1-最值基础讲义.pdf

1、 最值系列之将军饮马（一） 一、什么是将军饮马？ 【问题引入】 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀古从军行里的一句诗而由此却引申出 一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马” 【问题描述】 如图，将军在图中点 A 处，他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？ A B 将军 军营 河 【问题简化】 如图，在直线上找一点 P 使得 PAPB 最小？ P B A 【问题分析】 这个问题的难点在于 PAPB 是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两 点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线

2、段变为直线 段 【问题解决】 作点 A 关于直线的对称点 A，连接 PA，则 PAPA，所以 PAPBPAPB A A B P 当 A、P、B 三点共线的时候，PAPBAB，此时为最小值（两点之间线段最短） 【思路概述】 作端点（点 A 或点 B）关于折点（上图 P 点）所在直线的对称，化折线段为直线段 折点 端点 A P B A 中考数学满分突破教师交流群 1070281827 中考满分突破读者学生群 897059879 中考满分突破读者教师群 853873521 二、将军饮马模型系列 【一定两动之点点】 在 OA、OB 上分别取点 M、N，使得PMN 周长最小 M N P P N M B

3、A P O O P A B 此处 M、N 均为折点，分别作点 P 关于 OA（折点 M 所在直线） 、OB（折点 N 所在直线）的对称点，化 折线段 PMMNNP 为 PMMNNP，当 P、M、N、P共线时，PMN 周长最小 【例题】如图，P 是AOB 内任意一点，AOB30，OP8，M 和 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上 的动点，则PMN周长的最小值为_ P O B A M N 【分析】PMN 周长即 PMPNMN 的最小值，此处 M、N 均为折点，分别作点 P 关于 OB、OA 对 称点 P、P，化 PMPNMN 为 PNMNPM P P N M A B O P 当 P、N、M、P

4、共线时，得PMN 周长的最小值，即线段 PP长，连接 OP、OP，可得OPP为 等边三角形，所以 PPOPOP8 P O B A M N P P 中考数学满分突破教师交流群 1070281827 中考满分突破读者学生群 897059879 中考满分突破读者教师群 853873521 【两定两动之点点】 在 OA、OB 上分别取点 M、N 使得四边形 PMNQ 的周长最小 Q P M N B A P O QQ O P A B N M 考虑 PQ 是条定线段，故只需考虑 PMMNNQ 最小值即可，类似，分别作点 P、Q 关于 OA、OB 对 称，化折线段 PMMNNQ 为 PMMNNQ，当 P、M

5、、N、Q共线时，四边形 PMNQ 的周长最小 【一定两动之点线】 在 OA、OB 上分别取 M、N 使得 PMMN 最小 P M N B A P OO P A B N M 此处 M 点为折点，作点 P 关于 OA 对称的点 P，将折线段 PMMN 转化为 PMMN，即过点 P作 OB 垂线分别交 OA、OB 于点 M、N，得 PMMN 最小值（点到直线的连线中，垂线段最短） 中考数学满分突破教师交流群 1070281827 中考满分突破读者学生群 897059879 中考满分突破读者教师群 853873521 三、几何图形中的将军饮马 【寻找几何图形中端点关于折点所在直线的对称点位置】 1正方

6、形中的将军饮马 【关于对角线对称】 如图，正方形 ABCD 的边长是 4，M 在 DC 上，且 DM1， N 是 AC 边上的一动点，则DMN 周长的 最小值是_ N M D C B A 【分析】考虑 DM 为定值，故求DMN 周长最小值即求 DNMN 最小值点 N 为折点，作点 D 关于 AC 的对称点，即点 B，连接 BN 交 AC 于点 N，此时DMN 周长最小 N A B C D M 【假装不存在的正方形】 （2019山东聊城）如图，在 RtABO 中，OBA90，A（4，4） ，点 C 在边 AB 上，且 ACCB 13，D 为 OB 的中点，P 为边 OA 上的动点，当点 P 在

7、OA 上移动时，使四边形 PDBC 周长最小的点 P 的 坐标为( ) y x P OD C B A A(2,2) B 5 ( 2 ， 5) 2 C 8 (3， 8) 3 D(3,3) 中考数学满分突破教师交流群 1070281827 中考满分突破读者学生群 897059879 中考满分突破读者教师群 853873521 【分析】此处点 P 为折点，可以作点 D 关于折点 P 所在直线 OA 的对称（也可以作点 C 的对称） D A B C DO P x y 【隐身的正方形】 （2017辽宁营口）如图，在ABC 中，ACBC，ACB90，点 D 在 BC 上，BD3，DC1，P 是 AB 上的

8、动点，则 PCPD 的最小值为( ) P D C B A A4 B5 C6 D7 【分析】作点 C 关于 P 点所在直线 AB 的对称点 C，当 C、P、D 共线时，PCPD 最小，最小值为 5， 故选 B C P D C B A C A B C DO P x y 中考数学满分突破教师交流群 1070281827 中考满分突破读者学生群 897059879 中考满分突破读者教师群 853873521 2三角形中的将军饮马 【等边系列】 如图，在等边ABC 中，AB6， N 为 AB 上一点且 BN2AN， BC 的高线 AD 交 BC 于点 D，M 是 AD 上的动点，连结 BM，MN，则 B

9、MMN 的最小值是_ A BC D M N 【分析】M 点为折点，作 B 点关于 AD 的对称点，即 C 点，连接 CN，即为所求的最小值 A BC D M N 过点 C 作 AB 垂线，利用勾股定理求得 CN 的长为 2 倍根号 7 【隐身的等边三角形】 如图，在 RtABD 中，AB6，BAD30，D90，N 为 AB 上一点且 BN2AN，M 是 AD 上的 动点，连结 BM，MN，则 BMMN 的最小值是_ N M D B A 【分析】对称点并不一定总是在已知图形上 A BC D M N H N M D CB A 中考数学满分突破教师交流群 1070281827 中考满分突破读者学生群

10、 897059879 中考满分突破读者教师群 853873521 【角分线系列之点点】 （2018山东潍坊）如图，在 RtABC 中，ACB90，AC6AB12，AD 平分CAB，F 是 AC 的中点，E 是 AD 上的动点，则 CEEF 的最小值为( ) E A F CD B A3 B4 C3 3 D2 3 【分析】此处 E 点为折点，可作点 C 关于 AD 的对称，对称点 C在 AB 上且在 AB 中点，化折线段 CE EF 为 CEEF，当 C、E、F 共线时得最小值，CF 为 CB 的一半，故选 C C A F E C D B 【角分线系列之点线】 （2018辽宁营口）如图，在锐角AB

11、C 中，BC4，ABC60，BD 平分ABC，交 AC 于点 D， M、N 分别是 BD，BC 上的动点，则 CMMN 的最小值是( ) N M D C B A A3 B2 C2 3 D4 【分析】此处 M 点为折点，作点 N 关于 BD 的对称点，恰好在 AB 上，化折线 CMMN 为 CMMN N A B C D M N 因为 M、N 皆为动点，所以过点 C 作 AB 的垂线，可得最小值，选 C N M D C B A N 中考数学满分突破教师交流群 1070281827 中考满分突破读者学生群 897059879 中考满分突破读者教师群 853873521 3矩形、菱形中的将军饮马 【菱

12、形高】 （2018 广西贵港）如图，在菱形 ABCD 中，AC6 2，BD6，E 是 BC 的中点，P、M 分别是 AC、 AB 上的动点，连接 PE、PM，则 PEPM 的最小值是( ) E P D C B A M A6 B3 3 C2 6 D4.5 【分析】此处 P 为折点，作点 M 关于 AC 的对称点 M，恰好在 AD 上，化折线 EPPM 为 EPPM M E P D C B A M 当 E、P、M共线时，EPPM 最小，最小值即为菱形的高，可用面积法：0.5ACBDBCEM M M A B C P E 中考数学满分突破教师交流群 1070281827 中考满分突破读者学生群 897

13、059879 中考满分突破读者教师群 853873521 【折点在边上】 （2017 山东菏泽）如图，矩形 ABOC 的顶点 A 的坐标为（4,5） ，D 是 OB 的中点，E 是 OC 上的一 点，当ADE 的周长最小时，点 E 的坐标是( ) E O D C B A x y A 4 (0, ) 3 B 5 (0, ) 3 C(0,2) D 10 (0,) 3 【分析】E 为折点，E 是 y 轴上一点，作 D 关于 y 轴的对称点 D，连接 AD，与 y 轴交点即为所求 D E OD C B A x y 【折点与面积】 （2019 西藏）如图，在矩形 ABCD 中，AB6，AD3，动点 P

14、满足 1 3 PABABCD SS = 矩形 ，则点 P 到 A、 B 两点距离之和 PAPB 的最小值为( ) DC B A P A2 13 B2 10 C3 5 D41 【分析】 由 1 3 PABABCD SS = 矩形 可作出 P 点轨迹为直线 MN （AMBN2） ， 作点 B 关于 MN 的对称点 B， 化折线 PAPB 为 PAPB 中考数学满分突破教师交流群 1070281827 中考满分突破读者学生群 897059879 中考满分突破读者教师群 853873521 B MN D C B A P 当 A、P、B共线时，取到最小值，选 A 【全等与对称】 （2017 江苏南通）如

15、图，矩形 ABCD 中，AB10，BC5，点 E、F、G、H 分别在矩形 ABCD 各边上， 且 AECG，BFDH，则四边形 EFGH 周长的最小值为( ) H F G E DC BA A5 5 B10 5 C10 3 D15 3 【分析】考虑到四边形 EFGH 是平行四边形，即求 EHEF 最小值，此处 E 为折点，作 F 关于 AB 对 称点 F，则 BFBFDHCM，MFBC5，MHDC10，HF为 5 倍根号 5，周长最小值为 10 倍 根号 5，故选 B 5 10 F MH F G E DC BA 6 4 P A B C D NM B 中考数学满分突破教师交流群 107028182

16、7 中考满分突破读者学生群 897059879 中考满分突破读者教师群 853873521 四、特殊角的对称 【60角的对称】 （2018 滨州）如图，AOB60，点 P 是AOB 内的定点且 OP3，若点 M、N 分别是射线 OA、 OB 上异于点 O 的动点，则PMN 周长的最小值是( ) A B M O P N A 3 6 2 B 3 3 2 C6 D3 【分析】此处 M、N均为折点，分别作点 P 关于 OB、OA 的对称点 P、P，化PMN 周长为 PNNM MP P P A B M O P N 当 P、N、M、P共线时，得最小值，利用 60角翻倍得POP120，OPOPOP，可得最小

17、值 【30角的对称】 （2017 湖北随州）如图，AOB 的边 OB 与 x 轴正半轴重合，点 P 是 OA 上的一动点，点 N（3,0）是 OB 上的一定点，点 M 是ON 的中点，AOB30，要使 PMPN 最小，则点 P 的坐标为 NM P O B A x y 3 3 3 120 N P O M B A P P 中考数学满分突破教师交流群 1070281827 中考满分突破读者学生群 897059879 中考满分突破读者教师群 853873521 【分析】此处点 P 为折点，作点 M 关于 OA 的对称对称点 M如图所示，连接 PM，化 PMPN 为 PM PN 30 30 M NM P

18、 O B A x y 当 M、P、N 共线时， 得最小值，又MON60且 ON2OM，可得OMN90，故 P 点坐标可求 【20角的对称】 如图，已知正比例函数 ykx（k0）的图像与 x 轴相交所成的锐角为 70，定点 A 的坐标为（0，4） ， P 为 y 轴上的一个动点，M、N 为函数 ykx（k0）的图像上的两个动点，则 AMMPPN 的最小值为 _ P A M N Ox y 【分析】先考虑 M 为折点，作点 P 关于 OM 对称点 P，化 AMMPPN 为 AMMPPN P P A M N Ox y 此处 P为折点，作点 N 关于 OP对称点 N，化 AMMPPN 为 AMMPPN

19、当 A、M、P、N共线且 ANON时，值最小 M y x A B O P N M 30 30 P N y xO N M A P M P A Ox y N 中考数学满分突破教师交流群 1070281827 中考满分突破读者学生群 897059879 中考满分突破读者教师群 853873521 最值系列之将军饮马（二） 【将军过桥】 已知将军在图中点 A 处，现要过河去往 B 点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路 程最短？ 河 B军营 A将军 N M 考虑 MN 长度恒定，只要求 AMNB 最小值即可问题在于 AM、NB 彼此分离，所以首先通过平移， 使 AM 与 NB 连在一起，

20、将 AM 向下平移使得 M、N 重合，此时 A 点落在 A位置 A河 B军营 A将军 N M 问题化为求 ANNB 最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置 A河 B军营 A将军 N M 【用几何变换将若干段原本彼此分离线段组合到一起】 中考数学满分突破教师交流群 1070281827 中考满分突破读者学生群 897059879 中考满分突破读者教师群 853873521 【将军过两个桥】 已知将军在图中点 A 处，现要过两条河去往 B 点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能 使路程最短？ 军营 将军 河 河 Q A B M N P 考虑 PQ、MN 均为定值，所以路程最短

21、等价于 APQMNB 最小，对于这彼此分离的三段，可以通过 平移使其连接到一起 B A Q A B M N P AP 平移至 AQ，NB 平移至 MB，化 APQMNB 为 AQQMMB P N M B A Q A B 当 A、Q、M、B共线时，AQQMMB取到最小值，再依次确定 P、N 位置 中考数学满分突破教师交流群 1070281827 中考满分突破读者学生群 897059879 中考满分突破读者教师群 853873521 【将军遛马】 如图，将军在 A 点处，现在将军要带马去河边喝水，并沿着河岸走一段路，再返回军营，问怎么走路程 最短？ 【问题简化】已知 A、B 两点，MN 长度为定值

22、，求确定 M、N 位置使得 AMMNNB 值最小？ M N 将军 A 军营 B 河 【分析】考虑 MN 为定值，故只要 AMBN 值最小即可将 AM 平移使 M、N 重合，AMAN，将 AM BN 转化为 ANNB A B A NM 构造点 A 关于 MN 的对称点 A，连接 AB，可依次确定 N、M 位置，可得路线 【例题】如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点 B 在原点，点 A、C 在坐标轴上，点 D 的坐 标为（6，4） ，E 为 CD 的中点，点 P、Q 为 BC 边上两个动点，且 PQ2，要使四边形 APQE 的周长最小， 则点 P 的坐示应为_ E y x B( ) Q

23、 A C D O P 【分析】考虑 PQ、AE 为定值，故只要 APQE 最小即可，如图，将 AP 平移至 AQ，考虑 AQQE 最 小值 A P O D C A Q B( ) x y E 作点 A关于 x 轴的对称点 A，连接 AE，与 x 轴交点即为 Q 点，左移 2 个单位即得 P 点 A MN A B A A A A B( )O PQ C E D 中考数学满分突破教师交流群 1070281827 中考满分突破读者学生群 897059879 中考满分突破读者教师群 853873521 【练习】如图，矩形 ABCD 中，AD2，AB4，AC 为对角线，E、F 分别为边 AB、CD 上的动点

24、，且 EFAC 于点 M，连接 AF、CE，求 AFCE 的最小值 A BC D E F M 【分析】此题难点在于要得到 AF 与 CE 之间的关系，方能将这两条线段联系到一起过点 E 作 EH CD 交 CD 于 H 点，由相似可得：FH1 1 H A BC D E F 连接 BH，则 BHCE，问题转化为 BHAF 最小值 参考将军遛马的作法，作出图形，得出 AFBHAHBHAB5 B A 1 H A B C D F F E D CB A H 11 H A BC D E F F D C B A H 1 中考数学满分突破教师交流群 1070281827 中考满分突破读者学生群 8970598

25、79 中考满分突破读者教师群 853873521 最值系列之辅助圆 最值问题的必要条件是至少有一个动点，因为是动态问题，所以才会有最值在将军饮马问题中，折点 P 就是那个必须存在的动点 并且它的运动轨迹是一条直线，解题策略就是作端点关于折点所在直线的对称 即可 当然，动点的运动轨迹是可以变的，比如 P 点轨迹也可以是一个圆，就有了第二类最值问题辅助 圆 在这类题目中，题目很少直接告诉我们动点轨迹是个圆，也很少把这个圆画出来，因此，结合题目给的 条件，分析出动点的轨迹图形，将是我们面临的最大的问题 若已经确定了动点的轨迹圆，接下来求最最值的问题就会变得简单了，比如：如下图，A 为圆外一点， 在圆

26、上找一点 P 使得 PA 最小 A O P 当然，也存在耿直的题目直接告诉动点轨迹是个圆的，比如： 【2017 四川德阳】 如图，已知圆 C 的半径为 3，圆外一定点 O 满足 OC5，点 P 为圆 C 上一动点，经过点 O 的直线 l 上 有两点 A、B，且OAOB，APB90，l 不经过点 C，则 AB 的最小值为_ l P O C BA 【分析】连接 OP，根据APB 为直角三角形且 O 是斜边 AB 中点，可得 OP 是 AB 的一半，若 AB 最 小，则 OP 最小即可 l P O C BA AB C O P l 连接 OC，与圆 C 交点即为所求点 P，此时 OP 最小，AB 也取

27、到最小值 中考数学满分突破教师交流群 1070281827 中考满分突破读者学生群 897059879 中考满分突破读者教师群 853873521 一、从圆的定义构造圆 圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合 构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧 【2014 成都中考】 如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，A60，M 是 AD 边的中点，N 是 AB 边上的一动点，将AMN 沿 MN 所在直线翻折得到AMN，连接 AC，则 AC 长度的最小值是_ A N M AB C D 【分析】考虑AMN 沿 MN 所在直线翻折得到AMN，可得 MAMA1

28、，所以 A轨迹是以 M 点为圆 心，MA 为半径的圆弧 A N M AB C D 连接 CM，与圆的交点即为所求的 A，此时 AC的值最小 构造 RtMHC，勾股定理求 CM，再减去 AM 即可 【2016 淮安中考】 如图，在 RtABC 中，C90，AC6，BC8，点 F 在边 AC 上，并且 CF2，点 E 为边 BC 上的 动点，将CEF 沿直线 EF 翻折，点 C 落在点 P 处，则点 P 到边 AB 距离的最小值是_ A B C E F P 【分析】考虑到将FCE 沿 EF 翻折得到FPE，可得 P 点轨迹是以 F 点为圆心，FC 为半径的圆弧 D C BA M N A H A N

29、 M AB C D 中考数学满分突破教师交流群 1070281827 中考满分突破读者学生群 897059879 中考满分突破读者教师群 853873521 A B C E F P 过 F 点作 FHAB，与圆的交点即为所求 P 点，此时点 P 到 AB 的距离最小由相似先求 FH，再减去 FP，即可得到 PH 【2019 扬州中考】 如图，已知等边ABC 的边长为 8，点 P 是 AB 边上的一个动点（与点 A、B 不重合） 直线 l 是经过点 P 的一条直线， 把ABC 沿直线 l 折叠， 点 B 的对应点是点 B 当 PB6 时， 在直线 l 变化过程中， 求ACB 面积的最大值 CB

30、A P 【分析】考虑 l 是经过点 P 的直线，且ABC 沿直线 l 折叠，所以 B轨迹是以点 P 为圆心，PB 为半径 的圆弧 CB A P 考虑ACB面积最大，因为 AC 是定值，只需 B到 AC 距离最大即可过 P 作作 PHAC 交 AC 于 H 点，与圆的交点即为所求 B点，先求 HB，再求面积 H P F E C B A H B P A BC 中考数学满分突破教师交流群 1070281827 中考满分突破读者学生群 897059879 中考满分突破读者教师群 853873521 【2018 相城区一模】 如图，矩形 ABCD 中，AB4，BC8，P、Q 分别是直线 BC、AB 上的

31、两个动点，AE2，AEQ 沿 EQ 翻折形成FEQ，连接 PF、PD，则 PFPD 的最小值是_ Q A BC D E F P 【分析】F 点轨迹是以 E 点为圆心，EA 为半径的圆，作点 D 关于 BC 对称点 D，连接 PD，PFPD 化为 PFPD D P F E D CB A Q 连接 ED，与圆的交点为所求 F 点，与 BC 交点为所求 P 点，勾股定理先求 ED,再减去 EF 即可 Q A BC D E F P D 中考数学满分突破教师交流群 1070281827 中考满分突破读者学生群 897059879 中考满分突破读者教师群 853873521 二、定边对直角 知识回顾：直径

32、所对的圆周角是直角 构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧 图形释义： P P AB O P 若 AB 是一条定线段，且APB90，则 P 点轨迹是以 AB 为直径的圆 【例题】已知正方形 ABCD 边长为 2， E、 F 分别是 BC、 CD 上的动点，且满足 BECF， 连接 AE、 BF， 交点为 P 点，则 PD 的最小值为_ E F A B C D P 【分析】由于 E、F 是动点，故 P 点也是动点，因而存在 PD 最小值这样的问题，那 P 点轨迹如何确 定？ 考虑 BECF，易证 AEBF，即在运动过程中，APB90，故 P 点轨迹是以 AB

33、 为直径的圆 O E F A B C D P 连接 OC，与圆的交点即为 P 点，再通过勾股定理即可求出 PC 长度 思路概述：分析动点形成原理，通常“非直即圆”（不是直线就是圆） ，接下来可以寻找与动点相关有无 定直线与定角 中考数学满分突破教师交流群 1070281827 中考满分突破读者学生群 897059879 中考满分突破读者教师群 853873521 【2013 武汉中考】如图，E、F 是正方形 ABCD 的边 AD 上的两个动点，满足 AEDF，连接 CF 交 BD 于点 G，连接 BE 交 AG 于点 H，若正方形边长为 2，则线段 DH 长度的最小值是_ H G A BC D

34、 EF 【分析】根据条件可知：DAGDCGABE，易证 AGBE，即AHB90， H G A BC D EF 所以 H 点轨迹是以 AB 为直径的圆弧 O FE D CB A G H 当 D、H、O 共线时，DH 取到最小值，勾股定理可求 H A BC D O 中考数学满分突破教师交流群 1070281827 中考满分突破读者学生群 897059879 中考满分突破读者教师群 853873521 【2016 安徽中考】如图，RtABC 中，ABBC，AB6，BC4，P 是ABC 内部的一个动点，且满足 PABPBC，则线段 CP 长的最小值是_ P A B C 【分析】PBCPBA90，PBC

35、PAB， PABPBA90， APB90， P 点轨迹是以 AB 为直径的圆弧 O P A B C 当 O、P、C共线时，CP 取到最小值，勾股定理先求 OC，再减去 OP 即可 C B A O P 中考数学满分突破教师交流群 1070281827 中考满分突破读者学生群 897059879 中考满分突破读者教师群 853873521 【寻找定边】 如图，AB 是半圆 O 的直径，点 C 在半圆 O 上，AB5，AC4D 是弧 BC 上的一个动点，连接 AD， 过点 C 作 CEAD 于 E，连接 BE在点 D 移动的过程中，BE 的最小值为 O E D C BA 【分析】E 是动点，E 点由

36、点 C 向 AD 作垂线得来，AEC90，且 AC 是一条定线段，所以 E 点轨迹 是以 AC 为直径的圆弧 M O E D C BA 当 B、E、M 共线时，BE 取到最小值连接 BC，勾股定理求 BM，再减去 EM 即可 AB C E O M 中考数学满分突破教师交流群 1070281827 中考满分突破读者学生群 897059879 中考满分突破读者教师群 853873521 【寻找定边与直角】 如图，在 RtABC 中，ACB90，BC4，AC10，点 D 是 AC 上的一个动点，以 CD 为直径作圆 O，连接 BD 交圆 O 于点 E，则 AE 的最小值为_ O E D C B A

37、【分析】连接 CE，由于 CD 为直径，故CED90，考虑到 CD 是动线段，故可以将此题看成定线 段 CB 对直角CEB O E D C B A 取 CB 中点 M，所以 E 点轨迹是以 M 为圆心、CB 为直径的圆弧 连接 AM，与圆弧交点即为所求 E 点，此时 AE 值最小， 22 10222 262AEAMEM=+= M A B C D E O M E C B A 中考数学满分突破教师交流群 1070281827 中考满分突破读者学生群 897059879 中考满分突破读者教师群 853873521 （2019 苏州园区一模）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，动点 E、F 分别从点

38、 A、C 同时出发，以相同 的速度分别沿 AB、CD 向终点 B、D 移动，当点 E 到达点 B 时，运动停止，过点 B 作直线 EF 的垂线 BG， 垂足为点 G，连接 AG，则 AG 长的最小值为 G F E D CB A 【分析】 首先考虑整个问题中的不变量，仅有 AECF， BGEF， 但BGE 所对的 BE 边是不确定的 重点放在 AECF，可得 EF 必过正方形中心 O 点，连接 BD，与 EF 交点即为 O 点 A BC D E F G O A BC D E F G BGO 为直角且 BO 边为定直线，故 G 点轨迹是以 BO 为直径的圆 M O A BC D E F G 记 B

39、O 中点为 M 点，当 A、G、M 共线时，AG 取到最小值，利用 RtAOM 勾股定理先求 AM，再减去 GM 即可 M O A BC D E F G 中考数学满分突破教师交流群 1070281827 中考满分突破读者学生群 897059879 中考满分突破读者教师群 853873521 【辅助圆将军饮马】 如图，正方形 ABCD 的边长是 4，点 E 是 AD 边上一动点，连接 BE，过点 A 作 AFBE 于点 F，点 P 是 AD 边上另一动点，则 PCPF 的最小值为_ AB CD E F P 【分析】AFB90且 AB 是定线段，故 F 点轨迹是以 AB 中点 O 为圆心、AB 为

40、直径的圆 O P F E DC BA 考虑 PCPF 是折线段，作点 C 关于 AD 的对称点 C，化 PCPF 为 PCPF，当 C、P、F、O 共线 时，取到最小值 C AB CD F P O 中考数学满分突破教师交流群 1070281827 中考满分突破读者学生群 897059879 中考满分突破读者教师群 853873521 【辅助圆相切】 如图，在 RtABC 中，ACB90，B30，AB4，D 是 BC 上一动点，CEAD 于 E，EFAB 交 BC 于点 F，则 CF 的最大值是_ F E D C B A 【分析】AEC90且 AC 为定值，故 E 点轨迹是以 AC 为直径的圆弧

41、 O F E D C B A 考虑 EFAB，且 E 点在圆上，故当 EF 与圆相切的时候，CF 取到最大值 连接 OF，易证OCFOEF，COF30，故 CF 可求 O F E C B A O F E C B A 中考数学满分突破教师交流群 1070281827 中考满分突破读者学生群 897059879 中考满分突破读者教师群 853873521 三、定边对定角 在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆 周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相定边必不可少，而直角则可一般为定角例如， AB为定值，P为定角，则A点轨迹是一个圆 P

42、P A B P 当然，P 度数也是特殊角，比如 30、45、60、120，下分别作对应的轨迹圆 30 O 60 BA P 若P30，以 AB 为边，同侧构造等边三角形 AOB，O 即为圆心 若P45，以 AB 为斜边，同侧构造等腰直角三角形 AOB，O 即为圆心 若P60，以 AB 为底，同侧构造顶角为 120的等腰三角形 AOB，O 即为圆心 若P120，以 AB 为底，异侧为边构造顶角为 120的等腰三角形 AOB，O 即为圆心 90 45 AB O P 60 120 O P AB O 120 120 P AB 中考数学满分突破教师交流群 1070281827 中考满分突破读者学生群 89

43、7059879 中考满分突破读者教师群 853873521 【例题】如图，等边ABC 边长为 2，E、F 分别是 BC、CA 上两个动点，且 BECF，连接 AE、BF， 交点为 P 点，则 CP 的最小值为_ E F CB A P 【分析】由 BECF 可推得ABEBCF，所以APF60，但APF 所对的边 AF 是变化的 60 E F CB A P 所以考虑APB120，其对边 AB 是定值 所以如图所示，P 点轨迹是以点 O 为圆心的圆弧 （构造 OAOB 且AOB120） 当 O、P、C共线时，可得 CP 的最小值，利用 RtOBC 勾股定理求得 OC，再减去 OP 即可 120 E

44、F CB A P 120 M O P A BC F E 120 CB A P O 120 中考数学满分突破教师交流群 1070281827 中考满分突破读者学生群 897059879 中考满分突破读者教师群 853873521 【2017 山东威海】如图，正ABC，AB2，若 P 为ABC 内一动点，且满足PABACP，则线段 PB 长度的最小值为_ A B C P 【分析】由PABACP，可得APC120，后同上例题 中考数学满分突破教师交流群 1070281827 中考满分突破读者学生群 897059879 中考满分突破读者教师群 853873521 【2019 南京中考】在ABC中，AB

45、4，C60，AB，则 BC 的长的取值范围是_ 【分析】先作图，如下 4 AB C 60 条件不多，但已经很明显，AB 是定值，C60，即定边对定角故点 C 的轨迹是以点 O 为圆心的圆 弧 （作 AOBO 且AOB120） O 120 60 C BA 题意要求AB，即 BCAC，故点 C 的轨迹如下图 当 BC 为直径时，BC 取到最大值， 考虑A 为ABC 中最大角，故 BC 为最长边，BCAB4无最小值 O 120 C BA O 120 C BA AB C 60 120 O 中考数学满分突破教师交流群 1070281827 中考满分突破读者学生群 897059879 中考满分突破读者教师

46、群 853873521 【2019 武汉中考】如图，AB 是圆 O 的直径，M、N 是弧 AB（异于 A、B）上两点，C 是弧MN 上一动 点，ACB 的角平分线交圆 O 于点 D，BAC 的平分线交 CD 于点 E，当点 C 从点 M 运动到点 N 时，则 C、E 两点的运动路径长的比是_ O N M AB C D E 【分析】分别考虑 C、E 两点的轨迹，C 点轨迹上是弧 MCN，其对应圆心角为MON，半径为 OM（或 ON） E D C BA M N O 再考虑 E 点轨迹， 考虑到 CE、 AE 都是角平分线， 所以连接 BE， BE 平分ABC， 可得： AEB135 考虑到AEB

47、是定角，其对边 AB 是定线段，根据定边对定角，所以 E 点轨迹是个圆，考虑到ADB 90，所以 D 点即为圆心，DA 为半径 E D C BA M N O O N M AB C D E E 点轨迹所对的圆心角为MDN，是MON 的一半，所以 C、E 两点轨迹圆半径之比为 1：根号 2，圆 心角之比为 2:1，所以弧长比值为根号 2 E D C BA M N O 中考数学满分突破教师交流群 1070281827 中考满分突破读者学生群 897059879 中考满分突破读者教师群 853873521 最值系列之瓜豆原理 在辅助圆问题中， 我们了解了求关于动点最值问题的方式之一求出动点轨迹， 即可求出关于动点的 最值 本文继续讨论另一类动点引发的最值问题，在此类题目中，题目或许先描述的是动点 P，但最终问题问 的可以是另一点 Q，当然 P、Q 之间存在某种联系，从 P 点出