专题07 反函数-高中数学经典错题深度剖析及针对训练.doc

1、 高中数学经典错题深度剖析及针对训练第 07 讲：反函数 【标题 01】没有弄明白反函数的定义域怎么求 【习题 01】 2 2yxx(12)x的反函数是 ( ) A. 2 11( 11)yxx B. 2 11(01)yxx C. 2 11( 11)yxx D. 2 11(01)yxx 【经典错解】 22 2yxx 22 (1)1xy 所以 2 11xy ， 2 11xy , x y 对换得 2 11yx 又 2 10 x 11x 因而( )f x的反函数为 2 11yx (11x ) 【详细正解】 22 2yxx 22 (1)1xy 因为12x 所以01 1x 22 1111xyxy , x

2、y对换得 2 11yx 来源:学.科.网 又 22 2(1)1(12)yxxxx 01y 即原函数值域为0,1 所以反函数为 2 11(01)yxx .故选B. 【深度剖析】（1）经典错解错在没有弄明白反函数的定义域怎么求.（2）经典错解有两处错误，错误： 因为12x 所以01 1x ，由 22 (1)1xy 开方取“正号”而不是取“负号”；反函数的定义 域应通过求原函数的值域而得到，而不是由反函数解析式确定.（3）求反函数的一般步骤分四步，第一步: 解方程求x；第二步：交换x和y；第三步：求原函数的值域得到反函数的定义域，第四步：写出原函数的 反函数. 【习题 01 针对训练】函数210 x

3、 yx 的反函数是 . 【标题 02】对函数 1( 1)fx 的求法理解不透彻来源:Z。xx。k.Com 【习题 02】已知( )34f xx，求函数 1( 1)fx 的解析式.源.:.Z.k.Com 【经典错解】由已知得(1)3(1)437f xxx37yx即 7 3 y x ， 1( 1)fx 7 3 x 【详细正解】因为( )34f xx的反函数为 1( ) fx 4 3 x ，所以 1( 1)fx (1)4 3 x3 3 x 1 1 3 x 【深度剖析】 （1）经典错解错在对函数 1( 1)fx 的求法理解不透彻. （2）错解将函数 1( 1)fx 看作是 (1)f x 的反函数.实际

4、上(1)f x 与 1( 1)fx 并不是互为反函数，一般地应该由( )f x先求 1( ) fx ，再 得到 1( 1)fx . 【习题 02 针对训练】函数( )f xx,则函数 1( 1)fx （ ） A 2 1x B 1 2 (1)x C 2 (1)x D 2 1x 【标题 03】没有理解透彻充要条件的定义 【习题 03】函数 2 ( )23f xxax在区间1,2上存在反函数的充分必要条件是 ( ) A(,1a B2,)a Ca1,2 D(,12,)a 【经典错解】选A或B.(,1a ( )f x在区间1,2上是增函数，( )f x存在反函数，当 2,)a，对称轴xa在区间1,2的右

5、侧，( )f x在区间1,2上是减函数，( )f x存在反函数. 【详细正解】(,1a ( )f x在区间1,2上是增函数，( )f x存在反函数，当2,)a，对称 轴xa在区间1,2的右侧，( )f x在区间1,2上是减函数，( )f x存在反函数的充分必要条件是 (,12,)a ，故选D. 【深度剖析】 （1）经典错解错在没有理解透彻充要条件的定义. （2） 如果条件 A 可以推出结论 B,则条件 A是 结论 B 的充分条件，如果结论 B 可以推出条件 A，则条件 A 是结论 B 的必要条件.所以(,1a 是充分条 件，并不是必要条件. 2,)a是充分条件，并不是必要条件. 【习题 03

6、针对训练】要使函数 2 3yxax在区间2,3 上存在反函数，则实数a的取值范是 . 【标题 04】对“互为反函数的图像关于直线yx对称”这一性质理解不透彻 【习题 04】 已知( )f x的反函数是 1( ) fx ， 如果( )f x与 1( ) fx 的图像有交点， 那么交点必在直线yx上， 判断此命题是否正确？ 【经典错解】由于原函数和反函数的图像关于直线yx对称，所以如果( )f x与 1( ) fx 的图像有交点，那 么交点必在直线yx上.所以该命题是正确的. 【详细正解】比如函数 1 16 1 ()log 16 x yyx与互为反函数，它们的图像关于直线yx对称，在它们的交 点中

7、，点 1 11 1 ( , ), 2 44 2 （ ，）不在直线yx上.所以该命题是错误的. 【深度剖析】 （1）经典错解错在对“互为反函数的图像关于直线yx对称”这一性质理解不透彻.（2） “两 互为反函数图像关于直线yx对称”，如果它们有交点，它们的交点不一定在直线yx上. 【习题 04 针对训练】设方程240 x x的根为，设方程 2 log40 xx的根为，则 . 来源:学|科|网Z|X|X|K 来源:学&科&网 高中数学经典错题深度剖析及针对训练第 07 讲：反函数参考答案 【习题 01 针对训练答案】 2 log (1)(12)yxx 【习题 01 针对训练解析】由21 x y 得21 x y ， 2 log (1)xy ，即 2 log (1)xx ，又由 0 x，得021 x ，即21 x y (1,2)，所求反函数为 2 log (1)(12)yxx . 【习题 02 针对训练答案】C 【习题 02 针对训练解析】因为 1212 ( )( )(1)(1)f xxfxxfxx ，故选C. 【习题 03 针对训练答案】(,46,) 学科网 来源:学#科#网