专题09 逐个击破考点九：几何证明一（原卷版）.docx

1、 专题专题 09 逐个击破考向逐个击破考向-第第九九周：周：几何综合证明一几何综合证明一 特殊图形特殊性质的运用特殊图形特殊性质的运用 【考向分析考向分析】 通过分析对比，可以看出： 安徽中考数学填空压轴题的主要考向分为四类： 一是全等综合证明，一是全等综合证明， 二是相似综合证明，二是相似综合证明， 三是旋转问题，三是旋转问题， 四是特殊图形特殊性质的运用四是特殊图形特殊性质的运用。 其中全等相似综合证明题型基本上是每年必考考点， 近几年中出现了旋转和特殊图形特殊 性质的运用，好在是这两类题型的解题思路非常明确，且比较好总结方法技巧； 几何综合证明作为中考压轴大题，每年都必然出现在试卷最后，

2、是冲刺高分的最大拦路虎，对知识掌 握的综合运用能力要求较高， 但理解出题方式和解题思路可以帮助大家快速打开解题思维， 进而顺利解题。 【真题再现真题再现】 年份：年份：2016 年年 考向：全等相似综合证明，特殊图形特殊性质的运用考向：全等相似综合证明，特殊图形特殊性质的运用 年份年份 几何综合证明题几何综合证明题 考向补充考向补充 2010 全等相似综合证明 2011 旋转问题，全等相似综合证明 2012 相似综合证明 2013 新定义几何证明 2014 全等综合证明，旋转问题 2015 全等相似综合证明，旋转问题 2016 全等相似综合证明，特殊图形特殊性质的运用全等相似综合证明，特殊图形

3、特殊性质的运用 2017 全等相似综合证明 2018 全等综合证明，特殊图形特殊性质的运用全等综合证明，特殊图形特殊性质的运用 2019 全等相似综合证明 23. 如图 1，A，B 分别在射线 OM，ON 上，且MON 为钝角现以线段 OA，OB 为斜边向MON 的 外侧作等腰直角三角形，分别是 OAP， OBQ，点 C，D，E 分别是 OA，OB，AB 的中点 (1)求证： PCEEDQ； (2)延长 PC，QD 交于点 R. 如图 2，若MON150 ，求证： ABR 为等边三角形； 如图 3，若 ARBPEQ，求MON 大小和AB PQ的值 年份：年份：2018 年年 考向：全等综合证明

4、，特殊图形特殊性质的运用考向：全等综合证明，特殊图形特殊性质的运用 23. 如图，Rt ABC 中，ACB90 ，点 D 为边 AC 上一点，DEAB 于点 E，点 M 为 BD 中点， CM 的延长线交 AB 于点 F. (1)求证：CMEM； (2)若BAC50 ，求EMF 的大小； (3)如图，若 DAECEM，点 N 为 CM 的中点，求证：ANEM. 图 图 第 23 题图 【技巧总结技巧总结】 1、特殊图形特殊性质的运用思路特殊图形特殊性质的运用思路 等腰三角形：等腰三角形：等腰对等角三线合一与垂直平分线定理相互转化（垂直平分线上的点到线段两端点 距离相等是辅助线做法） 正三角形：

5、正三角形：边相等，角 60S= 4 3 a（a 为边长）等腰三角形的特殊性质 直角三角形：直角三角形：勾股定理（有线段长度时）直角三角形斜边中线等于斜边一半（有直角三角形斜边 中点时）30所对直角边等于斜边的一半（有 30特殊角时） 等腰直角三角形：等腰直角三角形：等腰三角形的特殊性质直角三角形的特殊性质 平行四边形：平行四边形：对边平行且相等对角相等邻角互补对角线互相平分 矩形：矩形：角 90对角线平分且相等 菱形：菱形：临边相等对角线互相垂直平分且相等对角线平分对角 正方形：正方形：特殊四边形的性质全具有 2、中点的用法中点的用法 结合等腰三角形时：三线合一转垂直平分线定理结合等腰三角形时

6、：三线合一转垂直平分线定理 结合直角三角形时：斜边中线等于斜边一半结合直角三角形时：斜边中线等于斜边一半 题目题目中出现多个中点时：中位线定理中出现多个中点时：中位线定理 存在平行线间夹线段有中点时：延长过中点的线段构造存在平行线间夹线段有中点时：延长过中点的线段构造 8 字型全等字型全等 【典型例题典型例题】 【例 1】 （2019苏家屯区二模）已知：如图，ABC 和BDE 都是等腰直角三角形，ACBBDE90， 点 F 是 AE 的中点，连接 DF，CF （1）如图 1，点 D，E 分别在 AB，BC 边上，填空：CF 与 DF 的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）如图 2，将图 1 中

7、的BDE 绕 B 顺时针旋转 45得到图 2，请判断（1）中 CF 与 DF 的数量关系和 位置关系是否仍然成立，如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由； （3）如图 3，将图 1 中的BDE 绕 B 顺时针旋转 90得到图 3，如果 BD2，AC32，请直接写出 CF 的长 【对应练习对应练习】 1. 请阅读下列材料： 问题：如图，在正方形和平行四边形中，点，在同一条直线上，是线段的中点，连 接， 探究：当与的夹角为多少度时，平行四边形是正方形？ 小聪同学的思路是：首先可以说明四边形是矩形；然后延长交于点，构造全等三角形，经过 推理可以探索出问题的答案 请你参考小聪同学的思路，探究并解

8、决这个问题 （1）求证：四边形是矩形； （2）与的夹角为_度时，四边形是正方形说明理由： 2. 在 RtABC 中，ACB=90，点 D 与点 B 在 AC 同侧，DACBAC，且 DA=DC，过点 B 作 BEDA 交 DC 于点 E，M 为 AB 的中点，连接 MD，ME （1）如图 1，当ADC=90时，线段 MD 与 ME 的数量关系是 ； （2）如图 2，当ADC=60时，试探究线段 MD 与 ME 的数量关系，并证明你的结论； （3）如图 3，当ADC= 时，求的值 ME MD 32019 年湖北省天门市江汉学校、托市一中、张港初中等五校中考数学模拟试卷某学校活动小组在作三 角形的

9、拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： 操作发现： 在等腰ABC 中，ABAC，分别以 AB 和 AC 为斜边，向ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图 1 所示， 其中 DFAB 于点 F， EGAC 于点 G， M 是 BC 的中点， 连接 MD 和 ME， 则下列结论正确的是 （填 序号即可） AFAGAB；MDME；整个图形是轴对称图形；DABDMB 数学思考： 在任意ABC 中，分别以 AB 和 AC 为斜边，向ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图 2 所示，M 是 BC 的中点，连接 MD 和 ME，则 MD 与 ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程； 类比探究： 在任意

10、ABC 中，仍分别以 AB 和 AC 为斜边，向ABC 的内侧作等腰直角三角形，如图 3 所示，M 是 BC 的中点，连接 MD 和 ME，试判断MED 的形状答： 4在等边三角形 ABC 中，点 D 是 BC 的中点，点 E、F 分别是边 AB、AC（含线段 AB、AC 的端点）上的动点， 且EDF120，小明和小慧对这个图形展开如下研究： 问题初探： （1）如图 1，小明发现：当DEB90时，BE+CFnAB，则 n 的值为 ； 问题再探： （2）如图 2，在点 E、F 的运动过程中，小慧发现两个有趣的结论： DE 始终等于 DF；BE 与 CF 的和始终不变；请你选择其中一个结论加以证明

11、 成果运用:（3）若边长 AB8，在点 E、F 的运动过程中，记四边形 DEAF 的周长为 L，LDE+EA+AF+FD，则 周长 L 取最大值和最小值时 E 点的位置? 5如图，O 为菱形 ABCD 对角线的交点，M 是射线 CA 上的一个动点（点 M 与点 C、O、A 都不重 8 合） ， 过点 A、C 分别向直线 BM 作垂线段，垂足分别为 E、F，连接 OE，OF （1）依据题意补全图形； 猜想 OE 与 OF 的数量关系为_. （2）小东通过观察、实验发现点 M 在射线 CA 上运动时， （1）中的猜想始终成立 小东把这个发现与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明（1）中猜想的几种想

12、法： 想法 1：由已知条件和菱形对角线互相平分，可以构造与OAE 全等的三角形，从而得到相等的线段，再依 据直角三角形斜边中线的性质，即可证明猜想； 想法 2： 由已知条件和菱形对角线互相垂直， 能找到两组共斜边的直角三角形， 例如其中的一组OAB 和EAB， 再依据直角三角形斜边中线的性质，菱形四边相等，可以构造一对以 OE 和 OF 为对应边的全等三角形，即 可证明猜想 请你参考上面的想法，帮助小东证明（1）中的猜想（一种方法即可） （3）当ADC=120时，请直接写出线段 CF，AE，EF 之间的数量关系是_ 6综合与实践探究几何元素之间的关系 问题情境：四边形 ABCD 中，点 O 是

13、对角线 AC 的中点，点 E 是直线 AC 上的一个动点（点 E 与点 C，O，A 都不重合） ，过点 A，C 分别作直线 BE 的垂线，垂足分别为 F，G，连接 OF，OG. （1）初步探究： 如图 1，已知四边形 ABCD 是正方形，且点 E 在线段 OC 上，求证； （2）深入思考：请从下面 A，B 两题中任选一题作答，我选择_题. A探究图 1 中 OF 与 OG 的数量关系并说明理由； B如图 2，已知四边形 ABCD 为菱形，且点 E 在 AC 的延长线上，其余条件不变，探究 OF 与 OG 的数量关 系并说明理由； （3）拓展延伸：请从下面 AB 两题中任选一题作答，我选择_题. 如图 3，已知四边形 ABCD 为矩形，且，. A点 E 在直线 AC 上运动的过程中，若，则 FG 的长为_. B点 E 在直线 AC 上运动的过程中，若，则 FG 的长为_. AFBG 4AB 60BAC BFBG OFBC