） ， 所以 ， 经检验 符合题意， （ 分） 从而 （ ） ， （ ） （ ） ， （ ） （ ） （ 分） 当 时， （ ） ； 当 时， （ ） ， （ 分） 所以 （ ） 在（ ， ） 上单调递增， 在（ ， ） 上单 调递减 （

14、分） （） 因为 在（ ， ） 上恒成立， 即 恒成立 （ 分） 设 （ ） ， 则 （ ） （ 分） 令 （ ） ， 则 ， 所以当 （ ， ） 时， （ ） ； 当 （ ， ） 时， （ ） ，（ 分） 所以 （ ） 的单调递增区间是（ ， ） ， 单调递减区间是 （ ， ） ， （ ） （ ） ， 所以 ， 即 ， 则实数 的取值范围为 ， ) （ 分） 【 名师指导】 本题考查直线与抛物线的位置关系、 抛物 线的方程， 考查数学抽象、 逻辑推理、 直观想象和数学 运算的核心素养， 考查函数与方程思想、 化归与转化 思想 （ ） 求出交点坐标， 代入抛物线方程求出 的值即 可； （） 设

15、出直线的方程， 利用 ， 转化为 ， 利用设而不求思想进行求解即可 解： （） 抛物线 与直线 的一个交 点的横坐标为 ， 纵坐标 ， 即交点坐标为（ ， ） ， 则 ， 即 ， 抛物线的方程为 （ 分） （） 设满足条件的直线方程为 ， （ ， ） ， （ ， ） （ ， ） ， （ ， ） ， （ ， ） ， ， ， （ ， ） （ ， ） ， 即 （ ） （） （ 分） 数学（ 理科） 答 由 ， 得（ ） ， 化简得 （ ） ， （ 分） （ ） ， 则 ， （ 分） ， ， （ ） （ ） （ ） ， （ 分） 代入（） 式化简得 ， 解得 槡 （ 分） ， 两个值均能取到 综上可知

16、， 存在斜率为 的直线， 其方程为 槡 或 槡 （ 分） 【 名师指导】 本题考查参数方程与普通方程、 极坐标方 程与直角坐标方程的互化、 参数的几何意义， 考查运 算求解能力、 化归与转化思想、 应用意识 （） 通过公式可得曲线 的直角坐标方程， 利用消 参法可得直线 的普通方程； （） 利用直线参数方程 的几何意义可得 解： （） 直线 的参数方程为 ， 槡 （ 为 参数） ， 消去参数 得直线 的普通方程为槡 槡 （ 分） 曲线 的极坐标方程是 槡 () ， ， 即 ， 曲线 的直角坐标方程是（ ） （ ） （ 分） （） 将直线 的参数方程代入曲线 的直角坐标方 程中， 得 () 槡

17、() ， 化简得 ， （ 分） 槡 ， 槡 方程的两根为直线 与曲线 的两个交点 ， 对 应的参数 ， ， （ 分） 【 名师指导】 本题考查解绝对值不等式的解法、 绝对值 不等式的性质， 考查分类与整合思想、 化归与转化 思想 （） 代入 的值， 通过讨论 的取值范围， 求出不等 式的解集即可； （） 根据绝对值三角不等式的性质得 到关于 的不等式， 解出即可 解： （） 当 时， （ ） 当 时， （ ） ， 解得 ； 当 时， （ ） ， 解集 为； 当 时， （ ） ， 解得 综上， 当 时， 不等式 （ ）的解集为 ， ( ， ) （ 分） （） 显然有 ， 由绝对值三角不等式得 （ ） （ ） () ， （ 分） 所以 ， 即 ， 解得 ， 即 ， （ 分） 数学（ 理科） 答