动点最值基本模型.docx

1、中考数学满分突破教师交流群 中考满分突破读者学生群 中考满分突破读 1070281827 897059879 者教师群 853873521 动点最值基本模型 原创： 向北 向北数学 2018-05-14 从合肥各区的模考卷来看，最值问题仍是 2018 中考第 10 或 14 题的热门。本文以瑶海 蜀山庐阳二模卷中最值问题为例，对最值问进行简要分类和例析，欢迎指正。 一、最值类型 1.饮马型：即将军饮马型，通常为两条线段之和的最值问题，利用对称性质将其中一条 线段进行转换， 再利用两点之间线段最短 （或三角形三边关系） 得到结果。 （本公众号有 “ 【解 题模型】将军饮马” ） 2.小垂型：即小

2、垂回家型，通常为一条线段的最值问题，即动点的轨迹为直线，利用垂 线段最短的性质得到结果。 3.穿心型：即一箭穿心型，通常为一条线段的最值问题，即动点的轨迹为圆或弧，利用 点与圆的位置关系得到结果。 （本公众号有“一箭穿心，圆来如此一文” ） 4.转换型：即一加半型，通常为一条线段与另一条线段一半的和的最值问题，即将那半 条线段利用三角形中位线或 30的对边等知识进行转换，再利用饮马或小垂或穿心。 5.三边型：即三角形三边关系关系型，通常利用两边之和大于第三边、两边之差小于第 三边求其最大（小）值。 6.结合型：即以上类型的综合运用，大多为饮马+小垂【如包河一模 20 题】 【瑶海一模 第 10

3、 题】 、小垂+穿心【如庐阳二模第 10 题】 、饮马+穿心【如瑶海二模第 10 题】饮马+转换 【如蜀山二模第 10 题】等 二、分类例析 一、饮马型 例 1：如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在 CD 上，CE=3, DE=1, 点 P 在 AC 上，则 PE+PD 的最小值是_ . 解析：如图 中考数学满分突破教师交流群 中考满分突破读者学生群 中考满分突破读 1070281827 897059879 者教师群 853873521 例 2：如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD+PE 的

4、和最小，则这个最小值为_. 解析：如下图 二、小垂型 例 3：如图，在 RtABC 中，C90，AC8，BC6，点 P 是 AB 上的任意一点， 作 PDAC 于点 D，PECB 于点 E，连接 DE，则 DE 的最小值为_. 解析：如下图 三、穿心型 例 4：如图，在边长为 4 的菱形 ABCD 中，ABC=120，M 是 AD 边的中点，N 是 AB 边上一动点， 将AMN 沿 MN 翻折得到AMN， 连接 A C， 则 A C 长度的最小值是_. 解析：如下图 中考数学满分突破教师交流群 中考满分突破读者学生群 中考满分突破读 1070281827 897059879 者教师群 8538

5、73521 四、转换型 例 5:如图，P 为菱形 ABCD 内一点，且 P 到 A、B 两点的距离相等，若C=60，CD=4， 则的最小值为_ 解析：因为 P 到 A、B 两点的距离相等，所以 P 在 AB 的垂直平分线上，又因菱形 ABCD 中C 为 60，所以ABD 为等边三角形，AB 的垂直平分线经过点 D,如下图 由ADP=30 度，可将 PD 的一半进行转换，即过点 P 作 AD 的垂线。如图， 即 B、P、F 三点共线，且 BFAD 时最短 五、三边型 例 6：如图，MON=90，矩形 ABCD 的顶点 A、B 分别在边 OM，ON 上，当 B 在边 ON 上运动时，A 随之在边

6、OM 上运动，矩形 ABCD 的形状保持不变，其中 AB=2，BC=1，运 动过程中，点 D 到点 O 的最大距离为_ 解析：如下图因为 AB 为定长，所以取其中点 E，则 OE 为定值，在ODE 中，DE 为定 值，OE 为定值，根据三角形三边关系即可得到 OD 的最大值。 例 7：如图，已知ABC 中，ACB=90，BC=4，AC=8，点 D 在 AC 上，且 AD=6，将 线段 AD 绕点 A 旋转至 AD ，F 为 BD的中点，连结 CF，则线段 CF 的取值范围. 中考数学满分突破教师交流群 中考满分突破读者学生群 中考满分突破读 1070281827 897059879 者教师群

7、853873521 解析： 解法一：瓜豆原理，点 F 的轨迹为圆，一箭穿心便可以求出其取值范围。 解法二：如下图，取 AB 的中点 M，连接 FM,CM，由斜边上的中线等于斜边的一半得 CM 为定值，由三角形中位线得 FM 为定值，所以在CFM 中，三边关系可得到 CF 的取值范 围. 例 8：如图，BA=1，BC=2，以 AC 为一边做正方形 AEDC，使 E，B 两点落在直线 AC 的 两侧，当ABC 变化时，求 BE 的最大值. 解析：将AEB 以点 A 中心顺时针旋转 90，得到ACB,如下图所示，连接 BB ，所 以 BC=BE，在BBC 中，BB为定值，BC 为定值，三角形三边关系

8、即可得到 BC 的最 大值，即 BE 的值. 6. 结合型 例 9：如图，正方形 ABCD 中，AB=4, E 为 CD 边的中点，F、G 为 AB、AD 边上的点，且 AF=2GD, 连接 E、DF 相交于点 P，当 AP 为最小值时，DG=_ 解析：由 AF=2GD，AD=2DE，得AFDDGE.如下图 GEDF, 那么线段 AP 中，A 点为定点，P 为动点，由DPE 为直角，所以 P 的轨迹为 一以 DE 中点为圆心的一段弧。如下图 中考数学满分突破教师交流群 中考满分突破读者学生群 中考满分突破读 1070281827 897059879 者教师群 853873521 由一箭穿心可得

9、到 AP 的最小值为 A,P,M 三点共线，而此时，由DMPFAP 可得到 AP=AF 即可得到结果. 三、模考分析 【庐阳二模第 10 题】如图，在平面直角坐标系中，A(6,0),B(0,8),点 C 在 y 轴正半轴上， 点 D 在 x 的正半轴上，且 CD=6，以 CD 为直径在第一象限作半圆，交线段 AB 于点 E、F，则 线段 EF 的最大值为_如图，在平面直角坐标系中，A(6,0),B(0,8),点 C 在 y 轴正半轴上， 点 D 在 x 的正半轴上，且 CD=6，以 CD 为直径在第一象限作半圆，交线段 AB 于点 E、F，则 线段 EF 的最大值为_ 解析：线段 EF 由于半

10、圆的变化而变化，所以应将其作为弦的变化来看，而弦长又与弦 心距存在变量之间的关系，所以首先作出弦心距.如下动图，所以当 PQ 最小时，EF 最大。 方法一：穿心小垂（P 点为以 O 点圆心，OP 为半径的弧上）求出 OQ 的最值，即 PQ 的最小值，再由勾股定理和垂径定理可求得 EF. 中考数学满分突破教师交流群 中考满分突破读者学生群 中考满分突破读 1070281827 897059879 者教师群 853873521 方法二：三边+小垂（三角形 OPQ）求出 OQ 的最值 解析：由抛物线解析式可求出点 A、B 的坐标分别为，所以OAP=30，如下图 【瑶海二模第 10 题】如图，矩形 A

11、BCD 中，AB=2,AD=3,点 E,F 分别为 AD,DC 边上的点， 且 EF=2,点 G 为 EF 的中点，点 P 为 BC 上一动点.则 PA+PG 的最小值为（ ） A.3 B.4 C.25 D.5 解析： 因为 G 为 EF 的中点， EF=2， 所以点 G 的轨迹为以 D 为圆心 DG 为半径的弧， 【饮 马+穿心】即 A ，P，G，D 四点共线时，PA+PG 最小（PA+PG=PA+PG+DG） 中考数学满分突破教师交流群 中考满分突破读者学生群 中考满分突破读 1070281827 897059879 者教师群 853873521 【练习 1】如图，已知圆 O 的半径为 1

12、3，弦 AB 长为 24，弦 CD 长为 10，点 N 为 CD 的 中点，O 到弦 AB 的距离为 OM,则 MN 的最小值是_ 【练习 2】如图,A,B 为圆 O 上两点，以 AB 边直角边作等腰直角三角形 ABC，若圆 O 的 半径为 5,则 OC 的最小值为 中考数学满分突破教师交流群 中考满分突破读者学生群 中考满分突破读 1070281827 897059879 者教师群 853873521 中考数学满分突破教师交流群 中考满分突破读者学生群 中考满分突破读 1070281827 897059879 者教师群 853873521 中考数学满分突破教师交流群 中考满分突破读者学生群 中考满分突破读 1070281827 897059879 者教师群 853873521 购买秒杀中考压轴题请联系李老师购买秒杀中考压轴题请联系李老师 1898228668318982286683（微信同号（微信同号 见二维码）见二维码）