专题05 逐个击破考点五:解直角三角形(解析版).docx
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1、 专题专题 05 逐个击破考向:逐个击破考向:解直角三角形解直角三角形 考察规律考察规律 通过分析对比,可以看出: 安徽中考数学解直角三角形题的主要考向分为四类: 一是河流宽度模型, 二是塔高模型, 三是仰俯角模型, 四是航海问题(暂未出现) 。 需要注意的是,虽然在题目呈现上是以上四类题型,但从数学模型来看,所有解直角三角形题型均可 分为两大类: 一是钝角作垂线形,二是锐角作垂线形。 规律题型是在中考中每年必出的必考考点,难度比较简单,主要考察大家的基础知识点的掌握度以及 计算力,快速找到辅助线和掌握解题通法步骤是提高该题型速度和准确度的方向。 【真题再现真题再现】 年份:年份:2010 年
2、年 考向:河流宽度模型考向:河流宽度模型 16. 若河岸的两边平行,河宽为 900 米,一只船由河岸的 A 处沿直线方向开往对岸的 B 处,AB 与河岸 的夹角是 60 ,船的速度为 5 米/秒,求船从 A 处到 B 处约需时间几分(参考数据: 31.7) 年份年份 解直角三角形解直角三角形 考向补充考向补充 2010 河流宽度模型 2011 塔高模型 2012 河流宽度模型 2013 塔高模型 2014 河流宽度模型 2015 仰俯角 2016 河流宽度模型 2017 塔高模型 2018 仰俯角,塔高 2019 三角函数与圆综合 第 16 题图 【解析】如解图,过点 B 作 BC 垂直于河岸
3、,垂足为 C,则在 RtACB 中,有 AB BC sinBAC 900 sin60600 3. 因而时间 t600 3 5602 33.4(分) 即船从 A 处到 B 处约需 3.4 分 第 16 题解图 年份:年份:2011 年年 考向:塔高模型考向:塔高模型 19. 如图,某高速公路建设中需要确定隧道 AB 的长度已知在离地面 1500 m 高度 C 处的飞机上,测 量人员测得正前方 A、B 两点处的俯角分别为 60 和 45 .求隧道 AB 的长(参考数据: 31.73) 第 19 题图 【解析】由已知条件可知:COB 为等腰直角三角形, OBOC1500. .(3 分) 在 RtCO
4、A 中,ACO90 60 30 , OAOC tan301500 3 3 500 3, .(7 分) ABOBOA1500500 315005001.73635. 所以隧道 AB 的长约 635 米 .(10 分) 年份:年份:2012 年年 考向:河流宽度模型考向:河流宽度模型 19. 如图,在 ABC 中,A30 ,B45 ,AC2 3.求 AB 的长 第 19 题图 【解析】如解图,作 CDAB 于 D 点 在 RtACD 中,A30 ,AC2 3, 所以 ADACcos302 3 3 2 3. .(5 分) CDACsin30 3. 在 RtBCD 中,B45 ,所以 BDCD 3,
5、ABADBD3 3. .(10 分) 第 19 题解图 年份:年份:2013 年年 考向:塔高模型考向:塔高模型 19. 如图, 防洪大堤的横断面是梯形 ABCD, 其中 ADBC, 坡角 60 , 汛期来临前对其进行了加固, 改造后的背水面坡角 45 ,若原坡长 AB20 m,求改造后的坡长 AE.(结果保留根号) 第 19 题图 【解析】如解图,过点 A 作 AFCE 于点 F, 在 RtABF 中,AB20, sinAF AB,AF20 3 2 10 3. .(5 分) 在 RtAEF 中,sinAF AE, AE10 3 2 2 10 6(m) .(10 分) 第 19 题解图 年份:
6、年份:2014 年年 考向:河流宽度模型考向:河流宽度模型 18. 如图,在同一平面内,两条平行高速公路 l1和 l2间有一条“Z”型道路连通,其中 AB 段与高速公路 l1成 30 角,长为 20 km;BC 段与 AB、CD 段都垂直,长为 10 km;CD 段长为 30 km,求两高速公路间的距 离(结果保留根号) 第 18 题图 【解析】 如解图, 过点 A 作 AB 的垂线交 DC 延长线于点 E, 过点 E 作 l1的垂线与 l1、 l2分别交于点 H、 F,则 HFl2. 由题意知 ABBC,BCCD,又 AEAB, 四边形 ABCE 为矩形,AEBC,ABEC. 第 18 题解
7、图 DEDCCEDCAB50. 又 AB 与 l1成 30 角, EDF30 ,EAH60 . 在 RtDEF 中,EFDE sin30501 225,.(5 分) 在 RtAEH 中,EHAE sin6010 3 2 5 3, HFEFHE255 3. 即两高速公路间距离为(255 3) km. .(8 分) 年份:年份:2015 年年 考向:仰俯角模型考向:仰俯角模型 18. 如图,平台 AB 高为 12 米,在 B 处测得楼房 CD 顶部点 D 的仰角为 45 ,底部点 C 的俯角为 30 , 求楼房 CD 的高度( 31.7) 第 18 题图 【解析】如解图,作 BECD 于点 E,则
8、 CEAB12. 在 RtBCE 中,BE CE tanCBE 12 tan3012 3. .(3 分) 第 18 题解图 在 RtBDE 中,DBE45 ,DEB90 , BDE45 ,DEBE12 3, .(5 分) CDCEDE1212 332.4, 楼房 CD 的高度约为 32.4 米 .(8 分) 年份:年份:2016 年年 考向:河流宽度模型考向:河流宽度模型 19. 如图,河的两岸 l1与 l2相互平行,A、B 是 l1上的两点,C、D 是 l2上的两点某人在点 A 处测得 CAB90 , DAB30 , 再沿 AB 方向前进 20 米到达点 E(点 E 在线段 AB 上), 测
9、得DEB60 , 求 C、 D 两点间的距离 第 19 题图 【解析】DEB60 ,DAB30 , ADE60 30 30 , DABADE, DEAE20, .(3 分) 如解图,过点 D 作 DFAB 于点 F,则EDF30 , 在 RtDEF 中,EF1 2DE10, .(6 分) AF201030, DFAB,CAB90 , CADF, 又l1l2, 四边形 CAFD 是矩形, CDAF30, 答:C、D 两点间的距离为 30 米 .(10 分) 第 19 题解图 年份:年份:2017 年年 考向:塔高模型考向:塔高模型 17 如图, 游客在点 A 处坐缆车出发, 沿 ABD 的路线可
10、至山顶 D 处 假设 AB 和 BD 都是直线段, 且 ABBD600 m,75 ,45 ,求 DE 的长 (参考数据:sin750.97,cos750.26, 21.41) 第 17 题图 【解析】(方法一)在 RtBDF 中,由 sinDF BD可得, DFBD sin600sin45600 2 2 300 2423(m) .(3 分) 在 RtABC 中,由 cosBC AB可得, BCAB cos600cos756000.26156(m) .(6 分) DEDFEFDFBC423156579(m) .(8 分) (方法二)如解图,连接 AD,过点 B 作 BGAD,ABBD600 m,
11、 AGGD1 2AD,ABGDBG 1 2ABD, 又75 ,45 ,FBC90 , ABD360 75 45 90 150 , ABG75 ,DABBAC15 ,DAE30 , 在 RtABG 中,sinABGAG AB, AGAB sinABG600sin756000.97582(m) 在 RtDEA 中,DAE30 , DE1 2ADAG582(m) .(8 分) 第 17 题解图 年份:年份:2018 年年 考向:仰俯角模型,塔高模型考向:仰俯角模型,塔高模型 19. 为了测量竖直旗杆 AB 的高度,某综合实践小组在地面 D 处竖直放置标杆 CD,并在地面上水平放 置一个平面镜 E,使
12、得 B,E,D 在同一水平线上,如图所示该小组在标杆的 F 处通过平面镜 E 恰好观测 到旗杆顶 A(此时AEBFED),在 F 处测得旗杆顶 A 的仰角为 39.3 ,平面镜 E 的俯角为 45 ,FD1.8 米,问旗杆 AB 的高度约为多少米?(结果保留整数) (参考数据:tan39.30.82,tan84.310.02) 第 19 题图 【解析】(解法一) 由题意知:AEBFED45 , AEF90 , 在 RtAEF 中,AE FEtanAFEtan84.310.02, 在ABE 和FDE 中,ABEFDE90 ,AEBFED, ABEEDF, AB FD AE FE10.02, AB
13、10.02FD18.03618(米) 答:旗杆 AB 的高度约为 18 米 (解法二)如解图,作 FGAB 于点 G,AGABGBABFDAB1.8, 第 19 题解图 由题意知:ABE 和FDE 均为等腰直角三角形, ABBE,DEFD1.8, FGDBDEBEAB1.8. 在 RtAFG 中,AG FGtanAFGtan39.3, 即AB1.8 AB1.80.82, 解得:AB18.218(米) 答:旗杆 AB 的高度约为 18 米 年份:年份:2019 年年 考向:三角函数结合圆综合考向:三角函数结合圆综合 19. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图 1,明朝科学家徐光启在农政全
14、书中用图画描 绘了筒车的工作原理.如图 2,筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心 O 为圆心的圆.已知圆心在水面上方,且圆被 水面截得的弦 AB 长为 6 米,OAB=41.3,若点 C 为运行轨道的最高点(C,O 的连线垂直于 AB) ,求点 C 到弦 AB 所在直线的距离. (参考数据:sin41.30.66,cos41.30.75,tan41.30.88) 【解析】连接 CO 并延长,交 AB 于 D,则 CDAB,所以 D 为 AB 中点,所求运行轨道的最高点 C 到弦 AB 所在直线的距离即为线段 CD 的长。 在 RtAOD 中,AD 1 2 AB3,OAD41.3 0, ODADtan4
15、1.3 030.88=2.64, OA 3 4 cos41.30.75 o AD CD=CO+OD=AO+OD=2.64+4=6.64。 答:运行轨道的最高点 C 到弦 AB 所在直线的距离约为 6.64 米。10 分 【技巧总结技巧总结】 当题目条件所得三角形一个角为当题目条件所得三角形一个角为 75、105的特殊角或者在条件中给给出三角函数值的一般角度值时,的特殊角或者在条件中给给出三角函数值的一般角度值时, 如图所示如图所示 【典型例题典型例题】 例 1. (2019河南9 分)数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度如图所示, 炎帝塑像 DE 在高 55m 的小山
16、EC 上,在 A 处测得塑像底部 E 的仰角为 34,再沿 AC 方向前进 21m 到达 B 处,测得塑像顶部 D 的仰角为 60,求炎帝塑像 DE 的高度 (精确到 1m参考数据:sin340.56,cos340.83,tan340.67,1.73) 【分析】由三角函数求出 AC82.1m,得出 BCACAB61.1m,在 Rt BCD 中,由三角函 数得出 CDBC105.7m,即可得出答案 【解答】解:ACE90,CAE34,CE55m, tanCAE, AC82.1m, AB21m, BCACAB61.1m, 在 Rt BCD 中,tan60, CDBC1.7361.1105.7m,
17、DECDEC105.75551m, 答:炎帝塑像 DE 的高度约为 51m 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形,利用三 角函数的知识求解,难度适中 例2.(2019天津10分)如图,海面上一艘船由向东航行,在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰 角为31,再向东继续航行30m到达B处,测得该灯塔的最高点C的仰角为45.根据测得的数据,计算这座灯塔 的高度CD(结果取整数). 参考数据:52. 031sin,cos310.86,tan310.60. 【解析】如图,根据题意,CAD=31,CBD=45,CDA=90,AB=30. 在Rt ACD,
18、tanCAD= AD CD , AD= 31tan CD 在Rt BCD中,tanCBD= BD CD , BD=CD CD 45tan 又AD=BD+AB 31tan CD 30+CD CD=45 60. 0-1 60. 030 31tan1 31tan30 答:这座灯塔的高度CD约为45m. 【对应练习对应练习】 1. (2019广西贺州广西贺州8 分) 如图, 在 A 处的正东方向有一港口 B 某巡逻艇从 A 处沿着北偏东 60方向巡逻, 到达 C 处时接到命令,立刻在 C 处沿东南方向以 20 海里/小时的速度行驶 3 小时到达港口 B求 A,B 间 的距离 (1.73,1.4,结果保
19、留一位小数) 【分析】过点 C 作 CDAB,垂足为点 D,则ACD60,BCD45,通过解直角三角形可求出 BD, AD 的长,将其相加即可求出 AB 的长 【解答】解:过点 C 作 CDAB,垂足为点 D,则ACD60,BCD45,如图所示 在 Rt BCD 中,sinBCD,cosBCD, BDBCsinBCD20342,CDBCcosBCD20342; 在 Rt ACD 中,tanACD, ADCDtanACD4272.7 ABAD+BD72.7+42114.7 A,B 间的距离约为 114.7 海里 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题,通过解直角三角形,求出 BD,AD
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